MỘT VÀI KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHỐI 11
TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA
HÀM SỐ
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác
trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn………Như vậy, nếu học tốt
môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc
trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho
học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn
luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận,
chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường
vùng ven không nằm trong nội ô thành phố như trường THPT Thanh Bình 1
thì chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî
häc m«n to¸n.
Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương
giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó
tiếp thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề
các đề thi học kì, đề thi đại học và cao đẳng
Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số
tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài
tập giới hạn của hàm số ”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học
tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài
tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình
giải bài tập
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã
được chứng minh, thừa nhận.
Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như
sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội
kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời
gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép
biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là
khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải
kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo
dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học
sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên
chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của
môn hình học trong đời sống.
Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên
phương tiện dạy học chưa đầy đủ.

( )
lim
x a
f x L
→
 
=
 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn:
( ) ( )
→ →
   
= =
   
lim , lim
x a x a
f x L g x M
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
± = ± = ±
     
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
( ) ( ) ( ) ( )

g x
( ) ( ) ( )
→ →
 
= = ≥ ≥
 
lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng
K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)
≤
f(x)
≤
h(x)
,x K x a∀ ∈ ≠
và
( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
     
= = ⇒ =
     
.
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x
n
), lim(x

f x L
→∞
 
=
 
.
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), mà x
n
> a
*
n∀ ∈¥
, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :
( )
lim
x a
f x
+
→
 
 
. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), x
n
< a
*
n∀ ∈¥
thì

+ −
→ →
   
   
lim , lim
x a x a
f x f x
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi
không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách
nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới
hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất
định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ
đồ tư duy sau:
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong
sơ đồ tư duy
• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM
CỦA HÀM SỐ:
( )
→
 
 
lim
x a
f x
Quan sát
chia trường
hợp
Giới hạn vô cực
Dạng 1: Dạng 2:() Dạng 3:()

lim ( )
x a
f x f a
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận:
( )
→
=
lim ( )
x a
f x f a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/.
( )
3x2Lim
2x
+
→
2/.
2
2
Lim( 5 1)
x
x
→−
+ −
.
3/.
3
1

x
→−
+ − = − + − =
3
1 3 1 2
3/Lim
2 3 2 5
x
x
x
→
− −
= =
+ +
4/
( ) ( )
( ) ( )
0
3
0
2141
11.31.2
2x4x
1x3x2
Lim
2
2
2
2
1x

2
x 3
lim 3- 4x
→
4.
x 1
x+1
lim
2x - 1
→
; 5.
2
5
x -1
x + x+1
lim
2x + 3
→
Dạng 2:
( )
( )
→
 
→
 ÷
 
0
0
.lim
x a

,x x
thì ta phân tích
= + + = − −
2
1 2
( ) ( )( )f x ax bx c a x x x x
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
− = − +
− = − + +
+ = + − +
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
A B A B A B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và
mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
− −
− = − =
+
+ +
− −
+ = + =

1 1
2/ 1 6/ 1
1
1
3/ 7/
4/ 8/
a a
a a
a
a a
a a
a a
a
a a
a b a b
a b a b
a b
a ab b
a b a b
a b a b
a b
a ab b
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:

( )
2
2 2
3
2
2

x
x
x
x
→
→
→ →
→ →
→
 
+ + −
 
 ÷
 ÷
+ − − −
 
 
+ −
 
+ −
 ÷
−
 
−
 
 ÷
−
+ −
 
+ −

x x
x x x
x x
x x x
→ → →
− +
 
+ − +
= = =
 ÷
− −
 
− + +
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
1 2
2 2 3
3/ Lim Lim Lim
1 1 1 1 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
 
+ − +

+ −
 
=
+ +
= = + + =
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0
4 9 3 4 9 3
4
5/ Lim Lim Lim
9 9
9 3
9 3 9 3
4 9 3
Lim Lim4 9 3 24
x x x
x x
x x x x
x
x
x
x x
x x
x
x

2 2
2 2 2
x x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x
x
x x
→ → →
→ →
− +
− −
= =
−
− + − +
−
= = =
+
− +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1

= = = =
+ +
− + +
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
( )
4 2
3 0
2 1
1
12 11
3
8 1 2 1
2
1
1 1
6 5 1
2
3
27
1 1
4 /
3 2 9
0 0
2 2 3 1
5/
1
5
5
1

x
1+ 2x
Lim
x
+ −
→ →
− −
→ →
− +
− − −
−
→
− +
→
−
+ −
− +
→ →
+ − +
−
−
→
→
→
1 3 2
1
1
2 2
6
3 6

4 2 5 3
2
2
1 2
9 3
4 5 3 5 1 3
3
1
3 2
1 1
1
2 3
2
7
49
x x x
15/ Lim 22/ Lim
x x
x x
x x
x x
Lim x x 23/ Lim
x
x
x x
x
x x
17/ Lim 24/ Lim
x
x x

−
+ −
→ →
−
− −
→
−
1
3 2
1
2 2
2 6 2 6 2
20/
2
3
7 3
2
4 3
2
2 1 3 2 5
2
2 2
1 2
x
m
x
x
x x x x x
Lim 27/ Lim
x

L
lim
x a
f x
g x
(với
≠
0L
) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách
thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
lúc này có dạng
 
 ÷
 
0
.
L
Phương pháp:
Bước 1: Tính
→
=lim ( )
x a
f x L

→
lim
x a
f x
g x
L > 0 g(x) > 0
+∞
L > 0 g(x) < 0
−∞
L < 0 g(x) > 0
−∞
L < 0 g(x) < 0
+∞
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
( )
( )
→ → →−
+ − +
+ +
− −
2 2
3
4 3 2
2 5 3 1
1/ lim 2/ lim 3/ lim
2 8
4 3
x x x
x x x

= +∞
−
4
2 2
4
2
4
lim 2 6 0
lim 4 0 4 0 ( 4)
2
lim
4
x
x
x
x
x va x x
x
Vay
x
( )
→
−
−
2
3
5
2/ lim
3
x

x
x
x
x va x x
x
Vay
x
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
→− →−
→−
+ +
=
+ + + + − +
+
=
+ − +
3 2
2 2
2
2
2
3 1 3 1
3/ lim lim
2 8 2 2 2 4
3 1

2 2
2 2
2
3
2
lim 3 1 5 0
lim 2 2 4 0 2 2 4 0 ( 2)
3 1
lim
2 8
x
x
x
x
x x x va x x x x
x
Vay
x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
( )
( )
( )
→ →−
→− →−
+ +
− +
+ +
+ + +

Dạng 1:
( )
( )
→∞
∞
 
→
 ÷
∞
 
lim
x
f x
g x
Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho x
k
với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng
nếu
x → +∞
thì coi như x>0, nếu
x → −∞
thì coi như x < 0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
→−∞
→+∞
+
→±∞
→−∞

1
Lim
1
x
x
x
→+∞
−
−

3/.
2
1
Lim
1
x
x
x
→+∞
−
+
4/.
2
1
Lim
1
x
x
x
→−∞

+
 
= = = =
−  
−
−
 ÷
 
2/.
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1 0
Lim Lim = Lim = =0
1
1
1 1
1
1
x x x
x
x
x x
x x

1 1
1
Lim Lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 

1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 
+
 ÷
 
   
− − − −

−
− −
5
3 2
6 4
2
3
2
2 2
3 4
2 2
3
3
2
2 3 2 1
1/ 2/
1 3 3 2 1
2 2 1 1 4
2 3 1
3/ 4/
3 5
3 4
2 1 3 8
5/ 6/
1 6 1
2 3 4 1
7/ 8/
3 1
1
14

− +
+ + +
+ −
+
2
4 2
3
2
3 1
1 2
2 3 1
11/ 12/
1 1
2 3
x
x x
x
im
x x
x x x
Lim Lim
x x
x
Dạng 2:
( ) ( ) ( )
→∞
→ ∞lim . 0.
x
f x g x
Phương pháp:

A B A B
với
≤ ≥0, 0A B
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
1
3 3
x + x -
x -1 2x+1
) lim x+ 2 2) lim x+1
x + x x + x+ 2
→ ∞ → ∞
BÀI GIẢI
( )
( ) ( )
2
2
2 2
.
1
. .
1
1
1
2
3 3
x + x + x +
3
2
3

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= = = =
   
 ÷  ÷
   
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
.
)
. .
)
3 3
x - x -
2
3
x - x -
3
2 3
3
x - x -
3
2 3
x+1 2x+1
2x+1

       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= − = −
2
2
1
2 3
1 2
1+ +
x x
−
= = −
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
( )
1 2 3
2
3
3 5 2 3 2
x + x - x -
3x+1 2x + x 2x+1
) lim 1- 2x ) lim x . ) lim x .
x +1 x - x + 3 3x x
→ ∞ → ∞ → ∞
+ +
Dạng 3:
( ) ( ) ( )
→∞
 

−
lim
x
f x g x
f x g x
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý:
≥

= =

− <

2
0
0
A neu A
A A
A neu A
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2
3/ x 1 4 / x 1

2 2 2 2
2 2
2 2
x + x +
2 2
2 2 2 2
x + x +
x + x +
2 2
x +
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x x - x x
lim lim
x x x x x x
x x
x x
lim lim
x x x x
x x x x
x
x
lim li
x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞

x
m
x x
→ ∞
+
=
+ + −
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
2
1
1 2
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x x

+ + +
= =
+ + − + + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= =
+ + − + −
 
+
 ÷
 
= =
 
+ + −
 ÷
 
2
1
1
2
1 2
1 1
x +
2
x
lim
x x
→ ∞

2
2
x + x +
2 2
2 2
x + x + x +
2
x + x + x +
2
2
x+ x x - x
lim x+ x lim
x - x
x
x - x x
x
x
lim lim lim
x - x x x - x x
x - x
x x
x x
x x
lim lim lim
x - x
x 1-
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞

x x
∞
− −
+ +
=
+∞

1 1 1 1 1
(Vi 1 1, 1 0 va 1 0)
2 2
x + x +
lim lim 1- 1-
x x x x x
→ ∞ → ∞
 
 
− − = − + + = + + <
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví du6 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2
(
)
3/ 1 1 1
1
2
2 2

 ÷
 ÷
 
(
)
(
)
(
)
( )
x 1 x 1
4 / x 1
x 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
2 2
2
2
x x

+ +
 
− −
 ÷
+ +
− −
 
= = =
+ + + +
+ +
   
− − − −
 ÷  ÷
   
= = =
 
+ +
+ +
 ÷
 
1
1
1 1
1
1
2
2
x
1+
x x

 
= + +
 ÷
 ÷
 
Tới kết quả
1
2
x
1 1
lim x 1-
x x
→ −∞
 
+ +
 ÷
 ÷
 
sẽ dẫn đến dạng vô định (0.
∞
) lại quay
về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô
định(0.
∞
) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình,
yếu
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
( )
(

x +
x +
2 2
x x +
3 2
x
1) lim x +1 - x 2) lim x + x+1 - x
3) lim x +1+ x - 1 4) lim 3x + x+1 - x 3
5) lim 3x + x +1+ x 3 6) lim 2x +1 + x
7) x + x - x +4 ) lim x + 2x + 4 - x - 2x+4
lim
) lim x 4x +9 + 2x 10) lim x x +1 - x
lim x x x
→ ∞ → ∞
→−∞ → ∞
→−∞ →−∞
→ ∞
→ ∞
→−∞ → ∞
→+∞
+ −
(
)
3
3
2 3
x
lim x+ x x
→+∞
−

x a
).Bài tập Giới
hạn một bên:
( )
+
→
 
 
lim
x a
f x
hoặc
( )
−
→
 
 
lim
x a
f x
.chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường
hợp Giới hạn tại một điểm là
( )
( )
±
→
 
→
 ÷
 

±
→
=
lim ( )
x a
f x L
(với
≠
0L
)
Bước 2: : Tính
±
→
=lim ( ) 0
x a
g x
và xét dấu biểu thức g(x) với
<x a
hoặc
>x a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
(bảng xét dấu
đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)



= = <



= < <

1
1
lim 2 3 2.1 3 1 0
lim 1 0 1 0 1
x
x
x
x va x x
Vy



= +

1
2 3
lim
1
x
x
x
+

x
x va x x
Vy



=

1
2 3
lim
1
x
x
x
Bi tp tng t:
Bi tp 7: Tớnh cỏc gii hn sau:
2 2
2 1 1
2 2
2 2
5
x x
2
x x x
x - 1 x - 1
1) lim 2) lim
x - 2 x - 2
x - 2 x -7 x -7
3) lim 4) lim ) lim

đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và
hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh tr-
ớc, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh.
phần III:kết luận kiến nghị
I/ kết luận:
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ
giúp học sinh nhìn thấy đợc những điểm yếu và những hiểu biết cha thật thấu
đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh t duy độc lập, năng lực
suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân
từ đó làm chủ đợc kiến thức, đạt đợc kết quả cao trong quá trình học tập và
các kỳ thi tuyển sinh vào các trờng đại học, cao đẳng , THCN
II/ Kiến nghị: