Thầy Kiên: 01692894586
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG TỔ HỢP
PHẦN I (ÁP DỤNG TRỰC TIẾP)
Bắt đầu từ những khai triển Newton:
a)
( )
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
( )
( )
0 1 2 2
1
1 2 1
1
1 .2 .
n
n n
n n n n
n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x C nx
−
−
′
′

−
′ ′
   
⇒ − = − + − + −
   
⇒ − − = − + − + −
c)
( )
0 1 1 2 2 1
1
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
− − −
+ = + + + + +
( )
( ) ( )
0 1 1 2 2 1
1
0 1 1 2 2 3 1
1
1 ( 1) 2
n
n n n n n
n n n n n
n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C x C

1 1 1
1 ( 1) 2 1
n n n
n n n n n
n n n n n
n n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C x C
n x C nx C n x C n x C
−
− − −
− −
− − − −
′ ′
   
⇒ − = − + − + − + −
   
⇒ − = − − + − − + −
Hoặc đạo hàm đến cấp 2
( )
2
2 3 2
( 1) 1 .2.1 .3.2 ( 1)
n
n n
n n n
n n x C C x C n n x
−
−

Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ n, giá trị x và một trong 4 công thức trên cho phù
hợp. Mất những số hạng đầu (
0 1
,
n n
C C
) ta sử dụng các công thức chứa
( )
1 x+
nếu
tổng không đan dấu, chứa
( )
1 x−
nếu tổng đan dấu. Mất những số hạng sau
( )
1
,
n n
n n
C C
−
ta sử dụng các công thức chứa
( )
1x +
nếu tổng không đan dấu, chứa
( )
1x −
nếu tổng đan dấu. Mất một số hạng đạo hàm cấp 1, mất 2 số hạng đạo hàm
cấp 2.
Thầy Kiên: 01692894586

n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
( )
( )
0 1 2 2
1
1 2 1
1
1 .2 .
n
n n
n n n n
n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x C nx
−
−
′
′
 
 
⇒ + = + + + +
 
 
⇒ + = + + +
Thế
3x =

x+
, đạo hàm cấp 1.
Giải:
( )
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
( )
( )
0 1 2 2
1
1 2 1
1
1 .2 .
n
n n
n n n n
n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x C nx
−
−
′
′
 

( )
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
( )
( )
0 1 2 2
2
2 3 2
1
( 1) 1 .2.1 .3.2 ( 1)
n
n n
n n n n
n
n n
n n n
x C C x C x C x
n n x C C x C n n x
−
−
′′
′′
 
 
⇒ + = + + + +
 

0 1 2 2
1 1
n n
n n
n n n n
x C C x C x C x− = − + − + −
( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 2
1
1 2 1
1 1
1 .2 1 .
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x C nx
−
−
′ ′
   
⇒ − = − + − + −
   
⇒ − − = − + − + −
Hay
( ) ( )

, đạo hàm cấp 1.
Giải:

( ) ( ) ( )
1
0 1 1 2 2 1
1 1 1
n n n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
−
− − −
− = − + − + − + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
0 1 1 2 2 1
1 1
0 1 1 2 2 3 1
1 1 1
1 ( 1) 2 1
n n n
n n n n n
n n n n n
n n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C x C
n x C nx C n x C n x C

( )
1
n
x +
, đạo hàm cấp 2.
Giải:

( )
0 1 1 2 2 1
1
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
− − −
+ = + + + + +
( )
0 1 1 2 2 1
1
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
− − −
′′
′′
 
 
⇒ + = + + + + +
 

1 x+
.
Giải:

( )
12
0 1 2 2 12 12
12 12 12 12
1 x C C x C x C x+ = + + + +
( )
( )
12
0 1 2 2 3 3 12 12
12 12 12 12 12
11
1 2 3 2 12 11
12 12 12 12
1
12 1 2 3 12
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x
′
′
 
 
⇒ + = + + + + +
 
 
⇒ + = + + +
Thay

0 1 1 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
n n n n k k k n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
− − −
− + = − + − + − + + − + +
( )
0 1 1 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
n n n n k k k n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
− − −
′
′
 
 
⇒ − + = − + − + − + + − + +
 
 
1 1 1 2 2 1 1
( 1 ) ( 1) ( 1) 2 ( 1)
n n n n k k k n n
n n n n
n x C C x kC x nC x
− − − − − −
⇒ − + = − + − + + − + +

x+
, đạo hàm cấp 1.
Giải:
( ) ( ) ( )
1
0 1 1 2 2 1
1 1 1
n n n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
−
− − −
− = − + − + − + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
0 1 1 2 2 1
1 1
0 1 1 2 2 3 1
1 1 1
1 ( 1) 2 1
n n n
n n n n n
n n n n n
n n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C x C
n x C nx C n x C n x C

0 1 2 2
1
1 2 1
1
1 .2 .
n
n n
n n n n
n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x C nx
−
−
′
′
 
 
⇒ + = + + + +
 
 
⇒ + = + + +
Thay
2x =
ta được
1 1 2 1
3 2.2 .2
n n n
n n n

k
n
k C+
, hệ số đầu
chênh lệch hơn 1 đơn vị nên ta nhân thêm 2 vế với x.
Giải:
( )
0 1 2 2 3 1
1
n
n n
n n n n
x x C x C x C x C x
+
+ = + + + +
Đạo hàm 2 vế ta được
1 0 1 2 2
( 1)(1 ) 2 3 ( 1)
n n n
n n n n
nx x x C C x C x n C x
−
+ + + = + + + + +
Thế
1x =
ta có điều phải chứng minh.
BT11: Chứng minh
1 0 1 2
( 4)2 2 3 4 ( 2)
n n

2 .2 2 3 4 ( 2)
n n n
n n n n
n C C C n C
+ −
+ = + + + + +
1 0 1 2
( 4)2 2 3 4 ( 2)
n n
n n n n
n C C C n C
−
⇔ + = + + + + +
BT13: Với
n
+
∈¢
,
2n >
, chứng minh
( )
0 1 2
2 3 1 ( 1) 0
n
n
n n n n
C C C n C− + − + − + =
Giải:
Thầy Kiên: 01692894586
( )

n
n n n n
n C n C nC C+ − + + − + − =
Giải:
2 0 2 1 1 2 2
( 1) ( 1)
n n n n n n
n n n n
x x C x C x C x C x
+ +
− = − + − + −
Đạo hàm 2 vế ta được
( ) ( )
1
2 0 1 1 2 1
2 1 1 ( 2) ( 1) ( 1) .2
n n
n n n n n
n n n n
x x nx x n C x n C x nC x C x
−
+ −
− + − = + − + + − + −
Thế
1x =
ta có điều phải chứng minh.
BT15: Tính
2 1 2 2 2 3 2
1 2 3
n

n
C
nên ta nhân thêm 2 vế với x trước khi
đạo hàm.
Giải:
( )
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
Đạo hàm 2 vế ta được
( )
1
1 2 1
1 .2 .
n
n n
n n n
n x C C x C nx
−
−
+ = + + +
Nhân 2 vế với x
( )
1
1 2 2
1 .2 .
n

0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
2 3 2013S C C C C= + + + +
Tự làm.
Thầy Kiên: 01692894586
BT17: Tính
0 1 2 2010
2012 2012 2012 2012
2012.2011 2011.2010 2010.2009 2.1S C C C C= − + − +
Tự làm.
BT18: Tính
2011 0 2010 1 2009 2 2010 2011
2012 2012 2012 2012 2012
2012.3 2011.3 2010.3 2.3S C C C C C= − + − + −
Tự làm.
BT19: Tính
2 1 2 2 2 2012
2012 2012 2012
1 2 2012S C C C= + + +