A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những dạng toán cơ bản của
chương trình toán 9. Trong những năm gần đây dạng toán này chiếm tỉ lệ đáng
kể trong các đề thi tuyển sinh vào THPT.
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng làm các bài tập cơ bản của
dạng toán, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản,
đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh
cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được
cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Từ đó với mỗi
bài toán cụ thể các em biết nên áp dụng bài toán tổng quát nào và áp dụng vào
các bài toán tương tự.
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn đưa thêm các dạng toán bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi. Cung cấp thêm cho các em các cách làm các dạng
toán mới, phức tạp hơn giúp các em có kiến thức tổng quát hơn về dạng toán
này, bổ trợ cho việc thi vào các trường THPT chuyên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học
hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta
tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân
loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả
năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực
tiễn.
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu
vì vậy để các em học tốt môn toán, làm tốt các dạng toán khác nhau thì giáo viên
cần phải phân chia các dạng bài tập và hướng dẫn cụ thể cho các em, điều đó càng
khiến tôi tâm huyết tìm tòi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1) Điều tra cơ bản.
Qua thời gian giảng dạy trực tiếp trên lớp, dạy học buổi 2 tại trường, bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi các khóa học sinh đã ra trường (khi chưa áp dụng
đề tài tôi đưa ra), tôi thấy chỉ có 10% các em làm được đa số các dạng toán về
hàm số bậc nhất (có các bài tập khó), 40% học sinh làm được các dạng toán cơ
bản về hàm số bậc nhất và 50% còn lại không làm hết được các dạng toán cơ
bản về hàm số (chỉ làm được một vài dạng).
2) Quá trình thực hiện: Xuất phát từ điều mong muốn học sinh nắm
vững cách làm các dạng toán về hàm số bậc nhất tôi đưa ra các dạng toán về
hàm số bậc nhất sau:
2
Cho hai hàm s
ố y
= a
x + b c
ó đ
ồ t
h ị là ( d
1
)
hị của h à
m s
ố
y =
a
x +
b
:
Bước 1: Xá
c đ
ịnh g i a
o đ
i ể
m v ớ
i t r
ụ c t
ủ a
y )
Bước 2:
Xác định giao điểm với trục hoành: B(
;0
b
a
−
)
( c
h o
y =
0
r ồi t
h a
y v à
o
h à
m s
ng q
u a
A và B
là đồ thị cần
vẽ.
Lưu ý: Để vẽ đồ thị hàm số
y ax b= +
. Ta vẽ hai đồ thị
1
y ax b= +
với
b
x
a
−
≥
và đồ thị
2
y ax b= − −
với
b
x
a
−
<
hoặc xét giá trị đặc biệt
2. Đồ thị ( d
1
y
0
) thuộc đồ t
hị )
⇔
y
0
= ax
0
+ b
3. Hàm số y = ax + b có:
a > 0
⇒
+ Hàm số đồng biến
+
Đường t
hẳ
ng t
ạo
vớ
ha
i đườ
ng t
hẳ
ng (d
1
) và (d
2
)
(d
1
)
cắt (d
2
)
⇔a
)
,
,
a a
b b
=
⇔
=
(
d
1
)
⊥
(
d
2
)
⇔a
1
)
v à (d
2
)
ta
g i ả
i hệ
phương trình sau:
, ,
a x b y
a x b y
+ =
+ =
Nghiệm (
x
0
;
y
ng t
h ẳ
ng d
1
và d
2
6. Lập p
hươ
ng tr
ình đ
ườ
ng t
hẳ
ng đ
i q
ua
ha
ha
y t
ọa
độ ha
i đ
iể
m A,
B
và
o đư
ờ
ng t
hẳ
ng y =
a
n a
v à b
) t
a
c
ó: a
=
a
0v à b
= b
0
Vậ
y p
hươ
b
;
y
b
) là
: y = a
0
x + b
0
7. Muốn t
ìm đ
i ề
u k
i ệ
n để (d
1
) cắ
t ( d
2
)
t ạ
8. Muốn t
ìm đ
i ề
u k
i ệ
n để (d
1
)
cắ
t ( d
2
)
t ạ
i m ột đ
i ể
m n ằ
m t
,
,
;0
b
a
−
÷
B
ư ớ
c 3: T
ì
m đ
i ề
u k
i ệ
n để a
≠ng
tr
ình:
,
,
b b
a a
− −
=
9. Tìm đ
i ề
u k
i ệ
n để (d
1
)
m đ
i ề
u k
i ệ
n để a
≠a
'
(
*
)
B
ha
y x =
m và
y =
y
0và
o phương trình đườ
ng t
hẳ
ng c
ò
n
lạ
i.
cắ
t ( d
2
)
t ạ
i đ i ể
m c
ó t
ung độ
y
0
: B
ư ớ
c 1: T
ì
m đ
i ề
ha
y y
0và
o (d
1
)
hoặ
c (d
2
)
ta
tì
m đ
ượ
c
x
và
o đ
ườ
ng t
hẳ
ng c
ò
n lạ
i.
Kế
t
hợp
với (*) ta có
đ i ề
u k
i ệ
h u ộ
c g óc p
h ầ
n tư t
hứ n h ấ
t
:
B
ư ớ
c 1: G
i ả
i h ệ p
h ư ơ
ng tr
ình:
, ,
≠
12. Tìm đ
i ề
u k
i ệ
n để (d
1
)
cắ
t ( d
2
)
t ạ
i đ i ể
m t
h u ộ
c góc phần tư …
≠
+ Góc phần tư thứ ba
0
0
,
0
0
x
y
a a
<
<
≠
+ Góc phần tư thứ tư
0
0
,
0
0
x
y
a a
đ i ể
m c
ó
tọa
độ ngu y ê
n:
B
ư ớ
c 1: G
i ả
i h ệ p
h ư ơ
ng tr
ình:
, ,
a x b y
a x b y
∈Z ,
y
0∈Z v à a
≠
a
'
14. Chứ
ng minh đồ t
hị y =
a
x +
b
ử đồ t
hị hàm số y =
a
x+b
luô
n đ
i q
ua
điể
m A
(
x
0
;
y
0
) với mọi
m
ta
đượ
c y
0=
a
x
0+
b(*)
B
ướ
c 3: B
iế
n đổ
0
)
( Xe
m m là ẩ
n ; A
,
B
là c
ác h ệ s
ố t
h ì p
h ư
ơ
n g t r
ì
n h A
ình:
0
0
A
B
=
=
ta
tìm đ
ượ
c
x
0và
y
0
.
15. Tìm m để 3
"
x +
b"
đ ồ
ng q
uy ( c
ùng đ
i q
ua một điểm )
B
ư ớ
c 1: T
ì
m đ
i ề
u k
c 2: +
Nế
u b
=
b
'
thì ta
tì
m đ
i ề
u k
i ệ
n
m để b" =
b
u
b ≠
b
' ≠
+ =
ta được nghiệm (x
0
;y
0
)
Thay (x
0
;y
0
) vào (d
3
)
được y
0
= a"x
0
+ b". Từ đó tìm được m
16. Tìm m để đồ t
hị h à
m s
ố y =
o đ
iể
m vớ
i tr
ục t
ung A
(0
:b
), gia
o đ
iể
m vớ
i trục
hoành
;0
b
a
−
ừ
g ốc tọa
độ O
đ ế
n đ ư ờ
ng
thẳng
y ax b= +
(d) có giá t r
ị l ớ
n n h ấ
t
:
B
ư ớ
c 1: T
ì
ư ớ
c 2: T
ì
m g i a
o đ
i ể
m của (d) v ớ
i t r
ụ c t
ung B (
0
: b
)
Tì
m gia
ì k
h o ả
ng cá
c
h t ừ O
đ ế
n đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng l ớ
n n h ấ
t k
hi OA
⊥
BC.
Nên áp dụng h ệ t
ính O
A , O
B , O
C v à t
h a
y v à
o
h ệ th ứ c (
* ) t
a
tìm
đ ư ợ
c
m .
Lưu ý: + Ở b ư
n g y
= ax + b
+ Ta c
ó t h ể tí n h O
A
, O
B
, O
C b
ằ n g đị n h lý
P i - t a
- go h o
ặc v
ận d ụ
ng công
thức tính khoảng cách gi ữ
b
) t
hì A
B =
( ) ( )
2 2
a b a b
x x y y− + −
A (x
a
;
y
a
)
B (x
b
;
y
các bước cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm tiếp), hoặc giáo viên hướng dẫn học
sinh trong một số bước biến đổi cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm bài, sau đó giáo
viên kiểm tra lại.
- Ra thêm bài tập yêu cầu học sinh tự làm.
Sau từ ba đến bốn tiết dạy tiến hành luyện tập để ôn tập các dạng toán vừa
học nhằm nắm bắt mức độ tiếp thu, ghi nhớ, áp dụng của học sinh, từ đó có
hướng điều chỉnh mức độ bài tập, cách truyền đạt, thời gian luyện tập từng dạng
cho phù hợp.
Trong quá trình làm các bài tập giáo viên có thể đưa ra thêm các cách giải
khác nhau phù hợp với bài tập để bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn,
khoa học, có thể khuyến khích học sinh tìm tòi thêm cách làm khác trước khi
giáo viên đưa cách giải khác.
2.3. MỘT SỐ VÍ DỤ:
1. Cho h à
m s
ố
y =
2
m x +
m - 1
c
ó đồ thị l à (
iể
m A
(1;2
)
?
c. (d
1
)
cắ
t trục t
ung tạ
i đ
iể
m c
ó t
ung độ bằ
ng -2?
d. (d
1
hẳ
ng y =
x +
1 tại một điểm
trê
n tr
ục t
ung; trê
n tr
ục
hoà
nh ?
f. (d
1
)
cắ
t đườ
cắ
t đườ
ng t
hẳ
ng y= x -5 tại điểm có tung độ bằng -3?
h. (d
1
)
cắ
t đườ
ng t
hẳ
ng 2
x - y =
1?
7
i. (
k. (d
1
)
vuô
ng góc
vớ
i đườ
ng t
hẳ
ng x -
y =
2 ?
2. Tìm tọa
độ
g i a
o đ
i ể
ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d
1
) :
y =
(
m - 1
)
x +
2m (d
2
) : y =
m x +
2
Tìm m để (d
1
i
4. Tìm m để k
hoả
ng cá
c
h từ
gốc tọa độ O
đế
n đườ
ng t
hẳ
ng (d):
y =
mx - m + 1
lớn
nhất ?
5. Tìm m để 3
):
y =
(
m - 1)x + 2
Hướng d ẫ
n giải :
1. a. Ta có : a = 2m
Hàm số đồng biến
⇔
2m > 0
⇔
m > 0
Hàm số nghịch biến
⇔
2m < 0
⇔
m < 0
b. (d
1
)
đi
qua đ
iể
m A
⇔
b = -2
⇔
m – 1 = -2
⇔
m = -1
d. (d
1
) cắ
t trục ho
à
nh tạ
i đ
iể
m c
ó hoà
nh đ
ộ bằ
ng -1
ng y =
x +
1 tại một điểm
trê
n tr
ục t
ung:
(d
1
):
y
=
(
m ≠0) (d
2
):
y =
x +
1
(d
1
)
cắ
t (d
2
ê
n
t
r
ụ
c
t
ung
ng t
hẳ
ng y =
x +
1 tại một điểm
trê
n tr
ục hoành:
(d
1
)
cắ
t đườ
ng t
hẳ
ng y =
x +
)
cắ
t đườ
ng t
hẳ
ng y =
x +
1 tại một điểm
trê
n tr
ục hoành thì điểm
B
∈
(d
1
)
⇔
0 = 2m.(-1) + m – 1
⇔
m = -1 (thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d
ng y
=
3x - 2
tạ
i đ
iể
m c
ó
hoà
nh độ bằ
ng 2
(d
1
)
cắ
t đườ
ng t
ng 2
là A
(2;
y
0
)
V
ì A(
2;
y
0
) t
huộc
y
=
3x - 2
nê
n
ê
n
4 = 2
m
⇔
5
m
= 5
ng t
hẳ
ng y= x -5 tại điểm có tung độ bằng -3:
(d
1
)
cắ
t đườ
ng t
hẳ
ng y =
x - 5 ⇔
≠ ⇔ ≠
1
2 1
huộc
y
=
x - 5
nê
n -3=
x
0-
5 ⇔
-3 = 2
m
. 2
5
m
= -2 ⇔m
=
2
5
−
hẳ
ng 2
x - y =
1
⇔
y = 2x – 1
khi 2m
≠
2
⇔
m
≠
1
i. (
d
1
):
y = 2mx + m - 1
song song với đường thẳng
1
1
3
y x= − +
khi
= − = −
h ẳ
ng - 2
x -
y = 5
⇔
y = -2x - 5
khi
= − = −
⇔
− = − = −
2 2 1
( « )
1 5 4
m m
v nghiÖm
m m
Vậy (d
1
) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5.
2
) :
x
- y
= 2 ⇔
m =
1
2
−
2. Tọa độ gia
o đ
iể
m c
ủa 2
đồ thị là
nghiệ
m c
ủa
hệ ph
ươ
ng tr
ình:
)
: 2
y - x =
1 là A(1 ; 1)
3. Cho h a
i đ
ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d
1
):
y =
(
m - 1
)
x +
ng tr
ình:
9
( )
2
1 2
2 2
2 2 2
2
x m
y m
y m x m
y
m
mx
= −
⇔
= − +
= − +
= +
ha
i thì
2 2
1
2 2 0
1 3
2 2 2 0 0( ) 1
4 4
1
1 0
m
x m
y m m m m m m
m m
<
= − <
= − + > ⇔ − + + > ∀ ⇔ <
− ≠
− ≠
i ể
m c
ố đ
ịnh t
h u
ộc ( d)
: y =
m x -
m +
1
G
iả s
ử
A(
x
0
;
1
⇔m(
x
0-1
) - y
0+
1
=
0 (*)
Phương trình (*) đúng với mọi giá trị của m
⇔
0 0
0 0
1 0 1
1 0 1
m c
ố đ
ịnh A(1;
1)
Gọi giao đ
iể
m c
ủa (d)
vớ
i tr
ục
hoà
nh là B(
b
a
−
; 0) hay B(
1m
Ta có: OA
2
=
2 2
1 1 2+ =
OB
2
=
2
2
( 1)m
m
−
OC
2
= (1 – m)
2
Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất khi d
⊥
OA tại A
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:
2 2 2
1 1 1
OA OB OC
= +
⇔
2
2 2
m
+ 1
)
2 = 0
ng các
h t
ừ O
đ ế
n đ
ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d ): y =
m x -
m +
1 lớn nhất.
5. Tọa độ gia
o đ
iể
m c
= − =
Để (d
1
), (d
2
)
và (d
3
)
đồng q
uy t
hì đườ
ng t
hẳ
ng (d
3
):
y =
,
d
2v à d
3đồng q
u y .
2.4. Bài tập tương tự:
10
Để học sinh nắm vững các dạng toán đã được nêu ở trên thì giáo viên cần
phải tìm tòi, cung cấp thêm cho học sinh nhiều bài toán để học sinh rèn luyện,
những bài tập rèn luyện là những bài toán tương tự với những bài toán đã làm và
các dạng toán mà giáo viên đã hệ thống cho học sinh.
1. Cho đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d
1
):
h ầ
n tư t
hứ
h a
i v à
đi q
u a đ
i ể
m A ( 1 ;
-
2)
2. Chứng m i
nh r ằ
ng ba
đ ư ờ
1
2
3. Tìm a
,
b
để h a
i d ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( a
+
2 )
x - b
y =
2
v à a
A
( 2;1) B (
- 2; 2
) C
(
m - 1;
m )
5. Chứng m i
nh r ằ
ng đồ t
hị h à
m s
ố
y =
3
m x =
ườ
ng t
hẳ
ng (d
1
):
y =
(
m
2+
2
m)
x và (d
2
):
ịnh a
để (d
2
)đi qua
A(3
;-1
)
b.
Tì
m cá
c
giá tr
ị c
ủa
m để (d
Tìm a
và b
b
iế
t đồ t
hị hà
m s
ố đ
i qua M
(
-
1;1) và N
(2;4
)
b. Xác định m để đồ thị hàm số (d
2
): y = (2m
A
v à v u
ô
ng g óc
v ớ
i 2
đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d
1
), (
d
2
). T
í nh khoảng cách giữa (d
1
)
v à (d
2
ình đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng đ
i q
u a
A
v à
cắ
t cá
c đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng ( d
1
),
c
ắ
t n h a
u t ạ
i điểm
có tung độ là 3
10.Tìm m để h a
i đ
ư ờ
ng t
h ẳ
ng y =
m x +
1
và y =
2x +
T N
N c
ủ a h à
m s
ố
12. Trên một
hệ tr
ục tọa
độ vu
ô
ng góc c
ó độ dà
i đơ
n vị là
c
y =
m c
ắ
t đồ thị
11
2 3y x x= + + −
thành một
hình t
h a
n g . T
ì
m m để d
i ệ
n t
í c
h hình t
số bậc nhất một ẩn và hàm số bậc hai
( )
2
a 0y x a
= ≠
cùng cách giải.
* MỘT SỐ DẠN
G T
O Á
N T
HƯỜ N
G G
Ặ
P
:
1. Chứng m i
nh đ ư ờ
ng t
h ẳ
ư ớ
c 1: L ậ
p p
h ư ơ
ng t r
ình ho à
nh độ
g i a
o đ
i ể
m : ax
2 =
a
x
-
b = 0 (
1)
n b
i ệ
t
2. Tìm g i a
o đ i ể
m c
ủ a (
P )
v à đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng y
=
a
x +
=
a
x +
b
⇔a
x
2 (
2)B
ư ớ
c 2: G
i ả
i p
h ư ơ
ng t r
ình ( 2)
- P
h ư ơ
ng tr
ình ( 2
ta
đ ư ợ
c tọa
độ g i a
o đ i ể
m
c
ủ a đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng và (P).
3. Tìm m để (
P ) t
i ế
p
x ú c
à
nh độ
g i a
o đ
i ể
m : ax
2
=
m
x +
b
⇔
= 0
B
ư ớ
c 2: L ậ
p
∆
=
(-
m)
ìm
m
v
ớ
i
m
2 +
ng
tr
ình
đ
ư
ờ
ng
t
( )
0 0
;x y
và t
iế
p
xúc
vớ
i (P
):
B
ướ
c 1: T
ha
y A(x
0
0
= mx
0
+ n (1)
12
B
ướ
c 2: Lậ
p p
hươ
ng tr
ình ho
à
nh độ
gia
o đ
iể
c
ó
∆=
0
⇔∆
= (-m)
2 +
4
a
) v à ( 2
)
g i ả
i h ệ p h
ư ơ
ng t r
ình:
= +
+ =
0 0
2
4 0
y mx n
m an
tìm được m; n.
T ừ đó s
uy r a
r
ụ c tọa
độ Ox
, Oy
:
B
ư ớ
c 1: G
ọ
i A (
x
a
;
y
a
) l à
ha
y và
o (P
) đượ
c
y
a
=a.x
a
2
⇔
2
.
a a
y a x=
⇔
2
.
a a
x a x=
(5)
Giải phương trình (5) ta tìm được nghiệm x
iể
m:
ax
2
=
m
x +
b
⇔
a
c p
h ư ơ
ng tr
ình ( 6) lu ô
n l u ô
n c
ó
một
nghiệm x
1
= k với k là h ằ
ng s
ố
v à s
uy r a
g i á t r
=
mx +
b
tạ
i đ
iể
m (k;y
1
)
Cách 2:
B
ướ
c 1: T
ì
m đ
iể
m c
c 2: T
ha
y t
ọa
độ
A(
x
0
;
y
0
) và
o (
P)
nế
u t
hỏa
m c
ố đ
ịnh v ớ
i m ọ
i m .
7. Tìm tọa
độ đ
i ể
m A t
h u ộc (
P ) s
a
o c
h o t ạ
i A đ ư ờ
ng tr
ình đ
ườ
ng t
hẳ
ng d
1s
ong s
o
ng vớ
i đường thẳng (d)
có
dạng: d
1
:
y =
h ư ơ
ng t r
ình h o à
nh đ
ộ g i a
o điểm:
a’
x +
b
’ =
a
x
2
=
(-a’)
2 + 4
a
m đượ
c tọa
độ đ
iể
m A
* MỘT SỐ VÍ DỤ
Bài 1: Cho (P): y = x
2
(d): y = -x + 2
13
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Giải
- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: x
2
= -x + 2
⇔ x
2
+ x - 2 = 0
- Giải phương trình ta được: x
1
= 1; x
2
= -2
x
1
⇒ Phương trình (P):
2
4
1
xy =
b. Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là:
01
4
1
2
=+− xx
12.
4
1
2044
044
2
21
'
2
==⇒
==⇒=−=∆
=+−
y
xx
xx
Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1)
Bài 3: Cho Parabol: y = x
2
. Xác định hệ số n để đường thẳng: y = 2x + n tiếp xúc
và đường thẳng (d): y = x + n
a. Với giá trị nào của n thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
14
b. Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) nếu n = 6
Giải
- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là:
x
2
= x + n ⇔ x
2
– x – n = 0
∆=1 + 4n
- Do (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ > 0
⇒ 1 + 4n > 0 ⇒
4
1
−>n
b. Thay n = 6 ta được: y = x + 6(d)
- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:
x
2
= x - 6 ⇔ x
2
– x – 6 = 0
∆=1 + 24 = 25
4;9
2
2
51
;3
∆
'
= 1 + b
- Vì tiếp xúc ⇒
∆
'
=0 ⇒ b = -1
Bài 6: Cho (P): y = x
2
lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;0) và tiếp
xúc với (P)
Giải
- Phương trình có dạng: y = ax + b
- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d):
x
2
= ax + b ⇔ x
2
– ax – b = 0
∆=a
2
+4b
Vì (P) và (d) tiếp xúc ⇒ ∆ = 0 ⇒ a
2
+ 4b = 0(1)
(d) đi qua điêmr A (1;0) ⇒ a + b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
Bài 7: Cho (P):
4
2
x
y =
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1;-2) và
tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm
Đáp số: y = x-1 toạ độ tiếp điểm là: (2;1)
y = -2x - 4 toạ độ tiếp điểm là: (-4;4)
Ta có thể vận dụng bài toán lập phương trình đường thẳng và bài toán tìm
giao điểm của hai đồ thị để giải bài toán sau
Bài 8: Cho (P):
2
2
1
xy =
và điểm M(-1;2). Chứng minh đường thẳng đi qua điểm
M có hệ số góc là k luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k.
Giải
- Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b
- Vì hệ số góc là k ⇒ a = k
- Vì đường thẳng đi qua M(-1;2) ⇒ -k + b = 2 ⇒ b = 2 + k
- Đường thẳng đã cho là: y = kx + 2 + k (d)
- Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:
kkkkkk
kkxx
kkxx
∀>++=+++=++=∆
=−−−⇔
++=
⇔
x
2
+ 4mx – 8m – 4 = 0 (1)
(D) tiếp xúc với (P)
⇔
phương trình (1) có nghiệm kép
⇔
′
∆
= 0
⇔
4m
2
+ 8m + 4 = 0
⇔
(2m + 2)
2
= 0
⇔
2m + 2 = 0
⇔
m = -1
Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)
3) Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua
0
2
1
x
y
=
= −
Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = -
1
4
. 2
2
= - 1
Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1)
cố định thuộc (P)
* BÀI TẬP Á P DỤN
G:
1. Viết p
h ư ơ
ng t r
ình đ ư ờ
ng t
ng t r
ình đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng s
o
ng s
o
ng v
ớ
i đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng x -
y = 1
và tiếp xúc với (
ng t
hẳ
ng y +
x =
3
4. Tìm m để ( P
)
: y
=
2 x
2 cắ
t đ ư ờ
ng t
x
a
) +
x
b
(
x
b+
1) =
2
5. Cho (P):
2
1
2
y x=và đườ
ng t
uyế
n c
ủa (P) s
o
ng s
o
ng vớ
i d
6. Cho (
P)
: y =
2x
2
. T
ìm cá
c điể
1
- 2
m c
ắ
t (P)
: y =
x
2
tạ
i ha
i đ
iểm
phân biệt thỏa
mãn
2008 2008
1 2
2x x+ =
8. Cho (P):
2
ình đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng d
c.
T
ìm đ
i ể
m M
t r ê
n c
ung A
B c
ủ a (
P ) s
h
∆
M
A
B l ớ
n n h ấ
t k
hi đ
ư ờ
ng t
h ẳ
ng q
u a M
s
ong song với
d và ti ế
l u ô
n c
ắ
t đ ư ờ
ng t
h ẳ
ng y =
2
mx +
2m + 1 tại
một đ
iể
m c
ố đ
ịnh vớ
i mọ
) . Đ
i ể
m M
c
ó h o à
nh đ
ộ
bằng a thuộc (P). a.
T
ính k
h o ả
ng cá
c
h A M t h e
o a
17
b.
:
y =
x
2s
a
o c
ho kho
ả
ng cá
c
h từ đ
iể
m đó đến
trục tung gấp
ba lầ
4
a b
x x+ =
IV. KIỂM NGHIỆM:
Trong thực tế giảng dạy trên lớp, dạy học buổi 2, việc bồi dưỡng học sinh
khá giỏi môn toán, ôn thi vào THPT, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả
cao trong việc rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán về hàm số bậc nhất cho học
sinh. Cụ thể khi tôi tổng hợp các dạng toán này và dạy cho các khóa học sinh
mới ra trường có 70% các em học sinh đã làm được các dạng toán cơ bản về
hàm số bậc nhất, 20% các em học sinh đã làm được đa số các dạng toán về hàm
số bậc nhất (có các bài toán khó), 5% học sinh làm được các dạng toán về hàm
số bậc nhất mà không cần sự gợi ý của giáo viên, có học sinh thi đậu vào các
trường THPT chuyên.
C. KẾT LUẬN.
Giảng dạy áp dụng sáng kiến trên đây đã mang lại hiệu quả của việc rèn
luyện các dạng toán cơ bản về hàm số trên lớp cũng như trong giảng dạy buổi 2,
thu được kết quả tốt trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, ôn thi vào lớp 10.
Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ
khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh, phân chia được các dạng toán cụ
thể để đưa ra các dạng bài tập cho phù hợp giúp các em làm được và gây hứng thú
cho các em, từ đó sẽ dần dần nâng cao kiến thức từ dễ đến khó. Để làm được như
vậy đối với mỗi giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài
toán hay, sát với các dạng toán đã phân chia để tung ra cho học sinh rèn luyện
các dạng bài tập đã được học.
Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ về việc bồi dưỡng các dạng toán về hàm
số bậc nhất. Rất mong bạn bè, thầy cô giáo góp ý để tôi có nhiều kinh nghiệm
tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Copyright: Tài liệu đại học ©