NGUYỄN CHÁNH TÚ
Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế
Giáo trình điện tử
LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ
GALOIS
Huế 12-2006
D
¯
A
˘
˙
C TÍNH KY
˜
THUA
ˆ
˙
T
• Có the
ˆ
’
tra cu
´
’
u d
¯
e
ˆ
´
n tu
`
’

˙
u tham kha
’
o
(305).
• Có siêu liên ke
ˆ
´
t d
¯
e
ˆ
’
tra cu
´
’
u các thua
ˆ
˙
t ngu
˜
’
hoa
˘
˙
c no
ˆ
˙
i dung cu
˙

• Có siêu liên ke
ˆ
´
t d
¯
e
ˆ
’
tham kha
’
o nhanh hu
’
o
´
’
ng da
ˆ
˜
n gia
’
i cu
’
a tu
`
’
ng bài ta
ˆ
˙
p (250).
• Có the

i chu
´
’
c na
˘
ng View|Full Screen.
ii
MU
˙
C LU
˙
C
LO
`
’
I NÓI D
¯
A
ˆ
`
U ix
HU
’
O
´
’
NG DA
ˆ
˜
N SU

c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
b) Cuo
ˆ
˙
c d
¯
o
`
’
i cu
’
a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chu
’
o
’
ng 0 KIE
ˆ
´
N THU
´
’
C CHUA
ˆ
’
N BI
˙
21
0.1 Tru
’

ˆ
´
nhóm hu
˜
’
u ha
˙
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chu
’
o
’
ng 1 MO
’
’
RO
ˆ
˙
NG TRU
’
O
`
’
NG 45
§1 Mo

ro
ˆ
˙
ng tru
’
o
`
’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2 Ba
ˆ
˙
c cu
’
a mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng tru
’
o
`
’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

’
a mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng d
¯
o
’
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§3 Mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng hu
˜
’
u ha
˙
n và mo
’
’

ro
ˆ
˙
ng d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
. . . . . 69
iv
3.2 Tru
’
o
`
’
ng con các pha
ˆ
`
n tu
’
’
d
¯
a
˙
i so
ˆ
´

˙
’
ng hình ba
˘
`
ng thu
’
o
´
’
c ke
’
và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Ba bài toán du
˙
’
ng hình co
ˆ
’
d
¯
ie
ˆ
’
n . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 D
¯
ie
ˆ
`

c ba
˘
`
ng thu
’
o
´
’
c
ke
’
và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§5 Tru
’
o
`
’
ng phân rã cu
’
a mo
ˆ
˙
t d
¯
a thu
´

5.2 D
¯
a thu
´
’
c tách d
¯
u
’
o
˙
’
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Chu
’
o
’
ng 2 LÍ THUYE
ˆ
´
T GALOIS 109
§6 Tu
˙
’
d
¯

a
˘
’
ng ca
ˆ
´
u cu
’
a mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng tru
’
o
`
’
ng . . . . . . . . . 110
v
6.2 Tru
’
o
`
’
ng trung gian cu
’
a mo
’

n ta
˘
´
c và Galois . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1 Mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng tách d
¯
u
’
o
˙
’
c và d
¯
i
˙
nh lí pha
ˆ
`
n tu
’
’
nguyên thu
’
y . . . . . 124

n cu
’
a Lí thuye
ˆ
´
t Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§9 Mo
ˆ
˙
t so
ˆ
´
u
´
’
ng du
˙
ng cu
’
a Lí thuye
ˆ
´
t Galois . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.1 Tru
’
o

e
ˆ
`
u du
˙
’
ng d
¯
u
’
o
˙
’
c ba
˘
`
ng thu
’
o
´
’
c ke
’
và compa . . . . . . . 169
9.4 D
¯
i
˙
nh lí co
’

c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
vi
10.2 Nhóm Galois cu
’
a d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3 D
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.4 D
¯
a thu
´
’
c to
ˆ
’

´
’
c . . . . . . . . . 201
11.1 Mo
’
’
ro
ˆ
˙
ng ca
˘
n và tiêu chua
ˆ
’
n gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’
c . . . . . . . . . . . . . 201
11.2 Tính không gia
’
i d
¯
u
’

c cu
’
a các d
¯
a thu
´
’
c to
ˆ
’
ng quát có ba
ˆ
˙
c không quá 4213
Bài ta
ˆ
˙
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
PHU
˙
LU
˙
C 223
A Nhóm gia
’
i d
¯
u
’
o

t tru
’
o
`
’
ng . . . . . . . . . . . . . . . 242
D So
’
lu
’
o
˙
’
c ve
ˆ
`
Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
HU
’
O
´
’
NG DA
ˆ
˜
N GIA
’
I BÀI TA
ˆ
˙

A
ˆ
`
U
Lí thuye
ˆ
´
t Galois là mo
ˆ
˙
t trong nhu
˜
’
ng lí thuye
ˆ
´
t d
¯
e
˙
p d
¯
e
˜
nha
ˆ
´
t cu
’
a d

nh vu
˙
’
c toán ho
˙
c khác nhau, nha
˘
`
m gia
’
i
quye
ˆ
´
t các bài toán co
ˆ
’
d
¯
ie
ˆ
’
n và nhu
˜
’
ng va
ˆ
´
n d
¯

’
ng du
˙
ng chu
’
ye
ˆ
´
u cu
’
a Lí thuye
ˆ
´
t Galois là gia
’
i quye
ˆ
´
t bài toán
tìm nghie
ˆ
˙
m ca
˘
n thu
´
’
c cu
’
a phu

´
’
n ho
’
n bo
ˆ
´
n không the
ˆ
’
gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’
c ba
˘
`
ng ca
˘
n thu
´
’
c. Ma
˘
˙

ng thu
’
o
´
’
c ke
’
và compa. Bên ca
˙
nh
d
¯
ó, chúng ta nha
ˆ
˙
n d
¯
u
’
o
˙
’
c tu
`
’
Lí thuye
ˆ
´
t Galois lo
`

ˆ
˙
t góc, ga
ˆ
´
p d
¯
ôi hình la
ˆ
˙
p
phu
’
o
’
ng hoa
˘
˙
c ca
ˆ
`
u phu
’
o
’
ng d
¯
u
’
o

u
’
o
˙
’
c Bo
ˆ
˙
Giáo du
˙
c và d
¯
ào ta
˙
o d
¯
u
’
a vào trong chu
’
o
’
ng trình chính thu
´
’
c cu
’
a
khoa Toán các tru
’

pha
˙
m. Ho
’
n the
ˆ
´
, Lí thuye
ˆ
´
t Galois cu
˜
ng d
¯
u
’
o
˙
’
c gia
’
ng da
˙
y cho các lo
´
’
p Cao Ho
˙
c, xem
nhu

ng nghiên cu
´
’
u lí thuye
ˆ
´
t và u
´
’
ng
du
˙
ng sâu sa
˘
´
c ho
’
n.
ix
Giáo trình này ra d
¯
o
`
’
i trên co
’
so
’
’
bài gia

˘
m tru
˙
’
c tie
ˆ
´
p gia
’
ng da
˙
y môn ho
˙
c này.
Trong quá trình d
¯
ó, ba
’
n tha
’
o d
¯
u
’
o
˙
’
c chı
’
nh su

o, vu
`
’
a d
¯
áp u
´
’
ng nhu ca
ˆ
`
u su
’
’
du
˙
ng các công
cu
˙
mo
´
’
i cu
’
a d
¯
a
˙
i so
ˆ

’
o. Vì the
ˆ
´
, giáo trình ra d
¯
o
`
’
i, tru
’
o
´
’
c he
ˆ
´
t,
nha
˘
`
m d
¯
áp u
´
’
ng nhu ca
ˆ
`
u su

ˆ
˙
t tài lie
ˆ
˙
u tham kha
’
o bo
ˆ
’
ích cho
giáo viên pho
ˆ
’
thông trung ho
˙
c và ho
˙
c sinh gio
’
i. Ho
˙
có the
ˆ
’
tìm tha
ˆ
´
y trong giáo trình
này co

a
thu
´
’
c, cu
’
a các bài toán du
˙
’
ng hình ba
˘
`
ng thu
’
o
´
’
c ke
’
và compa, nhu
˜
’
ng kie
ˆ
´
n thu
´
’
c ve
ˆ

˜
’
ng he
ˆ
˙
tho
ˆ
´
ng tính toán d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
ma
˙
nh me
˜
và pho
ˆ
’
bie
ˆ
´
n nha
ˆ
´
t hie
ˆ

ˆ
˜
tro
˙
’
d
¯
a
˘
´
c lu
˙
’
c cu
’
a pha
ˆ
`
n me
ˆ
`
m này cho các giáo viên pho
ˆ
’
thông, cho
sinh viên và ho
˙
c sinh trong hoa
˙
t d

c d
¯
a
’
m ba
’
o d
¯
a
ˆ
`
y d
¯
u
’
và cha
˘
˙
t che
˜
cu
’
a kie
ˆ
´
n
thu
´
’
c. D

´
n thu
´
’
c co
’
so
’
’
cu
’
a d
¯
a
˙
i
so
ˆ
´
tuye
ˆ
´
n tính, lôgic, d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
d

˙
i ho
˙
c hoa
˘
˙
c Cao d
¯
a
˘
’
ng. Ngoài nhu
˜
’
ng kie
ˆ
´
n thu
´
’
c d
¯
ó, nhu
˜
’
ng khái nie
ˆ
˙
m mo
´

`
u d
¯
u
’
o
˙
’
c chu
´
’
ng minh d
¯
a
ˆ
`
y d
¯
u
’
. Pha
ˆ
`
n kie
ˆ
´
n thu
´
’
c

’
o
’
ng trình D
¯
a
˙
i ho
˙
c,
Cao d
¯
a
˘
’
ng, se
˜
d
¯
u
’
o
˙
’
c gio
´
’
i thie
ˆ
˙

ˆ
˙
p tu
`
’
de
ˆ
˜
d
¯
e
ˆ
´
n khó, ba
˘
´
t d
¯
a
ˆ
`
u tu
`
’
bài tra
˘
´
c
nghie
ˆ

ˆ
˙
m và
ke
ˆ
´
t qua
’
chu
’
ye
ˆ
´
u. Ga
ˆ
`
n 150 bài ta
ˆ
˙
p trong giáo trình d
¯
e
ˆ
`
u có pha
ˆ
`
n hu
’
o

có the
ˆ
’
tu
˙
’
ho
˙
c. Qua thu
˙
’
c te
ˆ
´
gia
’
ng da
˙
y, tác gia
’
cho ra
˘
`
ng
vie
ˆ
˙
c da
˙
y-ho

`
n khai thác su
˙
’
ho
ˆ
˜
tro
˙
’
hie
ˆ
˙
u qua
’
cu
’
a các pha
ˆ
`
n me
ˆ
`
m toán ho
˙
c. Có su
˙
’
ho
ˆ

’
ng giáo du
˙
c d
¯
u
’
o
˙
’
c ca
’
i thie
ˆ
˙
n rõ
re
ˆ
˙
t. Cùng vo
´
’
i vie
ˆ
˙
c na
˘
´
m vu
˜

i ho
˙
c ca
ˆ
`
n bie
ˆ
´
t su
’
’
du
˙
ng các pha
ˆ
`
n me
ˆ
`
m ho
ˆ
˜
tro
˙
’
cho các mu
˙
c d
¯
ích

o
’
n gia
’
n vo
´
’
i su
˙
’
tro
˙
’
giúp cu
’
a các pha
ˆ
`
n me
ˆ
`
m toán ho
˙
c. Trên tinh tha
ˆ
`
n d
¯
ó,
o

ng Maple.
D
¯
e
ˆ
’
hoàn thành giáo trình này, tác gia
’
d
¯
ã nha
ˆ
˙
n d
¯
u
’
o
˙
’
c su
˙
’
ho
ˆ
˜
tro
˙
’
cu

u tha
ˆ
`
y cô, d
¯
o
ˆ
`
ng nghie
ˆ
˙
p và ba
˙
n bè cu
˜
ng d
¯
ã d
¯
óng góp nhie
ˆ
`
u ý kie
ˆ
´
n quý
báu trong quá trình biên soa
˙
n. Nhân di
˙

c d
¯
e
ˆ
´
n các tha
ˆ
`
y cô, d
¯
o
ˆ
`
ng nghie
ˆ
˙
p, ba
˙
n bè và sinh viên ve
ˆ
`
nhu
˜
’
ng giúp d
¯
o
˜
’
vô giá trên.

n ne
ˆ
´
u nha
ˆ
˙
n d
¯
u
’
o
˙
’
c nhu
˜
’
ng ý kie
ˆ
´
n d
¯
óng góp, bình lua
ˆ
˙
n và nhu
˜
’
ng
phát hie
ˆ

’
’
i ve
ˆ
`
d
¯
i
˙
a chı
’
: TS. Nguye
ˆ
˜
n Chánh Tú, Khoa Toán, Tru
’
o
`
’
ng D
¯
a
˙
i ho
˙
c su
’
pha
˙
m

’
DU
˙
NG
Lí thuye
ˆ
´
t Galois có nhie
ˆ
`
u cách tie
ˆ
´
p ca
ˆ
˙
n khác nhau. Mo
ˆ
˙
t cách tie
ˆ
´
p ca
ˆ
˙
n có nhie
ˆ
`
u
u

¯
ie
ˆ
’
m d
¯
ó cu
’
a Bo
ˆ
˙
Giáo du
˙
c và d
¯
ào ta
˙
o d
¯
u
’
o
˙
’
c chúng tôi tho
ˆ
´
ng nha
ˆ
´

ng và
Lí thuye
ˆ
´
t Galois. Mo
ˆ
˜
i chu
’
o
’
ng d
¯
u
’
o
˙
’
c chia ra thành các tie
ˆ
´
t (§) tu
’
o
’
ng u
´
’
ng vo
´

’
o
’
ng
0), nha
˘
`
m nha
˘
´
c la
˙
i nhu
˜
’
ng kie
ˆ
´
n thu
´
’
c cu
˜
chu
’
ye
ˆ
´
u có liên quan sau này. Giáo trình co
ˆ

p môn ho
˙
c. Tuy
nhiên tùy theo mu
˙
c d
¯
ích mà d
¯
o
ˆ
˙
c gia
’
có the
ˆ
’
su
’
’
du
˙
ng theo mo
ˆ
˙
t thu
´
’
tu
˙

n tu
˙
’
mình gia
’
i quye
ˆ
´
t các bài
ta
ˆ
˙
p cuo
ˆ
´
i tie
ˆ
´
t và tra
’
lo
`
’
i bài ta
ˆ
˙
p tra
˘
´
c nghie

u
’
o
˙
’
c sa
˘
´
p xe
ˆ
´
p tu
`
’
de
ˆ
˜
d
¯
e
ˆ
´
n khó ; nhu
˜
’
ng bài ta
ˆ
˙
p (*) d
¯

c gia
’
nên khai thác su
’
’
du
˙
ng Maple
thông qua các ví du
˙
và no
ˆ
˙
i dung cu
˙
the
ˆ
’
trong giáo trình.
Tu
`
’
(§ 8), giáo trình su
’
’
du
˙
ng thêm các kie
ˆ
´

ng kie
ˆ
´
n thu
´
’
c này d
¯
u
’
o
˙
’
c trình bày chi tie
ˆ
´
t trong Phu
˙
lu
˙
c.
Các d
¯
i
˙
nh lí, me
ˆ
˙
nh d
¯

’
ng tie
ˆ
´
t, ví du
˙
“Me
ˆ
˙
nh d
¯
e
ˆ
`
2.3” na
˘
`
m trong §2 và d
¯
u
’
o
˙
’
c trích da
ˆ
˜
n là “Me
ˆ
˙

c d
¯
ánh so
ˆ
´
tu
`
’
d
¯
a
ˆ
`
u d
¯
e
ˆ
´
n cuo
ˆ
´
i giáo trình ve
ˆ
`
bên pha
’
i,
ví du
˙
D

ˆ
˙
nh d
¯
e
ˆ
`
, d
¯
u
’
o
˙
’
c d
¯
ánh so
ˆ
´
vo
´
’
i mo
ˆ
˙
t chu
˜
’
cái d
¯

˙
nh d
¯
e
ˆ
`
A.2.”
hay d
¯
o
’
n gia
’
n là “A.2.”. Giáo trình có ba
’
ng các kí hie
ˆ
˙
u su
’
’
du
˙
ng trong giáo trình và
pha
ˆ
`
n Chı
’
Mu

˙
m hoa
˘
˙
c kie
ˆ
´
n thu
´
’
c ca
ˆ
`
n thie
ˆ
´
t.
xiv
VÀI NÉT VE
ˆ
`
LI
˙
CH SU
’
’
1
A) LI
˙
CH SU

’
ng trình d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c hai d
¯
ã d
¯
u
’
o
˙
’
c các
nhà toán ho
˙
c co
ˆ
’
d
¯
a
˙
i Babilon quan tâm cách d
¯

´
y cu
’
a ne
ˆ
`
n va
˘
n minh Babilon còn ghi la
˙
i vie
ˆ
˙
c tìm
nghie
ˆ
˙
m cu
’
a nhu
˜
’
ng phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c hai cu

˙
c và do d
¯
ó chı
’
liên quan d
¯
e
ˆ
´
n nhu
˜
’
ng phu
’
o
’
ng
trình ba
ˆ
˙
c hai có he
ˆ
˙
so
ˆ
´
lo
´
’

˙
c d
¯
u
’
o
˙
’
c nhà
toán ho
˙
c vı
˜
d
¯
a
˙
i Hy La
˙
p Euclid (325 BC-265 BC) d
¯
e
ˆ
`
ca
ˆ
˙
p d
¯
e

ˆ
˙
t cách gia
’
i phu
’
o
’
ng
trình ba
ˆ
˙
c hai có su
’
’
du
˙
ng so
ˆ
´
âm và các kí hie
ˆ
˙
u, d
¯
ánh da
ˆ
´
u su
˙

ˆ
˙
m cu
’
a phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c hai ba
˘
`
ng phu
’
o
’
ng pháp
d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
chı
’
d
¯

’
c tham kha
’
o chu
’
ye
ˆ
´
u tu
`
’
[5] và [7].
2 Vài nét ve
ˆ
`
li
˙
ch su
’
’
(780-880). Tuy nhiên, các nhà toán ho
˙
c Arab la
˙
i chu
’
a bie
ˆ
´
t d

ng vo
´
’
i 6 chu
’
o
’
ng trong cuo
ˆ
´
n sách và trình
bày cách gia
’
i cho tu
`
’
ng loa
˙
i. D
¯
ây d
¯
uo
˙
’
c xem là cuo
ˆ
´
n sách d
¯

’
tên cu
’
a cuo
ˆ
´
n sách này. D
¯
e
ˆ
´
n na
˘
m 1145, cuo
ˆ
´
n sách no
ˆ
’
i
tie
ˆ
´
ng cu
’
a nhà toán ho
˙
c Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136)
d
¯

a các phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c hai.
Tru
’
o
`
’
ng phái toán ho
˙
c Italy kho
’
’
i d
¯
a
ˆ
`
u khoa
’
ng na
˘
m 1500 vo
´
’

’
i tên vie
ˆ
´
t ta
˘
´
t là “Suma”,
trong d
¯
ó lo
`
’
i gia
’
i cu
’
a phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c hai d
¯
u
’
o
˙

ca
ˆ
˙
p d
¯
e
ˆ
´
n vie
ˆ
˙
c gia
’
i phu
’
o
’
ng trình d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c ba nhu
’
ng
ông la
˙

´
t, theo ngôn ngu
˜
’
cu
’
a d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
ngày nay, “phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c bo
ˆ
´
n x
4
= a + bx
2
gia
’
i d

˙
c hai, nhu
’
ng các phu
’
o
’
ng trình x
4
+ ax
2
= b và
x
4
+ a = bx
2
thì không the
ˆ
’
gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’
c”.
✎ Nguye

ˆ
˙
m cu
’
a phu
’
o
’
ng trình d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c ba là Scipione
del Ferro (1465-1526), mo
ˆ
˙
t giáo su
’
no
ˆ
’
i tie
ˆ
´
ng cu
’

+ mx = n. Ta
ˆ
´
t nhiên, ne
ˆ
´
u bie
ˆ
´
t su
’
’
du
˙
ng khái nie
ˆ
˙
m so
ˆ
´
âm cu
’
a các nhà toán ho
˙
c A
ˆ
´
n D
¯
o

’
a phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c ba. Tuy nhiên, lúc ba
ˆ
´
y gio
`
’
, Ferro
không bie
ˆ
´
t d
¯
ie
ˆ
`
u d
¯
ó. Ferro gia
’
i d
¯
u

´
’
c lúc qua d
¯
o
`
’
i na
˘
m 1526 mo
´
’
i tie
ˆ
´
t lo
ˆ
˙
cho mo
ˆ
˙
t ngu
’
o
`
’
i ho
˙
c
trò cu

i cu
’
a tha
ˆ
`
y mình ra ngoài. Tin d
¯
o
ˆ
`
n ve
ˆ
`
lo
`
’
i gia
’
i cu
’
a phu
’
o
’
ng trình
ba
ˆ
˙
c ba lan ro
ˆ

= n
không lâu sau d
¯
ó. N. Fontana (d
¯
u
’
o
˙
’
c bie
ˆ
´
t d
¯
e
ˆ
´
n vo
´
’
i tên Tartaglia) quye
ˆ
´
t d
¯
i
˙
nh công
bo

’
a cuo
ˆ
˙
c thi d
¯
o
’
n gia
’
n là mo
ˆ
˜
i ngu
’
o
`
’
i se
˜
d
¯
u
’
a ra 30 phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ

´
t ca
’
các
phu
’
o
’
ng trình mà Fior d
¯
u
’
a ra cho Tartaglia d
¯
e
ˆ
`
u có da
˙
ng x
3
+ mx = b và Fior tin
✎ Nguye
ˆ
˜
n Chánh Tú
4 Vài nét ve
ˆ
`
li

n cuo
ˆ
´
i cùng 8 ngày, Tatarlia
d
¯
ã tìm d
¯
u
’
o
˙
’
c phu
’
o
’
ng pháp to
ˆ
’
ng quát gia
’
i ta
ˆ
´
t ca
’
phu
’
o

’
c công nha
ˆ
˙
n
là ngu
’
o
`
’
i tha
˘
´
ng cuo
ˆ
˙
c. Tuy nhiên, ông không công bo
ˆ
´
lo
`
’
i gia
’
i chi tie
ˆ
´
t.
Chie
ˆ

c mo
`
’
i Tartaglia
✎ Nguye
ˆ
˜
n Chánh Tú
Vài nét ve
ˆ
`
li
˙
ch su
’
’
5
d
¯
e
ˆ
´
n tha
˘
m Milan vào na
˘
m 1539 và tìm cách thuye
ˆ
´
t phu

o
´
’
c Cardano pha
’
i giu
˜
’
bí ma
ˆ
˙
t ve
ˆ
`
lo
`
’
i gia
’
i cho d
¯
e
ˆ
´
n khi Tartaglia tu
˙
’
mình xua
ˆ
´

ˆ
˙
c bo
ˆ
´
n d
¯
ã d
¯
u
’
o
˙
’
c
xua
ˆ
´
t hie
ˆ
˙
n chi tie
ˆ
´
t trong quye
ˆ
’
n sách “Ars Magna” no
ˆ
’

d
¯
ó, Tartaglia kha
˘
’
ng d
¯
i
˙
nh la
˙
i công lao cu
’
a mình và lên án su
˙
’
pha
’
n bo
ˆ
˙
i cu
’
a Cardano.
Trong “Ars Magna”, cuo
ˆ
´
n sách tie
ˆ
´

p d
¯
e
ˆ
´
n công lao cu
’
a Tartaglia chính là tác gia
’
cu
’
a công thu
´
’
c
nghie
ˆ
˙
m cu
’
a phu
’
o
’
ng trình ba
ˆ
˙
c ba, nhu
’
ng ông cu

a ông cùng các ho
˙
c trò cu
’
a
mình. D
¯
a
˘
˙
c bie
ˆ
˙
t, cuo
ˆ
´
n sách cu
’
a Cardano la
ˆ
`
n d
¯
a
ˆ
`
u tiên trình bày lo
`
’
i gia

’
o
’
ng pháp là tìm
nghie
ˆ
˙
m cu
’
a mo
ˆ
˙
t phu
’
o
’
ng trình phu
˙
ba
ˆ
˙
c ba (ngày nay ta go
˙
i là gia
’
i thu
´
’
c ba
ˆ

’
cu
’
a ke
ˆ
´
t qua
’
này là
✎ Nguye
ˆ
˜
n Chánh Tú
6 Vài nét ve
ˆ
`
li
˙
ch su
’
’
Hình 2: Chân dung G. Cardano
Lodovico Ferari (1522-1565), mo
ˆ
˙
t trong nhu
˜
’
ng ho
˙

i
˙
nh cu
’
a Cardano là ông phát hie
ˆ
˙
n ra ra
˘
`
ng
Ferro là ngu
’
o
`
’
i d
¯
ã gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’
c các phu
’
o

´
’
ng cho nhie
ˆ
`
u nhà toán ho
˙
c trên the
ˆ
´
gio
´
’
i tie
ˆ
´
p tu
˙
c nghiên cu
´
’
u ve
ˆ
`
phu
’
o
’
ng trình d
¯

), Bezout (1730-1783,
Pháp). Sau khi gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’
c phu
’
o
’
ng trình d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c ba và bo
ˆ
´
n, va
ˆ
´
n d
¯

o
˙
’
c d
¯
a
˘
˙
t ra mo
ˆ
˙
t cách tu
˙
’
nhiên và thu
hút su
˙
’
quan tâm cu
’
a nhie
ˆ
`
u nhà toán ho
˙
c trong mo
ˆ
˙
t tho
`

˙
t phu
’
o
’
ng pháp mo
´
’
i gia
’
i phu
’
o
’
ng trình
ba
ˆ
˙
c bo
ˆ
´
n. Lagrange (1736-1813), mo
ˆ
˙
t nhà toán ho
˙
c Italy-Pháp, d
¯
ã d
¯

n quan tro
˙
ng trong vie
ˆ
˙
c nghiên cu
´
’
u ba
’
n cha
ˆ
´
t quá trình tìm nghie
ˆ
˙
m cu
’
a phu
’
o
’
ng
trình ba
ˆ
˙
c nho
’
ho
’

i tác d
¯
o
ˆ
˙
ng cu
’
a các hoán vi
˙
d
¯
a
˘
˙
c bie
ˆ
˙
t trên ta
ˆ
˙
p nghie
ˆ
˙
m cu
’
a
d
¯
a thu
´

o
ˆ
´
i vo
´
’
i d
¯
a
thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c na
˘
m. Tu
`
’
d
¯
ó, gia
’
thuye
ˆ
´
t ve
ˆ
`

n thu
´
’
c tro
’
’
thành mo
ˆ
˙
t thách thu
´
’
c cho các nhà toán ho
˙
c. Na
˘
m 1813, Ruffini
(1765-1822, Italy) d
¯
ã co
ˆ
´
ga
˘
´
ng d
¯
u
’
a ra mo

m không chính xác. Va
ˆ
´
n d
¯
e
ˆ
`
chı
’
d
¯
u
’
o
˙
’
c gia
’
i quye
ˆ
´
t
tro
˙
n ve
˙
n bo
’
’

ng quát ho
’
n là “khi nào mo
ˆ
˙
t phu
’
o
’
ng
trình d
¯
a thu
´
’
c ba
ˆ
˙
c n có the
ˆ
’
gia
’
i d
¯
u
’
o
˙
’

c công nha
ˆ
˙
n và xua
ˆ
´
t ba
’
n sau d
¯
ó, na
˘
m 1830.
Ba na
˘
m sau, mo
ˆ
˙
t bi ki
˙
ch tu
’
o
’
ng tu
˙
’
cu
˜
ng xa

˙
t cu
’
a ông d
¯
ã không ki
˙
p cho the
ˆ
´
gio
´
’
i
toán ho
˙
c nha
ˆ
˙
n ra mo
ˆ
˙
t trong nhu
˜
’
ng lí thuye
ˆ
´
t d
¯

’
i cho bài toán to
ˆ
’
ng quát trên. Pha
’
i d
¯
o
˙
’
i d
¯
e
ˆ
´
n na
˘
m 1843, mu
’
o
`
’
i mo
ˆ
˙
t
✎ Nguye
ˆ
˜

˙
c Pháp Joseph
Liouville (1809-1882) trong bu
´
’
c thu
’
gu
’
’
i cho Vie
ˆ
˙
n Hàn Lâm Khoa Ho
˙
c Pháp mo
´
’
i
d
¯
ánh da
ˆ
´
u su
˙
’
thu
`
’

ˆ
´
n cho Vie
ˆ
˙
n Hàn Lâm mo
ˆ
˙
t su
˙
’
quan tâm d
¯
a
˘
˙
c bie
ˆ
˙
t ba
˘
`
ng
vie
ˆ
˙
c công bo
ˆ
´
ra

`
’
i gia
’
i hoàn ha
’
o và sâu sa
˘
´
c cho bài toán no
ˆ
’
i tie
ˆ
´
ng: khi nào thì
phu
’
o
’
ng trình d
¯
a thu
´
’
c gia
’
i d
¯
u

u d
¯
ie
ˆ
’
m tu
’
o
’
ng d
¯
o
ˆ
`
ng kì la
˙
, xua
ˆ
´
t hie
ˆ
˙
n
và bie
ˆ
´
n ma
ˆ
´
t nhu

a ho
˙
d
¯
ã d
¯
e
ˆ
’
la
˙
i nhu
˜
’
ng di sa
’
n vı
˜
d
¯
a
˙
i cho va
˘
n hóa nhân loa
˙
i. Công trình cu
’
a
Abel và Galois khép la

ˆ
`
u chu
’
o
’
ng mo
´
’
i cu
’
a d
¯
a
˙
i so
ˆ
´
hie
ˆ
˙
n d
¯
a
˙
i, kho
’
’
i nguo
ˆ

¯
O
`
’
I CU
’
A EVARISTE GALOIS
Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 na
˘
m 1811 ta
˙
i Bourg-la-Reine, mo
ˆ
˙
t vùng
ngoa
˙
i ô cu
’
athu
’
d
¯
ô Paris nu
’
o
´
’
c Pháp, trong mo
ˆ

˙
tru
’
o
’
’
ng cu
’
a Bourg-la-Reine. Me
˙
ông am hie
ˆ
’
u
nhie
ˆ
`
u lı
˜
nh vu
˙
’
c nhu
’
trie
ˆ
´
t ho
˙
c, ngôn ngu

¯
e
ˆ
´
n na
˘
m 12 tuo
ˆ
’
i.
Tháng 10 na
˘
m 1823, Galois ba
˘
´
t d
¯
a
ˆ
`
u d
¯
e
ˆ
´
n tru
’
o
`
’

’
m chu
´
’
ng kie
ˆ
´
n su
˙
’
no
ˆ
’
i da
ˆ
˙
y cu
’
a ho
˙
c sinh hu
’
o
’
’
ng u
´
’
ng cuo
ˆ

’
i ho
˙
c trong na
˘
m ho
˙
c d
¯
a
ˆ
`
u tiên cu
’
a Galois. Vie
ˆ
˙
c ho
˙
c cu
’
a Galois
trong na
˘
m ho
˙
c d
¯
a
ˆ

u
’
o
˙
’
c ho
˙
c
bo
ˆ
’
ng. Tuy nhiên, vie
ˆ
˙
c ho
˙
c trên lo
´
’
p ngày càng tro
’
’
nên kém ha
ˆ
´
p da
ˆ
˜
n và Galois pha
’

’
i giáo su
’
M. Vernier, và
so
´
’
m say mê môn ho
˙
c này. Na
˘
m 1828, Galois thi vào tru
’
o
`
’
ng École Polytechnique,
tru
’
o
`
’
ng d
¯
a
˙
i ho
˙
c danh giá hàng d
¯

t d
¯
a
ˆ
`
u nghiên cu
´
’
u nhu
˜
’
ng d
¯
e
ˆ
`
tài riêng bie
ˆ
˙
t cu
’
a mình. Galois tìm d
¯
o
˙
c các giáo trình
toán cao ca
ˆ
´
p nhu

ˆ
´
t cu
’
a toán ho
˙
c”.
Su
´
’
c hút cu
’
a toán ho
˙
c làm anh che
ˆ
’
nh ma
’
ng ho
’
n vo
´
’
i vie
ˆ
˙
c ho
˙
c trên lo

˙
c sinh “khác thu
’
o
`
’
ng, la
ˆ
˙
p
di
˙
, d
¯
o
ˆ
˙
c d
¯
áo và khép kín”. Tháng 4 na
˘
m 1829, Galois có công trình toán d
¯
a
ˆ
`
u tiên
✎ Nguye
ˆ
˜