LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC
CẦN NHỚ MÔN TOÁN
I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
2
2
( )
( 0; , ; ; ; 4 )
f x ax bx c
b
a R S b ac
a
α β α β
= + +
≠ ∈ < = − ∆ = −
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
0
/ ( ) 0,
0
0
/ ( ) 0,
0
/ ( ) 0
0

α α
α α
α
α α
α
α
α α
α
α β
β
α β
∆ ≤

≥ ∀ ∈ ⇔

>

∆ ≤

≤ ∀ ∈ ⇔

<

< < ⇔ <


∆ >

< < ⇔ >


< < <
2
1 2
1 2
1 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
/
( ) 0
/ ( ). ( ) 0
af
x
af
af
i x x
af
x x
j f f
x x
α
β
α
α β
β
α β
α β
α β
<


α
β



∆ >

>


< < < ⇔ >



− >


− <


2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
*
3 3
*
*
0
*
0
*

a b a b
a b a b
>

⇔ >

>

> ⇔ + > +
>

⇔ >

>

<

⇔ <

>

>

⇒ + > +

>

+ > ⇔ > −
> ≥


+
≥
dấu “=” xảy ra khi a = b
*
3
3
a b c
abc
+ +
≥
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Trang 1/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):
2 2 2 2
* ( )( )ab cd a c b d+ ≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
*a b a b c b a a a b b b+ + ≤ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi
3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
= =

…….,u
n
,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
1
.
n n
u u q
−
=
b/Số hạng thứ n:
1
1
.
n
n
u u q
−
=
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1
1
( 1)
1
n
n
q
S u q
q
−

A B A B
A B
A B
A B
= ⇔ = ±
≥

= ⇔

= ±

<

< ⇔

> −

< ⇔ <
>

> ⇔

< −

6. Phương trình , bất phương trình chứa căn
thức:
2
2
2
0 ( 0)

= ⇔

=

≥

= ⇔

=

≥

< ⇔

<


≥

< ⇔ >


<

 <



≥


< ≠


= ⇔ > >



< ≠


>

> ⇔

>


− − >

8. Phương trình , bất phương trình mũ:
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
0 1
( ) ( )
*
1
/ ( ), ( )
0
*


> ⇔

− − >


Trang 2/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
9. Lũy thừa:
.
.
* . .
*
*( )
*
*
* ( . )
1
*
*
k
n
m n m
k k
n m
a a a a
a
a
a
a a

=
 ÷
 
=
=
= =
10. Logarit:0<N
1
, N
2
, N và
0 , 1a b< ≠
ta có:
2 1
log
log log
1 2
1 2 1 2
1
1 2
2
*log
*log
*
*
*log ( ) log log
*log log log
*log log
1
*log log

N N
N
N N
N N
N
N
a
b
a
α
α
α
α
= ⇔ =
=
=
=
= +
 
= −
 ÷
 
=
=
=
=
II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
2 2

=
=
=
+ =
+ =
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
x x
x x
tg x tgx
g x gx
− =
− = −
− = −
− = −
Cung bù:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
cot ( )
x x
x x
tg x tgx
g x tgx
π
π

sin( ) sin
cos( ) cos
( )
cot ( ) cot
x x
x x
tg x tgx
g x gx
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Trang 3/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
Cung hơn kém
2
π
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( ) cot
2
cot ( )
2
x x

2
2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 2cos 1
1 2sin cos sin
2
2
1
1 cos2
cos
2
1 cos 2
sin
2
x x x
x x
x x x
tgx
tg x
tg x
x
x
x
x
=
= −
= − = −
=
−

x
= −
= −
−
=
−
+
=
−
=
6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx
theo
2
x
t tg=
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
1
t
x
t

= − + +
= − − +
= − + +
b/Tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
sin( )
cot cot
sin
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
1 sin 2 (sin cos )
x x x x
x x x x
x x x
π π
π π
+ = + = −
− = − = − +
± = ±
II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:
Trang 4/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
1. Phương trình cơ bản:
( )
2
/ sin sin k Z
2
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
2
/ cos cos (k Z)
2
cos 1 2

π
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = +
= − ⇔ = − +
= ⇔ =
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = +
= − ⇔ = +
= ⇔ =
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ( )k Z
π
∈
2. Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
1

cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
có là
nghiệmkhông?
*Xét
cos 0x ≠
chia 2 vế chia cho cos
2
x
và đặt t= tgx Chú ý:
2
2
1
(1 )
cos
d d tg x
x
= +
5. Phương trình dạng:
.(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c± + + =
Cách giải: Đặt
2 2
sin cos 2 sin( ) 2 2
4
1 1
sin .cos (sin .cos )

A
bc
a c b
B
ac
a b c
C
ab
= + −
= + −
= + −
+ −
=
+ −
=
+ −
=
2. Đònh lý hàm số sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2

bc
l
b c
B
ac
l
a c
C
ab
l
a b
=
+
=
+
=
+
Trang 5/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
5. Công thức tính diện tích tam giác:
1 1 1
. . .
2 2 2
1 1 1
.sin .sin .sin
2 2 2
.
4
( )( )( )
a b c

8/( )'
9 /( )' ln
1
10 /(ln )'
1
11/(log )'
.ln
x x
x x
a
x x
x
x
x x
x x
x x
tgx
x
gx
x
e e
a a a
x
x
x
x a
α α
α
−
=

sin
19 /( )' '
20 /( )' ' ln
'
21/(ln )'
'
22 /(log )'
.ln
u u
u u
a
u u u
u
u
u
u
u u
u u u
u u u
u
tgu
u
u
gu
u
e u e
a u a a
u
u
u

x dx C
dx
x C
x
dx
C
x x
e dx e C
α
α
α
α
+
= +
= + ≠
+
= +
= − +
= +
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
ln
cos sin
sin cos
cos

∫
3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể
tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình
phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:
( ) ( )
( ) ( )
a
b
a
b
S f x g x dx
S f y g y dy
= −
= −
∫
∫
-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
2 2
( ) ( )
a
b
V f x g x dx
π
= −
∫
*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
2 2

r
thường được ký
hiệu là T hoặc
u
T
r
. Vectơ
u
r
được gọi là
vectơ tònh tiến.
• Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai điểm
M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì
M’N’ = MN
Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
Trang 6/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, biến góc thành góc bằng nó.
• Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép
tònh tiến theo vectơ
u

xứng qua đường thẳng a là phép phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua a
• Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời
hình
• Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
'
'
x x
y y
=


= −

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
'
'
x x
y y
= −


=


• Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,
cho phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó
ta có:
' 2
' 2
x a x
y b y
= −


= −

• Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là
tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối
xứng tâm Đ
o
biến hình H thành chính nó, tức
là Đ
o
(H) = H
HAI HÌNH BẰNG NHAU:
• Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác
bằng nhau thì có phép dời hình biến tam
giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam
giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời
hình biến tam giác này thành tam giác kia.
Trang 7/13

M
y ky
y
k
−

=


−

−

=

−

*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
2
2
A B
I
A B
I
x x
x
I
y y
y

+ +

=


*Cho tam giác ABC có
1 2 1 2
1 2 2 1
( ; ), ( ; )
1
2
ABC
AB a a AC b b
S a b a b
∆
= =
⇒ = −
uuur uuur
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng
∆
:
-Phương trình tổng quát:
0Ax By C+ + =
Vectơ pháp tuyến
2 2
( ; ); 0n A B A B= + ≠
r
-Phương trình tham số:
0

∆
qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
0
' ' ' 0
Ax By C
A x B y C
+ + =
+ + =
2 2 2 2
. ' . '
. ' '
A A B B
Cos
A B A B
ϕ
+
=
+ +
c/Khoảng cách từ một điểm
0 0
( ; )M x y
đến đường
thẳng:
0 0
/
2 2
M
Ax By C
d

Hai điểm M(x
1
; y
1
) và M’(x
2
; y
2
) nằm khác phía so
với
∆
1 2
. 0t t⇔ <
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
' ' '
( ; )
' '
Ax By C A x B y C
t t
A B A B
+ + + +
= =
+ +
3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và
bán kính R
( ) ( )

1
x y
a b
+ =
2 2 2
( );a b c a b> = −
-Tiêu điểm: F
1
(-c; 0) , F
2
(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A
1
(-a; 0) , A
2
(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B
1
(0; -b) , B
2
(0; b)
-Tâm sai :
1
c
e
a
= <
Trang 8/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
-Phương trình đường chuẩn:

2 2
1
x y
a b
+ =
và
∆
:
0Ax By C+ + =
là:
2 2 2 2 2
A a B b C+ =
5/Hypebol:
a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2 2 2
c a b= +
-Tiêu điểm: F
1
(-c; 0) , F
2
(c; 0)
-Đỉnh: A
1
(-a; 0) , A

0
; y
0
)
( )E∈
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
-Điều kiện tiếp xúc của
(E):
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và
∆
:
0Ax By C+ + =
là:
2 2 2 2 2
A a B b C− =
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
2
( ) : 2P y px=

( '; '; ')
u x y z
v x y z
=
=
r
r
, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=
 ÷
 
 
r r
Các ứng dụng:
-
,u v
r r
cùng phương
, 0u v
 
⇔ =
 
r r r
-

b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
2 2 2
0
( ; ; ) ( 0)
Ax By Cz D
n A B C A B C
+ + + =
= + + ≠
r
Dạng 2:
0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
( , , ), ( ; ; )
A x x B y y C z z
n A B C M x y z
− + − + − =
=
r
-Phương trình mặt phẳng chắn:
1
x y z
a b c
+ + =
((
α
) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt

+ + + =
+ + + =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ : : ': ': '
/
' ' ' '
/ //
' ' ' '
α β
α β
α β
∩ = ⇔ ≠
≡ ⇔ = = =
⇔ = = ≠
a d A B C A B C
A B C D
b
A B B D
A B C D
c
A B C D
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =

2 2 2
( 0)
x x y y z z
a b c
a b c
− − −
= =
+ + ≠
4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vectơ
chỉ phương là
( ; ; )u a b c=
r
và đường thẳng d’ qua
0 0 0 0
' ( ' ; ' ; ' )M x y z
và có vectơ chỉ phương là
' ( '; '; ')u a b c=
ur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0

≡ ⇔ = = − − −
 
∉ ⇔ ≠
 
r ur uuuuuuur
r ur uuuuuuur
P
r ur uuuuuuur
5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian: trong không gian cho :
( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
:
: 0
/ 0
0
/
0
0
/
0
x x y y z z
d
a b c
Ax By Cz D

( )
0 0 0 0
0 0 0
( / )
2 2 2
( ; ; )
: 0
M
M x y z
Ax By Cz D
Ax By Cz D
d
A B C
α
α
+ + + =
+ + +
⇒ =
+ +
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
1 1 1 1
0 0 0
( ; ; )
:
M x y z
x x y y z z
d
a b c
− − −

u u M M
d
u u
∆ ∆
− − −
∆ = =
− −
−
∆ = =
 
 
⇒ =
 
 
r ur uuuuuuuur
r ur
7/ Góc :
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
2 2 2 2 2 2
: ( ; ; )
': ' ( ', ', ')
. '
' ' '
cos
. '
' ' '
d u a b c

Aa Bb Cc
A B C a b c
α
ϕ
ϕ
=
=
< <
+ +
=
+ + + +
r
r
- Góc giữa hai mặt phẳng:
( )
( )
2 2 2 2 2 2
: 0
: ' ' ' ' 0
' ' '
cos
' ' '
AX By Cz D
A x B y C z D
AA BB CC
A B C A B C
α
β
ϕ
+ + + =

1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
nhau
A a b= ∩
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng
( ) ( )ABC
α
=
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng
( ) ( , )a A
α
=
c/ Hai đường thẳng cắt nhau
( ) ( , )a b
α
=
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’
( ) ( , ')a a
α
=
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng
α
thì d song song
với mặt phẳng

chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song
với
β
thì
//
α β
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai
và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt
phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)
thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ
vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc
chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một
mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì
song song nhau.
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc
với (P)
Trang 11/13
LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào

α
α
⊥




∈

Ta có
OA D HA D
⊥ ⇔ ⊥
O
d
H A

α

Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH d
⊥
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng
α
là độ dài
đoạn
OH

thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai
đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường
thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d
1
và d
2
:
- Dựng mặt phẳng
α
chứa d
2
và song song với d
1
- Tìm hình chiếu d’ của d
1
lên
α
, d’ cắt d
2
tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với
α
cắt d
1

xq
2
anh hình trụ: S 2
5/ Diện tích toàn phần hình trụ: S S 2
6/ Thể tích hình trụ: V= R
7/ Diện tích xung quanh hình nón: S
1
8/Thể tích hình nón V=
3
9/ Diện tích xung quan
đáy
Rh
S
h
Ra
R h
π
π
π
π
=
= +
=
( )
( )
xq
2 2
2
xq
3

k
n
n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
-Tổ hợp:
( )
!
! !
k
n
n
C
n k k
=
−
-Các hệ thức cần nhớ:
( )
( )
( )
1
1 1
! 1 !
0
0
k n k
n n
k k k

0 1 2
2
( 1) ( 1) 0
n n
n n n n
k k n n
n n n n n
C C C C
C C C C C
+ + + + =
− + − + − + + − =
Trang 13/13