BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

 
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG và PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU MÔ HÌNH HÓA VỚI PHƯƠNG PHÁP
TÍCH CỰC TRONG DẠY HỌC TOÁN

(TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN)
ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều
mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa
chúng được xem là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước
hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù
hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người ta phải
xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng
phương pháp phân tích chuyên gia.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã
sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2 : Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.
Lúc này phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không ?
Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử
dụng. Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình
trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.
- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa ? Nếu chưa thì phải xây dựng
lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem
xét lại mô hình toán học đã lựa chọn.
- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu
không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
2

- Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không ? Nếu không
thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác.
Hai câu hỏi cuối đặt ra cho mô hình trung gian đã được xây dựng.

ta tìm cách mô hình hóa)

Trình bày lại các câu hỏi

Câu trả lời
cho bài toán toán học
MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Giải bài toán

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
3

Như vậy là cần phải biết hình dạng, các kích thước của tam giác và bán kính chiếu sáng của
đèn. Tìm hiểu những thông tin bổ sung này rồi lại chuyển về bài toán toán học. …
I.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa
Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức
xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với các
nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải
quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường
hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một
khái niệm, một định lý mới). Song đối với giáo viên thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn
đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình:
- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức)
→ Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình
toán học.
- Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán
thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công
thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một
mô hình toán học phù hợp.


c. Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N. Hỏi con
thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ?”
Phân tích:
Kĩ thuật:
- Thay giá trị của F (với F là lực gió tác động lên cánh buồm) và v đã cho ban đầu vào công
thức F=av
2
để tìm a.
- Với a vừa tìm được, lần lượt thay v=10 & v=20 vào công thức ta F = 30v
2
để tìm F.
- Nhận xét gió bão có vận tốc 90 km/h = 25m/s nên so sánh với kết quả đã tìm được ở trên để
kết luận.
Nhận xét :
Kĩ thuật chỉ tương ứng với bước 3, trong bốn bước giải cần tiến hành để thực hiện mô hình
hóa toán học.
 Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một
bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và
bước 2 - bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học
Kết luận 1 : Vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến ở lớp 9.
Ví dụ 2
2
: Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức và tính giá trị hàm số”
Bài tập 25 tr.54 SGK toán 10 nâng cao:
Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10km đầu
tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng
đường x kilômét phải trả y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số đối với x, xác định với
mọi x ≥ 0.
a. Hãy phát biểu y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0;10], và

f (8)= 6.8= 48; f (10)= 6.10= 60
f (18)= 2,5.18+25= 80
Nhận xét :
Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên tương ứng với bước 1, bước 2 và bước 3 của quá
trình mô hình hóa.
Kết luận 2 : Vấn đề mô hình hóa có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10.
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
III.1. Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10
3

Bài toán thực nghiệm 1 :
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kg thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị
prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn; giá của 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Hỏi gia
đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh
dưỡng trong một ngày.
Mục đích: Việc xây dựng bài toán thực tế này nhằm tìm hiểu xem quá trình mô hình hóa theo
cách trình bày của SGK có thực sự được HS lĩnh hội tốt hay không? Thông qua đó sẽ biết
mức độ thực hành các bài toán dạng này của HS đến đâu? GV, HS có đặt nặng mô hình hóa
trong dạy học hay không?
Bài toán thực nghiệm 2 :
Mỗi tuần, Marry làm vòng cổ và hoa tai để bán. Lợi nhuận thu được từ một vòng cổ là 3 USD, một
đôi hoa tai là 2 USD. Trong quá trình sản xuất, Marry có đặt ra giới hạn về số lượng và lợi nhuận cho
sản phẩm của mình. Có thể xem các điều kiện của Marry đặt ra là một hệ bất phương trình. Dưới đây
là đồ thị biểu thị miền nghiệm của hệ bất phương trình này (đa giác ABCDE):
+ Trục Ox cho biết số lượng vòng cổ, trục Oy cho biết số lượng hoa tai.
+ Hình chữ nhật tạo bởi 4 đường thẳng d
1
, d

Bài toán 1.
Trong trận bóng đá, một cầu thủ đá một trái banh từ mặt đất lên độ cao H mét trong thời gian t giây.
Các số liệu được thống kê trong bảng sau:

Tại thời điểm t(giây) 0,25 O,5
Chiều cao của quả bóng đạt đươc
H(m)
1,2 2,2
4
Đinh Quốc Khánh (2011), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
7Phiếu số 1:
Câu hỏi 1. Giả sử thủ thành chụp được bóng tại thời điểm t = 0,5giây. Xem chiều cao h là
hàm số của thời gian t. Xác định hàm số mô tả đường đi của quả bóng từ sau khi cầu thủ sút
bóng đến khi thủ thành chụp được?
Phiếu số 2:
Câu hỏi 2
1) Tính chiều cao quả bóng đạt được tại thời điểm 0,3 giây sau cú đá của cầu thủ.
2) Hãy phác thảo đồ thị của hàm số mô tả đường đi của quả bóng, từ lúc được cầu thủ đá
cho đến khi thủ thành chụp được bóng, lên mặt phẳng tọa độ.
Phiếu số 3:
1) Nhóm hãy thảo luận để thống nhất với nhau về câu trả lời cho câu hỏi 1 của bài toán 2.
2) Nhóm hãy nêu lại các bước để tìm biểu thức hàm số trong bài toán 1 và bài toán 2.
Bài toán 2.


a) Xác định giá trị của x để các biểu thức A, B đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này.
Các em thử tìm nhiều cách khác nhau để giải quyết bài toán.

Câu hỏi 2
Xác định số
a b
e e
M M
,
lần lượt là số trung vị của mẫu dữ liệu ở câu a, b:
a) -1 2 3
b) -1 2 3 7,5

Câu hỏi 3
Tính giá trị của biểu thức A tại
a
e
M
, biểu thức B tại
b
e
M
:
A x 1 x 3 x 2
= + + − + −

B x 1 x 3 x 2 x 7 5
,


Tình huống 2 : Tình huống số trung bình với nghĩa vật lý
6

Pha 1 :
Mỗi nhóm sẽ được nhận một tấm bìa cứng và một phiếu có in hình của tấm bìa trên nền giấy
kẻ ô.
Các em hãy tìm cách xác định một vị trí trên cạnh (cạnh này đã được đánh dấu bằng đường
kẻ màu đỏ) sao cho khi đặt một điểm tựa tại vị trí đó thì tấm bìa này sẽ ở trạng thái cân bằng.
a) Hãy đánh dấu vị trí cân bằng đó lên tấm bìa.
b) Hãy trình bày rõ cách thực hiện của các em.

Pha 2 :
Mỗi nhóm sẽ nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột.
Người ta đã thu thập dữ liệu thống kê và biểu diễn dữ liệu này bằng một biểu đồ tần số hình
cột như trong hình vẽ in trên phiếu nhận được.
Em hãy tính số trung bình của tập hợp dữ liệu thống kê.
Em hãy đánh dấu trên trục hoành vị trí của số trung bình vừa tìm được.

Pha 3 :
Mỗi nhóm nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột.
Người ta đã thu thập dữ liệu về cân nặng của một số học sinh (đơn vị tính là kg) và vẽ biểu
đồ để biểu diễn dữ liệu như hình vẽ in trong phiếu nhận được.
Em hãy tìm cách chỉ ra cân nặng trung bình của các học sinh này và trình bày cách thực hiện
của em. 6
Nguyễn Thị Thanh Hoàng, 2011, Biểu đồ trong biểu diễn dự liệu thống kê.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013

Táo 14%
Nho 6%
Sầu riêng 5%
Các loại trái cây khác

19%

Nếu để chuẩn bị cho tháng tiếp theo, cửa hàng cần nhập vào 500 thùng trái cây thì theo em,
cửa hàng nhập khoảng bao nhiêu thùng cam? Vì sao? Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
12

CHƯƠNG 2 :
THỰC HÀNH : MỘT SỐ TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA

I. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ (TÌNH HUỐNG 1)
II.1. Bài toán con thỏ
"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một
thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và
quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng)
có một đôi thỏ sơ sinh? II.2. Bài toán bàn cờ và số hạt gạo
Tương truyền có một vị vua Ấn Ðộ hứa sẽ ban thưởng cho ai phát minh ra một trò vui để ông tiêu
khiển. Cuối cùng có một nhà toán học phát minh ra bàn cờ vua gồm 64 ô. Nhà vua thích thú quá, bèn
hỏi ông ta cần ban thưởng gì. Ông ta tâu: “Thưa Bệ hạ, hạ thần chỉ cần được thưởng một số gạo để
phát cho người nghèo. Xin Bệ hạ cứ cho bỏ gạo vào bàn cờ, ô đầu tiên 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba


II. TÌNH HUỐNG NGHIÊN CỨU
II.1. Bóng đèn :
Tuổi thọ của bóng đèn loại thường là 1000 giờ. Các bóng đèn này thường được bán theo từng lô 4
bóng loại 100 W, 4 bóng loại 75 W và 2 bóng loại 60 W, có giá là …………………

Nếu trong một gia đình, người ta quyết định thay thế các bóng đèn thường bằng bóng compact thì họ
tiết kiệm được bao nhiêu ?

8
Tham khảo : http://www.vietcombank.com.vn/InterestRates/ (ngày 25/6/2013)
bóng đèn tiết kiệm
Osram 12 W có tuổi thọ
8000 giờ
Lô bóng đèn tiết kiệm Osram
21 W tương đương bóng 100 W và có tuổi thọ 8000 giờ
17 W tương đương bóng 75 W và có tuổi thọ 6000 giờ
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
14II.2. Thùng rác
Việc tái chế có mục đích chính là chống ô nhiễm môi trường và bảo vệ nguồn tài nguyên thiên nhiên.
Do đó, việc tham gia của các bạn là rất quan trọng ! Đó là lý do vì sao nhiều nước trên thế giới phát
động các chiến dịch khuyến khích người dân thực hiện tái chế.
Một trong các chiến dịch này là làm sao giảm thiểu thể tích các chai, hộp bằng giấy và các đồ chứa
trước khi bỏ vào thùng rác tương ứng. 1) Tính kích thước các vật chứa sau đây sau khi làm dẹp (bẹp) chúng:

[10] Nguyễn Thị Thanh Hoàng (2011), Một nghiên cứu didactic về biểu đồ trong biểu diễn
dự liệu thống kê trong dạy học toán ở phổ thông.
[11] Phạm Huy Điển (2006) Bàn về dạy và học toán hiện nay, Tạp chí Dạy và học ngày nay,
số 7/2006, Trung ương Hội khuyến học Việt Nam.
[12] Phạm Thị Tú Hạnh (2012), Tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10.
[13] Quách Huỳnh hạnh (2011), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê ở trung học phổ
thông.
Các Sách giáo khoa Giải tích và Đại số 11 Ban cơ bản và Nâng cao, NXB GD 2005.