tổng hợp kiến thức và hướng dẫn
một số bài tập Dạng toàn

phương1. Khái niệm dạng toàn phương:
Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến là một hàm bậc hai
dạng:

với các hệ số là các số thực và các biến là các biến thực.

Nếu ta ký hiệu: chú ý A là ma trận đối xứng.

Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau:

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của
dạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng.
ví dụ 1: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, f(x) là dạng
toàn phương. Ma trận A có dạng:

Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g(x) là
dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng:
1.2 Dạng toàn phương 1.2 Dạng toàn phương chính tắc:
Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu


Ví dụ: Cho dạng toàn phương
Ma trận của dạng toàn phương là:
Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị
riêng là nghiệm kép.
Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:

Hay ta có hệ phương trình:
Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lập
tuyến tính là:
Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:
Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình: Hay ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độc
lập tuyến tính là: . Rõ ràng,

Chuẩn hóa vectơ ta có:
Vậy dạng toàn phương chính tắc là:

Và ma trận P có dạng:

Và công thức đổi biến là: