ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH
“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”
Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc
Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân
Nguyễn Thị Thùy Trang
Hoàng Việt Cường
Võ Thị Diệu Trang
Huế, tháng 9 năm 2013
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH
“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”
Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc
Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân
Nguyễn Thị Thùy Trang
Hoàng Việt Cường
Võ Thị Diệu Trang
Huế, tháng 9 năm 2013
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Ma trận là một công cụ hữu hiệu cho cuộc sống. Nhiều trường hợp cụ
thể trong cuộc sống được mô tả bằng ma trận. Và như vậy, khi có ma trận cùng
các phép toán trên nó ta có thể giải quyết nhiều vấn để một các đơn giản.
Sách “Discovering Advanced Algebra – Khám phá đại số nâng cao” cho
chúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về ma trận và các phép toán của nó,

nâng cao của đại số. Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những kiến
thức bổ sung và nâng cao hon so với cuốn sách “Discovering Algebra: An
Investigative Approach” (của cùng tác giả).
Cuốn sách gồm 13 chương:
Chương 0: Các cách giải quyết vấn dề
Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính
Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến dổi
Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác
Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức
Chương 10: Hàm lượng giác
Chương 11: Chuỗi
Chương 12: Xác suất
Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê
Bên cạnh những vấn đề đại số cơ bản thì cuốn sách này cũng trình bày
các vấn đề về đại số nâng cao. Tuy nhiên những kiến thức này được tác giả
trình bày có hệ thống với ví dụ minh họa rõ ràng. Nên bạn đọc có thể nắm bắt
kiến thức một cách tự nhiên và sẽ không gặp nhiều khó khăn.
Cuốn sách này đưa ra một cách tiếp cận vấn đề mới đó là “Investigative
Approach – cách tiếp cận bằng khảo sát”. Do đó phần trọng tâm trong cuốn
sách này chính là “Investigation”
II. GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN
Trong chương 6: “Matrics and linear systems”, tác giả giới thiệu về ma
trận và hệ thống tuyến tính. Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu về ma trận và hệ
phương trình tuyến tính.
Ở chương này ta sẽ:

Sơ đồ như trên được gọi là sơ đồ chuyển đổi bởi nó mô tả sự
thay đổi của sự vật trong thời gian tiếp theo. Cùng thông tin đó đôi
khi cũng được biểu diễn bởi ma trận gọi là ma trận chuyển đổi. Ma
trận là một hình chữ nhật với sự sắp xếp các con số. Chẳng hạn trong
ví dụ trên ma trận chuyển đổi có dạng sau:
Trong khi điều tra, ta sẽ tạo ra một sơ đồ chuyển đổi và ma trận chuyển
đổi biểu diễn sự thay đổi đó. Ta cũng có thể sử dụng thông tin để xác định số
lượng người cụ thể trong khoảng thời gian đã qua.
KHẢO SÁT
Bài toán: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem
hoặc sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng. Trong tuần đầu tiên có 220 học
sinh chọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh. Trong
những tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh
ăn kem chuyển sang ăn sữa chua.
 Các bước tiến hành:
 Bước 1: Hoàn thành sơ đồ chuyển đổi với những
thông tin đã cho.
 Bước 2: Hoàn thành ma trận chuyển đổi biểu diễn
thông tin đó. Các dòng chỉ các đăng kí hiện tại,
các cột chỉ các đăng kí sau khi thay đổi.
 Bước 3: Trong tuần thứ hai, có bao nhiêu học sinh
chọn kem và bao nhiêu chọn sữa chua?
 Bước 4: Trong tuần thứ ba, mỗi loại có bao nhiêu
học sinh chọn?
 Bước 5: Viết chương trình đệ quy cho tuần bất kì và giá trị của tuần kế tiếp.
 Bước 6: Điều gì sẽ xảy ra với dãy dài các số chỉ số học sinh chọn kem và chọn
sữa chua.
Ta có thể sử dụng ma trận để tổ chức nhiều loại thông tin khác nhau.
Chẳng hạn ma trận dưới đây dùng để biểu diễn số sách giáo khoa toán, khoa
học và lịch sử được bán trong tuần này của tiệm sách và chi nhánh của nó. Các

với mỗi cột chứa tọa độ x và tọa
độ y của một đỉnh. Hàng thứ nhất chứa tọa độ x
của các đỉnh liên tục, tọa độ y tương ứng viết ở
hàng thứ 2.
[ ]






−−
−−
=
2112
2321
M
.
Ví dụ 2: Trong cuộc khảo sát của Karina ở đầu
bài học cô ấy đã khảo sát 260 người trượt tuyết và
40 người trượt ván. Mỗi hoạt động sẽ có bao nhiêu
người tham gia vào hôm sau?
GIẢI:
Trong ngày tiếp theo, số người trượt tuyết là
197)05(.40)75(.260
=+
Và số người trượt ván là
103)95(.40)25(.250
=+
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ học cách tính toán với ma trận và dùng


=
5098
2065
3383
A
[ ]










=
55105
1565
2580
B
Để giải bài toán này, ta cộng ma trận
[ ]
A
và
[ ]
B
Để cộng hai ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng. Vì vậy để cộng hoặc
trừ hai ma trận thì chúng phải có cùng kích thước. Các hàng và các cột tương




−
−
333
444
232
213
c. Mô tả sự biến đổi tương ứng của ma trận sau






−
−
232
213
.2
GIẢI:
Ma trận ban đầu biểu diễn tam giác với các đỉnh (-3,2), (1,3), (2,-2)
a. Sau khi tịnh tiến sang trái 3 đơn vị, tọa độ x của ảnh giảm 3 đơn vị, tọa
độ y không có sự thay đổi gì. Ta có thể biểu diễn phép biến đổi này bằng phép
trừ của hai ma trận









−−
−−−
=






−−−
−−−
+






−
−
501
237
333
444
232
213

−
=






−
−
464
426
232
213
232
213
232
213
.2
Phép nhân ma trận với một số được gọi là
tích vô hướng. Mỗi phần tử trong ma trận là
tích với một vô hướng, trong trường hợp này là
2.
Ma trận kết quả được giãn ra cả bề ngang
lẫn chiều dọc với hệ số tỉ lệ là 2. Phép biến đổi
làm giãn ra hoặc co rút lại cả bề ngang và bề
dọc bởi cùng một thang số gọi là phép giãn.
Bây giờ chúng ta cùng trở lại với bài toán đã khám phá ở phần 1.
Ví dụ 2: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem hoặc
sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng. Trong tuần đầu tiên có 220 học sinh







90.10.
05.95.
, hàng trên biểu diễn sự chuyển đổi số
người ăn kem, hàng dưới biểu diễn sự chuyển đổi số người ăn sữa chua.
Ta có thể xác định phép nhân hai ma trận qua quan sát cách tính số người
ăn kem và số người ăn sữa chua trong tuần thứ 2. Số người ăn kem của tuần
thứ 2 là 220.(0.95)+20(0.10)= 211 học sinh. Vì 95% trong số 220 người ăn
kem không chuyển sang ăn sữa chua và 10% trong số những người ăn sữa chua
chuyển sang ăn kem. Ta nhân hai phần tử trong hàng 1 của ma trận
[ ]
A
với 2
phần tử trong cột 1 của ma trận
[ ]
B
rồi cộng các tích đó lại. Kết quả là 211, là
giá trị của c
11
trong ma trận kết quả
[ ]
C
.
Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết quả
[ ]

C
.
Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết quả
[ ]
A
.
[ ]
B
=
[ ]
C
[220 20] .






90.10.
05.95.
= [211 29 ]
Để tính số người trong tuần thứ 3, ta nhân kết quả vừa tính với ma trận
[ ]
B
Có khoảng 203 học sinh sẽ chọn kem và 37 học sinh chon sữa chua trong
tuần tới.
Chỉ một số ma trận mới có thể công được với nhau( những ma trận có cùng
kích thước), chỉ một số ma trận mới có thể nhân được với nhau. Vi dụ 3 sẽ giúp
ta khám phá loại ma trận nào có thể nhân được với nhau.
Ví dụ 3: Xét tích sau:

×
. Vì kích cỡ bên trong giống nhau:
2 giá trị hàng nối với 2 giá trị cột.
Kích cỡ bên ngoài cho ta biết kích cỡ của ma trận kết quả
Đáp án cho tích này có cỡ
32
×







=






−
−






−




−
=
11
32
A
,
[ ]






−
=
20
43
B
,
[ ]






−

. Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều gì?
 Tìm
[ ] [ ]
DA
và
[ ] [ ]
AD
. Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều gì?
 Phép nhân ma trận có giao hoán không? Trường hợp nào thì giao hoán?
TÓM TẮT: Xem lại những định nghĩa về các phép toán của ma trận ta đã học
được trong bài này.
 Phép cộng ma trận
Để cộng các ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng:
Ta chỉ có thể cộng ma trận nếu các ma trận đó có cùng kích cỡ.
 Phép nhân vô hướng
Để nhân một vô hướng với một ma trận. Ta nhân vô hướng đó với mỗi giá trị
của ma trận tương ứng trong cột của ma trận
 Phép nhân ma trận
Để nhân hai ma trận
[ ]
A
và
[ ]
B
, ta nhân mỗi phần tử trong hàng của ma
trận
[ ]
A
với phần tử tương ứng trong cột của ma trận
[ ]

biến.
Bất kỳ hệ phương trình ở dạng chuẩn có thể được viết như một ma trận.Ví
dụ như:



=+
=+
1335
52
yx
yx
hệ phương trình ban đầu






=






+
+
13
5

kết quả












y
x
35
12
tương đương với






+
+
yx
yx
35
2

chéo chính và 0 trên và dưới nó. Ma trận
bổ sung là đại diện cho hệ:



=+
=+
byx
ayx
.1.0
.0.1
tương đương x=a và y=b
Ma trận này làm giảm hàng vì mỗi hàng đã giảm xuống còn 1 và a là một
nghiệm, phần còn lại của ma trận là các phần tử 0.
Một ma trận bổ sung đại diện cho hệ phương trình vì vậy các quy tắc
tương tự áp dụng cho hàng thao tác trong một ma trận tương tự như phương
trình trong một phương trình.
 Các phép toán hàng trong ma trận:
- Ta có thể nhân (hoặc chia) tất cả các số trong một hàng bằng một số khác
không.
- Ta có thể cộng tất cả các số tương ứng trong hai hàng.
- Ta có thể nhân một hàng với một số rồi cộng tương ứng với hàng khác.
- Ta có thể đổi chỗ hai hàng.
Ví dụ: cho hệ phương trình



=+
=+
1335

cộng thêm với phương trình đầu để
loại y.
Nhân phương trình bởi 0,5 ta tìm
được x:
x = 2
Phương pháp ma trận giảm hàng:
Cộng -2,5 lần hàng 1 vào hàng 2 để
m
21
= 0
Nhân hàng 2 với 2 để cho m
22
= 1
Cộng -1 lần hàng 2 cho hàng 1 để
m
12
= 0
Nhân hàng 1 cho 0,5
Cột cuối cùng của ma trận chỉ ra
nghiệm hệ là (2, 1)
Ta có thể sử dụng R
1
và R
2
đại diện cho hai hàng của ma trận trong ví dụ trên
như sau:
4. Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình
bax
=




dc
ba
, thỏa mãn định nghĩa của ma trận đơn vị.






34
12






dc
ba
=






34

dbca
dbca
Ta có thể chia các phương trình trên thành hai hệ phương trình. Sử dụng
phép thế, khử ẩn, hoặc dùng ma trận bổ sung để giải mỗi hệ



=+
=+
434
22
ca
ca
Hệ phương trình có thể giải ra a và c



=+
−=−−
434
636
ca
ca
Nhân phương trình thứ nhất với – 3