SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƢỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
===================== SÁNG KIẾN, KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG KỸ THUẬT LIÊN HP
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Người thực hiện: Nguyễn Cơng Nhàn
duy nhất, ngoài ra ta cũng có thể đoán nghiệm để đưa về phương trình tích để
giải. Khi giải những bài tập đòi hỏi phải đoán được nghiệm và biến đổi tiếp tục
để giải, thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt trong các bài toán về
phương trình chứa căn, mà ta gọi là phương trình vô tỉ thì việc đoán nghiệm và
phân tích biểu thức về tích càng trở nên khó khăn hơn. Phương trình vô tỉ là một
nhánh rất hay gặp trong các bài toán về phương trình trong các đề thì tuyển sinh
đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Chính vì thế, bản thân luôn mong muốn
có một tài liệu hoàn chỉnh về cách giải phương trình này, trong đó “sử dụng kỷ
thuật liên hợp” là kỹ thuật mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn và rất ít tài liệu
viết về điều này. Do đó, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến, kinh nghiệm về
“Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải một số phƣơng trình vô tỉ”
Mong rằng với tài liệu này, các em học sinh có thêm tự tin để giải tốt bài toán
phương trình vô tỉ.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mục đích nêu “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô
tỉ” nhằm giúp giải quyết một phần các khó khăn khi giải một số bài toán phương
trình vô tỉ thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức
linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng cách giải một bài toán
phương trình vô tỉ cho học sinh, cũng như mong muốn được đóng góp một phần
nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học, nhằm để học sinh học
tốt môn toán nói chung và từng bước biết vận dụng có hiệu quả bài toán giải
phương trình vô tỉ nói riêng.
4
Trang bị cho học sinh một phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ mang
lại hiệu quả rõ nét.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Trang bị cho học sinh một phương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua
biểu thức liên hợp
Cung cấp một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ thích hợp cho việc giải
toán qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo
hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng được cách giải một bài toán cho học
sinh.
Trang bị cho học sinh một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ mang lại
hiệu quả rõ nét.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh.
Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này
làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh khối THPT trong các kỳ thi cuối kỳ, thi
học sinh giỏi, thi Đại học – Cao đẳng.
7. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Dựa trên thực tế giảng dạy học sinh trường THPT, trên cơ sở tích luỹ
trong quá trình soạn giảng và những bức xúc khi học sinh giải các bài toán về
phương trình vô tỉ, bản thân tôi luôn tìm tòi cách dạy hiệu quả nhất cho đối
tượng, cộng tác cùng đồng nghiệp, tham khảo ý kiến sửa chữa kịp thời. Thật
vậy, từ khi biên soạn cho đến nay đã được gần 3 năm, tôi và đồng nghiệp nhận
thấy đa số học sinh sau khi học cách áp dụng phương pháp này thì khả năng
nhận dạng phương trình vô tỉ của các em có tiến bộ rõ rệt.
Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các đồng
nghiệp trong tổ Toán, tập thể giáo viên của trường THPT số 3 An Nhơn, tỉnh
6
Bình Định. Tôi xin chân thành cảm ơn và rất mong quy
́
thầy cô và bạn bè đồng
nghiệp góp ý kiến cho đề tài này để tôi tiếp tục hoàn chỉnh nó trong quá trình
giảng dạy của mình, cũng như làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.
Giáo viên thực hiện
Nguyễn Công Nhàn
,
n
n
n
n
nn
nn
a khi
aa
a khi a
aa
a b a b a b
a b a b a b
\
Lũy thừa hai vế của phương trình
Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.
Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình
cùng không âm.
a hay
ab
ab
4. Một số phƣơng pháp khác đƣợc dùng để giải bài toán phƣơng trình vô tỉ
4.1 Phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp bình phương hai vế hai vế
của một phương trình.
4.2 Biến đổi về phương trình tích.
4.3 Sử dụng kỷ thuật liên hợp.
4.4 Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình giải được.
4.5 Phương pháp lượng giác hóa.
4.6 Phương pháp tọa độ và vectơ.
4.7 Phương pháp đánh giá hai vế, có kết hợp tính chất hàm số.
5. Các kết quả sau sử dụng trong phƣơng pháp sử dụng kỷ thuật liên hợp
Tính chất 1. Nếu x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = 0
(1)
Tính chất 5.
33
22
33
33
AB
AB
A A B B
6. Cơ sở của phƣơng pháp:
Khi gặp một phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp:
Có sự xuất hiện của nhiều căn thức,
Có sự xuất hiện của nhiều căn thức khác bậc
Có sự xuất hiện của một đa thức bậc 2, bậc 3
Đối với các phương trình loại đó, ta khó thực hiện các thao tác
Biến đổi để đưa về nhân tử chung;
9
Biến đổi bằng cách bình phương hai vế hai vế, vì như thế sẽ tạo nên
phương trình bậc cao
Khó có thể đặt ẩn phụ, vì như thế không có mối quan hệ giữa các biểu
thức
Không thể xét các hàm số ở vế trái và vế phải có tính biến thiên ngược
nhau, từ đó không thể kết luận nghiệm duy nhất, mặc dù ta vẫn đoán được
một nghiệm của phương trình
Vì vậy, đối với loại phương trình này, chúng ta không thể biến đổi đồng
Ta đi tìm cách giải cho phương trình này như sau:
Cách 1: Biến đổi tương đương, cách này không có cơ sở để biến đổi, không thể
bình phương hai vế vì khi bình phương hai vế bài toán sẽ dẫn đến phức
tạp.
Cách 2: Đưa về phương trình tích bình thường, ta không nhận thấy nhân tử
chung hoặc biến đổi thế nào.
Cách 3: Dùng ẩn phụ, nếu đặt ẩn phụ chúng ta phải đặt ít nhất hai ẩn phụ, nhưng
cũng không nhận dạng được ẩn phụ hợp lí.
Cách 4: Lượng giác hóa, chúng ta chưa nhận thấy dấu hiệu rõ ràng nào về cách
đặt lượng giác.
Cách 5: Phương pháp tọa độ và vectơ, để làm điều này ta phải đưa trong căn về
tổng bình phương. Nhưng điều này không nhận ra.
2( 2) 3( 2)
2 3 4
3 5 1 3 1
20
3 3 5 1 3 1 2 2 3 4 (*)
xx
x x x
x x x x
x
x x x x x x x
Phương trình (*) vô nghiệm, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2x
Phương trình trên được giải như sau
Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy, mỗi phương trình có mỗi đặc điểm khác
nhau. Khi đi tìm lời giải đòi hỏi chúng ta phải có nhiều giải pháp khác nhau để
đánh giá và giải phương trình một cách hợp lí. Sau đây tôi xin giới thiệu Một số
12
phƣơng trình vô tỉ đƣợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật liên hợp. Mong
rằng, tài liệu này sẽ là một cẩm nang giúp đỡ các em học sinh nhiều kinh
nghiệm hơn trong việc giải phương trình vô tỉ, một bài toán được xem là khó và
cũng hay xuất hiện trong các đề thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp.
Các dạng phƣơng trình thƣờng gặp trong kỷ thuật liên hợp
1.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x
, trong đó f(x) – g(x) và h(x) – k(x) có
nghiệm chung x
0
2.
( ) ( ) ( )f x g x h x
, trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là
x
0
3.
()fx
, khi có nghiệm là 2 thì ta xác định
được
(2)f
, ta thêm bớt để tạo ra
( ) (2)f x f
Bước 3: Nhân biểu thức liên hợp của các biểu thức, ví dụ
2 ( )
( ) (2)
( ) (2)
( ) (2) ( ) (2)
x g x
f x f
f x f
f x f f x f
Ví dụ 1.
23
3
12x x x
Nhận xét
Điều kiện cho phương trình:
3
xx
x
x
x
xx
14
2
2
3
22
33
2
(2)
2
3
22
33
3 3 9
3 1 0
25
1 2 1 4
3
Vì
3
2x
nên
2
22
3
22
33
2
3
3 3 3 9
1 1 2
25
1 2 1 4
1 1 3
x x x x
x
phải đồng biến trên [2; 4], điều này không thể kết luận được gì.
Ta cố gắng phân tích các biểu thức của phương trình về tích có chứa thừa
số x – 2; từ đó ta thêm, bớt số 1 vào để tạo các biểu thức như ý muốn, sau
đó nhân liên hợp, ta được
(2)
11
3 2 1 0
2 1 4 1
3
11
2 1 0
2 1 4 1
2
2 1 4 1 2 5 3
33
3 2 1
2 1 4 1
xx
xx
x
x
xx
x x x x
xx
xx
xx
1
2 1 4 1 2 1
x
xx
Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 3.
2
1 2 6 7 7 12x x x x x x
Điều kiện:
2x
Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho
Ta cố gắng xử lý các biểu thức chứa căn nên ta sẽ tạo ra
2 2 2; 7 2 7xx
Khi đó có phương trình
16
2
Với
2x
thì
1 6 1 6
4 4 0
23
2 2 7 3
x x x x
xx
xx
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
Bài tập tƣơng tự
( ) ( )f x g x
, trong đó f(x) là đa thức
hoặc là phân thức, g(x) là đa thức
Bước 2: Thêm, bớt vào hai vế của phương trình đa thức mx + n, ta được
( ) ( )f x mx n g x mx n
Bước 3: Chúng ta quy đồng mẫu vế trái và nhân liên hợp cho vế phải của
phương trình
Bước 4: Cho tử của hai vế bằng nhau để được cặp số (m, n).
Khi đó ta xác định được biểu thức cần thêm bớt, sử dụng lượng liên hợp để giải
Ví dụ 1.
22
1 2 2 2x x x x x
Nhận xét:
x + 2 tham gia vào phương trình để làm gì?
18
Vì x = -2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho
x + 2 ta được phương trình tương đương với
2
2
1
22
2
xx
xx
x
Ta chọn (m; n) sao cho
22
1 2 2 2
0; 3
1 1 2 1 2
m mn n
mn
m m n n
Khi đó
2
2
2
2
22
2
2
2
1
Phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) tương đương phương trình (3)
và có tập nghiệm
1 7;1 7S
19
Ví dụ 2.
32
3 1 8 3x x x
(1)
Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy chỉ có một căn bậc hai, có thể
bình phương hai vế để làm mất căn. Nhưng khi thực hiện thao tác bình phương
hai vế, thì ta sẽ tạo ra phương trình bậc 6, dẫn đến khó khăn khi giải phương
trình này.
Điều kiện:
2
8 3 0x
Bằng cách làm như trên, ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình
xx
x
xx
Xét hàm số
2
88
( ) 8 3 2 ; ;
33
f x x x x
;
22
S
20
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1
2
2
12
1
x x x
xx
Bài 2
2
2 4 2 5 1x x x x
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ đã được tôi áp dụng ở nhiều
năm học, ở nhiều lớp và như vậy là trên nhiều học sinh. Trong quá trình giảng
dạy tôi đã sử dụng hình thức như sau tiến hành hướng dẫn học sinh giải một số
phương trình vô tỉ và trước hết tôi để các em tự tìm hướng giải, sau đó hướng
dẫn học sinh kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ. Tôi nhận được sự
ủng hộ của các em rất lớn khi ứng dụng “kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng
trình vô tỉ ’’ sau mỗi lần làm xong bài toán tôi đã làm một cuộc điều tra và rút
kinh nghiệm cho bản thân
Trong những năm học vừa qua tiến hành khảo sát thực tế về hiệu quả của
việc nghiên cứu đề tài như sau:
- Các lớp khảo sát: Lớp10 năm học ( 2009 – 2010, 2012 – 2013) và lớp 12
(2012 – 2012)
- Cách tiến hành:
- Kiểm tra ban đầu
- Tiến hành định hướng cho từng đối tượng học sinh
- Kiểm tra tính hiệu quả của đề tài thông qua các bài kiểm tra
- Kết quả cụ thể :
Năm
học
Số
học
sinh
Khảo sát khi chƣa sử dụng đề tài
Kết quả sau khi sử dụng đề tài
Yếu,
kém
TB
Khá
Giỏi
Yếu,kém
108
K12
14
12.96
%
72
66.67
%
22
20.37%
0
0%
4
3.7%
23
21.3%
60
55.56
%
21
19.44%
2012
–
2013
97
K10
18
18.56
22
Thiết nghĩ một số phương pháp giải phương trình vô tỉ sẽ giải được một lớp các
bài toán giải phương trình, một cách trọn vẹn, rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu mà các
phương pháp khác chưa chắc đã có được. Từ những suy nghĩ thực tế giảng dạy
thu được kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này .
2. Lợi ích và khả năngvận dụng
Đề tài này khả năng áp dụng dễ và áp dụng tốt cho mọi học sinh khối
THPT từ lớp 10 đến lớp 12 trong quá trình giải một số phương trình vô tỉ . Đồng
thời trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Bản thân
cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn
luyện cho học sinh trong các kỳ thi TSĐH, thi học sinh giỏi các cấp.
3. Hiệu quả
Học sinh dễ hiểu bài, tạo cho học sinh hứng thú, say mê trong học tập, rèn
luyên được tính sáng tạo cho học sinh, nâng cao kỷ thuật tính toán, nhận dạng
cho học sinh. Học sinh vận dụng nhanh ít tốn thời gian đem lại hiệu quả, các em
giải quyết được một số bài toán phương trình khó, biết nhận biết vấn đề và xác
định được phương pháp hay, ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ. Qua
đó các em có đầy đủ cách nhìn cho một phương trình vô tỉ, giúp các em tự tin và
đủ bản lĩnh để nhận dạng và giải thành thạo một phương trình vô tỉ.
4. Mức độ triển khai
Dạy học sinh trong các tiết ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô
tỉ, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, chuẩn bị cho thi đại học, và chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi.
5. Các đề xuất kiến nghị
Tôi luôn nghĩ rằng: sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích
cao cả, và là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do đó, tôi mong ước
được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau:
Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em, hãy tìm ra
những điều tốt để kịp thời động viên, tạo điều kiện cho học sinh ngày càng tiến
bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. Bồi dưỡng cho học sinh thói
3. Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích lớp 10, 11,
12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản
Giáo Dục (Sách chỉnh lí năm 2000)
4. Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 lần thứ 7, 8, 9, 10, 11 của Nhà xuất bản
Giáo dục.
5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh từ năm 2009 đến 2012
Copyright: Tài liệu đại học ©