27
Chuyên đề 7 LƯNG GIÁC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Đo
ä:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

2. Radian
: (rad)

ra
d

0
180
π
= 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng
:

Độ 0

π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2II. Góc lượng giác & cung lượng giác
:
1. Đònh nghóa
:

+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
π
α
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.

=
28

III. Đònh nghóa hàm số lượng giác
:

1. Đường tròn lượng giác
:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác
:
a. Đònh nghóa
: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'

=
=
b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα
−≤ ≤ ≤1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•

tan xác đinh
2
k
π
α
απ
∀≠ +


+=
+=

)( Zk
∈+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/
3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-3
-1
-3
/
3
1
1
-1
-1
-
π
/
2
π

/
2
3
/
2
2
/
2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A
π
/
3
π
/
4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/

Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π


2
2
2
1

0
2
1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1
tan
α
0
3
3

1
3

kxđ
3−


Cung đối nhau : va
ø
-
α
α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π
− ,…)
2.
Cung bù nhau :
va
ø
-
α
πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
π
π
,…)


6
π
π
,…)

5.
Cung hơn kém
π
:
và
α
πα
+
(Vd:
6
7
&
6
π
π
,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : sin( ) sin
tan( )
cos( ) c
tan
cot

α
π
α
α
α
π
−=
−
=−
−=−
−=−
3. Cung phụ nhau
: 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π

π
α
α
π
α
π
α
α
α
α
π
α
+=−
+
+−
+=−
=
=5. Cung hơn kém
π
: tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co

Hơn kém
π
tang , cotang
31
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản
:

22
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin
αα
α
α
α
α
α
α
+=

2
2
2
2
1

44 2 2
2
22 22
22
1) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 2 sin x cos x
1 2 sin x cos x
+= +
=+ −
=−()()
() ()
33
66 2 2
3
22 2222
22
2) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x
1 3sin x cos x
+= +
=+ − +
=−

2. Công thức cộng
:
−
+ Ví du
ï: Chứng minh rằng:

π
αα α
π
αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4Chứng minh
32

22
1) cos sin 2 cos sin
22
2 cos cos sin sin
44
2 cos
4
22








=







=
nsin
4
2 cos
4

















=
=
=
=
=
=

4 Coõng thửực nhaõn ba
: 3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin




=
=

sin ; cos ; tan
1t 1t 1t

= = =
++
2
1cos2
2
cos
+
=

2
1cos2
sin
2

=


2sin
2
1
cossin =
4
cos33cos
cos

sin .cos sin( ) sin( )
2
α
βαβαβ
α
βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−
8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos

−
−=

9. Các công thức thường dùng khác
: cos sin 2 cos( ) 2sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π
π
αα α α
π
π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

44
66
cos 4
cos sin
cos 4
c
3

u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π
π
π
ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔⇔±
⎢
⎣
⇔≠+
⇔≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và

x
xx+=− Bài giải

2
322
52
4
20 5
4
1) sin3 sin( 2 )
3
3
4
322
2
2
4
4
4
k
xxk
x
xk
xx
xxk
xk
x

⎢
=− − +
=+
=+
⎜⎟
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎝⎠
⎣3
xk2
xk2
3
44
2)cos(x ) cos
3
xk2
44
xk2
2
44
⎡
ππ
⎡
=π+ π

2
xk2
2
π
⎡
ππ
⎡
=− +π
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
=⇔ = ⇔ ⇔
⎢
⎢
π
π
⎢
⎢
=
π
⎛⎞
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

x
x
ππ
ππ
ππ
π
π
π
+
−
+=− ⇔ = ⇔= ⇔=
⎡
=+
⎢
=− +
⎡
⇔⇔
⎢
⎢
=− + +
⎣
⎢
=
−
⎣
−
−+
⎢

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:

⎣* Gpt : cosx = m (2)

•
Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
•
Nếu
1m
≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β
π
β
β
π
⎡
⇔⇔
⎢
−
⎣

⇔⇔
36
Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x
k
xk
xk

2
x
2)
2
cos( )
42
x
π
−=−

3)
12cos2sin =+ xx
4) xxx 2cossincos
44
=+
Bài giải:

1
1) sin2 sin2x=sin
26
22
6

22
6
12


⎢
⇔
⎢
⎢
=+
⎢
⎣23
2) cos( ) cos( ) cos
42 4 4
3
2
44

3
2
44
2

2
2
xx
xk
x
k
xk
xk
π

O
C
A
B
D
37

3) sin 2x cos 2x 1 2 cos 2x 1
4
2
cos 2x
42
cos 2x cos
44
2x k2
44

2x k2
44

π
⎛⎞
⎟
⎜
+=⇔ −=
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
π

4

xk
π
⎡
=+π
⎢
⇔
⎢
⎢
=π
⎢
⎣()
44
2
2
3cos4x
4) cos x sin x cos 2x cos 2x
4
3 2 cos 2x 1 4 cos 2x
cos2x 1 0
cos 2x 1

+
+= ⇔ =
⇔+ −=
⇔−=

4
xx xx
−
=

Bài giải

44
1) 1 cos sin 2cos2 cos2 1
2 2

xx x x
x
k
xk
π
π
+−= ⇔ =
⇔=
⇔=

V
ậy nghiệm pt là
x
k
π
=

π
=
3844
3) 4(sin x cos x) sin 4x 2 0 3 cos 4x s in4x 2 0
2 cos 4x 1
4
3
cos 4x cos
44

++−=⇔++−=
π
⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
ππ
⎛⎞
⎟
⎜
⇔−=
⎟
⎜

⎡
=π+ π
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=− + π
⎢
⎣
ππ
=+
⇔
π
=−
k
82
⎡
⎢
⎢
⎢
π
⎢
+
⎢
⎣

V
ậy nghiệm pt là
k

⇔− =
⇔=−
4 2
2

82
xk
k
x
π
π
ππ
⇔=−+
⇔=−+

V
ậy nghiệm pt là
82
k
x
π
π
=− + 2. Daïng 2
:

(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ :
1)
2
2cos 5sin 4 0xx+−=
2)
5
cos2 4cos 0
2
xx
−
+=
3)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π
4) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=

⇔
⎢
=
⎣
2
6

5
2
6
xk
xk
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⇔
⎢
⎢
=+
⎢
⎣

V
ậy nghiệm pt là
2
6

1
cos
2

xx x x
xx
x
x
−+=⇔ −−+=
⇔−+=
⎡
=
⎢
⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣
2
3
xk
π
π
⇔=±+

V
ậy nghiệm pt là 2
3
x

⎢
=−
⎢
⎣
π
⇔=+π
π
⇔=+π

V
ậy nghiệm pt là
xk
4
π
=+π

66
2(cos x sin x) sin x.cos x
4) 0
22sinx
+−
=
−

Điều kiện:
xk2
2
4
sin x
3

−
⇔+ − − =
⇔+−=
sin2x 1

4
s in2x (VN)
3
2x k2
2
x k
4
⎡
=
⎢
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣
π
⇔=+π
π
⇔=+π

So v
ới điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là
5
xk2

(1) cos sin
abc
xx
ab ab ab
⇔+=
+++
(2)

• Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b
α
α
==
++
với
[
)
0;2
α
π
∈
thì :

22
22

2)
44
4(sin cos ) 3sin4 2xx x
+
+= Bài giải
131
1) cos 3sin 1 cos sin
22 2
2
cos cos
33
2
2
33

2
2
33

xx x x
x
xk
xk
x
π
π
ππ

⎢
=− +
⎣

V
ậy nghiệm pt là
2
2
3
xk
x
k
π
π
π
π
=+
⎡
⎢
⎢
=− +
⎣

4244
2) 4(sin cos ) 3sin4 2 cos4 3sin4x 1
131
cos4 sin4x

xk
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
⎡
−= +
⎢
⇔
⎢
⎢
−=− +
⎢
⎣
=+
⎡
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣
42

12 2
k
x
k

=− +
⎢
⎣

d. Dạng 4
:

22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1)

Cách giải 1:

p dụng công thức hạ bậc :
22
1cos2 1cos2
sin và cos
22
x
x
xx
−
+
==

và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x
xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1)

Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤
Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx
−
+=+ ⇒

•
Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1
0
2
t
at b c
−
++=
(2)

: Giải phương trình:
1)
0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx

2)
sin3x 3cos3x 2sin2x−=

3)
1
tan x 3
cos x
−=

b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: A=0
.0
B=0
AB
⎡
=⇔
⎢
⎣

=
−
−+ xxx

b.
01cos42coscos4
3
=+−− xxx
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosx
x
x±
Ví dụ : Giải phương trình : ++ =
33
3
1sin cos sin2x
2
xx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
11 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2
⎛⎞
π
⎟

3
sin x 4
sin x
2
⎛⎞
π
⎟
⎜
+=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎛⎞
π
⎝⎠
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠


2
xx
sin cos 3 cos x 2
22
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠Bài giải
1)
()()
22
1sinxcosx 1cosxsinx 1sin2x+++=+
Bài giải:
2)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+−=

46

Bài giải:

cot x sin x 1 tan x tan 4
2
⎛⎞
⎟
⎜
++ =
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

3)
cos 3x cos2x cos x 1 0+−−=Bài giải
:
1)
()
66
2 cos x sin x sin x cos x
0
22sinx
+−
=
−Bài giải:
2)

cos x sin x sin 3x cos x 0
442
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
++ − −−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝⎠⎝⎠Bài giải
:
1)
22
cos 3x cos 2x cos x 0−=Bài giải:

48
2)
1 sin x cos x s in2x+cos2x=0+++Bài giải:
3)
44

3)
()( )
2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x−+=−Bài giải:
1)
2
cos 2x 1
cotx 1 sin x s in2x
1tanx 2
−= + −
+

49

Bài giải:
2)
()
2
5sinx 2 3 1 sinx tan x−= −Bài giải:
3)
()( )
2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x−+=−