LỜI NÓI ĐẦU
+ Mục tiêu của chúng tôi khi tạo ra trang :eboookluyenthi.blogspot.com là cung
cấp các tài liệu hay và có chọn lọc từ nhiều nguồn khác nhau trên mạng . ( web
mới đi vào hoạt động , các bạn hãy vào để cập nhập tài liệu thường xuyên nhé)
+ Và mãng chính web xây dựng là tài liệu Toán- Lý- Hóa- Sinh- Anh văn từ lớp 6
đến12 và LTĐH
+Đến với :eboookluyenthi.blogspot.com bạn sẽ ko phải phân vâng khi
phải chọn tài liệu cho riêng mình khi đứng trước sự chia sẽ các tài liệu tràn lan và
không chọn lọc hiện nay của nhiều nguồn trên Trang web.
- Vì khi đến :eboookluyenthi.blogspot.com thì chúng tôi đã sàn lọc các tài
liệu hay cho các bạn và đa số các tài liệu ở đây là hoàn toàn miễn phí được lọc
từ nhìu nguồn như ( tailieu.vn, doc123,vnmath…v.v)
+ Các tài liệu sẽ Bám sát đề thi đại học nhằm giúp cho học sinh học theo chương
trình chuẩn ôn thi hiệu quả. Những nội dung không phù hợp với chương trình thi
đại học đã được loại bỏ.
+ Chúng tôi đã cố gắng cập nhật các bài toán mới lạ cũng như một số cách giải hay
và phương pháp tư duy mới vào Trang web này. Hi vọng
eboookluyenthi.blogspot.com là 1 trang tài liệu thiết thực giúp các em học
sinh học tập có hiệu quả.
- Ngoài ra, eboookluyenthi.blogspot.com là trang tài liệu tham khảo hữu ích cho
các Thầy, Cô giáo giảng dạy các môn ở THPT và LTĐH
+ Trong quá trình soạn thảo và chọn lọc tài liệu chắc chắn sẽ còn một số thiếu sót,
chúng tôi rất cần sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo và các em học sinh để
Trang hoàn thiện hơn trong những lần tái bản sau.
Liên Hệ :
Face: https://www.facebook.com/lai.huy Hoặc Mail : [email protected] TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š



Năm 2012 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 1

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
yfx
()
=
có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û
yxD
0,
¢

0
D
ì
>
³"ÎÛ
í
£
î
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
<
£"ÎÛ
í
£
î

· Định lí về dấu của tam thức bậc hai gxaxbxca
2
()(0)
=++¹
:
+ Nếu D < 0 thì
gx
()

gxaxbxc
2
()
=++
với số 0:
+ xxP
S
12
0
00
0
D
ì
³
ï
£<Û>
í
ï
<
î
+ xxP
S
12
0
00
0
D
ì
³
ï

· Hàm số f đồng biến trên D Û
yxD
0,
¢
³"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û
yxD
0,
¢
£"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++¹
thì:
+

==+++
đơn điệu trên khoảng
(;)
ab
.
Ta có:
yfxaxbxc
2
()32
¢¢
==++
.
a) Hàm số f đồng biến trên
(;)
ab
Û
yx
0,(;)
¢
³"Î
ab
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
(;)
ab

Û
hmgx
(;)
()min()
£
ab

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0
¢
³
không đưa được về dạng (*) thì đặt
tx
=-
a
.
Khi đó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
aaa
¢
==+++++
.
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a
(;)
-¥
Û

a
(;)
+¥
Û
gtt
()0,0
³">
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
>
ï
ï
ì
>>
Ú
íí
£<
î
ï
³

ab
Û
hmgx
(;)
()max()
³
ab

· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û£ (**)
thì f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()min()
£
ab

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0
¢
£
không đưa được về dạng (*) thì đặt
tx

ì
<
ï
ï
ì
<>
Ú
íí
£>
î
ï
³
ï
î

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
+¥
Û
gtt
()0,0
£">
Û
a
a
S
P
0
00

Û
y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
Û
a
0
0
D
ì
¹
í
>
î
(1)
· Biến đổi
xxd
12
-=
thành
xxxxd
22
1212
()4
+-=

ab
.
Tp xỏc nh:
e
DR
d
\
ỡỹ
-
=
ớý
ợỵ
,
( ) ( )
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++-
==
++ 5. Tỡm iu kin hm s
axbxc
yad
dxe

,
( ) ( )
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++-
==
++

Trng hp 1 Trng hp 2
Nu:
fxgxhmi
()0()()()

Nu bpt:
fx
()0

khụng a c v dng (i)
thỡ ta t:
tx
a
=-
.
Khi ú bpt:
fx

"<
ợe
d
hmgx
(;]
()min()
a
a
-Ơ
ỡ
-

ù

ớ
Ê
ù
ợ

a) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
-Ơe
d


ớớ
DÊ>
ợ
ù

ù
ợ

b) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
+Ơe
d
gxhmx()(),
a
a
ỡ
-
ù
Ê

ớ
ù
">
ợ


ỡ
-
ù
Ê

ớ
ù
">
ợa
a
iii
S
P
0
00
()
00
0
ỡ
>
ù
ù
ỡ
>D>

ớớ
DÊ<

( )
e
d
hmgx
[;]
;
()min()
ab
ab
ỡ
-
ẽ
ù

ớ
Ê
ù
ợ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 4
£
trở thành:
gt
()0
£
, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
aaa
=+++++-
a) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
a
-¥e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
³
Û
í
ï
³"<

()0,0()
a
ì
-
ï
³
Û
í
ï
£"<
îa
a
ii
S
P
0
00
()
00
0
ì
<
ï
ï
ì
<D>
ÛÚ

e
d
hmgx
[;)
()min()
a
a
+¥
ì
-
£
ï
Û
í
£
ï
î

b) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
+¥e
d
gttiii
()0,0()
a
ì

ï
³
ï
î

c) (2) đồng biến trong khoảng
(;)
ab( )
e
d
gxhmx
;
()(),(;)
ab
ab
ì
-
ï
Ï
Û
í
ï
³"Î
î( )

3
=-++- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi
m
2
=
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú.

ã
Tp xỏc nh: D = R. ymxmxm
2
(1)232
Â
=-++-
.
(1) ng bin trờn R


yx
0,
Â
"



m
2



=+
.
+ Nu
m
3
Ê-
thỡ
0
D
Â
Ê

ị

yx
0,
Â
"

ị
hm s ng bin trờn R
ị

m
3
Ê-
tho YCBT.
+ Nu
m
3

12
0
Ê<


P
S
0
0
0
D
Â
ỡ
>
ù

ớ
ù
>
ợ



m
m
3
0
20
ỡ
>-

'66(21)6(1)
=-+++
cú mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>xm
y
xm
'0
1
ộ
=
=
ờ
=+
ở
. Hm s ng bin trờn cỏc khong
mm
(;),(1;)
-Ơ++Ơ

Do ú: hm s ng bin trờn
(2;)
+Ơ

m

=-+-
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơx
fxm
x
x
2
23
()
41
2+
=
+
+
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ


fmm
15
24
ổử

ỗữ
ốứ
.
Cõu hi tng t:
a)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+

m
(1)
ạ-
,
K
(;1)
=-Ơ-
. S: m
4
11


b)

,
K
(1;1)
=-
. S: m
1
2


www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 6

Cõu 5. Cho hm s
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3
=-+ +
(1)
m
(1)
ạ
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong
K
(;2)

ỡ
<
ớ
DÊ
ợ



m
mm
2
2
10
3210
ỡ
ù
-<
ớ
Ê
ù
ợ
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
ỡ

>
ù
ù
ớ
+-Ê
ù

ù
>
ù
+
ợ

Vy: Vi m
1
1
3
-
Ê<
thỡ hm s (1) nghch bin trong khong
(;2)
-Ơ
.

Cõu 6. Cho hm s
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3

(2;)
+Ơ
gtt
()0,0
Ê">

TH1:
a
0
0
ỡ
<
ớ
DÊ
ợ



m
mm
2
2
10
3210
ỡ
ù
-<
ớ
Ê
ù

2
10
3210
44100
23
0
1
ỡ
-<
ù
>
ù
ù
ớ
+-Ê
ù

ù
<
ù
+
ợ

Vy: Vi
m
11
-<<
thỡ hm s (1) nghch bin trong khong
(2;)
+Ơ

hm s ng bin trờn R
ị
m 3 khụng tho món.
+ Nu m < 3 thỡ
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xxxx
1212
,()
< . Hm s nghch bin trờn on
xx
12
;
ộự
ởỷ
vi di
lxx
12
= Ta cú:
m
xxxx
1212
2;
3
+=-=
.
YCBT

(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong
xx
12
(;)
vi xx
21
1
-=
.

ã

yxmx
2
'66
=-+ ,
yxxm
'00
===
.
+ Nu m = 0
yx
0,
Â
ịÊ"ẻ
Ă
ị
hm s nghch bin trờn

1
-=

xxm
xxm
12
12
(;)(0;)
(;)(;0)
ộ
=
ờ
=
ở
v xx
21
1
-=



m
m
m
01
1
01

"ẻ+Ơ

ị

m
0
Ê
tho món.
+
m
0
>
, y
0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit:
m m
,0,- .
Hm s (1) ng bin trờn (1; 2)

m m
101
Ê<Ê
. Vy
(
m
;1
ự
ẻ-Ơ

(;1)
-Ơ
.

ã
Tp xỏc nh: D = R \ {m}.
m
y
xm
2
2
4
()
-
Â
=
+
.
Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh

ym
022
Â
<-<<
(1)
hm s (1) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
thỡ ta phi cú
mm

=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
== Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+

gxx
'()44
ị=-

Hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-

1
-+
=
-

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(2;)
+Ơ
.

ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
== Ta cú: fxmxx
2

m
3
Ê
.
Vy
m
3
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(2;)
+Ơ
.

Cõu 13. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(1;2)
.

ã

Hm s (2) ng bin trờn
(1;2)

yxmgx
[1;2]
'0,(1;2)min()
"ẻÊ
Da vo BBT ca hm s
gxx
(),(;1]
"ẻ-Ơ-
ta suy ra
m
1
Ê
.
Vy
m
1
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(1;2)
.

Cõu 14. Cho hm s
xmxm
y
mx
22
23

1
=-
.
Khi ú bpt:
fx
()0
Ê
tr thnh: gttmtmm
22
()2(12)410
= +-Ê
Hm s (2) nghch bin trờn
(;1)
-Ơ
m
yx
gtti
21
'0,(;1)
()0,0()
ỡ
>
Ê"ẻ-Ơ
ớ
Ê"<
ợ

i
S
P

410
ộ
=
ờ
ỡ
ạ
ờ

ù
->
ớ
ờ
ù
ờ
-+
ợ
ở
m
m
0
23
ộ
=

ờ
+
ở

Vy: Vi m
23

xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==

t
tx
1
=-
.
Khi ú bpt:
fx
()0
Ê
tr thnh: gttmtmm
22
()2(12)410
= +-Ê
Hm s (2) nghch bin trờn
(1;)
+Ơ

m
yx
gttii
21

ờ
ợ
ở

m
m
m
mm
2
0
0
420
410
ộ
=
ờ
ỡ
ạ
ờ

ù
-<
ớ
ờ
ù
ờ
-+
ợ
ở
m

xx
12
,
của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình
y
0
¢
=
.
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích
yfxqxhx
().()()
¢
=+.
– Suy ra
yhxyhx
1122
(),()
==.
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là:
yhx
()
=
.
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng
dykxbdykxb
111222
:,:

).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

dypxq
:
=+
một góc
a
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
kp
tan
1
-
=
+
a
. (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k
tan
=
a
)
3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.

.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 10

– Giải điều kiện:
dAddBd
(,)(,)
=
.
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ
thức cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K
1
(;)
a
=-¥ hoặc K
2

a
<<
b) xx
12
a
<<
c)
xx
12
a
<<yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=-
a
. Khi đó:
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
aaa
==+++++
Û=
có nghiệm t < 0
P
S
P
0
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û
ï
<
í
ê
ï
³
ê
î
ë

Hàm số có cực trị trên khoảng
(;)
a
+¥

ê
ï
³
ê
î
ëa) Hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả
xx
12
a
<<

gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả
tt
12
0
<<

ì
D>
ï
Û<
í
ï
>
î

c) Hàm số có hai cực trị x
1
, x
2
thoả
xx
12
a
<<gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả
tt
12

.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-++- .
PT y
0
Â
=
cú
m
10,
D
=>"

ị
th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr
xyxy
1122
(;),(;)
.
Chia y cho y
Â
ta c:
m
yxyxmm
2

32
32
=+++-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.

ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)
+++-=


x
gxxxm
2
1
()220(2)
ộ
=-
ờ
=++-=
ở


322
(21)(32)4
=-++ +-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â
=-++ +
.
(C
m
) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung

PT y
0
Â
=
cú 2 nghim trỏi
du

mm

=-+-
.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung

y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn
bit cựng du


mm
m
2
210
210
D
ỡ
Â
=-+>
ớ
->
ợ

m
m
1

yxxm
2
'36
=
.
Hm s cú C, CT yxxm
2
'360
= =
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;mm
'9303
D
=+>>-
(*)
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 12

Gi hai im cc tr l
(
)
(
)

((
ổửổử
-++-++
ỗữỗữ
ốứ
=
ố
=
ứ
==ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổử
=-++
ỗữ
ốứ

Cỏc im cc tr cỏch u ng thng
yx
1
=-

y
m
x
x
2
1212
121
2
2222
33
2
1
2.22
1
2
2
00
33
2
ổửổử
-+++=+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
+
ổử
-++==
ỗữỗữ
ốứố
+

xm
0
0
2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ
0.
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
ị

ABmm
3
(2;4)
=-
uuur

Trung im ca on AB l I(m; 2m
3
)
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x

Cõu 7. Cho hm s yxmxm
32
331
=-+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
xy
8740
+-=
.

ã

yxmx
2
36
Â
=-+ ;
yxxm
002
Â
=== .
Hm s cú C, CT

PT y
0

cú mt VTCP u
(8;1)
=-
r
.
A v B i xng vi nhau qua d


Id
ABd
ỡ
ẻ
ớ
^
ợ



mmm
ABu
3
8(231)740
.0
ỡ
ù
+ =
ớ
=
ù
ợ

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d:
xy
250
=
.

ã
Ta cú
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+ị=-+

Hm s cú cc i, cc tiu

y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit mm
9303
D
Â
=-><

Ta cú:
yxymxm
1121

.
d:
xy
250
=
yx
15
22
=-

ị
d cú h s gúc k
2
1
2
=

hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d
^

Dị

kkmm
12
12
1210
23

=-++

Hm s cú C, CT

m
2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ẻ-Ơ ẩ-++Ơ

Ta cú
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
ổử
+
Â
= +-++
ỗữ
ốứ

Gi s cỏc im cc i v cc tiu l
AxyBxy
1122


A, B i xng qua (d):
yx
1
2
=


ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ



m
1
=
.

Cõu 10. Cho hm s
yxmxxm
32
3(1)9
=-++-
, vi
m

PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
PT xmx
2
2(1)30
-++=
cú hai nghim phõn bit l
xx
12
,
.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14 m
m
m
2

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là m
313
-£< và m
131.
-+<£Câu 11. Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
1
3
->

4
1
D
é
>
ê
Û= = >Û
ê
<-
ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
mm
xxxx
1212
(12)2
;
3
2
3

+=-=

( ) ( )
xxxx xxxx
2

yxmxmx
32
1
1
3
=-+-
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
8
-³
.

·
Ta có:
yxmxm
2

1
é
<
ê
>
ë
(*). Khi đó:
xxmxxm
1212
2,
+==
.
xx
12
8
-³

Û
xx
2
12
()64
-³
Û
mm
2
160
³

Û

2
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
21
+=
.

·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
= +-

Hàm số có cực đại và cực tiểu
Û
y
0
¢
=
có hai nghiệm phân biệt
xx

=-
ợ



( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ỡ
=-
ù
ớ
-=-
ù
ợmmm
2
434
81690
4
-
+-==
.



ị
hm s luụn cú 2 cc tr
xx
12
,
.
Khi ú:
m
xxxxxx
121212
1
4;;
64
ỡ
=-+=-=-
ớ
ợ
m
9
2
ị=

Cõu hi tng t:
a)
yxxmx
32
31
=+++
;

12
22
21
29
2
29
++
+=
++
(2)

ã

yxaxa
2
23
Â
=
. Hm s cú C, CT


y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
x x
12
,


xaxaaxxaaa
22
1212
292124120
++=++=+>

Tng t: xaxaaa
22
21
294120
++=+>

Do ú: (2)


aaa
aaa
22
22
412
2
412
+
+=
+

aa
a
2
2

2
= .

ã
Ta cú:
yxmxmxmxm
2222
618126(32)
Â
=++=++
Hm s cú C v CT

y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,


D
=
m
2
> 0


m

22
ổử
+
=
ỗữ
ốứ



m
2
=-
. Cõu 17. Cho hm s ymxxmx
32
(2)35
=+++-
, m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 16

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh
l cỏc s dng.

ã

D
D
ỡ
=+ạ
ù
=-+>
ỡ
ỡ
= +>-<<
ù
ùùù
<<-<<-
=>
ớớớ
+
ùùù
+<<-
ợ
ợ
-
ù
=>
ù
+
ợCõu 18. Cho hm s
yxmxmx
322

030
Â
=-+-=
(2)
YCBT


P
S
xx
22
12
0
0
0
5
2
D
ỡ
>
ù
>
ù
>
ớ
ù
+=
ù
ợ



yxmxmgx
2
32(12)2()
Â
=+-+-=
YCBT

phng trỡnh y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
tha món: xx
12
1
<<
.



mm
gm
Sm
2
450
(1)570

=+-+-+
(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc i ti x
1
, cc tiu ti x
2
tha món xx
12
1
<<
.
ã Ta cú: ymxmxm
2
2(2)1
Â
=+-+-
;
y
0
Â
=
mxmxm
2
2(2)10
+-+-=
(1)
Hm s cú C ,CT tha món xx
12
1


m
P
S
0
0
0
0
D
ỡ
>
ù
Â
ù
>

ớ
>
ù
<
ù
ợ
m
54
43
<<
.
Cõu 21. Cho hm s
32
(12)(2)2


(*) cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
v cú ớt nht 1
nghim thuc
(2;0)
-
xx
xx
xx
12
12
12
20(1)
20(2)
20(3)
ộ
-<<<
ờ
-<<Ê
ờ
Ê-<<
ờ
ở

Ta cú:

( )( )

3
4
2
D
ỡ
>
ỡ ù
= >
-
ù
ù
-<<
+
ù ù
ùù
-<<
-<<-
ớớ

++>
ùù
++>
ùù
-
>
ù
ù
ợ
>
ù

421
2
220
40
33
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >

ù
ù
=-Ê
ùù
-

>-
ớớ
+++>
ùù
-
ùù
-
++>
ợ
++>
ù
ợ

3
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >
+
ù
ù
-=+Ê
ùù
-
-Ê<-
ớớ
<
+<
ùù
-
ùù
>
ợ
>
ù
ợ

Túm li cỏc giỏ tr m cn tỡm l:
)
m
5

ta cú:

AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
= =-<= =>ị
2 im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca ng thng d:
yx
32
=-
.
Do ú MA + MB nh nht

3 im A, M, B thng hng

M l giao im ca d v AB.
Phng trỡnh ng thng AB:
yx
22
=-+

Ta im M l nghim ca h:
yx
xy
yx
42
32

=-+ +
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.

ã
Ta cú yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
. Hm s (1) cú cc tr

PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xmxm
22
210
-+-=
cú 2 nhim phõn bit
m
10,
D

= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d:
yx
43
=-+
.
ã Ta cú:
yxxm
2
'36
=
. Hm s cú C, CT
y
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,mm
'9303

( ) ( )
mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++==== -
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứD
// d:

Cõu hi tng t:
a) yxmxmx
32
1
(54)2
3
=-+-+
,
dxy
:8390
++=
S:
mm
0;5
==
.

Cõu 25. Cho hm s yxmxx
32
73
=+++
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 5.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr
vuụng gúc vi ng thng d:
yx

AxBx
yy
12
12
;;;

Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
m
yxymx
2
1127
'(21)3
3999
ổửổử
=++-+-
ỗữỗữ
ốứốứị

m
yyxmx
2
111
27
()(21)3
99

27
(21)3
99
=-+-

D

^
d:
yx
43
=-+


m
m
2
21
2
(21).31
9
ỡ
>
ù
ớ
-=-
ù
ợ



2
'36
=
. Hm s cú C, CT
y
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;mm
'9303
D
=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;

Thc hin phộp chia y cho y

D
:
mm
yx
2
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

t
m
k
2
2
3
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
. ng thng d:
xy
450
+-=
cú h s gúc bng
1
4
-

=
=-
+=-
ờ ờ
ờ
=
ờ ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
+=-+=-
=-
-
ờ
ờ
ờ
ở ở
ở
o

Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m
1
2
=-
.
Cõu hi tng t:
a) yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)

-+ =
.

ã
Phng trỡnh ng thng
D
i qua hai im cc tr
xy
220
+-=
.
(S) cú tõm
Imm
(,1)
+
v bỏn kớnh R=
5
.

D
tip xỳc vi (S)


mm212
5
5
++-
= m
315
-=

Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 20 ã
Ta cú
yxm
2
'33
= Hm s cú C, CT

PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
m
0
>

Vỡ yxymx
1
.22
3
Â
=-+
nờn ng thng
D
i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
phng trỡnh l:

ABI
SIAIBAIBR
2
111
sin
222
D
=Ê=

Nờn
IAB
S
D
t GTLN bng
1
2
khi
ã
AIB
sin1
=
hay
D
AIB vuụng cõn ti I
R
IH
1
22
==
m

=
9123
2
++ mxx . Hm s cú 2 im cc tr

PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit

mm
2
3
'430
2
D
=->>
hoc
m
3
2
-
<
(*)
Khi ú ta cú:
xm
yymxm
2

-+
m
mloaùi
1
37
()
8
ộ
=
ờ

ờ
=
ờ
ở



m
1
=
.

Cõu 30. Cho hm s yxxmxm
32
3(6)2
=-+-+-
(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im

= ><
(*)
Ta cú: yxymxm
124
(1).64
333
ổử
Â
=-+-+-
ỗữ
ốứị
PT ng thng qua 2 im cc tr
D
: ymxm
24
64
33
ổử
=-+-
ỗữ
ốứị

m
dA


Cõu 31. Cho hm s
yxxmx
32
31
=-++
(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im I
111
;
24
ổử
ỗữ
ốứ

n ng thng i qua hai im cc tr l ln nht.

ã
Ta cú:
yxxm
2
36
Â
=-+
. Hm s cú 2 im cc tr

PT
y
0

:21
33
D
ổử
=-++
ỗữ
ốứ
.
D dng tỡm c im c nh ca
D
l A
1
;2
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
. AI
3
1;
4
ổử
=
ỗữ
ốứ
uur
.
Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn
D

=
khi
m
1
=
.

Cõu 32. Cho hm s
m
yxmxmmxmmC
3232
3(1)3(2)3()
=++++++ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Chng minh rng vi mi m, th (Cm) luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2
im cc tr l khụng i.

ã
Ta cú: yxmxmm
2
36(1)6(2)
Â
=++++
;
xm
y
xm
2
0
ộ

ã
Ta cú:
yxxm
6(1)()
Â
=
. Hm s cú C, CT


y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit


m
1
ạ
.
Khi ú cỏc im cc tr l
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+- .
AB
2
=

mmmm

y
xmym
13
0
11
ộ
=+ị=-
Â
=
ờ
=-ị=+
ởị

Amm
(1;3)
+-
,
Bmm
(1;1)
-+

ị
OAmm
(1;3)
=+-
uuur
, OBmm


www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 22

Cõu 35. Cho hm s
yxmxmxm
223
23(1)6=-+++ (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=
.
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho tam giỏc ABC vuụng ti
C, vi
C
(4;0)
.

ã
Ta cú:
yxxm
6(1)()
Â
=
. Hm s cú C, CT



+-++-+=
ởỷ

m
1
=-Cõu 36. Cho hm s
yxxm
32
3
=++
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
4
=-
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho
ã
AOB
0
120
= .

ã

0
120
= thỡ AOB
1
cos
2
=-( )
( )
m
mm
mmmm
mm
mm
22
2
22
40
(4)1
4(4)2(4)
2
324440
4(4)
ỡ
-<<
+
=-++=-+
ớ

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc i, cc tiu l A v B sao cho din tớch tam
giỏc ABC bng 7, vi im C(2; 4 ).

ã
Ta cú
yxx
2
'36
=-
; yxxxx
2
'03600;2
=-===

ị
Hm s luụn cú C, CT.
Cỏc im C, CT ca th l: Amm
2
(0;1)
-+
, Bmm
2
(2;3)

, AB
22
2(4)25
=+-=
Phng trỡnh ng thng AB:

3
2
ộ
=

ờ
=-
ở
.
Cõu hi tng t:
a) yxmxCS
3
32,(1;1),18
=-+=. S:
m
2
=
.

Cõu 38. Cho hm s yxmxmxm
32
3(1)1234
=-++-+
(C)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr l A v B sao cho hai im ny cựng vi im
C
9
1;
2

Trang 23 D
ABC nhn O lm trng tõm


m
m
mmm
32
2210
1
9
412640
2
2
ỡ
+-=
ù
=-
ớ
-+++-=
ù
ợ
(tho (*)).
Cõu 39. Cho hm s
yfxxmxm
32
()23(3)113



x
xm
0
3
ộ
=
ờ
=-
ở
. Hm s cú 2 cc tr


m
3
ạ
(*).
Chia
fx
()
cho
fx
()
Â
ta c:
m
fxfxxmxm
13
2



m
4
=
(tho (*)).

Cõu 40. Cho hm s
m
yxmxmxC
322
1
(1)1()
3
=-+-+ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi
m
2
=
.
2) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v
CẹCT
yy
2
+>
.

ã
Ta cú: yxmxm
22

10
2222
1
ộ
-<<
-+>
ờ
>
ở
.

Cõu 41. Cho hm s yxmxm
323
14
(1)(1)
33
=-+++
(1) (m l tham s thc).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m cỏc im cc i v cc tiu ca th (1) nm v 2 phớa (phớa trong v phớa
ngoi) ca ng trũn cú phng trỡnh (C): xyx
22
430
+-+=
.

ã

yxmx
2

ỗữ
ốứ
,
Bm
(2(1);0)
+
.
(C) cú tõm I(2; 0), bỏn kớnh R = 1. IAm
6
16
4(1)
9
=++,
IBm
2
4= .
A, B nm v hai phớa ca (C)

IARIBR
2222
()()0
<


mm
2
11
410
22
-<-<<

=-+-
;
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com