Phòng GD & ĐT TP Cao Lãnh
Trường THCS Nguyễn Thị Lựu
Tổ : Toán – Lý
GV : Lê Nhật Vương Anh
Đề tài SKKN :
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ TÌM
NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TẬP
HÌNH HỌC 9.

I – LÝ DO THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :
Ở trường THCS cũng như trong toán học nói chung, có rất
nhiều bài toán chưa hoặc không có angorit (thuật giải) để giải. Đối với
những bài toán đó, có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ , cách tìm tòi
lời giải : nên bắt đầu từ đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào, nếu gặp
khó khăn thì nên làm gì v.v…. Đó là những lời khuyên của những
người có kinh nghiệm giải toán, không phải là bản chỉ dẫn có tính chất
angorit. Đối với những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện
khác nhau, đi đến kết quả khác nhau.
Ví dụ : khi ta khuyên học sinh : “Nếu em chưa giải được bài
toán đã đề ra, thì hãy xét một bài toán đơn giản hơn”, mỗi học sinh có
thể nghĩ đến một bài toán tương tự khác nhau, có em đi đến kết quả
tốt đẹp, có em không.
Điều đó nói lên tính chất khó khăn và phức tạp của việc truyền
thụ và học tập kinh nghiệm giải toán, chứ không thể phủ nhận vai trò
quan trọng của việc đó. Vì lẽ rằng ở đây không có cách nào khác :
không có phương pháp tổng quát nào, không có thuật giải nào để giải
mọi bài toán ; chúng ta phải thông qua việc dạy học sinh giải một số
bài tập cụ thể mà truyền cho học sinh kinh nghiệm và nghệ thuật trong
phương pháp suy nghĩ, giúp học sinh tự tìm thấy lời giải của các bài
toán khác, trong những tình huống mới và tìm được nhiều lời giải cho
một bài toán. Đó cũng là lý do mà tôi thực hiện đề tài này.

những trường hợp đặc biệt. Thí dụ : “Cho một tam giác
ABC” thì phải vẽ một tam giác ABC bất kì ( có 3 góc
nhọn, không có hai góc bằng nhau).
 Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính
chất. Muốn vậy, nhiều khi phải thay đổi thứ tự dựng
các phần tử nêu trong bài toán.
Thí dụ : bài toán “ Cho
∆
ABC vuông tại A. Trên AC lấy
một điểm M và vẽ một đường tròn đường kính MC. Nối BM kéo
dài, gặp đường tròn tại D. Đường nối DA gặp đường tròn tại S.
Chứng minlh rằng :
a) ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) CA là phân giác của góc SCB.
Học sinh thường có thói quen chỉ vẽ hình theo đúng thứ tự nêu
trong bài toán ; trong trường hợp này, ta khó vẽ hình (vẽ đường tròn c
ó đường kính MC cho trước) và hình vẽ thường không rõ ( hai điểm S,
D quá gần nhau, H. 1). Vì vậy phải hướng dẫn học sinh cách vẽ hình
như sau : ban đầu vẽ hình theo đúng thứ tự nêu trong đề toán, nếu theo
thứ tự đó mà hình khó vẽ hoặc nhìn không rõ, thì nên vẽ lại hình, lần
này thay đổi thứ tự dựng các phần tử. Trong thí dụ trên, trước hết ta
vẽ một đường tròn, kẻ đường kính CM, trên đó (kéo dài về phía M) ta
lấy một điểm A ; từ A kẻ cát tuyến ASD ( sao cho S, D không quá gần
nhau), đường DM cắt đường vuông góc với AC tại B (H.2) rõ ràng là
H.2 giúp giải bài toán dễ hơn H.1

S
B
M
O

(*) mà không nên viết ∆ABC = ∆DEF . Cách viết (*) giúp ta thấy rõ
sự tương ứng giữa các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Từ (*)
không cần nhìn hình vẽ, có thể viết được AC = EF, A = E, C = F.
2. Xây dựng chương trình giải :
Trong phần này cần phải nhấn mạnh một số điểm quan trọng
đối với học sinh lớp 9 là : phân tích bài toán đã cho, chia bài toán
thành nhiều bài toán đơn giản hơn; biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm,
dự đoán bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, xét bài toán tương tự
hay khái quát hơn , v.v…
o phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài
toán nhỏ, đơn giản hơn
Thí dụ 1 : Bài tập 20 SGK HH 9 tập 2 trang 76 :
“ Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ
các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng
ba điểm C, B, D thẳng hàng”.
Học sinh lớp 9 phần lớn sợ môn hình học và rất ít chịu suy nghĩ
ở các dạng câu hỏi mà học sinh cho là khó như, tập hợp điểm, chứng
minh ba điểm thẳng hàng. Giáo viên có thể giúp học sinh nhìn bài
toán một cách đơn giản hơn bằng cách chia câu hỏi thành hai phần :
a) Chứng minh ABC = ABD = 90
0
b) Chứng minh C, B, D thẳng hàng.
Thí dụ 2 : bài toán “Dựng tam giác ABC cho biết cạnh BC = a,
trung tuyến AM = m và đường cao AH = h”, ta có thể cho học sinh phân
tích thành hai phần :
• Dựng tam giác ABC cho biết BC = a và trung tuyến AM = m.
• Dựng tam giác ABC cho biết BC = a và đường cao AH = h.
Mỗi bài toán trên đây đều rất dễ giải : trong trường hợp thứ nhất,
đỉnh A nằm trên đường tròn (M) tâm M, bán kính m ; trong trường hợp
thứ hai, đỉnh A nằm trên đường thẳng d, song song với BC và cách BC

Có mấy vấn đề cần chú ý hướng dẫn học sinh :
 Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận. Việc này
phải trở thành một thói quen đối với học sinh và giáo
viên phải ỵêu cầu học sinh thực hiện thường xuyên.
D
O
B
A
C
E
 Nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy
ra của bài toán không. Đối với học sinh THCS yêu cầu
này không thể triệt để được, trong nhiều trường hợp ta
không đòi hỏi học sinh phải biện luận, phải xét đầy đủ
các trường hợp. Tuy nhiên cũng cần từng bước luyện
tập cho học sinh về mặt này qua một số bài toán đơn
giản, giúp các em xây dựng thói quen nhìn vấn đề ở
nhiều khía cạnh, một cách toàn diện, tránh hời hợt.
Thí dụ : Bài tập 13 SGK HH 9 tập 2 trang 72.
Đối vói bài tập này học sinh thường chỉ xét một trường hợp là
tâm O nằm ngoài 2 dây song song hoặc tâm O nằm trong 2 dây song
song. Giáo viên nên gọi 1 học sinh vẽ hình và yêu cầu học sinh tìm
trường hợp còn lại.B
O
C
D
A

⇒ COH = DOH
⇒ sđCH = sđDH (1)
Tương tự ta có : sđAH = sđBH (2)
từ (1) và (2) ⇒ sđCH – sđAH = sđDH – sđBH
hay sđAC = sđBD

 Bài tập 20 SGK HH 9 tập 2 trang 76 :
“Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các
đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B,
D thẳng hàng”.
N
M
A
B
C
O
D
K
H
A
B
C
O
D
Giải :
Cách 1 :
Ta có : ABC = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
ABD = 90

minh rằng AC = CD”.
Giải :
a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Ví OO’ = OA – O’A
nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong.
b) Cách 1 : Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh
A nên ACO’ = D
⇒O’C // OD.
Tam giác AOD có AO’ = OO’ và O’C // OD nên AC = CD.
Cách 2 : Tam giác ACO có đường trung tuyến CO’ =
2
1
AO
nên ACO = 90
0
. Tam giác AOD cân tại O có OC là đường cao nên là
đường trung tuyến, do đó AC = CD.
 Bài tập 58 SGK toán 9 tập 2 trang 90 :
“Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không
chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và DCB =
2
1
ACB.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C”.
Giải :
Cách 1 :
a) Ta có : DCB =
2
1
ACB =

ABDC là trung điểm của AD.
Cách 2 :
Ta có : DCB =
2
1
ACB =
2
1
. 60
0
= 30
0

⇒ ACD = 60
0
+ 30
0
= 90
0
Do DB = DC nên ∆BDC cân ⇒ DBC = DCB = 30
0

⇒ ABD = 90
0
Vậy điểm B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên bốn
điểm A, B, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính AD, hay trung
điểm AD là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.
 Bài tập 59 SGK toán 9 tập 2 trang 90 :
“Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B,
C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD”.

Cách 1 :
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh a = 3cm bằng thước và
compa.
b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là giao điểm
của 3 đường trung trực ( đồng thời là ba đường cao, ba
đường trung tuyến, ba đường phân giác của tam giác đều
ABC).
3
2
33
.
3
2
2
3
.
3
2
'
3
2
=====
AB
AAOAR
cm
c) Đường tròn nội tiếp (O ; r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác
đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.
D
P
O

30cos
'
0
====⇒
AC
OAR
cm.
r = OC’ = OA . sin30
0
=
2
3
2
1
.3
=
cm.
IV - MỘT SỐ LƯU Ý KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI
TẬP HÌNH HỌC 9 VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI :
Để đảm bảo chất lượng bài trên lớp cũng như chất lượng trong
các tiết giải bài tập phụ thuộc rất nhiều vào sự chuẩn bị của giáo viên.
Đòi hỏi giáo viên suy nghĩ vận dụng tổng hợp kiến thức và nghiệp vụ
sư phạm của mình.
Bảng gợi ý của Polya rất có ích cho giáo viên trong quá trình
hướng dẫn học sinh giải toán. Người giáo viên có kinh nghiệm về mặt
này thường là người biết đề ra cho học sinh đúng lúc, kịp thời những
câu hỏi gợi ý sâu sắc và sát trình độ ; và trong mức độ nào đó đã sử
dụng thành thạo và linh hoạt bảng Polya.
1/ Hiểu rõ bài toán :
J

quan mà dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một
trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Em có thể giải
một phần bài toán không ?
o Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó,
ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như
thế nào ? Em có thể từ một dữ kiện rút ra một yếu tố có ích
không ? Em có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể giúp em
xác định được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện,
hay cả hay nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới
được gần nhau hơn không ?
o Em đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn bộ
điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu
trong bài toán chưa ?
3/ Thực hiện chương trình :
o Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã
thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? Em có thể chứng
minh là nó đúng không ?
4/ Trở lại cách giải: ( nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
o Em có thể kiểm tra lại kết quả ? Em có thể kiểm tra lại toàn
bộ quá trình giải bài toán không ?
o Có thể tìm được kết quả một cách khác không ? Có thể thấy
trực tiếp ngay kết quả không ?
o Em có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài
toán nào khác không ?
V - KẾT LUẬN :
Cùng với việc tham khảo tài liệu, học tập kinh nghiệm của
đồng nghiệp, giáo viên cần có thói quen thường xuyên tự đánh giá bài
lên lớp của mình, rút ra những kinh nghiệm thành công hay thất bại
của chính mình.
Khi chuẩn bị một tiết giải bài tập hình học cho học sinh, giáo