Tuyn tp thi HSG Toỏn 8
Bài 2:
a) Cho
1 1 1
0( , , 0)x y z
x y z
+ + =
. Tính
2 2 2
yz xz xy
x y z
+ +
b) (1,5đ) Vì
3
3 3 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3. . 3 .
x y z z x y
z x y z x x y x y y

+ + = = +
ữ


= + = + + +
ữ ữ

3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2
- 2xy+ 6y
2
- 12x+ 2y + 45
= x
2
+ y
2
+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y
2
- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)
2
+ 5( y- 1)
2
+ 4
4

Giá trị nhỏ nhất A = 4
Khi:
y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x = 7
Câu 2: a. Cho
0
=++
c
z
b
y
a

Từ (2)
=








+++++ 02
2
2
2
2
2
2
yz
bc
xz
ac
xy
ab
c
z
b
y
a
x


c
2
= - 2ab
Tơng tự b
2
+ c
2
a
2
= - 2bc; c
2
+a
2
-b
2
= -2ac
B =
2
3
222
=

+

+
ca
ca
bc
bc
ab

xx +
+
2
2
2007
2006
x
x
=
2007
2006
2007
2006
2007
)2007(
2
2
+

x
x
A min =
2007
2006
khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)

Câu 5 ( 1 điểm)
a, Chứng minh rằng
( ) ( )
3

=++
cba
thì
( ) ( ) ( )
abcccabccbaabbacba 333
333
3
333
=+=+++=++
(vì
0
=++
cba
nên
cba
=+
)
Theo giả thiết
.0
111
=++
zyx

.
3111
333
xyz
zyx
=++
khi đó

Câu 2: ( 1 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x
2
+y
2
+1 x.y + x + y ( với mọi x ;y)
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A =
2
2
23


xxx
x
Câu2: ( 2 điểm )
1) (1 điểm ) x
2
+y
2
+1 x. y+x+y x
2
+y
2
+1 - x. y-x-y 0
2x
2
+2y
2
+2-2xy-2x-2y 0 ( x

2
2
22
++
=
++
=
++

x
xxxxx
x
Vậy A
max
[ ( x+
]
4
3
)
2
1
2
+
min x+
2
1
= 0 x = -
2
1
A

c abc + b
2
c + b
3
= (a
3
+ b
3
) + ( a
2
c abc + b
2
c)= (a + b) ( a
2
ab =b
2
) + c( a
2
- ab +b
2
)
= ( a + b + c ) ( a
2
ab + b
2
) =0 ( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết)
Vậy:a
3
+a
2


=
x
x 2004
2
2004
++
=
2
2004
2004
22
+
+
x
x
(1)
Ta thấy: Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng ta có:
x
2
+ 2004
2


2. 2004 .x


2
2004
2004

x y x y
P
x y y x y x x y
=
+ + + +
1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y)

Z sao cho giá trị của P = 3.
Bài 5 (1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c =
3
2
.
Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2



3
4
.
Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm)
MTC :
( ) ( ) ( )
1 1x y x y+ +
1.

y y
= =



+ = = 1 1 2
1 2 1
x x
y y
= =



+ = =

(loại).
1 2 3
1 1 0
x x
y y
= =



+ = =
2
1
4
c c+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + + +
. Vì
3
2
a b c+ + =
nên:
2 2 2
3
4
a b c+ +

4
Tuyn tp thi HSG Toỏn 8
Dấu = xảy ra khi a = b = c =
1
2
.
Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

+
+
+
+
111

cba
111
++
0,2đ
Bài 3:
a) Vì xyz = 1 nên x

0, y

0, z

0

1)1(1
1
++
=
++
=
++ xzz
z
xyxz
z
xyx

yxyx +
+
411
với x,y > 0
bbacbcba
2
2
411
=
+
+
+cbacacb
211

+
+
+

acbabac
211

+
+
+

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c

a a a b b
+ +
= = + = + = + > + =
+
+ +
+ +
Vì a> b > 0 nên
2 2
1 1
a b
<
và
1 1
a b
<
. Vậy x < y.
Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu .a
2
+b
2
+c
2
=ab+bc+ac thì a=b=c
Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh.
Theo giả thiết : a
2
+b
2
+c
2

Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax b> bx+a
Câu 4: * Nếu a> b thì x>
ba
ba

+
* Nếu a<b thì x<
ba
ba

+
* Nếu a=b thì 0x> 2b
+ Nghiệm đúngvới mọi x nếu b<0
+ Vô nghiệm nếu b
0

Câu 4(2đ): Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (1+ 1/a )
2
+ (1+ 1/b)
2
Câu 4: M = 18 khi a = b =
Bài 4. Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7
Bài 4. Ta có: C = a + b = (
74
4
1
4
123
2



1970.21971.19692 <
(*)
Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)
ta có:
1970.41971.196921970.2 <+

22
)19702()19711969( <+

1970219711969 <+
Vậy:
1970219711969 <+
6
Tuyn tp thi HSG Toỏn 8
Bài 5 (1đ)
Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1)
8

Bài 5 (1đ) Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1
Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
8
Do a, b, c là các số dơng nên ta có;
(a 1)
2

( )
2

8
Bài 1:(2 điểm) Cho A =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
b c - a c a - b a b - c
+ +
+ + +
Rút gọn biểu thức A, biết a + b + c = 0.
Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = 0

b + c = - a.
Bình phơng hai vế ta có : (b + c)
2
= a
2

b
2
+ 2bc + c
2
= a
2


b
2
+ c
2
- a
2

+
y
1
+
z
1
=
3

Tớnh giỏ tr ca biu thc P =
222
111
zyx
++
Cõu 4: (3)
a, Chng minh rng A = n
3
+ (n+1)
3
+( n+2)
3


9 vi mi n

N
*
b, Cho x,y,z > 0 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
P =
yx

)3
= p + 2
xyz
xyz ++
vậyP+2=3
suy ra P = 1.
a, = n
3
+(n
3
+3n
2
+3n+1)+(n
3
+6n
2
+12n+8)
=3n
3
+9n
2
+15n+9 = 3(n
3
+3n
2
+5n+3)
Đặt B= n
3
+3n
2

cba −+
P =
c
cba
b
cba
a
cba
222
−+
+
+−
+
++−
=
)111(
2
1
c
b
c
a
b
c
b
a
a
c
a
b

2
=a
2
+b
2
+c
2
và a,b,c
≠
0.
Chứng minh :
abc
3
c
1
b
1
a
1
333
=++

Câu 2: (3điểm)
a. Tìm x,y,x biết :
5
zyx
4
z
3
y

a
c
ba
c
b
ac
b
a
= 8 khi a = b = c
= 1.
8
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Câu 6(2điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
(1+a
2
)(1+b
2
)(1+c
2
) bằng bình phương của số hữu tỉ.
Vì: (a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
và a,b,c

+y
3
+z
3
=3xyz
⇒
đpcm
:
5
zyx
4
z
3
y
2
x
222222
++
=++
5
z
4
z
5
y
3
y
5
x
2






+
bc
a
c
ba
c
b
ac
b
a
=








+






a
abc
22
2
2
22
+++++++

=






++






++






++

x
x
∀≥ 2
1
>0 Nên A
≥
8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
có 1+a
2
=ab+ac+bc+a
2
=(a+c)(a+b)
Tương tự 1+b
2
=(a+b)(b+c)
1+c
2
=(b+c)(a+c)
( )( )( )
[ ]
2
222
cbcaba)c1)(b1)(a1( +++=+++⇒
đpcm

Đề 24
9
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a

+abc
0≥
(1)
Nếu: abc<0 ta có:
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc
Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)
Vì ì a
2
+b
2
+c
2
=1nên -1
1;; ≤≤ cba
nên (1+a)(1+b)(1+c)
0≥
Và -abc
0
≥
nên A
0
≥
(2)
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)
0≥
Với x≠ 0 ta có 3x
4
>0; 3x
2
>0 ta có

a b c
+ + =
.
Từ :
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
+ + = ⇔ =
⇔
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2
1 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
+ + = ⇔ + + =
2 2 2
2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
⇔ + + + + + =
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
+ +
⇔ + + + =

+ + +
Nhân cả 2 vế của:
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +

với a + b + c; rút gọn
⇒
đpcm
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
b. Cho a, b d¬ng vµ a
2000
+ b
2000
= a
2001
+ b
2001
= a
2002
+ b
2002


3
a b c b a c a c b
3 2 2 2 9
     
⇒ + + = + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
≥ + + + =
Dấu bằng xảy ra
⇔
a = b = c =
1
3
.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
Từ: a + b + c ≤ 1
⇒
1 ≥ a + b + c
a
cba
a
++
≥
1
=

922233
111
=+++≥++++++≥++
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
cba
C©u 3 : (2 ®iĨm)
b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cđa mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
A =
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bca
b
acb
a

)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy

Tõ ®ã suy ra A
)222(
2
1
++≥
hay A
3≥
C©u 5 : (1 ®iĨm)

2
- 4(x+y)+4
(z+2)
2
=(x+y-2)
2
, suy ra z+2 = x+y-2
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®ỵc :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Tõ ®ã ta t×m ®ỵc c¸c gi¸ trÞ cđa x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
2 2 4 2
1 1 1 1
1
2 3 4 100
P = + + + + <
Đáp án và biểu điểm
12
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2 2 4 2
1 1 1 1

2 3 4 100
1 1 1 1


+ 2009x + 2010.
Bài 1:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +
 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=

=
( ) ( )
2 2
x x 1 x x 2010
+ + − +
.
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tính giá trị của biểu thức:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+
+
+

2
+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A
−−
+
−−
+
−−
=

( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 2 (3 điểm)
Cho
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
a b b c c a 4. a b c ab ac bc
− + − + − = + + − − −
.
Chứng minh rằng
cba

0)(
2
=− ba
;
0)(
2
=− cb
và
0)(
2
=− ca
;
Từ đó suy ra a = b = c
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :
a,
1
111
=
++
+
++
+
++ cac
c
bbc
b
aab
a
biÕt abc=1
b, Víi a+b+c=0 th× a

+
++
+
++ 111 cac
c
bbc
b
aab
a
1
2
++
+
++
+
++ cac
c
acabcabc
abc
cacabc
ac
14
Tuyn tp thi HSG Toỏn 8
=
1
1
1
111
=
++

2
= -2(ab+ac+bc)

a
4
+b
4
+c
4
+2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)=4( a
2
b
2
+a
2
c
2
+b

+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0


2(ab+ac+bc)
2
=2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
) (2)
Từ (1)và(2)

a
4

=
1
1
1
111
=
++
++
=
++
+
++
+
++ acabc
acabc
cac
c
acc
abc
cac
ac
b, (2điểm) a+b+c=0

a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=0

2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0

a
4
+b
4
+c
4
=2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
) (1)

2
) (2)
Từ (1)và(2)

a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+ac+bc)
2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x
2
+y
2


2xy Dấu bằng khi x=y

c
a
c
b
b
a
c
b
b
a

c
b
a
c
.2 2
2
2
2
2
=+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

)
a
b
b
c
c
a
(2)
a
c
c
b
b
a
(2
2
2
2

1 1 3
xy
x y
y x x y

+
+
= 0
Ta có
( )
( ) ( )
3 2 2
1 1 1 1y y y y x y y = + + = + +
vì xy 0 x, y 0 x,
y 0 y-1 0 và x-1 0

( )
( ) ( )
3 2
3 2 2
3 2
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
x
y y y
y
x x x x y x x

1 1
2 1
2 2
4 2
0
3 1 1 3
x y xy x y
x x y y
x x y y
x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y
 
 
+ − + + +
+ + + + +
 ÷
= − = − ÷
 ÷
 ÷
+ + + +
+ + − + + + + + +
 
 
−
−
= − ⇒ + − =
+ − − +
Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
⇒
Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k : x + y + z = 1
⇒
z = 1, kết hợp với đ/k : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
⇒
x = y = 0.
Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,
S = x
2009
+ y
2010
+ z
2011
= 1
Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1
Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì
( ) ( )
5 6 6n n n+ + M

2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
4
2
2 2
a b a b c
ab a b c
ab a b c ab a b c
c a b a b c
a b c a b c c a b c a b
− + −
= − + −
= − − + + + −
   
= − − + −
   
= + + + − + − − +
b) Tìm các số x, y, z biết :
16
Tuyn tp thi HSG Toỏn 8
x
2
+ y
2
+ z
2

2x
2
+2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2zx = 0


(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0

x y 0
y z 0
z x 0
=


=


=


x y z = =

a b c
a b c
+ + + +

thì ta cú bt ng thc
3a b c abc+ +
Ta có
1 1 1
a b c
a b c
+ + + +

bc ca ab
a b c
abc
+ +
+ +

( )ab bc ca a b c abc + + + +
(*)(vì a,b,c > 0 nên abc>0)
Mà
2 2 2 2 2 2
2 ; 2 ; 2a b ab c b cb a c ac+ + +
nên cộng theo vế 3 bất
đẳng thức này ta đợc
2 2 2
2( ) 2( )a b c ab bc ca+ + + +
2 2 2
)a b c ab bc ca + + + +
(1)


(x
2
+ y
2
)(9 + 1) => x
2
+ y
2



10
1
Hay 4a
2
+ 25b
2



10
1
.
Dấu bằng xẩy ra <=>
y
1
x
3
=

b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2
+
x
y
y
x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223
=+++

- )
= 2010.() chia hết cho 2010 (1)
2011
2010
- 1 = ( 2011 1)(2011
2009
+ )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
(1)
18
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2

1xy
≥
=>
1 0xy
− ≥
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®

b) Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
.

19