Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
PHÉP SUY ĐỒ THỊ VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Cho hàm số
3 2
1
y x x 3x
3
= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Nêu cách vẽ và vẽ đồ thị hàm số: a) y =
3 2
1
x x 3x
3
− + −
(C
1
)
b)
3 2
1
y | x | x 3| x |
3
= − + −
(C
2
)
3. Tìm m để phương trình: |x|
3
– 3x

– 3x
2
+ 2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) x
3
– 3x
2
+ m = 0
b) x
3
– 3x
2
= m
3
– 3m
2
3. Nêu cách vẽ và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = |x|
3
– 3x
2
+ 2 (C
1
)
b) y = | x
3
– 3x
2

(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Nêu cách vẽ và vẽ đồ thị các hàm số
1 2 3 4
2x 1 2 x 1
2x 1 2x 1
a) y (C ) b) y (C ) c) y (C ) d) y = (C )
x 2 x 2 x 2 x 2
− −
− −
= = =
+ + + +
e)
2 x 1
y
x 2
−
=
+
3. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x – 1 = m.|x + 2|
Bài 5. Cho hàm số
x 2
y
x 1
+
=
−
(C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Nêu cách vẽ và vẽ đồ thị các hàm số sau:

Bài 2. Cho hàm số
( )
3 2
y mx 3mx m 1 x 1= + − − −
. Tìm m để hàm số không có cực trị.
Bài 3. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
y mx m 9 x 10= + − +
có 3 điểm cực trị.
Bài 4. Tìm m để hàm số
( ) ( )
4 2
y m 1 x 2 m 1 x m 7= − + + + −
chỉ có cực đại mà không có cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm số
( )
3 2
y x m 3 x mx m 5= − − + + +
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 6. Cho hàm số
( )
3
3
y x m 3x m= − − +
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Bài 7. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
1

2
1 2
x x=
b)
1 2
1 2
x x1 1
x x 2
+
+ =
Bài 10. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2 2
y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1= + − + − + − +
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 2
điểm có hoành độ
1 2
x ,x
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2
+ = +
.
Bài 11. Cho hàm số:
( )

1 2
x x 18+ ≤
.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 3
3 1
y x mx m
2 2
= − +
có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua d: y = x.
Bài 14. Cho
3 2
y x mx 4= − + −
. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số và M(1; 10) thẳng hàng.
Bài 15. Cho
3 2
y x 3x 6x 8= − − +
, viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 16. Cho hàm số
( )
3 2 2 3 2
y x 3mx 3 1 m x m m= − + + − + −
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực
đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Bài 17. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y x m 1 x 4m 1 x 1
3

Bài 21. Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
y 2x 3 m 1 x 6m 1 2m x= + − + −
có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị
này nằm trên d: y = -4x.
Bài 22. Cho hàm số
3 2
y x mx 7x 3= + + +
, tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.
Bài 23. Cho hàm số
4 2
y x 2mx 2m 4= − + +
. Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị lập thành tam giác
đều.
Bài 24. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
1
y x 2mx m
4
= − +
có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó tạo thành một
tam giác có diện tích bằng
32 2
.
Bài 25. Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2

+ + + +
=
+
luôn có cực trị và khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng
20
.
Bài 4. Cho hàm số y =
2
x 2mx 2
x 1
− +
−
, tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng
đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 5. Tìm m để hàm số
( )
2
x 2m 1 x m
y
x m
− + +
=
+
có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm đó.
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số y =
( )
2 2
x 2m 1 x m m 4

, tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị cách đều trục hoành.
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
x 2mx 2
x 1
+ +
+
có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến
đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
2
x 2 m 1 x m 1
y
x 1
+ + + +
=
−
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
Bài 12. Tìm m để hàm số
( )
2
x 2 m 1 x m 2
y
x 1
+ − − +
=
−
có 2 cực trị và giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số

3x 1
y
x 2
+
=
−
trên [3;5]
c)
2
y 1 9 x= + −
trên [-3; 3]
d)
3
4
y 2sin x sin x
3
= −
trên
[0; ]π
e)
y 5cos x cos5x= −
với
x ;
4 4
−π π
 
∈
 
 
g)

a)
( )
4
4
sin x 1 sin x m+ + =
b)
( )
4
4 2
cos x 1 cos x m+ − =
c)
cos x 2cos2x m cos3x+ = +
d)
4 3 2
x 6x mx 12x 4 0− + − + =
e)
( )
4 4
x 32 x m− =
g)
2
x x x m+ − =
Bài 3. Tìm m để phương trình có nghiệm thực trên đoạn [0; 1]
a)
3 2
2x 3x m 2 0− − + =
b)
3 4
4x x 3m 1 0− − + =
c)

+
+ +
Bài 6. Giả sử
1 2
x ,x
là nghiệm phương trình
2
2
1
x mx 0
m
− + =
. Tìm m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 7. Giả sử
1 2
x ,x
là nghiệm phương trình
2 2
2
12
12x 6mx m 4 0
m
− + − + =
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của
3 3

2
(1 2x)(3 x) m (2x 5x 3)+ − ≥ + − −
đúng
1
x ;3
2
−
 
∀ ∈
 
 
b)
2 2 2
(x 1) m x x 2 4+ + ≤ + +
đúng
[ ]
x 0;1∀ ∈
Bài 11. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm (x; y) trong đó x
≥
2:
2 2
x y 3
x 3 y 5 m
+ =



+ + + =



4 4
y sin x cos x sin x.cos x 1= + + +
Bài 13. Chứng minh rằng
1 1 1 2
sin x sin 2x sin 3x sin 4x
2 3 4 3
+ + + ≥
biết
3
x ;
5 5
π π
 
∈
 
 
Bài 14. Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình
( )
2
2
1
x mx 0 m 0
m
+ + = ≠
. Tìm m để
4 4

Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 6 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
Bài 1. Tìm m để (C
m
): y = x
3
– 3x
2
+ 3(1 – m)x + 3m – 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.
Bài 2. Tìm m để (C): y = x
3
– 3x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 3. Tìm m để d: y = mx + 1 cắt đồ thị (C): y = – x
3
+ 3x
2
tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau.
Bài 4. Gọi d là đường thẳng đi qua A(–1; 5) và có hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để d cắt đồ thị hàm số:
y = –x
3
+ 3x
2
+ 1 tại 3 điểm phân biệt.
Bài 5. Tìm m để d: y = (m + 18)x cắt đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 6m tại 3 điểm phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số y = x

Bài 8. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (C), điểm A(3; 4). Tìm m để đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc là
m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho 2 tiếp tuyến của (C) tại B, C vuông góc với nhau.
Bài 9. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
y x 2 m x 2m 3 x 3m= − + + − +
. Chứng minh rằng (C
m
) cắt trục hoành tại 2 điểm cố
định A, B. Tìm m để 2 tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc nhau.
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số y = – x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau.
Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 3m – 1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số cộng.
Bài 12. Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (C): y = x
4
– 4x
3
+ 8x + m tại 2 điểm phân biệt.

tích ∆IAB bằng 4 (đvdt), biết I là giao điểm 2 tiệm cận.
Bài 16. Cho hàm số
x 3
y
x 1
+
=
−
(C) và d: y = x – m. Chứng minh rằng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B với
mọi m. Tìm m để khoảng cách AB nhỏ nhất.
Bài 17. Cho hàm số
( )
2
2m 1 x m
y
x 1
− −
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x.
Bài 18. Tìm m để d: y = m cắt đồ thị (C):
2
x 3x 3
y
2x 2
− +
=
−
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2.
Bài 19. Tìm m để d: y = m cắt đồ thị (C):

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
1
y x 2x 3x 1
3
= − + +
biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d: y = 8x + 3.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1 2
y x x
3 3
= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d:
1
y x 8
3
−
= +
.
Bài 4. Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1
y
x 3
+
=
−
vuông góc với d: y = x + 1. Tìm tọa độ các tiếp

một góc 45
0
.
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
3
y 4x 3x= − +
biết tiếp tuyến đi qua
( )
A 1;3
.
Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x 2
y
x 2
+
=
−
biết tiếp tuyến đi qua
( )
M 6;5−
.
Bài 11. Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 5= + −
(C). Chứng minh rằng từ D(1; -4) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài 12. Tìm những điểm trên Ox mà từ điểm đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C):
3
y x 3x 2= − −
Bài 13. Tìm những điểm trên đường thẳng d:
y 1= −

y x 3= −
các điểm mà từ đó kẻ được đến
(C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 8 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
ÔN TẬP TỔNG HỢP HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2= − + −
a) Khảo sát hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
x 3x m 0− + =
.
Bài 2. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y m 1 x mx 3m 2 x
3
= − + + −
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
c) Khảo sát hàm số khi
3
m
2
=
Bài 3. Cho hàm số
( )

9
=
.
Bài 7. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
y 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1= + − + − −
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0; -1).
c) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại và cực tiểu thoả mãn:
CD CT
x x 2+ =
.
Bài 8. Cho hàm số
( )
3
y x 3x 1= −
a) Khảo sát hàm số (1).
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng
( )
y m x 1 2= + +
luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A
cố định. Xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao
cho tiếp tuyến của đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
c) Tìm trên đường x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 9. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2= − + +
(C)

y x mx m
2
= − +
(C
m
)
a) Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
b) Với m = 1. Khảo sát và vẽ (C). Viết phương trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp
xúc với (d):
1
y x
2
=
Bài 13. Cho hàm số
( )
3 2
y x 3mx m 1 x 2= − + − +
a) Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi m.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m vừa tìm được.
d) Trên hệ trục toạ độ khác từ đồ thị hàm số (C) suy ra đồ thị hàm số (C
’
) của hàm số
( )
2
y x 2x 2 x 1= − − −
.
e) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
2
k

c) Tìm m để phương trình
3 2
t 1 3 t 1 1 m 0− + − + − =
có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 16. Cho hàm số
3 2
y x 3x 6= − −
a) Khảo sát hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
x 3x 6 m− − =
.
Bài 17. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2
y x 3 m 1 x 2 m 4m 1 x 4 m 1= − + + + + − +
(1)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đồ thị hàm số (1) luôn đi qua điểm cố định.
b) Tìm m sao cho (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 10 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
Bài 18. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y a 1 x ax 3a 2 x

Bài 21. Cho hàm số
( )
3 2
y x 2m 1 x 9x= − + −
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Bài 22. Cho hàm số
3x 1
y
x 3
+
=
−
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi C là một điểm bất kì trên đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại C cắt tiệm cận đứng và
ngang lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng: C là trung điểm AB và tam giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai
tiệm cận có diện tích không đổi.
Bài 23. Cho hàm số
( )
m 1 x m
y
x m
+ +
=
+
(1)
a) Với m =1.
i) Khảo sát hàm số.
ii) Giả sử đồ thị hàm số vừa vẽ là (H). Tìm trên (H) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.

b) Tìm M thuộc (H) có tổng khoảng cách đến các trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hàm số
x 2
y
x 1
+
=
−

a) Khảo sát hàm số.
b) Cho A(0; a). Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về
hai phía đối với Ox.
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 11 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
Bài 27. Cho hàm số
x 1
y (C)
x 1
+
=
−
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm những điểm thuộc Oy mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới (C).
Bài 28. Cho hàm số
4 2
1 3
y x mx
2 2
= − +
a) Khi m = 3.

m
) không có điểm chung với trục hoành.
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khảo sát hàm số với m vừa tìm được.
c) Biện luận số nghiệm của phương trình
( )
2 2
x x 2 k− =
theo k.
Bài 31. Cho hàm số
( )
4 2
y x 2 m 1 x 2m 1= + + − −
a) Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
b) Gọi (C) là đồ thị khi m = 0. Tìm tất cả những điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp
tuyến tới đồ thị.
Bài 32. Cho hàm số
4 2
y x 2x 1= − −
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình
4 2
2
x 2x 1 log m− − =
có sáu nghiệm phân biệt.
Bài 33. Cho hàm số
( ) ( )
2 2
y x 1 x 1= + −
(C)
a) Khảo sát hàm số.

+ −
+ − = + + =
+
3 3
3 3 5 5
2
2
2
2
2 2
2
cos x sin x sin x cos x
cos x sin x 2(sin x cos x) 8) 0
sin 2x cos2x
x
( 3 2)cos x 2sin ( )
cos2x 1 3 7
2 4
9) 1 10) tan( x) 3cot ( x)
x
cos x 2 2
4sin 1
2
x 3
11) 4sin 3cos2x 1 2cos (x )
2 4
cos2x
12) cot x 1 sin
1 tan x
− + −

 ÷
 
− +
π
 
= + − − =
 ÷
−
 
π π
   
+ + − + =
 ÷  ÷
   
( ) ( )
3 2
3 2
2
3 3 2 2
2
1+cos x sin x cos2x sin 2x 19) cos x cos x 2sin x 2 0
4cos x 2cos x. 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cosx
20) 0
2sin x 1
3 x x x
21) 1+sin 2x cos 2x sin 4x 22) sin sin x cos sin x 1 2cos
2 2 2 4 2
23) 2 3 cos2x sin 2x 4cos 3x 24)
− = + + + − =
+ − − − +

cos x
−
+ =
27) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 28) cos2x + cosx(2tan
2
x – 1) = 2
29) 3cos4x – 8cos
6
x + 2cos
2
x + 3 = 0 30)
( )
2
x
2 3 cosx 2sin
2 4
1
2cosx 1
π
 
− + −
 ÷
 
=
−

31)
( )
2
cos x cosx 1

Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 13 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
37)
2
2
cos 2x - 1
tan x 3.tan x
2 cos x
π
 
+ − =
 ÷
 
38) sinxcos2x + cos
2
x(tan
2
x – 1) + 2sin
3
x = 0
39) 5(sinx +
cos3x sin 3x
1 2sin 2x
+
+
) = cos2x + 3 40) sin
2
3x – cos
2
4x = sin

49)
4 4
3
cos x sin x cos(x ).sin(3x ) 0
4 4 2
π π
+ + − − − =
50) 4(sin
3
x + cos
3
x) = cosx + 3sinx
51) sinx + sin2x =
3
(cosx + cos2x) 52) 2sinxcos2x + sin2xcos2x = sin4xcosx
53) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 54)
6 6
2 2
cos x sin x 1
tan 2x
cos x sin x 4
+
=
−
55)
( )
3sin 2x cos2x 2 3 sin x 3 cos x+ + = +
56)
2 2 2
sin 3x cos 6x cos 9x− =

2 tan x cot x 3
sin 2x
+ = +
4)
( )
tan x cot x 2 sin 2x cos 2x+ = +
5)
( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos 2x
−
= +
6)
4 4
7
sin x cos x cot x .cot x
8 3 6
π π
   
+ = + −
 ÷  ÷
   
7)
2 3
cos10x 2cos 4x 6cos3x.cos x cos x 8cos x.cos 3x+ + = +
8)
1 tan x 2 2 sin x+ =
9)

4 4
π
 
+ + =
 ÷
 
16)
3 3
2
sin x.sin 3x cos x.cos3x
4
+ =
17)
3 3 3
sin x.sin 3x cos x.cos3x sin 4x+ =
18)
1 1
2sin 3x 2cos3x
sin x cos x
− = +
19)
2
2
2 2
sin x 2 x
tan
x
2
sin x 4cos
2

3 3
sin x cos x sin 2x sin x cos x+ = + +
27)
sin x cos x 4sin 2x 1− + =
28)
( )
2 tan x sin x sin x cos x− = +
29)
cot x tan x sin x cos x− = +
30)
6sin x 2cos x 6sin 2x.cos x
− =
31)
( )
2 3 3
tan x 1 sin x cos x 1 0− + − =
32)
3
3
1 cos2x 1 cos x
1 cos2x 1 sin x
− −
=
+ −
33)
( )
3 2
2
3 1 sin x
x

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn
0;
3
π
 
 
 
.
40) Cho phương trình
2 2
cos 4x cos 3x asin x= +
.
a) Giải phương trình khi a = 0.
b) Tìm a để phương trình có nghiệm trong khoảng
0;
12
π
 
 ÷
 
.
41) Cho phương trình
( ) ( )
3 tan x 1 sin x 2cos x m sin x 3cos x+ + = +
.
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
x 0;
2
π

2
2
1 a tan x 1 3a 0
cos x
− − + + =
.
a) Giải phương trình khi a =
1
2
.
b) Tìm a để phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 15 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1)
2 2
x xy y 3
x y xy 1

+ + =

+ + = −


+ + + + =


5)
2 2
1 1 1
x y 2
x y 5
−

+ =



+ =

6)
x y
2
y x
1 1
x y 4
x y

+ =




+ + + =

x y 4
y x

+ + + =




+ + + =


10)
2 2
x y x y 3xy
1 1
xy 1
x y

+ + =


+ − =


11)
2 2 2 2
2 2 2 2
x y xy 3x y
x y xy x y



14)
( )
( )
2
2
log 3
log xy
2 2
9 3 2 xy
x y 3x 3y 6

= +


+ = + +


15)
( )
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4

+ =


+ =

3
x y
xy 9

+ =



=

19)
( )
2 2
2 2
x x y y
x y 3 x y

+ = +


+ = +


20)
( ) ( )
2 2 2 2
x y x y 1 2xy
x y 1 xy 1 xy

+ + = +

1 x y 5x

+ =


+ =


24)
( ) ( )
2 2
2 2
x y 1
2
y 1 x 1
3xy x y 1

+ =

+ +


= + +

25)
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y


 

+ + =
 ÷

 

27)
( )
(
)
2 2
3 3
3
3
2 x y 3 x y xy
x y 6

+ = +



+ =

28) Cho hệ phương trình
2 2 2
1 1
a
x y

+ = −


. Tìm GTNN của M = xy + 2(x + y) biết (x; y) là nghiệm của hệ.
31) Cho hệ phương trình
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
+ = −



+ = + −


. Tìm m để P = xy đạt GTLN, với (x; y) là nghiệm của hệ.
32) Cho hệ phương trình
2 2 2
x y 2m 3
x y m 2
+ = −



+ = −


. Tìm m để P = xy đạt GTNN, với (x; y) là nghiệm của hệ.
33) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
x y 1

x y xy m 1
+ + = +



+ = +


.
36) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m

+ + = +


+ + =


.
37)
2 2
2 2
2x y 3x 2
2y x 3y 2

− = −




+ + =


+ + =


41)
x 2 y 2
y 2 x 2

+ − =


 + − =

42)
x 1 7 y 4
y 1 7 x 4

+ + − =


 + + − =

43)
x 1 y 2 3
y 1 x 2 3

+ + − =

x 2
3x
y

+
=



+

=


46)
4y
x 3y
x
4x
y 3x
y

− =




− =



= + +




= + +


49)
2
2
2y
x
1 y
2x
y
1 x

=

−



=

 −
50)
2
2

= +




= +


Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 17 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
52)
( )
( )
x
y
log 3x 2y 2
log 3y 2x 2
 + =


+ =


53)
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−

55) Cho hệ phương trình
( )
( )
2
2
x 1 m y
y 1 m x

+ = +



+ = +

. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
56) Cho hệ phương trình
( )
( )
2
2
xy x m y 1
xy y m x 1

+ = −


+ = −


. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.





= +


59) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:
2
2
x 2xy mx y
y 2xy my x

+ = +


+ = +


60)
2 2
2 2
2x 3xy y 15
x xy 2y 8

+ + =


+ + =




− − =


64)
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35

+ =


+ =


65)
( )
3 3
x y 7
xy x y 2

− =


− =


66)

x x y 10y

− =


+ =


69)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
x y x y 7
x y x y 175

− − =


+ + =


70)
3 2
3 2 3
x 3xy 4
2y x y x 4


( )
1 4
4
2 2
1
log y x log 1
y
x y 5

− − =



+ =

74)
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3

− + − =


− =


75)
2x y 1 x y 1



− = − +

Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 18 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
78)
( )
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy 1 2x
4
−

+ + + + =



−

+ + + =


79)
4 3 2 2
2

2x y 3
2x y

+ + − + =


+ − =

−

82)
( )
( )
2 2
2 2
1
x y 1 5
xy
1
x y 1 49
x y

 
+ + =

 ÷
 


 

x y
2
2
3 .2 1152
log x y log 5
−

=


+ =


86)
2
x
x 2y 6
y
x 2xy 6y 0

− + =



− − =

87)
2 2 5 5
3 3
x y x y

+ =


90)
( )
2
xy x 2 3
x 2x y 4
+ =


+ + =


91)
( ) ( )
2 2
xy x 1 y 1 12
x y x y 8
+ + =


+ + + =


92)
( ) ( )
2
x x 2 2x y 9
x 4x y 6


+ − =

95)
( )
( )
( )
2
2
x 1 y y x 4y
x 1 y x 2 y

+ + + =


+ + − =


96)
3 3
6 6
x 3y y 3x
x 2y 3

− = −


+ =





 + = + +

100)
3
1 1
x y
x y
2y x 1

− = −



= +

101)
y x
x y
log xy log y
2 2 3

=



+ =

102)



− − = −


105)
2 2
1 13 13 1
y x y y
x 6 6 y
97
x y
36

+ + + − = + +




+ =


106)
x y
x y 1
2 2 2
+ =




2 2 2
5 5 5
5x
x.log 5 log y y log
2
2y
x.log 20 log x y log
5

+ = +




+ = +


110)
2 2 2 2
2 2
x x 2y 3y 4y 6y 2
2x 3x y 2
4 3.2 2 0
+ − − +

− = −


− − =





+ = +


. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn
x > 0 và y > 0.
114) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2x y m 0
x xy 1
− − =



+ =


115) Cho hệ phương trình
( ) ( )
2
x y m
x 1 y xy m y 2
+ =



+ + = +



Tìm a để tồn tại c sao cho hệ có nghiệm với mọi b.
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 20 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
1)
3 2
x 3x 2 0− + =
2)
3 2
3x 8x 2x 4 0− − + =
3)
3 2
x 3x 3 7x 3 0− + − =
4)
3 2
x 4x 5x 6 0+ + + =
5)
3 2
8x 4x 10x 5 0− + − =
6)
3 2
x 3x 6x 8 0− − + =
7)
4 2
x 3x 2 0− + =
8)
4 2
4x 4x 1 0− + =
9)
4 2

(x 2)(x 3)(x 1)(x 6) 36+ − + + = −
21)
(x 4)(x 5)(x 7)(x 8) 4+ + + + =
22)
(4x 1)(12x 1)(3x 2)(x 1) 4+ − + + =
23)
4 4
(x 1) (x 3) 2+ + + =
24)
4 4
(x 3) (x 5) 12+ + + =
25)
4 4
(x 4) (x 6) 82+ + + =
26)
4 4
(x 3) (x 1) 32− + + =
27)
4 2
x x 6x 8 0+ + − =
28)
4 2
4x 3x 21x 10 0− + − =
29)
4 3 2
x 4x x 16x 12 0− − + − =
30)
4 3 2
x 2x 5x 2x 1 0− − + + =
31)

− =
− + + +
41)
2 2 2 3
2(x x 1) 7(x 1) 13(x 1)+ + − − = −
42) Cho phương trình:
3 2
x mx m 1 0− + − =
. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm, 2 nghiệm, 1 nghiệm
43) Cho pt:
3 2
2(m 2)x (5m 2)x 2x m 1 0− − − + − − =
. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm, 2 nghiệm, 1
nghiệm
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 21 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
2
2
3 2 4
2 2
2 2
1) 2x 1 3x 1
2) 8x 6x 1 4x 1 0
3) (x 5)(3x 4) 4(x 1)
4) x x 4 4
5) 3x 3 5 x 2x 4
6) x 4 1 x 1 2x
7) 2x 6x 1 x 1
8) x 1 x x x 1 1 x 1

− − = −
+ + − + − − − =
+
+ − − =
+ + − − + = −
+ − = + −
+ + =
2 2
2
2 2
2 2
19) x x 11 31
20) (x 2)(x 5) 3 x 3x 0
21) x x 2 x x
22) 5x 10x 1 7 2x x
+ + =
− + + + =
+ + = +
+ + = − −
2
2
23) x 3 6 x 3 (x 3)(6 x)
24) 2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16
25) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
26) x x 7 2 x 7x 35 2x
+ + − = + + −
+ + + = + + + −
− + − = − + − +
+ + + + = −
2 2

+ + − = +
− + + − = − +
+ + − + − =
2 2
2 2
2
2
2
1 x 5 1 x x
( ) 2 0
x 1 x 2 x
1 x
x 4
37) 2x 8x 6
2
38) 32x 32x 20 2x 15
−
+ + + + =
−
−
+
+ + =
+ − = +
3
3
3
3
39) 24 x 12 x 6
40) x 2 x 1 3
41) 2 x x 1 1

48) 2 x 2 x− = −
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 22 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
2
2
2
2
2 2
2
2
2
1) 2x 1 3x 2
2) 2x 6x 1 x 1
3)4x 2 5x 7x 24
4) x 6x 5 8 2x
5)4(x 1) (x 5)(3x 4)
2(x 16)
7 x
6) x 3
x 3 x 3
7) x 2 x 1 x
8) 7x 13 3x 9 5x 27
9) 1 x 1 x x
10) 25 x x 7x 3
3x x 4 2
11) 2
x
1 1 4x
12) 3

2
x 1
2x
14) x 2
(3 9 2x)
1 1
15) 1 x x
x x
1 1 2
16) x x
x x x
17) x 1 x 3x 2 x x
18) x 4x 3 2x 3x 1 x 1
19) x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4
20) x 2 x 2 x 4 1
−
< +
− +
− + − ≥
+ + − >
− + − + ≥ −
− + − − + ≥ −
− + + − + ≥ − +
− + + ≥ − +
( )
2 2
2
2 2
2 2
2

− − +
− ≥
+ − −
− − − < +
4 2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
x 4x 16 4 x x
1 0
x (4 x ) x
4 x
31) 3 x x 1 4 4x x 3 2
32)2 2x 5x 3 3x 2x 3 x 1 16
33) 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 1 14x
1 1
34) 2
x 3x 2 x 3x 2
35) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
5 1
36)5 x 2x 4
2x
2 x
1 x 5 1 x
37)
x 1 x 2

 ÷
−
 
− −
− + − <
− −
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 23 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1)
(
)
(
)
1
2 2
x
2 x 4 x 2 4 x 4 x 2+ − − = + − −
2)
2
x 4 x 2
2 5
− −
=
3)
( ) ( )
x-1
x-1
x 1
5 2 5 2

−
≤
8)
3x 1
2x 1
1 1
2
2
+
+
≥
9)
( )
2x
x
x
7
6. 0,7 7
100
= +
10)
x 1 x 1 x 2
4 2 2 12
+ + +
+ = +
11)
2 1
1
x x
1 1

= +
16)
x x x
6.4 13.6 6.9 0 − + =
17)
2 2
sin x cos x
9 9 10+ =
18)
2 2 2
x 1 x 1 x 1
2.4 6 9
+ + +
+ =
19)
2 2
2x 1 x x 2x 2
2 9.2 2 0
+ + +
− + =
20)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4− + + =
21)
(
)

+ = +
26)
x x x 1
12.3 3.15 5 20
+
+ − =
27)
2x 1 x 1 x x 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
− − +
− + − + =
28)
( ) ( ) ( ) ( )
x x
2 3 7 4 3 2 3 4 2 3+ + + − = +
29)
x x
9 2.3 3
− <
30)
2 2
1
x x
1 1
3 12
3 3
+
   
+ >
 ÷  ÷

2 15.2 2
+ − − + −
+ <
36)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − >
37)
x x 2 x
9 3 3 9
+
− > −
38)
4 4
x x 1 x x
8.3 9 9
+ +
+ >
39)
x x 2x 1
25 10 2
+
+ =
40)
x x x
4 2.6 3.9− =
41)
x x 3x 1
125 50 2

47)
( )
x
2 x 2 4 x 2 x 28+ − = + − +
48) 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
49)
x x x
2.2 3.3 6 1+ > −
50)
x 4 2x 4
3 2 13
+ +
+ >
Tuyển tập các chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia 2015 - 24 -
Nguyễn Hải Cường – GV THPT Hồng Quang – TP Hải Dương
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1)
( )
( )
2
2 1
2
log x 1 log x 1− = −
2)
( )
( )

8)
2 3 4 10
log x log x log x log x+ + =
9)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + +
10)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +
11)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1+ + + − + = + + + − +
12)
( )
( ) ( )
x 1 x
5 5 5
x 1 log 3 log 3 3 log 11.3 9
+

( )
x
1 2
2
log log 3 1 1
 
+ > −
 
18)
( )
2
1 4
2
log log x 5 0
 
− >
 
19)
( )
( )
2
1 5
5
log x 6x 8 2log x 4 0− + + − >
20)
2 3
3
log log x 3 0− ≥
21)
3

3
log 5 x
−
>
−
26)
( )
x x
2
4 12.2 32 log (2x 1) 0− + − ≤
27)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
− +
28)
( )
x
3
log 3 1
1
x 1

2 2
x
log 2 log 4x 3+ =
35)
( )
x
x
3
4 1
5
log 4 1 log 3
2
+
+ + >
36)
2 2
1 1
2 2
log x log x
5
2 x
2
+ >
37)
( )
x
x
2
5 2
log 5 2 2log 2 3 0

( )
2
3 3
log x x 4 log x x 3 0
+ − − + =
45)
( )
2
2 2
log x x 5 log x 2x 6 0
+ − − + =
46)
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16 0
+ + + + + − =
47)
( )
2
2 2
x log x 2 x log x 3 0
+ − + − >
48)
2
2
3
x x 12
log x 7 x x 12
7 x