1
1. Hình chóp tam giác

Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có độ dài cạnh
AB a
=
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,
biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
3 3
, , .
2 2 6

a a a
OA OB OC OG= = = =
Đặt
0.
SG z
= >
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A,
tia

Tính được
15
.
6
a
z =
Suy ra
2
10
.
16
AMN
a
S =

x
y
z
G
O
S
A
B
C

Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB
và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho
AC R
=
. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S

nằm trên đường thẳng qua O và
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .
C A R B R S R z
Khi đó tính
được
8 3 4 2
; ;
9 9 9
R R R
H
 
 
 
và
2 2 2
;0; .
3 3
R R
K
 
 

lấy hai điểm A,B với
AB a
=
. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
∆
và
.
AC BD AB a
= = =
Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó
(
)
;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).
A a B C a a D a

+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm
(
)
/ 2; / 2; / 2
I a a a và bán kính
3 / 2.
=R a
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình
0.
x y

=
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ, lúc đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 .
2 2 2 2
a a a a
A B C S a
   
   
−
   
   
   
   

+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là
3 2 2
; ;
10 5 5
a a a
M
 
 
 

và

A
M

Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B,
2
AB BC a
= =
, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý:
+Đặt
0.
SA z
= >
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,
A a B C a
(
)

(
)
2 3 2 ;0;2 3 .
z a S a a= ⇒

+ Suy ra
3
3
SBCNM
V a=
và
2 39
( , ) .
13
a
d AB SN =
z
y
x
N
M
C
B
A
S

Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B,
3 , 4
BA a BC a

(
)
(
)
(
)
3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .
A a a B a C a S a−
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là
3
.
2 3.
S ABC
V a=
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:
3 4 3 3 0.
x y z a
− + + − =

+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
( )
6 7
,( ) .
7
a
d B SAC =
4a
3a
z
y

3a

E

A

B

C

D

x
z

y

H

KChọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa
độ O.
A(0;0;0), B(2a;0;0),
(
)
2 ;2 3;0
C a a , D(0;0;3a)
.cos60

2 3
3 3
x t
y t
z a t
=


=


= −

. Vì K thuộc DC nên
(
)
2 ;2 3 ;3 3
K t t a t
− .
Ta có
(
)
2 2 ;2 3 ;3 3
BK t a t a t
= − −


13
. 0
25

a a a
HK
 
=
 
 
 


Vì E, H, K thẳng hàng nên ;
EH HK
 
cùng phương, do đó suy ra
4
3
a
z = − . Vậy E(0;0;
4
3
a
− ).
4
2 ;0;
3
a
EB a
 
=
 
 


60
o

O

H

C

A

B

S

x

y

zGọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A

a
CH CO OH⇒ = + =

21
.tan 60
3
o
a
SH CH⇒ = =

21
0; ;
6 3
a a
S
 
⇒ −
 
 
 

•
3
.
1 7
.
3 12
S ABC ABC
a
V SH S= =

 
 
 

;
2 2 2 2
21 7 3 24
; ; ; ;
6 2 3 3
SA BC a a a SA BC a
 
   
= − ⇒ =
 
   
 
 
   
và
3
7
; .
2
SA BC AB a
 
= −
 
  
.
Suy ra:

B
C
S
x
y
z
H

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm
của tam giác ABC.
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
 
−
 
 
,
0; ;0
2
a
B
 
 
 
,


3 33
0; ;
3 3
a a
SC
 
= −
 
 
 

;
(
)
0; ;0
AB a
=


. 0
AB SC AB SC
= ⇒ ⊥
 

( )
AB SC
AB ABH
AB OH
⊥

A

C

D

B

x

y

zGọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:
5
0; ;0
3
a
A
 
 
 
 
,
;0;0 , ;0;0 , ; ;
3 3 3
a a a

 
.
(
)
( )
0;0;1
ACD
n =

;
(
)
( )
0;1; 1
BCD
n
= −

.
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0.0 0.1 1.( 1)
1
cos cos ; 45
2


C

S

y

x
z

HChọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O
trùng điểm A.
A(0;0;0),
( )
3
;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2
a a
B C S x y z
 
 
 
 
 
 
 
với

là vectơ pháp tuyến
của (SAB).
3
; ;0;
2 2
a a
n AC AS z x
 
 
= = −
 
 
 
  
là vectơ pháp tuyến của (SAC).
•
( )
1 2
2 2
2 2
1 2
.
1
cos ( ),( ) 3
2
n n
y
SAB ABC z y
n n
z y

)
; ;0
H x x
. Vì H thuộc BC nên
3
; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
BC CH x x
 
 
= − = −
 
 
 
 
 
 
cùng
phương, suy ra
( )
3
2
3
2 1 3
2
2
a
x
x a

V SH S
∆
−
= = =
+
. ☺
☺☺
☺

A
B
C
S
x
y
z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
với điểm A.
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0
SA=7a
2 2 2 2
49
x y z a
⇔ + + =
(1)
SB=9a
(
)
2

48
S ABC
V a
=

6
2. Hình chóp tứ giác

Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a, góc

60 ,
o
BAD =
SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
.
SA a
=
Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt

;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C D
   
   
− −
   
   
   
   

3
' 0;0; , ;0; .
2 2
a a
C S a
 
 
 
 
 
 

x
y
z
O
C
D

1 1 1 3 1 3 3
, ' . ' , ' . ' . . .
6 6 6 6 6 6 18
S AB C D S AB C S AC D
a a a
V V V SA SC SB SA SC SD
   
= + = + = + =
   
     

Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2,
AB a AD a SA a
= = =
và SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Gợi ý:
+Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho

   

( )
( )
( )
2
0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .
2
a
AS a AC a a SM a SB a a
 
= − = −
 
 
   

Vectơ pháp tuyến của (SAC) là
(
)
2 2
, 2; ;0 .
AS AC a a
 
= −
 
 

x
z
y

= − =
   
   
nên
( ) ( ).
SAC SBM
⊥

Ta có
2 2 .
IC BC
IC IA
IA AM
= = ⇒ = −
 
Từ đây tìm được
2
; ;0 .
3 3
a a
I
 
 
 

Thể tích khối tứ diện ANIB là
3 3
1 1 2 2
, . . .
6 6 6 36

chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
( )
3
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
3
; ;0 , ; ; .
2 2 4 2 4
a a a
A B a N a S
a a a a a
P M
 
   
 
   
   
 
 
 
−
 
 
 
 

Ta có:
3
; ; , ; ;0 .
4 2 2 2


Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz

chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó:
( )
2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
2 2 2 2
;0;0 , ; ;0 , ;0; ,
2 4 4 4 2
2 2 2 2
; ; ; ; ; .
2 2 2 4 2
a a a
A B D S z
a a a a z
C N I
a a a a z

M
E
I
O
C
D
A
B
S

+
. 0 .
MN BD MN BD
= ⇒ ⊥
 

+ Khoảng cách giữa MN và AC là
2
( , ) .
4
a
d MN AC =
Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,


90 , , 2 .
o
ABC BAD AB BC a AD a
= = = = = Cạnh bên SA vuông góc với đáy là
2.

0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 .
A B a C a a D a S a Tìm
được
2 2
;0; .
3 3
a a
H
 
 
 

Phương trình mặt phẳng (SCD) là:
2 2 0.
x y z a
+ + − =

Khoảng cách từ H đến (SCD) là
( )
,( ) .
3
a
d H SCD
=a
2a
a
z

Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi
đó:
3 3
;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C a D a
       
− −
       
       

3 3
0;0; , ;0;0 , ; ;0 .
2 2 2
a a a
S M N a
 
   
− −
 
   
   
 

2a
a
x
z

góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
o
. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Gợi ý:
Từ giả thiết suy ra
( ).
SI ABCD
⊥
Đặt
0.
SI z
= >

Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O I
≡
, tia
Ox
chứa D,
tia
Oy
vuông góc với AB và tia
Oz
chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:

S ABCD
a
V =
2a
2a
a
z
y
x
I
C
B
A
D
S

9
Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và
3.
SH a= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC theo a.
Gợi ý:
Trước hết chứng minh được
.
DM CN

chứa N, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:
( )
5 5 2 5
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,
10 5 5
3 5
0; ;0 , 0;0; 3 .
10
a a a
N D C
a
M S a
     
−
     
     
 
−
 
 

a
x
y
z

hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối
tứ diện SMBC theo a.
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O H
≡
, tia
Ox
song song với tia AB, tia
Oy
song song với tia
AD và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
2
2 2 2
2 14
4 4
a a
SH SA AH a
 
= − = − =
 
 
do đó

D
A
B C
S

Ta có
2 2
2
SC SH CH a AC
= + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra
14
; ; .
8 8 8
a a a
M
 
− −
 
 
Thể tích khối chóp S.BMC là
3
.
14
.
48
S BMC
a
V =
2 2
6
OA OB OC OD a SO
= = = = −
nên ABCD là
hình chữ nhật.
Đặt
0.
ON x
= >
Khi đó
2 2
4 .
OA x a
= +
2 2 2 2
2 .
SO SA OA a x
= − = −

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là
2 2
.
1 8
. . 2 .
3 3
S ABCD
V AB AD SO ax a x
= = −
4a

.
x a
=
Suy ra
.
SO a
=
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ. Khi
đó:
( )
2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 0;0; .
2 2 2
a a a
B a C a D a S a
     
− − − −
     
     

Gọi
ϕ
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì
2
cos .
5
ϕ
=


Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
có
1
, 2 , 2 5
AB a AC a AA a
= = =
và

120 .
o
BAC
=
Gọi M là trung điểm của cạnh
1
.
CC
Chứng minh
1
MB MA
⊥

và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
1
( ).
A BM

Giải:

a
OC BC OB
= − = − =
= −

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
1
21 2 7
;0;0 , 0; ;0 ,
7 7
5 7 21
0; ; 5 , ;0; 2 5 .
7 7
a a
A B
a a
M a A a
   
   
   
   
−
   
   

Ta có
( )
1
21 5 7
; ; 5 , 0; 7; 5 .

b) Phương trình mặt phẳng
1
( )
A BM
là:
2 7
12 5 15 21 0.
7
a
x y z
 
− − − =
 
 

Khoảng cách từ A đến
1
( )
A BM
là:
( )
1
5
,( ) .
3
a
d A A BM =
Bài 2. (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.

1
3
0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ; .
2 2 2 2 2
vµ
a a a a a
B C M B a
 
     
− −
 
     
     
 

Ta có
( ) ( )
1
3
0; ;0 , ; ; , 0; ;0 .
2 2 2

a a a
BC a BM B C a
 
= = = −
 
 
  


2
1
3
, .
30
2
( , ) .
10
10
,
2
a
BM B C BC
a
d BM B C
a
BM B C
 
 
= = =
 
 
  
 

+
2 2
2
1
3 3

. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(IBC).
Giải:
Ta có
2 2 2 2
' ' 5; 2 .

AC A C AA a BC AC AB a
= − = = − =

Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O B
≡
tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 ;0), ; ;2 .
2

a
B A a C a M a a
 
 

= = =
 
  a
2a
x
y
z
3a
I
M
C'
A'
B'
B
A
C

+ Gọi
n

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (IBC). Khi đó
2 2
8 4
, ;0;
3 3
a a
n BI BC

a a
d A IBC
−
= =
− +

Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có độ dài cạnh bên
bằng
2 ,
a
đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 3
AB a AC a
= =
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
'.
A ABC
và cosin của góc giữa hai
đường thẳng
'
AA
và
' '.
B C

Giải:

+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa H, tia
Oy

chứa K và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
x
y
z
K
H
O
C'
B'
A'
A
B
C

( )
3 3 3
' 0;0; 3 , ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 .
2 2 2 2 2 2

a a a a a a
A a A B C

là góc giữa
'
AA
và
' '.
B C
Khi đó:
'.
1
cos cos( ', ) .
'. 4
AA BC
AA BC
AA BC
ϕ
= = =
 
 

13
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc

60
o

3
x
OA a x OM= − =

+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy

chứa M và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
2 2
( ;0;0), 0, ;0 , ' 0;0; 7 .
3

x
A x M A a x
 
−
 
 

Theo giả thiết thì
1
cos 2 .

B
A
C

Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
đáy ABC là tam giác
vuông,
1
, 2.
AB AC a AA a= = =
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn
1
AA
và
1
BC
. Chứng minh MN
là đường vuông góc chung của
1
AA
và
1
BC
. Tính thể tích khối chóp
1 1
.
MA BC

B a C a A a B a a
a a a a
C a a M N
   
   
   

+
( ) ( )
1 1
; ;0 , 0;0; 2 , ; ; 2 .
2 2
a a
MN AA a BC a a a
 
= = = −
 
 
  

1
1
1
. 0
. 0
MN AA
MN AA
MN BC

=

1
A
1
A
B
C

Tính thể tích khối chóp
1 1
MA BC
là
1 1
3
2
.
12
MA BC
a
V =
Bài 7. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008). Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC là tam
giác vuông,
, ' 2.
AB BC a AA a= = =
Gọi M trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C

. ' ' '
ABC A B C
là
3
2.
V a= 14
+ Ta có:
( ) ( )
2
2 2
; ;0 , ' 0; ; 2 , ' ;0; 2 .
2
2
, ' ; 2; .
2
a
AM a B C a a AB a a
a
AM B C a a
 
= − = − = −
 
 
 
 
= − − −
 

x
y
M
C'
A'
B'
B
A
C

Bài 8. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009). Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
=
; góc giữa
đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
; tam giác ABC vuông tại C và

60
o
BAC
=
. Hình chiếu
vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ
diện

; ;0
3 3 3
13
' .
9
x x x
BG BG
x
GB a
 
−
= ⇒ =
 
 
⇒ = −


a
x
y
z
G
B'
C'
A'
A
C
B

Sử dụng giả thiết góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng

ABC A B C
có
AB a
=
,
góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng
60
o
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho, tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz
song song với tia AA’ (xem
hình vẽ). Khi đó:
3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0
2 2 2

 
   
−
 
   

x
y
G
O
C'
B'
A'
A
B
C
15
K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB,
AB BC
⊥
. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của A'B' và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng
2
7
a
. Góc giữa hai mặt
phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp B'ANC theo a.

Giải:


( )
0; ; , ' 2 ;0;
2
x
AM y B C x y
 
= − = −
 
 
 
2
; ' ;2 ;
2
xy
AM B C xy x
 
 
⇒ =
 
 
 
 

(
)
2 ; ;0
AC x x
= −



+ +
(1)

(
)
' 0; ;
AB x y
= −

và
(
)
2 ; ;0
AC x x
= −

nên
(
)
2
', ;2 ;2
AB AC xy xy x
 
=
 
 
nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là
(
)
;2 ;2

y x
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
+
 
 
(2)
Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả
4
11
a
y =
và
2
x a
=
.
Vậy
3
1 1 4 16 11
.AA'= .2 .4 .
3 2 33
11
MABC ABC
a a
V S a a
 
= =
 
 
☺

. 0
11 11
3
31
4 4 . 0
3
13
11
4 4 . 0
11
8
16 8 . 0
a a
a a c d
b a
a a b d
R a
a
c
a a a d
d a
a a a d

= −

+ + =


= −


chữ nhật,
, 3
AB a AD a
= =
. Hình chiếu vuông góc của điểm
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
1 1
( )
ADD A
và
( )
ABCD
bằng
60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ
đã cho và khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
( )
A BD
theo a.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa
độ

60
o
tìm được
1
3
0;0; .
2
a
A
 
 
 

Suy ra
1
3
0; ; .
2
a
B a
 
−
 
 

Thể tích khối lăng trụ đã cho là
1 1 1 1
3
.
3

là
( )
1 1
3
,( ) .
2
a
d B A BD =
D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính
thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Giải:

C

D

A

C'

B'

A'
D'

B

x

y

 
 
 
,
;0;0
2
a
D
 
 
 

' 0;0;
2
a
A
 
 
 
, ' 0; ;
2
2
a a
B
 
 
 
, ' ; ;
2 2
2

 
 

; ' ; ;
2 2
2
a a a
AC
 
=
 
 

.
2
; ' ;0;0
2 2
a
AB AB
 
 
= ⇒
 
 
 
 
3
; ' . '
4 2
a

2
a a
CD
 
= −
 
 

( )
2 2
; ' 0; ; 0; 2;1
4
2 2
a a
CD CD n
 
 
⇒ = ⇒ =
 
 
 
  
là VTPT của mặt
phẳng (BCD’) nên (BCD’):
2
2 0
2
a
y z
+ − =