Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: NGUYỄN LÊ QUỲNH
2. Sinh ngày 10 tháng 01 năm 1978. Tại: Đồng Nai.
3. Giới tính: Nam.
4. Địa chỉ: 119A – Tổ 8 - Ấp Tân Thịnh – Xã Đồi 61 – Trảng Bom – Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0902 887 192, NR: 0613 538 804, CQ: 0613 864 198.
6. Email:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy Toán các lớp: 10A1, 10A6, 12A9, chủ nhiệm
lớp 10A1, Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, Tổ chức cho học sinh thi giải toán
qua Internet, tổ chức cho học sinh thi đố vui Toán Lý cho cả 3 khối.
9. Đơn vị công tác: Tổ Toán – Tin, trường THPT Thống Nhất A.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2001
- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán THPT.
- Số năm kinh nghiệm: 13 năm.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây:
1) Năm 2013 - 2014: Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong
chương trình THPT.
2) Năm 2012 - 2013: Ứng dụng Sơ đồ khối và Sơ đồ tư duy vào dạy học môn
Toán cấp THPT.
3) Năm 2011 - 2012: Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để
giải một số bài toán Đại số.
4) Năm 2010 - 2011: Ứng dụng phần mềm Microsoft Excel 2007 hỗ trợ việc
quản lý nề nếp học sinh ở trường THPT Thống Nhất A – Trảng Bom –
Đồng Nai.

Trang 2 Nguyễn Lê Quỳnh
Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT
KHAI THÁC YẾU TỐ ĐỒNG BẬC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
Tác giả: Nguyễn Lê Quỳnh
Tổ Toán – Tin, Trường THPT Thống Nhất A
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một số dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và một số bài toán
hình học giải tích liên quan đến góc và khoảng cách trong chương trình phổ thông có
liên quan đến kĩ năng giải quyết bài toán bằng “kĩ thuật” của biểu thức đồng bậc theo
hai biến.
Kỹ năng này cũng tương đối phổ biến đối với học sinh phổ thông trung học.
Giúp học sinh nắm vững kỹ năng này và thấy được tầm ảnh hưởng của nó trong việc
giải toán, mục đích hệ thống lại phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập đề nghị để
học sinh thực hành giải toán.
Bài viết này chỉ khai thác phương pháp này để giải một số bài toán trong
chương trình THPT. Mục đích giúp đối tượng học sinh khá, giỏi sau khi học xong
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian các em thấy được phương pháp
này ngoài việc giải một số bài toán đại số nó có thể giải các bài toán hình học liên
quan đến góc và khoảng cách, từ đó học sinh thấy được mạch liên thông giữa Đại số
và Hình học ở chương trình toán THPT giúp các em hứng thú hơn và kích thích các
em tìm tòi, đào sâu sáng tạo trong giải toán.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1) Cơ sở lý luận
Nội dung kiến thức và kỹ năng về đa thức đồng bậc theo hai biến ẩn chứa trong các bài
tập trong SGK Toán nâng cao cấp THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Dựa vào các bài viết đã có (trích dẫn trong phần tài liệu tham khảo) của các thầy giáo
có kinh nghiệm.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và sưu tầm, tập hợp và trình bày theo
quan điểm cá nhân thành một chuyên đề làm tư liệu phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân

1 2 2
1 2 2 1 0
0
n n n
n n n
x x x x x
a a a a a a
y y y y y
− −
− −
         
+ + + + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
(2) đây là
phương trình bậc n theo một biến t =
x
y
.
2. 2 Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình
THPT.
Sau đây là các ví dụ minh họa có trong sách giáo khoa và trong các đề thi đại học và
cao đẳng những năm trước đây và các bài tập đề nghị để học sinh thực hành giải toán.
A. LỚP 10
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3 3
3 2 3
1
2 0
x y

+ y
3
=1 giải ra được x = y =
3
1
2
. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x= y =
3
1
2
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 9 (1)
2 2 2 (2)
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =



(Trích đề thi ĐHSP TP. HCM khối A – năm 2000)
Giải: Từ (1) và (2), ta có:
( )



Khi 8x + 3y = 0, kết hợp với (1) ta tìm được nghiệm thỏa là:
3 8 3 8
; , ;
17 17 17 17
   
− −
 ÷  ÷
   
.
Trang 4 Nguyễn Lê Quỳnh
Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT
Khi 2x + y = 0, kết hợp với (1) ta tìm được nghiệm thỏa là: (1; −2), (−1;2).
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (1; −2), (−1;2),
3 8 3 8
; , ;
17 17 17 17
   
− −
 ÷  ÷
   
.
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau:
1)
2 2
2 2
7
3
x y xy

*
2
x ≥
. Phương trình được viết lại:
2 2
3 2 1 2 4 2 3 2 1 2 2(2 1)x x x x x x x x− = − + ⇔ − = − −
. Đặt
2 1, 0y x y= − ≥
phương trình
đã cho trở thành: 3xy = 2x
2
– 2y
2
⇔ 2x
2
– 3xy – 2y
2
= 0 (1).
Dễ thấy y = 0 từ (1) suy ra x = 0 không thỏa phương trình đã cho vì vậy phương trình (1)
tương đương với:
2
2
2 3 2 0
1
2
x
y
x x
x
y y


(Trích đề thi HSG Đồng Nai, khối 12 năm 2001 – 2002)
Giải: ĐK: x ≥ −2. Viết lại PT:
2 2
10 (x 2)(x 2x 4) 3(x x 6)+ − + = − +
Đặt
2 2
2, 0, 2 4 ( 1) 3 3a x a b x x x b= + ≥ = − + = − + ⇒ ≥
.
Khi đó ta có hệ:
3
2
8
6
ab x
a b x x
= +


+ = − +

Phương trình đã cho trở thành:
2
10 3( ) 100 9( )ab a b ab a b= + ⇔ = +
(vì a ≥ 0 và b ≥ 3)
2
2 2
1
9
9 82 9 0 9 82 9 0

2) và một đường thẳng d có phương
trình: 4x + 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua I và tạo với d một góc 45
o
.
Giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm I nên phương trình ∆ có dạng:
A(x – 1) + B(y + 2) = 0 (với A
2
+ B
2
> 0(*)) ⇔ Ax + By – A + 2B = 0.
∆ có VTPT là
( ; )n A B=
r
, d có VTPT là
(4;3)u =
r
.
Góc giữa ∆ và d bằng 45
o
nên ta có: cos45
o
=
2 2
.
4 3
1
os( , )
2


   
⇔ + − = ⇔

 ÷  ÷
   

= −


.
• Khi B = 7A, chọn A = 1⇒ B = 7, thu được phương trình ∆ là: x + 7y + 13 = 0.
• Khi A = −7B, chọn B = −1⇒ A = 7, thu được phương trình ∆ là: 7x −y −9 = 0.
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn lần lượt có phương trình: x + 7y + 13 = 0 và 7x −y −9 = 0.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
(x – 1)
2
+ (y – 3)
2
= 25. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua điểm M(8; 2) và cắt (C) theo
một dây cung có độ dài bằng 6.
Giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M nên phương trình ∆ có dạng:
A(x – 8) + B(y − 2) = 0 (với A
2
+ B
2
> 0(*)) ⇔ Ax + By – 8A − 2B = 0.
(C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 5. Gọi P, Q là giao điểm của ∆ với (C), ta có: PQ = 6. Gọi H

B

− −
=


⇔

− +
=


* Khi
7 4 34
33
A B
− −
=
chọn B = −33 ⇒ A
7 4 34= +
thu được phương trình ∆ là:
( )
7 4 34 33 10 32 34 0x y+ − + − =
.
* Khi
7 4 34
33
A B
− +
=

phương trình: x – 3y + 6 = 0 một góc bằng 45
o
.
B. LỚP 11
Ví dụ 7: Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
Giải: Khi cosx = 0 thay vào phương trình ta có: sinx = 0 không thỏa.
Khi cosx ≠ 0, chia phương trình cho cos
3
x, ta được phương trình:
3 2 3 2
tan 3 tan 3 tan tan 3 tan tan 3 0x x x x x x− = − ⇔ + − − =
( )
2
tan 1
4
(tan 1) tan (1 3)tan 3 0 tan 1 ( )
tan 3
3
x
x k
x x x x k
x k
x
π
π
π
π


(Trích đề thi Học viện Kỹ thuật Quân sự năm 1996)
Giải: Viết lại phương trình: 2cos
3
x = 3sinx – 4sin
3
x.
* Khi cosx = 0 thì sin
2
x = 1 thay vào phương trình ta được: sinx = 0 không thỏa.
* Khi cosx ≠ 0, chia phương trình cho cos
3
x, ta được: tan
3
x – 3tanx + 2 = 0
( )
2
tan 1
(tan 1) tan tan 2 0 ( )
4
tan 2
arctan( 2)
x
x k
x x x k
x
x k
π
π
π


x = 0. (Trích đề thi Đại học Y dược Hà Nội năm 1999).
C. LỚP 12
Ví dụ 9: Định m để phương trình:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(1) có nghiệm.
(Trích đề thi ĐH - CĐ khối A, năm 2007)
Nhận xét: Viết lại phương trình (1) như sau:
( ) ( )
2 2
4 4 4 4
3 1 1 2 1 1x m x x x− + + = − +
.
Nếu ta đặt
4 4
1, 1a x b x= − = +
thì ta thu được phương trình: 3a
2
+ mb
2
= 2ab đây chính là
phương trình thuần nhất bậc 2 theo a và b, do đó có thể chia phương trình cho a
2
hoặc b
2
để
giải quyết yêu cầu của bài toán.
Giải: ĐK: x ≥ 1 (*) khi đó
1 0x + >

+
đạo hàm hai vế:
( )
3
2
2
4 . '
1
t t
x
=
+
( )
3
2
2
4 . '
1
t t
x
=
+
, với t > 0 ta có:
( )
2
3
1
' 0
2 1
t

3
.
Bài tập tương tự: Tìm các giá trị của m để phương trình
2
4
2 2 2 0x x x m x− − − + =
có
nghiệm.
Ví dụ 10: Giải phương trình:
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
.
(Trích đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2006)
Giải: Viết lại phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 3
3. 2 4. 2 .3 3 .2 2. 3 0
x x x x x x
+ − − =
ta dễ nhận ra đây là
phương trình thuần nhất bậc 3 theo 2
x
và 3
x
vì vậy, chia phương trình cho
( )
3
2
x

Giải: Đường thẳng d đi qua 2 điểm M(1; 0; 2) và N(−1; −1; 0). Phương trình (α) có dạng:
ax + by + cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
> 0 (*). Do d ⊂ (α) nên có hệ
2 0 2 2
0 2
a c d b a c
a b d d a c
+ + = = − −
 
⇔
 
− − + = = − −
 

Khi đó phương trình (α) trở thành: ax – 2(a + c)y + cz – a – 2c = 0.
2 2 2 2 2
2 10( ) 3 2 9
( ,( ))
4( ) 5 8 5
a a c c a c a c
d A
a a c c a ac c
α
− + + − − +
= =

   
. Đặt
c
x
a
=
ta có:
2
9 1
( ,( )) ,
5 8 5
x
d A
x x
α
+
=
+ +
coi
2
2
2
2
2
9 1
81( 1)
( ) ( ,( ))
5 8 5
5 8 5
x

Dựa vào BBT suy ra
max ( ) 18
R
f x =
khi x = 1 khi đó
( ,( )) 3 2d A
α
=
(2). So sánh (1) và (2)
ta có max
( ,( )) 3 2d A
α
=
. Do đó
1
c
c a
a
= ⇔ =
, chọn a = 1 ⇒ c = 1 thì phương trình của
mặt phẳng (α) thỏa yêu cầu bài toán là: x – 4y + z – 3 = 0.
* Nhận xét: Lời giải này dài hơn đáp án đã có, tuy nhiên qua đó cũng rèn luyện thêm cho
học sinh kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề theo cách này cũng rất bổ ích cho học sinh
lớp 12 trong việc luyện thi đại học và cao đẳng.
Bài tập tương tự:
1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos
α
=

Giúp học sinh khá, giỏi sáng tạo trong thực hành giải toán có sử dụng kĩ năng này và
nó liên thông trong hình học giải tích lượng giác và đại số. Bổ sung thêm cho học sinh một
kỹ năng giải toán tương đối phổ dụng cho học sinh cấp THPT. Tạo ra một tài liệu nhỏ cung
cấp cho học sinh tham khảo.
Ở tổ chuyên môn được đồng nghiệp khích lệ và ủng hộ và đề tài cũng là tài liệu tham
khảo nội bộ của tổ chuyên môn trong giảng dạy từ năm học 2013 − 2014.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài xem như tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên dạy toán. Sau khi
được thẩm định của hội đồng khoa học của Sở Giáo dục đề nghị được chia sẻ dưới mọi hình
thức với học sinh và đồng nghiệp.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
 SGK môn Toán 10, 11, 12 (nâng cao) của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
 Bộ đề thi ĐH & CĐ của Bộ Giáo dục và Đào tạo các năm trước đây.
 Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng
- của Nguyễn Thành Long trên www.MATHVN.com.

Trảng Bom, ngày 17 tháng 4 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Lê Quỳnh
Trang 11 Nguyễn Lê Quỳnh
Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài tốn trong chương trình THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT A Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Trảng Bom, ngày tháng 5 năm 2014
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2013 - 2014

cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi
rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
Tôi cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại
nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
NGƯỜI THỰC HIỆN
SKKN
Nguyễn Lê Quỳnh
XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN
Nguyễn Thị Tám
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Trần Xuân Tiếu
Trang 13 Nguyễn Lê Quỳnh