“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà
người thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi
hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những
nguyên tắc đúng đắn. Người học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải
thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác.
Nhưng nếu Học sinh đứng một mình trước một bài toán mà không có
giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được.
Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải
làm. Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và
như vậy để học sinh có một công việc hợp lý.
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học
cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phương
trình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường được thiết kế
dưới ý tưởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó.
Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là sự phối hợp
nhiều luồng kiến thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi người làm
toán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng.
Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức,
đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp
toán học.
Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp
lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một
cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học
tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,
gọn và tiết kiệm được thời gian .

I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.4.1. Cơ sở lí lụân
Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa
mang tính nghệ thuật. Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực
sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích
cực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo
cho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phương trình hệ
phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ
thuộc vào năng lực sư phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp người
giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để
làm sao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu,
phù hợp với khả năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trường
THCS là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và
phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến
tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là
trong năm học này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc
vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thì
việc tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em
có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến
trường là một niềm vui”
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
I.4.2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi
có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn
Toán, Toán trên máy tính tại trường THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:
- Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng

trí lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa
học hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới.
II.1.2. Một số tồn tại và nguyên nhân
Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng trong hai khối 8 và
khối 9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học
sinh còn thiếu động cơ học tập, lười học, không tích cực học tập vì
cho rằng đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy
việc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn
nữa những học sinh trên ít được sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi
hỏi sự cố gắng tận tâm của người thầy dần giúp các em hòa nhập với
khả năng nhận thức chung cuả môn học.
II.13. Vấn đề đặt ra
Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp
dùng bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ
năng mới cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua bài tập là
quan trọng để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn. Với học sinh
họat động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu được
qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khi
được vận dụng thường xuyên.
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong
phú, hấp dẫn.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt
nhất kiến thức đã học.
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
II.2.ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY
II.2.1.CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy
21
21
≥
++
Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
=a
2
= =a
n
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Bất đẳng thức được chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ.
Phương trình, hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng
thức cauchy rất phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình
mong rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
5.63.42.24 −+−+−=+++ zyxzyx
(Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993
-1994)
* Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: x ≥ 2 ; y ≥ 3 ; z ≥ 5.
Áp dụng Bất đẳng thưc Cauchy, ta có:
1222 +−≤− xx
(1)
4334

2
+1 ; 2 ta
có:
3442)14(42).14(4346
22
3
3
3
3
++=+++≤+=+ xxxxxxxx
=> 16x
3
+ 5 ≤ 4x
2
+ 4x + 3
⇔ 8x
3
+ 2x
2
- 2x + 1 ≤ 0
⇔ (2x-1)
2
. (2x
2
+ 2x + 1) ≤ 0
⇔ (2x - 1)
2
≤ 0, vì (2x - 1)
2
≥ 0, nên x = 1/2 thỏa mãn

2
2
2
=+++
y
y
x
x
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=≥++
x
xx
x
xx
3
1
3
1

tạo ra nhiều bài hay và khó hơn.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :
y
x
x
=
+
2
2
1
2
z
y
y
=
+
2
2
1
2
x
z
z
=
+
2
2
1
2
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II

1
2
;
z
z
z
≤
+
2
2
1
2
Vậy từ hệ phương trình
ta có:
y ≤ x ≤ z ≤ y do đó x = y = z . Giải ra ta có: x = y = z = 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1,
1)}
Nhận xét: Đây là hệ phương trình có dạng hoán vị, ngoài cách
giải trên, bài toán còn cách giải khác. Tuy nhiên cách giải trên ngắn
gọn, phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem
lại lời giải hay, độc đáo.
II)- Áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.
1- Kiến thức:
Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến
Bất đẳng thức Binhiacôpski. Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với
học sinh, được sử dụng như một công cụ, trong phần này chúng ta
nghiên cứu dưới dạng ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình
không mẫu mực. Trước hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski.
Giả sử: a
1

22
2
2
1 nn
bbbaaa ++++++
.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Và dấu bằng xảy ra khi:
n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
==
Bất đẳng thức được chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày cách chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ:
Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phương
trình, hệ phương trình thường phong phú và đa dạng. Khi giải dạng
toán bằng phương pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các
cặp số. Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:

−=−
x
xx
⇔
0107
3
2
=+−
≥
xx
x
⇔ x = 5 (loại x = 2 < 3). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x = 5.
Nhận xét: Nhận biết hai bộ s
3;1 −− xx
và 1; 1 để dùng bất đẳng
thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó. Bài
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn, Chúng
ta có thể tạo ra những bài toán tương tự.
Ví dụ 2: Giải phương trình
381257
2
+−=−+− xxxx
(Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: 5 ≤ x ≤ 7.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Vế trái:

Cách thiết lế những bài toán như vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồng
kiến thức của học sinh.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
92
)(26)43(
333
2222
=++
++=++
zyx
zyzyx
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
))(431()43(
2222222
xyxzyx ++++≤++
⇒
)(26)43(
2222
xyxzyx ++≤++
(1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi
431
zyx
==
kết hợp với hệ phương trình ta
tìm được nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).
Nhận xét: Đây là hệ phương trình không mẫu mực. Để phát hiện

2
200621
2
1 11
2006
2007
.2006 xxx ++++++=
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
)1 11)(1 11(
200621
xxx +++++++++≤
) 2006.(20062007.2006
200621
xxx ++++≤
⇒
1
200621
≥+++ xxx
(1)
( )
2
200621
2
1 11
2006
2005
.2006 xxx −++−+−=
) 2006.(20062005.2006
200621

2
= … x
2006
= 1/2006
Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất
đẳng thức. Cách đánh giá liên lục hai phương trình rồi so sánh với
nhau đòi hỏi người giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén
trong vận dụng bất đẳng thức nói chung.
Tổng quát ta có bài toán sau:
n
kn
nxxx
n
kn
nxxx
n
n
−
=−+−++−
+
=++++++
.1 11
.1 11
21
21
III)- Giải phương trình bằng cách đánh giá các ẩn
1- Kiến thức:
Nhiều bài toán tưởng chừng không giải được , thật bất ngờ
chung ta chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phương trình thì bài
toán cho ta một lời giải thú vị đến bất ngờ.

2
2
2
2
+−
++
++
=
++
++
xx
xx
xx
xx
=
123
)2(
2
2
++
−
−
xx
x
≤ 7
Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)
* Xét vế phải: y
2
+ 2 (2x - 3) y + 5x
2

- Nếu x > y thì:
xyyx −+>−+ 19981998
=> Vô lý
- Vậy x = y ta có hệ phương trình:
19981998 =−+ xx
Bình phương hai vế:
19981998)1998(2 =−+−+ xxxx
⇔ x = 0 , x = 1998.
Vậy phương trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ;
1998)}.
Nhận xét: Bài toán có vai trò bình đẳng. Bằng sự đánh giá giữa
hai ẩn, ta tìm được x = y là then chốt của bài. ý tưởng này được sử
dụng rộng trong các bài chứa ẩn có vai trò như nhau.
IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.
1- Kiến thức
Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng
đa dạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét
chính, những kiến thức kinh điển. Trong mục này chúng ta xét thêm
một số kỹ thuật khác mà tưởng chừng như đơn giản song đôi khi lại
gặp khó khăn. Một số chú ý là:
- Điều kiện của bài toán.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Tính chất của lũy thừa, 0 ≤ a ≤ 1, m > n > 0 => a
m
≤ a
n
≤ 1
1 ≤ a; m < m => a
m

chỉ cần sử dụng điều kiện của bài như một nhận xét là tìm được lời
giải. bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhưng dài và
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
không đẹp Vì vậy trước khi giải hệ phương trình vô tỷ nên quan tâm
đến điều kiện ẩn số.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
1
20062006
=+ yx
(1)
1
20072007
=+ yx
(2)
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 => 1 - x ≥ 0,1 -y ≥ 0.
Lấy phương trình (1) trừ đi (2) vế với vế, ta có:
0)1()1(
20062006
=−+− yyxx
Mà
0)1()1(
20062006
≥−+− yyxx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0
Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0.
Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0 ≤ a
≤ 1, m > n > 0 =>a
m

-x + 1 > 0 => x ≥ 0 ⇔s - 1 ≤ x ≤ 2.
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
AA −≥
dấu bằng xảy ra khi A ≤ 0
x
2
-x + 1 > 0 => |x
2
-x + 1| = x
2
-x + 1.
|x
2
-x - 2| ≥ (-x
2
- x - 2).
|x
2
-x + 1| + |x
2
-x - 2| ≥ x
2
-x + 1 - (x
2
-x - 2) = 3
Đẳng thức xảy ra khi: x
2
-x - 2 ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 2.
Nhận xét: Thông thường học sinh dùng phương án phá dấu giá
trị tuyệt đối. Nhưng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa

sinh nhìn nhận một dạng toán dưới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu
sắc khác nhau trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.
- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên
quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định
hướng tìm tòi lời giải trước một bài toán. Từ đó giúp học sinh có thói
quen giải toán theo một trình tự khoa học.
- Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng Giúp cho
học sinh và giáo viên có một tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học
toán học với việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trường phổ
thông hiện nay.
- Hình thành ở học sinh thói quen khai thác kiến thức cơ bản trong
chương trình theo chiều sâu. Giúp cho các em có được tư duy sâu sắc
linh hoạt, độc lập sáng tạo trong quá trình giải toán.
- Giúp cho học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương
pháp, kỹ năng giải cho từng loại tạo điều kiện cho các em nhìn nhận
một vấn đề toán học (phương trình) dưới con mắt hoàn thiện hơn.
- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải
cho một bài toán …phát huy được tích cực suy nghĩ trong quá trình
giải toán.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất như tính độc lập
kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi và giúp các em hoàn thiện dần các
phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trong quá trình học toán ở nhà
trường phổ thông.
- Phát huy được đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô
điểm cho việc đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập của giáo
viên và học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học của học sinh làm
trung tâm " từ đó nâng cao từng bước chất lượng học tập môn toán
cho các em.

thức với nhau mật thiết hơn, thực sự bồi bổ các “chất toán” cho các
em tốt hơn trong các môn học khác cũng như trong cuộc sống.
- Nhiều học sinh của huyện khi được học, đã thành công nhiều
trong kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào các trường chất lượng cao trong
những năm gần đây.
Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là một dạng toán
khó, đa dạng, thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
các cấp, cũng như thi vào các lớp chất lượng cao. Các bài toán như
vậy luôn là vấn đề nan giải đối với hầu hết học sinh nói chung, học
sinh khá giỏi nói riêng.
Trong một số năm qua, bằng sự trăn trở để tìm ra ý tưởng cho
những bài toán hay và khó này,tôi đã tìm tòi, phân dạng để giảng dạy
nhằm mục đích truyền đạt hiệu quả nhất đến với học sinh.
Thật bất ngờ, khi giảng dạy chuyên đề này, tôi thấy học sinh rất
say mê mỗi khi tự mình khám phá ra lời giải. Bước đầu đã làm cho
học sinh khám phá, tự tìm các kiến thức có liên quan để giải. Qua đây,
tôi cũng thấy kiến thức toán học sinh được nâng nhiều phần khác
nhau.
Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phương trình,
hệ phương trình là một ứng dụng lớn. Sự phân chia như trên chỉ là ý
tưởng của tôi còn nhiều phần chưa nêu hết, Đề tài này hy vọng giúp
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
chúng ta phần nào khó khăn trong giảng dạy và hy vọng các bạn đồng
nghiệp nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này chưa nêu được.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh
nghiệm và cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí
do còn hạn chế về kiến thức cũng như phương pháp nên bản đề tài
chắc không thể tránh khỏi thiếu xót.Tôi mong được sự đóng góp, bổ
sung.