Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
A- MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phần
quan trọng của môn Giải tích lớp 12. Các bài toán tích phân rất đa dạng và
phong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học và
Cao đẳng. Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến
tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình.
Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi
dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng
thú và trách nhiệm học tập của học sinh”.
Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực,
chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện
ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềm
năng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh.
Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ
đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từ
một số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu ,
rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinh
phát triển tư duy sáng tạo.
2. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung.
- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm và
tính Tích phân.

B-NỘI DUNG :
1.Cơ sở lí luận:
Có nhiều bài tập tích phân và ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn
chưa hiểu tại sao lại giải như vậy, và những bài toán như thế nào thì vận dụng
phương pháp giải đó. Và khi gặp bài toán có một số điểm tương tự với bài toán
đã giải là học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện ra sự nhầm lẫn
của mình. Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề
đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài
tập cho học sinh ghi nhớ . Theo phương pháp này đôi khi học sinh cảm thấy sợ
vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả các
phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích
phân mới.
2. Cơ sở thực tiễn:
a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:
_____________________________________________________________
2
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng
thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và
giải bài toán tổng quát.
b) Thực trạng việc học của học sinh:
Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài
mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới. Nhiều học sinh
không hề có chút suy nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới.
Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009:
Lớp Số lượng
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
Số lượng % Số lượng %

_____________________________________________________________
3
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
Đặt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x

=
=


⇒
 
=


=

, ta có :
1 1
1
( ln ) ( ln ) 1
e
e e

∫
;
1
2
0
ln( 1)I x x dx= + +
∫
;

2
4
1
ln( 1)I x dx= +
∫
;
c)
[ ]
2
4
ln(sin ) cotI x x x dx
π
π
= +
∫
; d)
[ ]
4
0
ln(cos ) tanI x x x dx
π

 
∫
;
h)
3
6
ln(tan ) tan
tan
x
I x x x dx
x
π
π
 
= + +
 
 
∫
;
4
0
ln(1 tan )I x dx
π
= +
∫
;
i)
1
0
ln(1 )I x dx= +

α
α
= ≠ −
∫
;
1
(2 1).ln
e
I x xdx= +
∫
;

2
1
(3 2 5).ln
e
I x x xdx= + +
∫
;
b)
1
1
.ln
e
I xdx
x
=
∫
;
1

 
 
∫
;
_____________________________________________________________
4
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
e)
2
3
cos
sin ln
x
I x x dx
x
π
π
 
= −
 
 
∫
; g)
3
2
4
ln tan
cos

ln(cos )
tan ln
x
I x x dx
x
π
π
 
= −
 
 
∫
;
l)
3
6
ln(sin )
cot ln
x
I x x dx
x
π
π
 
= +
 
 
∫
; m)
2

sin ln(cos )I x x dx
π
=
∫
; d)
1
0
ln( 1)
x x
I e e dx= +
∫
;
e)
ln(ln )
e
e
x
I dx
x
=
∫
; g)
3
2
6
ln(tan )
cos
x
I dx
x

dx
x
∫
( với
( )f x
là một trong các hàm số
thường gặp), ví dụ:
a)
ln
( 1)
e
e
x
I dx
x
α
α
= ≠ −
∫
;
b)
1
ln
e
e
I dx
x x
=
∫
; (

e
I dx
x x
=
−
∫
;
c)
1 3ln
1
1
e
x
I e dx
x
+
=
∫
;
d)
2
1
1
(1 ln )
e
I dx
x x
=
+
∫

x
+
=
∫
;
_____________________________________________________________
5
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
g)
1
ln(1 1 ln )
e
x
I dx
x
+ +
=
∫
;
2
1
ln(ln 1 ln )
e
x x
I dx
x
+ +
=

+
∫
;

2
4
1
(ln 1)
e
e
I dx
x x
=
+
∫
.
1.5)Tìm tích phân dạng
log
a
xdx
β
α
∫
,
log ( )
a
u x dx
β
α
∫

2
1
logI xdx=
∫
;
1
2
0
log (3 1)I x dx= +
∫
;

1
2
2
0
log ( 1)I x dx= +
∫
;
1
2
2
0
log ( 3 2)I x x dx= + +
∫
;
b)
2
2
1


2
2
6
sin log (cos )I x x dx
π
π
=
∫
;
3
2
2
6
log (tan )
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
;

3
2
2
6
log (cot )

+ −
∫
;
16
2
1
2
4log 1
(2 2log 1)
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
;

4
2
3
2
1
2
2
log 8
( log 2 2)
x
I dx
x x

1 dxxI
; b)
2
2 2
0
1
a
I dx
a x
=
−
∫
( với
0a
>
).
Giải:
a)Đặt
sinx t
=
, với
[0; ]
2
t
π
∈
, ta có :
cosdx tdt
=
và với

=
, với
[0; ]
6
t
π
∈
, ta có :
cosdx a tdt
=
và với
0x
=
thì
0t =
, với
2
a
x =
thì
6
t
π
=
.Ta được:
6 6
6
0
2
0 0

và
cost
trong các bài toán tích phân
hàm số lượng giác đơn giản bởi biến
x
và
2 2
a x−
để được các bài toán tích
phân mới ,ví dụ :
1) a)
∫
−+
=
1
0
2
11
1
dx
x
I
; b)
1
2
0
1
1 4
I dx
x

0
1
a
I dx
x a x
=
+ −
∫
(
0a
>
); d)
2
2 2
0
1
a
I dx
x a x
=
− −
∫
(
0a
>
).
3) a)
1
2
0

∫
(
0a
>
).
4)a)
1
4
2
0
4
x
I dx
x
=
−
∫
; b)
(
)
(
)
2011
2
1
2012
2012 2
0
1
1

2
2012
2
2012
2013
2
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
. Lập hệ thức giữa
2012
I
và
2014
I
.
6) a)
1
3
0
1 3 4I x x dx= + −
∫
; b)
1
3

a
2
2
a
3
2
a
a
Theo cách trên ta đã đưa ra được một loạt các bài tập tương tự với bài toán
đã cho (bài toán 2). Ta tiếp tục với việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó là
bài toán 2) như sau:
2.2)Vì hàm số
2 2
( )f x a x= −
là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài toán
∫∫
=
+
−
αα
α
0
)(
1
)(
dxxfdx
a
xf
x
(với

0a
>
) ; b)
2
2
2
2
4
2 1
x
x
I dx
−
−
=
+
∫
;
c)
2 2
1
e
e
x
e
e x
I dx
e
−
−

x
x
J dx
−
−
=
+
∫
; f)
2 2
.
1
e
x
e
x
e
e e x
J dx
e
−
−
=
+
∫
.
2.3)Kết hợp với bài toán:
∫∫
=+
−

∫
(với
0a
>
);
1
2
1
1
1 ln( 1)
x
I x x e dx
−
= − +
∫
;
_____________________________________________________________
8
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________

2
2
2
2
4 ln( 1)
x
I x x e dx
−

x e
J dx
x
−
+
=
−
∫
;

2
2 2
2
ln( 1)
e
x
e
e
x e
J dx
e x
−
+
=
−
∫
.
2.4)Nếu thay thế biểu thức
2 2
a x−

−
=
+
∫
;

1
2
0
2
2
x
I dx
x
−
=
+
∫
;
b)
2
0
a
a x
J dx
a x
+
=
−
∫

∫
;
c)
0
1
a
I dx
a x a x
=
+ + −
∫
( với
0a
>
);
1
1
0
1
1 1
I dx
x x
=
+ + −
∫
;

2
2
0

=
+ − −
∫
;

2
2
1
1
2 2
J dx
x x
=
+ − −
∫
;
2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một
trong các biểu thức
a x+
,
a x−
nhưng giải được theo phương pháp đặt
t a x= +
( hoặc
t a x= −
) , để ghép vào như :
a)
2
0
a

2
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
;
b)
2
0
a
x a x
I dx
a x
+ +
=
−
∫
( với
0a
>
);
1
2
1
0
1
1

a
a x
e a x
I dx
a x
+
+ −
=
+
∫
(với
0a
>
);
1
1
2
1
0
1
1
x
e x
I dx
x
+
+ −
=
+
∫

.
2.6)Từ các bài toán tích phân trên ta thấy cặp biểu thức
a x+
và
a x−
quá
quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó , ví dụ thay
t a x= −

( với
0a >
) vào các tích phân trong bài 2.4) ta có các tích phân :
a)
2
2
a
a
x
I dx
a x
=
−
∫
( với
0a
>
);
1
1
1

∫
( với
0a
>
);
1
1
1
2
2 x
I dx
x
−
=
∫
;
2
2
1
4 x
I dx
x
−
=
∫
;
c)
0
1
2

∫
;
d)
2
0
1
2
a
J dx
a x x
=
− −
∫
( với
0a
>
);
1
2
1
0
1
2
J dx
x x
=
− −
∫
;
1

α
−
=
+
∫
bằng cách
đặt
2
a b
a x t
+
+ = +
hoặc
sin
2 2
a b a b
a x u
+ +
+ = +
hay
sin
2 2
a b a b
x u
− +
+ =
, và ta có
thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng
u 0
6

x
I dx
x
−
=
−
∫
;
5
2
1
2
3
1
x
J dx
x
−
=
−
∫
;
3
2
1
3
5
x
I dx
x

−
∫
;
5
2
1
2
3
1
x x
J dx
x
+ −
=
−
∫
;
3
2
1
3
5
x x
I dx
x
+ +
=
−
∫
;

=
+
∫
;
3
1
5 ln( 3 1)
3
x x
I dx
x
− + + −
=
+
∫
;
d)
3
4
1
b
b a
J dx
a x b x
−
=
+ − −
∫
;
3

=
+ + −
∫
;
3
1
2
1
1 3
J dx
x x
=
− + −
∫
;
5
1
1
1
3 5
J dx
x x
=
+ + −
∫
;
2.8)Hoặc dạng
( )( )a x b x dx
β
α


2
2 2
b b
ax bx cdx a x x dx
a a
β β
α α
  
+ ∆ ∆ −
+ + = + −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
∫ ∫
(với
0a <
,
2
4 0b ac∆ = − >
) bằng cách đặt
2 2
b
x t
a a
+ ∆ ∆
+ = +
hoặc
sin
2 2 2

4
b
a
∆ −
2 2
4
b
a
∆ −
3 2
4
b
a
∆ −
2
b
a
∆ −
ví dụ :
a)
1
2
0
2I x x dx= −
∫
; b)
1
2
1
3 2I x x dx

−
=
+ + −
∫
; g)
1
2
1
2
1 3 2
x
I dx
x x x
−
=
− + + −
∫
.
2.10) Thay
lnx t
=
vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân: a)
2
1
2ln ln
e
x x
I dx
x
−

hoặc
3
t
x =
vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân:
_____________________________________________________________
11
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
a)
0
1
1
2 4
x x
I dx
+
−
= −
∫
; b)
1
2
0
3 6.3 5
x x
I dx= − + −
∫
.

c)
1
2
0
ln(1 1 )I x x dx= + −
∫
.
Ta đã khai thác các bài toán tích phân có chứa biểu thức
2 2
a x−
thì
nên tìm đến bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức
2 2
x a+
,
2 2
x a−

để so sánh :
Bài toán 3: Tính các tích phân sau:
a)
)0(,
0
22
>+=
∫
adxaxI
a
; (
5

x a
= >
−
∫
).
3.1)Tính tích phân:
a)
)0(,
1
0
22
>
+
=
∫
adx
ax
I
a
; b)
5
2 2
2
1
,( 0)
a
a
J dx a
x a
= >

=

thì
0t =
, với
x a=
thì
4
t
π
=
. Ta được:
4 4 4
2 2
2
0 0 0
1 1
.(1 tan ) 1 tan ln(1 2)
cos
1 tan
I t dt tdt dt
t
t
π π π
= + = + = = +
+
∫ ∫ ∫
.
Cách 2:
Đặt

, với
atax )21( +=⇒=
.
Suy ra
(1 2 )
(1 2 )
(ln ) ln(1 2)
a
a
a
a
dt
I t
t
+
+
= = = +
∫
.
_____________________________________________________________
12
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
b)Tính
5
2 2
2
1
,( 0)

5 (2 5)x a t a= ⇒ = +
.
Suy ra
(2 5)
(2 5)
(1 2 )
(1 2 )
2 5
(ln ) ln
1 2
a
a
a
a
dt
J t
t
+
+
+
+
+
= = =
+
∫
.
3.2)Tính tích phân: :
a)
2 2
0

2
2
1
(1 tan )
cos
dx dt t dt
t
= = +
, và với
0x
=

thì
0t =
, với
x a=
thì
4
t
π
=
. Ta được:
2
4 4
2 2 2
2 3
0 0
1 1
1 tan . ( 2 ln(1 2))
cos cos 2


. Suy ra
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
0 0 0
( ) ( )
a a a
a a
x a
I x x a dx x x a x a dx dx
x a x a
= + − = + − + +
+ +
∫ ∫ ∫
2
2 2
2 2
0
0
2 ( )
a
a
a
I x x a dx
x a
⇔ = + +
+
∫

x
du dx
u x a
x a
dv dx
v x

=

 
= −
⇒
−
 
=



=

. Suy ra
5 5 5
2 2
5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
( ) ( )
a a a

−
∫
5 5
2 2 2 2 2
2 2
2 ( ) ln( )
a a
a
J x x a a x x a⇔ = − − + −
.
Vậy
5
2 2 2
5
2 2 2 2
2
2
2 5
( ) ln( ) (2 5 2) ln
2 2 2 2
1 2
a
a
a
a
x a a a
J x a x x a
+
= − − + − = − −
+

5
1
2
2
1
1
J dx
x
=
−
∫
;
b)
3
2
1
0
1I x dx= +
∫
;
5
2
2
0
4I x dx= +
∫
;
5
2
2

2
2
1
1
J dx
x x
=
+ −
∫
.
3.4)Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa
một trong các biểu thức
2 2
x a+
và
2 2
x a−
nhưng được giải theo phương pháp
khác (đặt
2 2
t x a= +
hoặc
2 2
t x a= −
), ví dụ:
a)
3
1
2
0

=
−
∫
;
b)
3
2
1
0
1I x x dx= +
∫
;
5
3 2
2
0
4I x x dx= +
∫
;
5
5 2
2
1J x x dx= −
∫
;
c)
3
2
0
ln( 1)I x x dx= + +

∫
; c)
5
1
2
2
1
1
x
J dx
x
+
=
−
∫
;(
5
1
2
1
1
x
J dx
x
+
=
−
∫
); d)
5

a
b
a
b
a
vduvuudv ).(
, ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và
3.2) là biểu thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có
các tích phân sau:
a)
2 2
0
ln( ) ,( 0)
a
I x x x a dx a= + + >
∫
; b)
1
2
1

3
5
3
2
259
1
( Bài tập SGK ).
Giải:
a)Đặt
tanx t=
,với
[0; ]
4
t
π
∈
, ta có :
2
2
1
(1 tan )
cos
dx dt t dt
t
= = +
, và với
0x
=
thì
0t

tan
5
x t=
,với
[ ; ]
6 4
t
π π
∈
, ta có :
2
2
3
3
5
(1 tan )
cos 5
dx dt t dt
t
= = +
, và với
3
5
x =

thì
6
t
π
=

4.1)Đặt
x
vào vị trí
tant
của các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản
ta có các tích phân sau:
a)
dx
x
x
I
∫
+
+
=
1
0
2
1
1
; b)
dx
x
xx
I
∫
+
++
=
1

e) Cho
1
2
0
1
n
n
x
I dx
x
=
+
∫
(với
*
n∈¥
). Lập hệ thức giữa
n
I
và
2n
I
+
.
4.2)Thay
lnx t=
vào một trong các tích phân trên ta có:
a)
2
1

a
vduvuudv ).(
, ta xem tích phân trong bài toán 4) là biểu
thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích
phân :
_____________________________________________________________
15
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
a)
1
2
0
ln(1 )I x dx= +
∫
; b)
1
2 2
2

4
t
π
∈
, ta có:
2
2
(1 tan )
cos
a
dx dt a t dt
t
= = +
,
và với
0x
=
thì
0t =
, với
x a=
thì
4
t
π
=
. Ta được:
4 4
2
4

=
+ +
 
−∆
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
(với
0a
≠
,
2
4 0b ac∆ = − <
) bằng cách đặt
2
.tan
2 4
b
x t
a a
−∆
+ =
, và ta có thể chọn
một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng
t 0
6

a)
dx
xx
I
∫
+−
=
2
1
2
22
1
; b)
1
2
1
3
2 5
x
I dx
x x
−
+
=
+ +
∫
; c)
1
2
2

α α
−
]. Chứng minh rằng :

∫∫
=
+
−
αα
α
0
)(
1
)(
dxxfdx
a
xf
x
(với
0,0 >>
α
a
).
Hướng dẫn:
Đặt
dxdtxt
−=⇒−=
, ta có:
∫∫∫∫
−−−−

1
)(
∫∫
−−
=
+
⇔
α
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
)(
1
)(
2
∫∫
=
+
⇔
−
αα
α
0
)(2
1
)(

a)
∫
−
+
+
=
1
1
2
1
1
dx
e
x
I
x
; b)
∫
−
−
+
+
=
1
1
1
dx
e
ee
J

−
=
+
∫
;
f)
∫
−
+
+
=
2
2
2
1
cos)1(
π
π
dx
e
xx
M
x
; đ)
2 2
1
a
x
a
a x

x
x a
P dx
e
α
α
−
+
=
+
∫
(
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
1
1
1
x
x
P dx
e
−
+
=
+

J dx
e
−
+ +
=
+
∫
;
h)
4
4
sin 2 ln( ) ln( )
2 2
1
x
x x x
Q dx
e
π
π
π π
−
 
− − +
 ÷
 
=
+
∫
; i)

a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích
phân :
a)
∫
−
+
+
=
1
1
2
3
)1(
)(
dx
e
exx
I
x
x
; b)
∫
−

=
+
∫
(
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
2
1
ln( 1)
( 1)
x
x
e x x
J dx
e
−
+ +
=
+
∫
;
d)
2 2 3
2
2

=
+
∫
;
5.3)Thay
)(xf
bởi một số hàm số cụ thể và chọn
e
a
1
=
ta có các tích phân sau:
a)
∫
−
+
+
=
1
1
2
1
)1(
dx
e
ex
I
x
x
; c)

−
+
=
+
∫
; đ)
2
2
sin
1
x
x
e x x
M dx
e
π
π
−
=
+
∫
;
_____________________________________________________________
17
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
e)
2 2
1

+
∫
;
f)
2 2
1
x
x
e x a
P dx
e
α
α
−
+
=
+
∫
(với
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
1
1
1
x

; b)
1
2
1
ln(1 )
2 1
x
x
I dx
−
+
=
+
∫
.
5.5)Từ các bài toán 5.1) và 5.3) ta rút ra bài toán sau:
Cho
)(xf
là hàm số chẵn trên đoạn [
;
α α
−
].Chứng minh rằng:
0
( ) ( )
( )
1 1
x
x x
a f x f x

∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ).(
, ta xem các tích phân trong bài 5.3) là
biểu thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích
phân sau:
a)
∫
−
++=
1
1
3
)1ln()( dxexxI

.
5.7)Từ các tích phân trong bài 5.6) ta có bài toán tổng quát :
Cho
)(xf
là một hàm số lẻ trên đoạn [
;
α α
−
]. Chứng minh rằng :

∫∫
=+
−
αα
α
0
)()1ln()( dxxxfdxexf
x
(với
0
>
α
).
5.8)Từ bài toán 5.7) thay
te
x
=
, ta có bài toán sau:
Cho
)(xf

1
)1ln(ln
; b)
∫
+++=
e
e
x
dx
xxxI
1
2
)1ln()1lnln(ln
.
5.10) Từ bài toán 5.7) thay
tx cos=
, ta có bài toán sau:
Cho
)(xf
là hàm số lẻ trên đoạn [
1;1−
].Chứng minh rằng:
_____________________________________________________________
18
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________

∫∫
=+

Cho
)(xf
là một hàm số lẻ trên đoạn [
1;1−
]. Chứng minh rằng :

∫∫
=+
−
1
0
2
2
sin
)()1ln()(sincos dxxxfdxexxf
x
π
π
.
5.13)Thay
xxf =)(
vào bài toán 5.12) ta có các tích phân:
∫
−
+=
2
2
sin
)1ln(2sin
π

∫
( với
)(xf
là hàm số chẵn
trên đoạn [
1;1−
]) trong các bài toán 5.1) và 5.3); thay
x
t e=
ta có các tích phân
1
(ln )
( 1)
e
e
f x
I dx
x x
=
+
∫
và
1
(ln )
1
e
e
f x
J dx
x

;
b)
2
1
1 ln
( 1)
e
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
;
2
1
1 ln
1
e
e
x
J dx
x
−
=
+
∫
;

2
1
ln(ln 1 ln )
( 1)
e
e
x x
I dx
x x
+ −
=
+
∫
;
2
1
ln(ln 1 ln )
1
e
e
x x
J dx
x
+ −
=
+
∫
.
d) Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến

lượng
%
12A 50 29 58 21 42 Thực nghiệm
Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em giải
toán tích phân đạt kết quả chính xác cao. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng
kết quả đạt được cho những năm học sau.
C- KẾT LUẬN:
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học
sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷ
năng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT Quang
Trung, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các lớp khác, ở các tài liệu chuyên môn
khác, sử dụng các hình thức so sánh đối chiếu trong giảng dạy.
1. Bài học kinh nghiệm:
Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạy
đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo và
hiệu quả trong học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễn
các biện pháp giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy;
song song đó cần tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chuyên môn.
Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài
toán tích phân cơ bản”, tôi nhận thấy bản thân mình đã trở thành một con người
sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm.
Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh
yếu không nắm được nguyên hàm của các hàm số thường gặp nên chưa tiếp cận
được cách khai thác bài toán tích phân mà tôi đã đưa ra. Tôi cố gắng tìm ra biện
pháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới. Mong các đồng nghiệp và
các bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tôi về phương pháp
dạy học “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ
bản” .
_____________________________________________________________
20

12 – NXBGD,2008.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996.
4. Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học
Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002.
_____________________________________________________________
21
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
5. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD.
6. Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An : Kỷ yếu hội thảo đổi mới cách dạy, cách
học bộ môn Toán trung học phổ thông,2008.
MỤC LỤC
Trang
A- MỞ ĐẦU 01
1- Lý do chọn đề tài 01
2- Đối tượng nghiên cứu 01
3- Phạm vi nghiên cứu 01
4- Phương pháp nghiên cứu 02
B- NỘI DUNG 02
_____________________________________________________________
22
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung
______________________________________________________________
1- Cơ sở lý luận 02
2- Cơ sở thực tiễn 03
3- Nội dung vấn đề 03
C- KẾT LUẬN 20
1- Bài học kinh nghiệm 20