Phương pháp diện tích trong giải toán hình học 1

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Thực trạng giảng dạy toán tại trường THCS Yên Đồng
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng HSG tại trường THCS Yên
Đồng, chúng tôi thấy có nhiều học sinh chưa đạt được kết quả mong muốn, có
cả kết quả yếu kém.
Nói riêng về phần diện tích đa giác cũng gặp một số khó khăn nhất định,
giáo viên thì chưa có chú ý đúng mực trong giảng dạy, học sinh chưa thành thạo
vận dụng diện tích để giải bài toán. Học sinh mới chỉ vận dụng diện tích trong
trường hợp đơn giản mà chủ yếu là những bài tập thuần túy về diện tích. Trong
thực tế thì có nhiều dạng bài tập có vẻ như không liên quan gì đến diện tích
nhưng lại có thể giải bằng phương pháp diện tích rất có hiệu quả mà học sinh
không được biết, vì thế đã gặp nhiều khó khăn để tìm lời giải bằng phương pháp
khác.
Tìm hiểu trong thực tế, chúng tôi thấy các nguyên nhân sau:
Về phía học sịnh: Có em không nhớ một số kiến thức cơ bản, có em chưa
biết đến bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng, có em thì khả năng suy luận yếu,
các thao tác tư duy cơ bản chưa thành thạo, có em thì lười học, có em thì đạo
đức yếu, gia đình thiếu quan tâm…
Về phía giáo viên: Đa số giáo viên toán trường THCS Yên Đồng có ý
thức tự bồi dưỡng thường xuyên để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Phương pháp giảng dạy đã có sự đổi mới theo hướng tích cực hóa các hoạt động
của học sinh, song bên cạnh đó vẫn còn gặp khó khăn trong công tác giảng dạy
và giáo dục học sinh. Đặc biệt trong bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên chưa xác
định rõ trọng tâm kiến thức cần phải bồi dưỡng, vì thế đã giảng dạy tràn lan,
không có hiệu quả, còn học sinh thì vất vả tiếp thu bài giảng của giáo viên. Từ

Diện tích đa giác và phương pháp vận dụng diện tích đa giác trong giải
toán hình học lớp 8.
2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, cắt ghép hình
III. PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH
1. Phạm vi: Do có sự hạn chế về thời gian nên đề tài chỉ đề cập đến phương
pháp diện tích trong giải toán hình học 8
2. Mục đích: Thực hiện đề tài này nhằm chia sẻ, trao đổi về chuyên môn với
đồng nghiệp, giúp giáo viên nâng cao hơn về trình độ chuyên môn về phần diện
tích trong hình học. Học sinh nắm được khái niệm diện tích và phương pháp vận
dụng diện tích trong giải toán.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. ĐẶC ĐIỂM CHƯƠNG TRÌNH, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 8
Không xây dựng hình học như một khoa học suy diễn thuần túy (tức là
không xuất phát từ một hệ tiên đề rồi bằng các chứng minh chặt chẽ để đi đến
các định lí, tính chất).
Giảm nhẹ chứng minh, nhưng yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh
tăng dần. Giúp học sinh khả năng phát triển tư duy lôgic, khả năng diễn đạt
chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành cảm
xúc thẩm mỹ qua học tập môn toán.
Không dạy hình học không gian mà chỉ giúp học sinh nhận biết một số vật
thể trong không gian, qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình
học không gian.
II. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
1. Định hướng cơ bản của phương pháp diện tích
1.1. Vận dụng khái niệm diện tích đa giác và các tính chất của diện tích đa
giác:
- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
Phương pháp diện tích trong giải toán hình học


b
a
A B
CD

HS thực hiện:
Hình vuông ABCD có cạnh bằng a cũng là hình chữ
nhật, nên ta có:
2
. a.a=a
ABCD
S AB BC= =

Từ tam giác ABC vuông tại B, AB=a, BC=b, ta vẽ
hình
chữ
nhật ABCD, khi đó ta có:
ABC ADC
ABC ADC S S
∆ = ∆ ⇒ =

2
ABCD ABC ADC ABC
S S S S
= + =

1
2
2
ABC ABC

HS thực hiện:
1 1 1 1
. . .
2 2 2 2
ABC AHB AHC
S S S AH BH AH CH AH BC ah
= + = + = =

Giáo viên cho học sinh vẽ tam giác tù ABC,

C
là góc tù, đường cao AH.
Yêu cầu HS quan sát hình và nhận xét?
HS nhận xét khi vẽ đường cao AH, tam giác vuông AHB được chia thành
hai tam giác, gồm tam giác vuông AHC và tam giác tù ABC.
GV yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC?
HS thực hiện:
1 1 1 1
. . .
2 2 2 2
ABC AHC AHB
ABC AHB AHC
S S S
S S S AH BH AH CH AH BC ah
+ =
⇔ = − = − = =

GV yêu cầu HS tổng quát hóa từ các trường hợp trên, hãy
rút ra công thức tính diện tích tam giác?
HS thực hiện: Với tam giác ABC bất kỳ, đường cao AH, ta có công thức

HB
A
C
Phương pháp diện tích trong giải toán hình học 5

h/2
a
h
a
E
D
M N
I
H
M
N
I
H
A
CB
A
CB

Qua hoạt động này, HS có thể tìm ra một cách khác để chứng minh công
thức tính diện tích tam giác nhọn (dựng hình chữ nhật có diện tích bằng diện
tích hình tam giác). Cụ thể như sau:
Dựng hình chữ nhật BCED sao cho đường thẳng DE trùng với đường

A
A
CB

Cắt một tam giác nhọn thành ba mảnh gồm 1 hình ngũ giác và 2 hình tam
giác vuông rồi ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước là a/2 và h.
Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam giác bằng diện tích hình chữ
nhật, tức là
1
.
2
ABC
S a h
=

Nhóm 3 (tam giác vuông)
Cắt một tam giác vuông thành 2 mảnh gồm
1 hình thang vuông và 1 hình tam giác vuông rồi
ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước là
c và b/2.
Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam
giác bằng diện tích hình chữ nhật, tức là
1
.
2
ABC
S b c
=

b/2

ABC
S a h
=

h/2
a
a
h
a
Q
RP M
N
P
M
N
M
N
C H
HC
C H
A
B
A
B
A
B

2.3. Công thức tính diện tích hình thang
GV cho hình thang ABCD, AB//CD. Hãy chia hình thang ABCD thành 2
tam giác rồi tính diện tích hình thang theo hai đáy và đường cao?

S S S AH AB CD
⇒ = + = +A
B
CD
H

Phương pháp diện tích trong giải toán hình học 7

h
h
b
a
H
O
S
N
Q
ON
G
F
G
F
A
B

( )
1
2
1
.
2
ABCD
S AH AB CD
AH AB AB AH AB
= +
= + =

A
B
CD
H

HS có thể thực hiện việc cắt ghép hình để tìm ra công thức tính diện tích
hình bình hành.
2.4. Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
GV cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc tại H. Hãy tính diện
tích tứ giác ABCD theo AC và BD?
HS thực hiện:
Đường chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam
giác không có điểm trong chung. Ta có:

1
.
2
ADB

Phương pháp diện tích trong giải toán hình học 8

HS có thể thực hiện việc cắt ghép hình để tìm ra công thức tính diện tích
tứ giác có hai đường chéo vuông góc (tương tự như đã làm ở trên)
GV yêu cầu từ công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc, hãy suy ra công thức tính diện tích hình thoi ABCD?
HS thực hiện:
Vì hình thoi có hai đường chéo vuông góc,
nên tương tự theo cách tính trên, ta có
1
.
2
ABCD
S AC BD
=

GV đặt câu hỏi: Còn công thức nào khác để
tính diện tích hình thoi không?
H
C
O
D
B
A

HS có thể tính diện tích hình thoi theo công thức tính diện tích hình bình
hành,

Khi đó ta có
1
2
MCD ABCD
S S=
==
=

3.4. Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó ta có
1
4
AMN
ABC
S
S
=
==
=

3.5. Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng bằng k thì tỉ số diện tích của
hai tam giác bằng k
2
.
4. Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp diện tích
4.1. Dạng bài về cắt và ghép hình, vẽ một đa giác có diện tích bằng diện tích
của một đa giác cho trước.
Bài 1 (Bài 11 SGK). Cắt hai tam giác vông bằng nhau từ một tấm bìa. Hãy ghép
2 tam giác đó đề tạo thành:
a) Một tam giác cân b) Một hình chữ nhật c)Một hình bình hành
Diện tích của các hình này có bằng nhau không? Vì sao?

D
O
A
C
B

Thật vậy: Theo cách dựng ta có ACEF là hình chữ nhật.
∆AFD=∆CED=∆BOA=∆BOC ⇒S
ABCD
=S
ACEF
=AF.AC=
1
2
AC.BD
4.2. Dạng bài về tính toán
Bài 1 (Bài 24 SGK). Tính diện tích của tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh
bên bằng b.
Lời giải
Tam giác ABC cân tại A, AB=AC=b, BC=a
Kẻ đường cao AH, ta có BH=CH=
a
2

Theo định lý Pytago ta có AH=
2 2 2
2
a 4b a
b
4 4

Phương pháp diện tích trong giải toán hình học 10

cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng
đơn vị đo).
Lời giải
Kẻ AP, BQ, CR, DS vuông góc với đường thẳng l. Đặt h
1
=BQ

và h
2
=AP.
Ta có ∆MAO=∆NCO (gcg), suy ra OM=ON=
b
2
. Hai tam giác vuông
∆APO=∆CRO (cạnh huyền-góc nhọn), vậy AP=CR=h
2
. Tương tự có
BQ=DS=h
1
.
§Ó tÝnh tæng h
1
+h
2
, ta tÝnh S

2
2
1 2 1 2
= + ⇒ + =
= + ⇒ + == + ⇒ + =
= + ⇒ + =
a
a b h h h h
b

Suy ra AP+BQ+CR+DS=
(
((
( )
))
)
2
1 2
2
2 + =
+ =+ =
+ =
a
h h
b

2
1
h
h

O
HB
C
A

Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC tại F
Trong ∆BCD có HF//BD và BH=HC ⇒FC=FD
Trong ∆AHF có OD//HF và OA=OH ⇒AD=DF
Do vậy suy ra AD=
1
3
AC,
cho nên S
AOD
=
1
3
S
AOC
(1) (vì chung đường cao hạ từ O).
Dễ thấy S
AOC
=
1
4
S
ABC
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ S
AOD

AMB
=S
AMC
.
Phng phỏp din tớch trong gii toỏn hỡnh hc 11

Li gii
Hai tam giỏc ABM v ACM cú cựng chiu cao l AH v cú
hai cnh ỏy BM=CM
Suy ra S
AMB
=S
AMC

H M
A
B
C

Bi 2 (Bi 46 SGK). Cho tam giỏc ABC, gi M v N ln lt l trung im ca
AC, BC. Chng minh rng S
ABNM
=
3
4
S
ABC

N
A
B
C

Suy ra S
ABNM
=
3
4
S
ABC
.
Cỏch 2. MA=MC S
AMN
=S
CMN
S
CMN
=
1
2
S
ACN
.
NB=NCS
ABN
=S
ACN
. S

==
=






=
= =
=






=
==
=






MAB ABCD
MAB NBC
NBC ABCD
S S

DA và AB. ∆CFE có các cạnh tương ứng bằng
1
2
các
cạnh của ∆BDC nên S
CFE
=
1
4
S
BCD

∆MEF có các cạnh tương ứng bằng
1
2
các cạnh của
∆ABD nên S
MEF
=
1
4
S
ABDE
F
H
G
O


Chứng minh tương tự : S
OFDG
= S
OHAG
= S
OEBH
= S
OECF
=
1
4
S
ABCD

Từ đó suy ra điều phải chứng minh .
Bài 5 ( Định lý Ta-let ).
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .

Lời giải
Ta có:
,
ABN ACM
ABC ABC
S S
AN AM
S AC S AB
= =
(1)

A
B C
M

4.4. Dạng bài về tìm một điểm hay tập hợp điểm thỏa mãn một tính chất cho
trước
Bài 1 (Bài 21 SGK). Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật
ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE
Lời giải:
S
ABCD
=3S
ADE
⇔
1
AB.AD 3. EH.AD
2
=
==
=
x AB 3cm
⇔ = =
⇔ = =⇔ = =
⇔ = =

2cm
x
H
D
B

HP
F
A
K

O
HP
F
A
E

N
HP
F
A
K

a) Lấy một điểm I trên
mặt phẳng sao cho
khoảng cách từ I đến PF
bằng chiều cao AH của
∆APE. Khi đó ta có
S
PIF
=S
PAF

b) Lấy một điểm O trên
mặt phẳng sao cho
khoảng cách từ O đến PF

. Khi đó ta có Khoảng
cách từ I đến PE luôn không đổi bằng chiều cao AH. Suy
ra tập hợp các điểm I là hai đường thẳng song song với
PF và cách PF một khoảng bằng AH.
I
HP
F
A
K

Bài 4 (Bài 23 SGK). Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M
nằm trong tam giác đó sao cho: S
AMB
+S
BMC
=S
MAC
.
Lời giải
Giả sử có điểm M nằm trong ∆ABC sao cho
S
AMB
+S
BMC
=S
MAC
.
Mặt khác ta có: S
AMB
+S


4.5. Dạng bài về bất đẳng thức và cực trị hình học
Bài 1 (Bài 15 SGK). Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình
vuông có diện tích lớn nhất.
Phng phỏp din tớch trong gii toỏn hỡnh hc 14

Li gii:
Theo gt ta cú, nu gi kớch thc hỡnh ch
nht l a, b thỡ cnh hỡnh vuụng cú cựng
chu vi vi cỏc hỡnh ch nht l
a b
2
+
++
+

(khụng i). Gi S l din tớch
2
a+b
b
a

hỡnh vuụng (khụng i), S l din tớch hỡnh ch nht. Khi ú ta cú:
S-S=
2 2
a b a b
ab 0

i), S l dtớch hỡnh thoi.
Khi ú cú: S-S=a
2
-ah=a(a-h)0 (do
ah)
a
h
a

SS. Du = xy ra khi a=h, hỡnh thoi tr thnh hỡnh vuụng.
Bi 3 (Bi 42 SBT). Trong nhng hỡnh thoi cú chu vi bng nhau, hóy tỡm hỡnh
thoi cú din tớch ln nht.
Li gii: Gi cnh ca hỡnh thoi a, chiu cao ca
hỡnh thoi l h, S l din tớch hỡnh thoi. Ta cú S=aha
2

(khụng i). Du = xy ra khi a=h, hỡnh thoi tr thnh
hỡnh vuụng. Vy trong nhng hỡnh thoi cú chu vi bng
nhau, hỡnh cú din tớch ln nht l hỡnh vuụng.
a
h



Bài 4. Trong tam giác ABC lấy điểm M tuỳ ý. Đặt
. . .
S AM BC BM AC CM AB
= + +
= + += + +
= + +

2 2
AM BH CK AM BC
+
+ +
+
(1)

(vì BH+CKBC, dấu đẳng thức xảy ra khi AMBC)
Tơng tự ta có: S
ABM
+S
BMC
1
.
2
BM AC




(2).
K
H
A
B
C
M

S
CMA

Tức là
AM BC
BM AC
CM AB
























M là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy S nhỏ nhất bằng 4S

BDE
= (1- k)S
ABE
(2)
T (1) v (2) suy ra S
BDE
= k(1-k)S
ABC

Tng t : S
CFE
= k(1-k)S
ABC
, S
ADF
= k(1-k) S
ABC

S
DE F
=S
ABC
(S
BDE
+S
CFE
+S
ADF
)=1-3k(1- k)= 3k
2
16

C. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, để có kết quả tốt thì dạy học phải
xác định rõ trọng tâm kiến thức. Việc chọn ra những kiến thức trong chương
trình toán THCS mà có nhiều ứng dụng trong giải toán cũng như thực tiễn làm
trọng tâm bồi dưỡng cho học sinh là việc làm cần thiết bởi vì:
- Dạy nhiều, dàn trải sẽ làm cho học sinh bị quá tải, dẫn đến ức chế trong
học tập, dẫn đến hiệu quả giảng dạy và học tập không tốt.
- Dạy và bồi dưỡng những kiến thức được xác định là có nhiều ứng dụng,
dạy đúng phương pháp sẽ đạt được hiệu quả cao, học sinh không bị quá tải.
Kiến thức mà học sinh học được là vững chắc.
Đề tài đã đưa ra được tư tưởng của phương pháp diện tích trong giải toán,
có thể áp dụng trong dạy bài mới, dạy bài luyện tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Đề tài đã đề cập đến 5 dạng toán cơ bản nhất giải bằng phương pháp diện
tích. Trong mỗi dạng đều có bài tập cơ bản và nâng cao, những bài tập nâng cao
có đính dấu 

. Giáo viên dạy cần căn cứ vào các hoàn cảnh cụ thể để áp dụng
trong soạn và giảng dạy cho phù hợp với học sinh của mình. Do không có điều
kiện về thời gian chuyên đề chưa đưa ra đầy đủ các dạng toán, chẳng hạn như
dạng bài toán thực tế về diện tích, dạng bài toán về thực hành đo đạc về diện
tích …Đề tài này không chỉ áp dụng cho dạy học sinh lớp 8 mà còn có thể mở
rộng phạm vi để áp dụng cho dạy học sinh lớp 9.
Dù đã có nhiều có gắng trong việc nghiên cứu và viết sáng kiến kinh
nghiệm, nhưng khả năng còn hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất
mong được đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn và ứng
dụng có hiệu quả trong giảng dạy.