Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––
LÊ THANH SƠN ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn


Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, nhân dịp này em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy giáo, cô giáo ở Viện Toán
học và Phòng quản lý đào tạo sau đại học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo
của trƣờng ĐHSP Thái Nguyên.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng GD&ĐT Sông Lô, Trƣờng THCS
Lãng Công đã tạo điều kiện về thời gian để có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên đã chia sẻ cùng tôi những
khó khăn trong những năm tháng học tập xa nhà.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Bố cục luận văn 3
Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Các không gian thƣờng dùng 4
1.1.1. Không gian Metric. 4

KẾT LUẬN CHUNG 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các
công trình quan trọng của G. Stampacchia, P. hartman, G. Fichera, J. L. Lions
và F. E. Browder. Trong suốt hơn 50 năm qua, lý thuyết này đã thu hút đƣợc
sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc. Có rất nhiều bài báo, rất
nhiều cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của
chúng. Hiện nay những bài toán phụ thuộc tham số đang đƣợc các nhà toán
học và các nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng
dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực.
Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong không gian định chuẩn
X
,
*
:f K X
là ánh xạ đơn trị từ
K
vào không gian đối ngẫu
*
X
của

x F x
thỏa mãn
*
,0x x x
với mọi
xK
” đƣợc gọi là bất đẳng
thức biến phân suy rộng xác định bởi tập
K
và toán tử
F
.
Khi toán tử
 
fF
phụ thuộc tham số

và tập hạn chế
K
phụ thuộc
tham số

nào đó thì bài toán trên đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân phụ
thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tƣơng
ứng). Ở đây
 
,

là cặp tham số của bài toán.
Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân

 
   
T m sao cho
, , 0, ,
ì x K
f x y x y K





   



 
0.1

ở đó
 
, M

 
là cặp tham số của bài toán và
,
là ký hiệu tích vô
hƣớng trong
H
. Với cặp tham số
 

 
0.2
. Chúng ta cần biết xem liệu
 
0.1
có thể
cónghiệm
 
,xx


ở gần
x
khi
 
,

ở gần
 
,

hay không, và hàm
 
,x

có dáng điệu nhƣ thế nào. Nói cách khác là ta cần nghiên cứu độ
nhạy của nghiệm
x
đối với sự thay đổi của
 

đƣợc trong các mục trƣớc để nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi có tham số.
Chƣơng 3 nghiên cứu các tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của
nghiệm các bài toán biến phân phụ thuộc tham số. Mục 3.1 trình bày bài toán
và các bổ đề bổ trợ. Mục 3.2 thiết lập một số kết quả về tính liên tục Lipschitz
và tính đơn điệu mạnh của toán tử đạo hàm. Mục 3.3 trình bày chứng minh
định lý chính của chƣơng này. Bằng cách sử dụng các kết quả của chƣơng 2
và các mục 3.1 và 3.2, chúng ta có đƣợc kết quả về tính chất liên tục kiểu
Lipschitz-Holder của ánh xạ nghiệm theo tham số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chƣơng I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chƣơng này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử
dụng trong suốt luận văn này.
1.1. Các không gian thƣờng dùng
1.1.1. Không gian Metric.
Định nghĩa 1.1.

 

4, .33p
Một tập hợp
X
đƣợc gọi là một không gian
metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử


với mọi
,xy
(tính đối xứng),
3.
     
,y , z,yx x z
  

với mọi
,,x y z
(bất đẳng thức tam giác).
Hàm số
 
,yx

gọi là metric của không gian và cặp
 
,X

đƣợc gọi
là không gian metric.
Ví dụ. 1) Một tập
M
bất kỳ của đƣờng thẳng
R
, có khoảng cách thông
thƣờng
 
,yx x y


 
 
2
1
,
k
ii
i
xy
  




là không gian metric.
Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
1) Sự hội tụ. Ta nói một dãy điểm
12
, , xx
của một không gian metric
X
hội tụ tới điểm
x
của không gian đó nếu
 

, là tập:
   
 
, : ,B a r x x a r


.
Hình cầu tâm
a
, bán kinh
r
, cũng gọi là một
r
- lân cận của điểm
a
và mọi
tập con của
X
bao hàm một
r
- lân cận nào đó của điểm
a
gọi là một lân cận
của điểm
a
.
Điểm trong: điểm
x
gọi là một điểm trong của tập
A

là tập con của
X
. Giao của tất cả các tập hợp
đóng chứa
A
gọi là bao đóng của tập hợp
A
và ký hiệu
A
.
Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau: Với
aX
,
0, X


.
Tập:
 
( , ) : ( , )B a x X a x
  
  
, gọi là hình cầu mở tâm
a
, bán kính

.
Tập:
 
( , ) : ( , )B a x X a x

Y

). Một ánh xạ
f
từ
X
vào
Y
gọi
là liên tục tại điểm
0
xX
nếu

     
00xX

     
:

 
  
 

00
,,
XY
x x f x f x
   
  

ta đặt
   
 
, inf , :x A x y y A


và gọi
 
,xA

là khoảng
cách từ điểm
x
đến tập
A
. Hiển nhiên
 
,0xA


khi và chỉ khi có một dãy
n
yA
sao cho
 
 
1
, 1,2,
n
x y n

. Nếu
,AB
là hai tập trong không gian metric
 
,X

thì
BA


có nghĩa là mọi điểm của
B
đều cách
A
không quá

. Khi ấy số

 
 
, inf 0: , ,d A B A B B A


   

gọi là khoảng cách Hausdoff giữa hai tập
A
và
B
.

xy
; ứng với
mỗi phần tử
xX
và mỗi số thực

ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của
X
gọi là tích của
x
với

và đƣợc ký hiệu
x

.
b) Các qui tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:
1)
x y y x  
.
2)
   
x y z x y z    
.
3) Tồn tại một phần tử
0
sao cho
0,x x x X   
.


 

4, .186p
Cho
X
là một không gian tuyến tính trên
trƣờng
K
, chuẩn trên
X
là hàm số:
.:XR


thoả mãn:
1)
0x 
,
00xx  
.
2)
xx


, với mọi
K


.

từ
X
vào
Y
gọi là liên tục nếu
0n
xx
luôn luôn kéo theo
0n
Ax Ax
. Ta có,
một toán tử tuyến tính
A
từ
X
vào
Y
là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Vì không gian định chuẩn là trƣờng hợp riêng của không gian metric,
trong mục 1.1.1 ta đã nghiên cứu về sự hội tụ trong không gian metric, vậy sự
hội tụ trong không gian định chuẩn nhƣ thế nào? Trong không gian véc tơ
X

ta xác định một chuẩn, nghĩa là ứng với mỗi phần tử
x
một số
0x 
thỏa
mãn ba điều kiện trên, thì ta biến nó thành một không gian metric, với metric:
 

  
n
k n x k  
.
4) Nếu
0n
xx
,
0n
yy
thì
00nn
x y x y  
. Nếu
0n
xx
,
0n


,
thì
00nn
xx


. Nói khác đi là các phép toán
xy
và
x

, , ,x y z x z y z  
.
3)
,,x y x y


với mọi số thực

.
4)
,0xx 
nếu
0x 
;
,0xx 
nếu
0x 
.
Hơn nữa ta chứng minh đƣợc
2
,x x x
, tức là
,x x x
xác
định một chuẩn trong không gian
X
, nói cách khác không gian tiền Hilbert
định nghĩa nhƣ trên là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một
không gian metric.
Mặt khác ta chứng minh đƣợc tích vô hƣớng

nào trên một không
gian Hilbert
X
cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dƣới dạng
 
,f x a x
,
trong đó
a
là một vectơ của
X
thỏa mãn
fa
.
Từ trên ta cũng có kết quả sau: Mỗi toán tử tuyến tính liên tục
A
trong
không gian Hilbert
X
xác định theo
 
,,f x y Ax y
một phiếm hàm song
tuyến tính liên tục
 
,f x y
nghiệm đúng
fA
. Ngƣợc lại bất kỳ phiếm
hàm song tuyến tính liên tục

những tập con của
X
là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên
X

nếu:

 
i
Hai tập
0
và
X
đều thuộc họ
T
.

 
ii

T
kín đối với phép giao hữu hạn, tức là, giao của một số hữu hạn
tập thuộc họ
T
thì cũng thuộc họ đó.

 
iii

T

x G V
.
Tập đóng. Một tập là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó.
Ánh xạ liên tục. Cho
,XY
là hai không gian tôpô. Một ánh xạ
f
từ
X
vào
Y
đƣợc gọi là liên tục tại
0
x
, nếu với mọi lân cận
0
y
U
của điểm
 
00
y f x
đều có một lân cận
0
x
V
của điểm
0
x
sao cho

xx
,
12
,x x X
luôn
tồn tại hai tập mở
,UV

T
sao cho:
12
,x U x V
và
0UV  
.
1.1.5. Không gian đối ngẫu.

 

4, .404p

Khi
X
là một không gian vec tơ tô pô thì tập hợp các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên
X
gọi là không gian đối ngẫu của
X
và đƣợc ký hiệu
*

X

là không gian đối ngẫu của
*
X
. Trong trƣờng hợp
**
XX
thì
X
đƣợc gọi là
không gian Banach phản xạ.
1.2. Ánh xạ đa trị
Ta có:
2
Y
là ký hiệu họ các tập con của tập
Y
.
Định nghĩa 1.6. Cho
,XY
là các tập hợp,
:F X Y
đƣợc gọi là ánh xạ
đa trị nếu
F
chuyển
xX
thành một tập hợp
 

B
.
4)
 
 
:0DomF x X F x   
là miền định nghĩa của
F
.
5)
   
 
af , :Gr F x y X Y y F x   
đồ thị của
F
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Từ định nghĩa 1.6 ta có định nghĩa ánh xạ đa trị đóng nhƣ sau: Cho
,XY
là các không gian tô pô,
:2
Y
FX
, ký hiệu là ánh xạ đa trị từ
XY
.
Nếu

()F x B
thì tồn tại lân cận
x
U
của
 
:,x F x B x U

  
.

 
ii

F
là nửa liên tục dƣới tại
x domF
nếu
B
là tập mở,
( ) 0B F x  
thì tồn tại lân cận
x
U
của
 
: 0,
x
x B F x x U domF




sao cho
f
là hàm Lipshitz trên hình cầu
 
,B x D


.
2) Hàm
f
đƣợc gọi là Lipshitz địa phƣơng trên tập
D
,
nếu nó Lipshitz địa phƣơng tại mọi điểm của
D
.
1.3. Bài toán tối ƣu.

 

3, .10p

Cho
D
là một tập khác rỗng của không gian
X
. Bài toán: Tìm điểm
0

xD
sao cho tồn tại lân cận
U
của
0
x
để

 
 
0
,F x F x
với mọi
x U D
,bài toán đƣợc gọi là bài toán
tối ƣu địa phƣơng và
0
x
đƣợc gọi là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán .
Trong lý thuyết tối ƣu tổng quát, ta cũng cần lƣu ý rằng, bài toán trên
có liên quan mật thiết với một số bài toán khác dƣới đây:
1. Bài toán điểm cân bằng
Cho
D
là tập con khác rỗng của không gian
,:X f D D R
. Tìm
xD
sao cho:
 


     
,0A u v u v u

   
, với mọi
vD
.
3. Bài toán điểm bất động
Cho
X
là không gian Hilbert,
DX
là tập hợp con khác rỗng,
:T D D
là ánh xạ đơn trị. Tìm
xD
sao cho:
 
T x x
.
4. Bài toán cân bằng Nash
Cho
,
ii
D X i I
là các tập con khác rỗng trong
i
X
(với

j I j i
xx


. Tìm
 
i
iI
x x D



sao cho :
   
,,
i
i i i i i
f x f x y y D  
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
5. Bài toán điểm yên ngựa
Cho
12
,D D X
và
12
:D D R

C
. Xét ánh xạ
*
:T C C
, với
*
X
là không gian tô pô đối ngẫu của
X
. Tìm
xX
sao cho

   
*
, , , 0x C T x C T x x  
.
7. Bài toán tựa tối ƣu loại I
Cho
K
là tập hợp khác rỗng của không gian
Y
nào đó,
: 2 , : 2
DK
S D K T D K   
là các ánh xạ đa trị,
:F K D D R  
là
hàm số. Tìm điểm

là hàm số. Tìm điểm
 
,x y D K
sao cho
1)
 
1
x S x
,
2)
       
2
, , , , , ,F y x x F y x x x S x y T x x   
.
1.4. Kết luận
Trong chƣơng 1 ta đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về các không gian
thƣờng dùng, ánh xạ đa trị và bài toán tối ƣu, những kiến thức này sẽ đƣợc sử
dụng nhiều trong chƣơng 2 và chƣơng 3.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

Chƣơng II
ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN SUY RỘNG.

Trong chƣơng này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy
nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong không gian
Banach phản xạ.

inf 0  
và
00A   
.
Tập lồi: Tập hợp
AX
đƣợc gọi là tập lồi nếu với mọi
 
12
, , 0,1 ,x x A t
thì
 
12
1tx t x A  
.
Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
**
xX
đƣợc gọi là véc tơ pháp tuyến của
tập lồi
A
tại
x
nếu thoả mãn:
*
,0x x x
, với mọi
xA
.



Hàm lồi: Cho
X
là không gian lồi địa phƣơng,
DX
,
 
:f D R  
,
ta có:
     
if = ,r :ep x D R f x r  
. Hàm
f
đƣợc gọi là lồi, nếu
ifep
là
tập lồi trong không gian tích
XR
.
Dƣới vi phân: Cho
 
: XR

  
là một hàm lồi và
xX
sao cho
 
x

F
và tập lồi
K
là bài toán tìm
xK
thoả mãn bao hàm
thức:
   
0.
K
F x N x

 
2.3

Từ công thức
 
2.1
suy ra rằng
xX
thoả mãn
 
2.3
khi và chỉ khi
xK

và tồn tại
 
*
x F x

.
Giả sử
 
,d
và
 
,Md
là các không gian metric. Giả sử
00
,xX

 
và
0
M


. Giả sử
*
: 2 , : 2
XX
F X M K   
là hai ánh xạ
đa trị. Ta luôn giả sử rằng
 
K 
nhận giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Bài toán tìm
 
,xx


2.5
khi và
chỉ khi
 
xK


và tồn tại
 
*
,x F x


sao cho
*
,0x y x
với mọi
 
yK


.
2.2. Các kết quả bổ trợ
Để tiện theo dõi ta nhắc lại: Cho
*
:2
X
GX
là ánh xạ đa trị. Các tập
   

*
0
X
G x G x B


với mọi
xU
, trong đó
 
*
* * *
: : 1
X
B x X x  
.
Định nghĩa 2.1.2. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là đê-mi liên tục tại
0
xX
nếu với
mỗi tập mở
*
VX
trong tô pô yếu
*
của
*
X


*
VX
thoả mãn
   
0
1G tx t v V  
, tồn tại
0


sao
cho
 
 
0
1G tx t v V  
với mọi
 
0,1t
mà
1 t


.
Định nghĩa 2.1.3.

 

13, .852p

GX


sao cho
grG
là tập con thực sự của
grG

.
Hai bổ đề sau cho phép ta kiểm tra tính đơn điệu cực đại của một ánh
xạ đa trị.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử
*
:2
X
GX
là một toán tử đơn điệu, hê-mi liên tục. Nếu
U dom G
là tập hợp sao cho với mọi
xU
ta có
 
Gx
là tập lồi đóng thì
khi đó
G
là đê- mi liên tục tại mỗi điểm
0
xU
.

12
int 0domG domG  
,
trong đó
int D
ký hiệu phần trong tôpô của tập
D
, thì khi đó tổng
*
12
:2
X
G G X
, xác định bởi công thức
      
1 2 1 2
G G x G x G x  
, cũng
là toán tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề sau đây là một trong những kết quả chính của lý thuyết toán tử
đơn điệu cực đại.
Bổ đề 2.2.4.

 

13,Cor 35ollary
Nếu
*
:2
X

GX
đƣợc gọi là đơn điệu chặt nếu cho bất
kỳ
   
**
1 1 2 2
, , ,x x x x grG
,
12
xx
, ta có
**
2 1 2 1
,0x x x x  
.
Nhận xét rằng nếu
*
:2
X
FX
là đơn điệu chặt thì bài toán
 
2.3
có
nhiều nhất một nghiệm. Thực vậy, giả sử rằng
12
,x x K
là hai nghiệm của
bài toán
 

xx
.
Định nghĩa 2.2.5. Giả sử

là một hàm số không giảm trên
 
:0R t R t

  

sao cho

 
t
0
với mọi
0t 
. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là

- đơn điệu đều nếu
với mọi
 
*
11
,x x grG
ta có
 
**

2.7

Trong trƣờng hợp này
G
đƣợc gọi là đơn điệu mạnh.
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng
phụ thuộc tham số
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng
 
2.5
, trong đó
   
, , , ,F x K M


đƣợc định nghĩa nhƣ trong mục 2.1. Giả sử
 
0 0 0
,,x



XM 
là bộ ba thoả mãn điều kiện:

 
 
 
0
0 0 0


 
,,F


là toán tử đơn điệu cực đại;
 
2
a
Tồn tại lân cận
U
của
0
x
sao cho với mọi
0


tồn tại
0


để:
Nếu
       
* * *
1 1 2 2
, , , ,x x x x gr F U X

   

và hằng số

0

sao cho
 
,0Fx


với mọi
 
,WxU



,

   
**
sup : , , , W ,x x F x x U
  

   

 
2.9

và với mọi
 
,,x U F x

và lân cận
V
của
0

sao cho
       
,
X
K U K d B
    
  

với mọi
, V



.
 
2.10

Khi đó tồn tại lân cận

W
của
0

, lân cận


2.11

Hơn nữa,
 
00
,xx


, và hàm
   
,,x
   

là liên tục trên


W V
.
Các nhận xét sau đây giúp ta hiểu rõ hơn các giả thiết
   
14
aa
.