GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đ
Lượng Giác
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1) Hệ thức cơ bản :
;
22
sin cos 1
αα
+=
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
cos
cot
sin
α
α
α
=tan .cot 1
α
α
=

=+
;
2
2
1
1cot
sin
α
α
=+

2) Các cung liên kết :
t : 0914449230 Email : n
1
A/ Hai cung đối nhau :
&
x
x−
, ta có
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x
x
x
x
x
x
x

x
x
=
−=−
−=−
−=−

C/ Hai cung phụ nhau :
&
2
x
x
π
−
: ………………………….

D/ Hai cung hơn
2
π
:
&
2
x
x
π
+
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….


()
π 3π 5π
C

2sin x sin 5π xsin x cot x
222
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
=++−++++
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
2
B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
1/ CÔNG THỨC CỘNG :

…………………………………………………………………
HỆ QUẢ :
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
aa a
aa a
π
π
⎧3/ Tổng thành Tích :
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
+
−
+=
+
−
−=−

αβ αβ αβ
αβ αβ αβ
=++−
=− + − −
=++−
=+−−
β

nhận xét : …………………………………………………………………………….
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
3
VD :
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

5/ Hạ Bậc :
2
1 cos2u
sin u
2
=
;
2
1 cos2u
cos u
2

2
uvk
uv k
uvk
π
π
=+ +
⎡
=⇔ ∈
⎢
=− +
⎣

tan tan
;( )
cot cot
uv
uvk kZ
uv
π
=
⎫
⇒=+ ∈
⎬
=
⎭
khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp các dạng này
v
cos cos( )uv
đưa về

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
4
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
A.Phương trình cơ bản :
1)
1
sin(2 )
32
x
π
−= 2)
3
cos(2 )
32
x
π
−= 3)
2
sin(2 )
42
x
π
−=−
4)
sin 5 sin 3

10)
si 11) n(2 1) sin( 3)xx−= +
3
sin 1
5
x
=
12)
3
cot 2 1
x
=
13)
2sin7 3 0x −= 14) cos 4 cos3 0xx
+
= 15) sin(2 ) sin
3
x
x
π
−=−
16)
sin
17)
2 cos3 0xx−=
4
cos 1
x
=
18) 2sin3 3 0x −=

cos ( )
64
x
π
−
= 28) 2sin( ) 3
34
x
π
+=
II/ Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :
Dạng : ,
2
2
2
2
.sin .sin 0
.cos .cos 0
.tan .tan 0
.cot .cot 0
axbxc
axbxc
axbxc
axbxc
⎧
++=
⎪
++
⎪
⎨

Pt cho sẽ trở thành :
2
a.t b.t c 0++=
tx⇒⇒
Ví dụ . Giải phương trình:
2
x
cos2x 3cosx 4cos
2
−=

Giải : phương trình đã cho
2
x
1cos2
2
2cos x 3cosx 4
2
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
⇔−=
2
2cos x 5cosx 3 0
⇔
−−=

()
12π

6sinx.cosx cos 4x−=
2
2cos 5 3cos5 1 0xx
−
+=
9)
2
4cos 2( 3 1) cos 3 0xx−+ +=
10)
2
tan (1 3) tan 3 0xx
+
−−=

11)
5cos 2sin 3 0
2
x
x −+= 12)
2
cot 4 cot 3 0xx
−
+=
13) 14)
cos
42
tan 4 tan 3 0xx−+=
2 9cos 5 0xx
+
+=

1
222
4
sin x cos x cos x sin x+−+ −=0
20=
22) (D1 – 2008)
()
44
44sin x cos x cos x sin x+++
III/ Phương trình đối xứng với sinx và cosx :

a.sinu b.cosu c±=
; đk có nghiệm :
22
abc
2
+
≥

Cách giải : chia 2 vế phương trình cho
22
ab
+

Phương trình cho trở thành :
22 22 22
.sin cos
ab
uu
ab ab ab

±=⇔±=
+
+

BT 3 : Giải các phương trình LG
1)
sinx 3cosx 1+= 2) cos2x 3sin2x 2−=
3)
sin3x cos3x 2−= 4) 3sin3x cos3x 2
−
=
5)
2
xx
sin cos 3cosx 2
22
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
(ĐH Khối D – 2006)
6) 3sin2 cos2 2xx+= (ĐH Huế - KD – 99)
7)
22
cos x 3sin2x 2cosx sin x−=+
8)
cos 7 .cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5
x
xxx−=− x ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96)

2
x
x−=+x ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000)

(soạn) sinx 3cosx 1−=
Ví dụ . Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải : 3 sin cos 2 cos3 0xx x++ =
⇔ cosx cos
3
π
+ sinx sin
3
π
= – cos3x.
⇔ cos
cos3
3
x
x
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
⇔ cos
cos( 3 )
3
x
x
π

π
+ (k∈Z)

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
6
IV/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx :
(1)
22
a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d++=

Cần nhớ :
2
2
sin 2 2sin .cos
1
1tan
cos
uu
u
u
=
⎧
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
u


sin x 6sinxcosx cos x 2− (*)
Giải :
Thi 1 : xét cosx = 0 hay
π
x π
2
=+k
thay vào phương trình (*) ta được : 1 = -2
(vô lý) nên
π
x π
2
=+kkhông phải là nghiệm của phương trình (*)
Thi 2 :
cosx
hay
0≠
π
x π
2
≠+k, chia 2 vế của phương trình (*) cho ta được :
2
cos x

22
222
sin x sinx.cosx cos x 2
(*) 6
cos x cos x cos x cos x
⇔− +=−

+
−=
5)
2
2cos 3 3sin2 4sin 4xxx−−
2
=− 6)
22
4sin x 3sin2x 2cos x 4
+
−=

7)
22
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1xxx++ + − =−x
=
)

8)
4224
3cos 4sin cos sin 0xxxx−+
9)
ĐHQG Hà Nội – 1998
(
33 55
2sin x cos x cos x sin x+= +
10)
( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98)
32
cos sin 3sin .cos 0xx xx+− =

5) ; 6)
32
tan tan 3tan 3xx x+− =
22
sin 2 cos 2 3 7 cos 0xx x
+
−+ = ;
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
7
7)
c
8)
os9 2cos6 2xx−=
32 2
cos cos 4cos 0
2
x
xx
+
−=
9)
3
cos 2 sin( ).cos
2
x
xx
π
π
⎛⎞

∈ của phương trình :
57
sin 2 3cos 1 2sin
22
x
xx
ππ
⎛⎞⎛⎞
+− −=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

14)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1tan 2
x
x
x
x
−= + −
+
x( KA – 2003 )
15)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
xx x
x

3
cos sin cos .sin 3 0
44
xx x x
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++ − −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
( KD – 2005 )
22)
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−
( KA – 2006 )
24)
22
(1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
x
xxx+++=+x ( KA – 2007 )
26)
11 7
4sin

2 tan cot 3
sin 2
xx
x
+=+ ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97)
31) ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97)
tan cot 4xx+=
32)
2
53sin 4cos 12cos
x
x−−=−x
=
( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96)
34)
sin ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 3 2cos 2 2 0xx+−
35)
1
3sin cos
cos
xx
x
+=
( ĐH An Ninh – 98)
37)
sin 3 sin 2 5sin
x
x+=x (ĐH Y Hải Phòng – 2000)
41)
3

2
2) cos ( 1) sin 2 1mxmx−−+ 2) (5 =
22 2
2)sin 4sin cos 3mxxxm++ = 3) ( (đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm)
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
8
Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc :
1) cos .cos5 cos 2 .cos 4
x
xx= x 2) cos5 .sin 4 cos3 .sin 2
x
xxx
=

3)
sin 2 sin 4 sin 6
x
x+=x 3) sin sin 2 cos cos 2
x
xx x
+
=+
4)
222
sin 4 sin 3 sin 2 sin
2
x
xx+=+x
Bài 6 : Đề thi ĐH – CĐ năm 2009 và 2010

2 sin ) cos 1 sin cos

( Khối D – 2009 ) 3)
4) (1
x
xxx+=++ ( Cao Đẳng – 2009 ) Đs :
5
2; ;
21212
kkk
π
ππ
π
ππ
−+ + +

5)
(1 sin cos 2 ). sin( )
1
4
cos
1tan
2
xxx
x
x
π
++ +
=
+

xx+−=
( Cao Đẳng – 2010 )
Bài 8 : Giải phương trình
Câu 5:
44
11
2
52 2 82
sin x cos x
cot x
sin x sin x
+
=− 0=
Dự bị A2 - 2002
Câu 6:
44
11
2
52 2 82
sin x cos x
cot x
sin x sin x
+
=− 0=
Dự bị A2 – 2002
Câu 7: Tìm các nghiệm trên khoảng
⎟
⎠
⎞
⎜

2
sin3
2
sin4
22
ππ
π
xx
x

Bài 9 : phương trình lượng giác trong đề thi cao đẳng các năm trước
Câu 1 : CĐKTế Cần Thơ_2005 sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
Câu 2 : CĐSP Vĩnh Long_2005
Giải phương trình: x
x
x
xx
2tan
2
1
sincos
sincos
22
66
=
−
+

Câu 3 : Giải phương trình: sin3x + sinx = sin2x.cosx – cos2x
Câu 4 : CĐSP Hà Nam_2005 Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin

x
Các Ví Dụ có lời giải
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
9
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8
22 22
x
xx−−++
+=+
x

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos 2 0 2 , ( , , )
242

⎢
=
⎢
⎢
⎣
⎢
⎢
=+ =+
⎢
⎢
⎣
⎣
n


Ví dụ 3. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 , ( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
xxkπ k
xxxx
=⇔ = ∈

¹i)
∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
xnπ=− + ;
2, (, ) xkπ nk
=
∈


Ví dụ 4. Giải phương trình:
63 4
82cos 22sin sin3 62cos 1 0xxx x+−−=
(3).
33 3
22
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos 3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )
2
22
cos 2 .cos 2 cos 2
428
xxx xx
xxx xxxx
xx x xx x

⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t = cosx, ĐK
1t ≤ , ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. Δ=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.
⇒
()
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
tx
⎡
=
⎢
⇒=
⎢
=
⎢
⎣

⎪
⎨
≠
⎪
⎩

GV : Nguyễ Tài Liệu Lượng Giácn Vũ Minh
Đt : 0914449230 Email :
10
Từ (1) ta có:
()
2cos sin
1cos.sin
2sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx2
x
xx x
x
xx x
−
=⇔=
+−

2sin .cos 2sin
x

2
4
xkk
π
π
=− + ∈
Ví dụ 10. Giải phương trình:
()
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
x
x
x
+
=+

Giải
(
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
)
x
x
x

sin 2 sin 2 2
x
xx
xx
−
⇔=⇔−=⇔0=
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải phương trình: cosx = 8.sin
3
6
x
π
⎛⎞
⎟
+
⎜
⎝⎠

⇔
cosx=8sin
3
6
x
π
⎛⎞
⎟
+
⎜
⎝⎠
⇔

+−

Giải
Điều kiện:
()
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
xxxx x
x
+≠⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩
Từ (1) ta có:
()
2cos sin
1cos.sin
2sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx2
x
xx x
x
xx x

⎣


Ví dụ 13. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )
x
xx+= − − x
Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
xx
x x loai vi x x
−=−
⎡
⇔
⎢
−= −≤
⎣
(
)
(
)
2
2
2sin 1 sin sin ( )
444
2
xk
x

2
x = 8cosx – 8cos
3
x + 16cos
4
x – 16cos
2
x + 4
⇔ 16cos
4
x – 8cos
3
x − 12cos
2
x + 8cosx - 1 = 0
⇔ (2cosx – 1)(8cos
3
x – 6cosx + 1) = 0 ⇔ (2cosx – 1)(2cos3x + 1) = 0
Ví dụ 17. Giải phương trình: 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
11
Phương trình đã cho tương đương với
(3sinx sin2) 3cos (1 os2) 0xxcx
⎡⎤
+
+++
⎣⎦
=
⇔

xk
kZ
xk
π
π
π
π
π
π
⎡
=± +
⎡
⎢
=± +
⎢
⇔
∈
⎢
⎢
⎢
=−
=− +
⎣
⎢
⎣

Ví dụ 18. Giải phương trình: )
2
sin(2
cossin

xx
xx x
xx
π
⎛⎞
⇔− =⇔ +−=
⎜⎟
⎝⎠

sin cos
2sinx
+
+) .,0cos Z∈+=⇔= kkxx
π
π

2
+)
2
22
4
4
sin 2 sin( ) , Z
2
4
22
43
4
xm
xx m

3
2
4
Z∈+=⇔ t
t
x
π
π

so với đk đã cho ta có nghiệm
π
π
kx +=
2
;
.,,
3
2
4
Z∈+= tk
t
x
π
π

Ví dụ 19. Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx ( đk : cosx
≠
0 )
Phương trình cho ⇔ (cosx – sinx)(cosx + sinx)
2


⇔ 2 2cos 2x 6cos x
36
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎟
⎠
+−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⇔
1 cos 2x 3cos x
36
π
π
⎛⎞ ⎛
+−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠⇔
2
2cos x 3cos x
66
ππ
⎛⎞ ⎛

Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x
kkZ
π
=
∈Ví dụ 23. Giải phương trình lượng giác:
2
2sin sin2 sin cos 1 0xxxx
−
++ −=
.
Phương trình cho
2
2sin (2cos 1) sin cos 1 0xxxx⇔−−+−=
2
2()1 =− 5,0sin . VËy
2
)3cos −x)1(cos8 −− xcos2(=Δ x
=
x 1cossin −
=
hoÆc xx
5,0=x
.


⎝
⎛
−⇔−=−
4
sin
2
2
4
sin1cossin
ππ
xxx suy ra
π
kx 2=
hoặc
π
π
kx 2
2
3
+=

Ví dụ 24. Giải phương trình lượng giác: 2sin 2 3sin cos 2
4
xx
π
⎛⎞
x
+
=+
⎜⎟

2
x
k
xx x
xk
π
π
π
π
π
⎡
=− +
⎛⎞
⎢
+=−⇔ +=−⇔
⎜⎟
⎢
⎝⎠
=+
⎣
.
KL: nghiệm PT là
2, 2
2
x
kx k
π
π
ππ
=− + = + .

13
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1 sin 4 cos 4 cos 2
22
12
cos 4 cos 2
6
36 3
x
xx xx
xk
xx
k
x
π
π
π
ππ
⇔+ = −⇔ + =
⎡
=+
⎢
⎛⎞
⇔−=⇔
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
=+
⎢
⎣

()
()
2
cos . cos 1
21 sin .
xx
sin cos
x
xx+
()
−
=+

ĐK: sin Khi đó cos 0xx+≠
(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0xxxxx⇔+ + + + =()( )()
1sin 1cos 1sin 0xxx⇔+ + + =
sin 1
cos 1
x
x
=
−
⎡
⇔
⎢

xx x x
π
⎛⎞
++−+
⎜⎟
⎝⎠
=.
Phương trình đã cho tương đương với
sin sin 4 sin 2 sin 2 1 cos 4 0
2
xxxx x
π
⎛⎞
+
−+−+ +=
⎜⎟
⎝⎠sin sin 4 1 sin 4 0 sin 1 2 , .
2
x
xx xxkkZ
π
π
⇔+ −+ =⇔ =⇔=+ ∈
Ví dụ 31. Giải phương trình:
22
2sin 2sin t anx
4

cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0
sinx cos
4
(sinx cos )(1 sin 2 ) 0
sin 2 1 2 2
24
xxx xx x xx
xx k
xx
xxlxl
π
π
ππ
ππ
⇔− − +⇔+− + =
⎡
=− ⇔ =− +
⎢
⇔+ − =⇔
⎢
⎢
=⇔ = + ⇔ = +
⎢
⎣

Ví dụ 30. Giải phương trình:
sin 2 1
2os
sin cos
2.tan

⎛⎞
=⇔ +−=
⎜⎟
+
⎝⎠
sin
2sinx
⇔−

.,0cos Z∈+=⇔= kkxx
π
π

2

Z∈
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

π
π
π
.,
3
2
4
Z∈+=⇔ t
t
x
π
π

Đối chiếu đk ta có nghiệm của phương trình là :
π
π
kx +=
2
; .,,
3
2
4
Z∈+= tk
t
x
π
π

Ví dụ 31. Giải phương trình:
(

++ +=
sin 1
cos 1
x
x
=−
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
2
2
2
x
k
xm
π
π
π
π
⎡
=− +
⎢
⇔
⎢
=+
⎣

(

++−=tan cot

22
2(sin cos )
2
332
sin cos
xx
x
x
x
x
+
⇔+ −=tan cotg
2
32 3xx 0
⇔
+−=tan tan
3x =−tan
3
x
k
π
⇔=−+π
1
3
x =
tan
6
x

2
43cos2x12
22
ππ
2 1 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 2 cos x 3 cos 2x cos 2x
22
13
sin 2x 3 cos 2x 2 cos x sin 2x cos 2x cos x
22
ππ ππ
sin 2x.cos cos 2x.sin cos x sin 2x sin x
33 32
⎛⎞
+−
⎜⎟
−−
⎝⎠
−=+
⎛⎞ ⎛⎞
⇔− − =− −⇔− − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⇔− = ⇔ − =
⎛⎞⎛⎞
⇔−=⇔−=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
()
5π
xk2π

3cos
4
2 cos (cos sin )
4c
x
xxx
xot1
π
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎛⎞
⎝⎠
−+ +=
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Với ĐK sinx ≠ 0 và cotx ≠ 1, biến đổi phương trình thành

3
(cos sin )
1
2
2 (cos sin )(cos sin )
cos sin
2
sin
x

66
x
kx k
ππ
π
π
=+ = + . Vậy PT đã cho có 3 họ nghiệm nói trên.
Ví dụ 35. Giải phương trình:
2
3
cos 2 2cos sin 3 2
44
0
2cos 2
xx x
x
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=
−

ĐK:
2cos 2 0 2
4
x
xk
π

1 sin 2x sin 4x sin 2x 2 0
2
⎛⎞
π
⎛⎞
⇔
−−π−−+−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=

⎝⎠

2
1 sin 2x cos 4x sin 2x 2 0⇔− − + − =
(
)
22
1 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 2 0
⇔
−−− +−=
=

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+−= hoặc sin 2x 1⇔ sin 2x 2
=
− (loại)
Với
sin 2x 1 x k