1
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC)
DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
2
CHƯƠNG 1.
Không gian véctơ
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ
véctơ độc lập tuyến tính, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại, hạng
của hệ véctơ, hệ véctơ cơ sở, số chiều của không gian véctơ, không gian véctơ thương, giao và
tổng của các không gian véctơ.
- Sinh viên hiểu được các tính chất, định lý của không gian véctơ.
- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan.
1.1. Định nghĩa không gian vectơ
+ Phép toán trong, ký hi
ệ
u : +:
V
x
V
→
V
( , )
+
֏
α β α β
+ Phép toán ngoài, ký hi
ệ
u:
.:
K
x
V
V
( ) ( )
+ + = + +
α β γ α β γ
,
2)
Có
0
∈
V
sao cho 0 0
+ = + =
α α α
,
3)
Có
'
∈
α
V
sao cho
' ' 0
+ = + =
. (
+
α β
) =
x
.
α
+
y
.
β
7)
x
. (
y
.
α
) = (
x
.
y
) .
α
,
ũ
ng v
ớ
i hai phép toán xác
đị
nh nh
ư
trên) g
ọ
i là m
ộ
t
không gian vectơ trên trường K,
hay
K
-
không gian vectơ
, hay v
ắ
n t
ắ
t không gian vect
ơ
.
Khi
K
=
ℝ
,
V
i là các
vectơ
, các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
K
còn g
ọ
i là
vô hướng.
3
Phép toán “+” g
ọ
i là
phép cộng vectơ,
phép toán “.” g
ọ
i là
phép nhân vectơ với vô hướng
.
Để
cho g
ọ
ng t
ỏ
V là m
ộ
t nhóm giao hoán
đố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng vect
ơ
. Các tiên
đề
5, 6
và 7 theo th
ứ
t
ự
nói lên r
ằ
ng phép nhân vect
ơ
v
ớ
i vô h
ướ
ng có tính ch
ấ
t phân ph
T
ậ
p các vect
ơ
(“t
ự
do”) trong không gian
đố
i v
ớ
i các phép toán c
ộ
ng và nhân vect
ơ
v
ớ
i m
ộ
t
s
ố
th
ự
c trong ch
ươ
ng trình toán ph
ổ
thông trung h
ọ
c là m
1 2
, | V , V
∈ ∈
α β α β
V
ớ
i hai phép toán:
( , ) ( ', ') ( ', ')
( , ) ( , )k k k
+ = + +
=
α β α β α α β β
α β α β
Trong
đ
ó k
∈
K,
1 2
, ' , , '
V V
∈ ∈
α α β β
.
ng K. V
ớ
i
1
n
≥
, xét tích
Đ
êcác( Descartes)
K
n
= {(x
1
, x
2
,…,x
n
)|x
i
∈
K, i = 1,2,…,n}
v
ớ
i hai phép toán
(x
1
, x
2
,…, x
n
n
), k
∈
K
D
ễ
th
ấ
y K
n
cùng v
ớ
i hai phép toán nói trên là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
Khi n = 1 thì b
ả
n thân K c
ũ
ng là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
4)
T
ậ
ứ
c v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c tr
ườ
ng K là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
5)
T
ậ
p s
ố
ph
ứ
c
ℂ
v
ớ
i phép c
ộ
ứ
c v
ớ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c là
ℝ
- Không gian vect
ơ
.
6)
T
ậ
p
ℝ
các s
ố
th
ự
c v
ớ
i phép c
ộ
ng s
ố
m ch
ỉ
có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
0 0. 0. (0 0). 0. 0.
+ = = + = +
α α α α α
{
θ
} v
ớ
i hai phép toán
θ
+
θ
=
θ
, x
θ
=
θ
, x
∈
K là m
t K- không gian vect
ơ
. G
ọ
i
Ω
là t
ậ
p các ánh x
ạ
ϕ
: X
→
V.
V
ớ
i hai phép toán:
( )( )= ( )+ ( )
( )( )= ( ), , , ,
x x x
k x k x x X k K
+
∈Ω ∈ ∈
ϕ ψ ϕ ψ
ϕ ϕ ϕ ψ
D
ễ
th
ấ
thì t
ậ
p các hàm s
ố
ph
ứ
c
X C
→
là m
ộ
t
ℂ
- không gian vect
ơ
.
9)
L
ấ
y (a,b)
⊂
ℝ
thì t
ậ
p các hàm s
ố
liên t
i các phép toán nh
ư
trong 8).
10)
Trong nhóm c
ộ
ng các ma tr
ậ
n c
ỡ
(m.n) trên tr
ườ
ng K ta
đư
a phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng sau,
v
ớ
i A =(
ij
a
) ; i =
1,
m
, j =
i v
ớ
i phép
c
ộ
ng vect
ơ
nên ta suy ra ngay các tính ch
ấ
t sau:
1)
Ph
ầ
n t
ử
trung hòa
0
c
ủ
a phép c
ộ
ng vect
ơ
nói trong tiên
đề
2 là duy nh
ấ
ủ
a vect
ơ
α
. T
ừ
đ
ây ta s
ẽ
ký
hi
ệ
u vect
ơ
đố
i c
ủ
a
α
là
−
α
. T
ừ
n v
ế
: t
ừ
+ =
α β γ
suy ra
= −
α γ β
4)
Lu
ậ
t gi
ả
n
ướ
c: t
ừ
+ = +
α β γ β
suy ra
=
a tr
ườ
ng K, còn
0
là vect
ơ
0
c
ủ
a V. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:
0 0. 0. (0 0). 0. 0.
+ = = + = +
α α α α α
. T
ừ
đ
ó theo lu
ậ
t gi
ả
n
0
= x.(
0
+
0
) = x.
0
+ x.
0
. Suy ra
0
= x.
0
.
7)
T
ừ
x.
α
=
0
( )
x x
− = −
α α
.
Đặ
c bi
ệ
t
( 1)
− = −
α α
.
Nhận xét:
5
Do tính k
ế
t h
ợ
p và giao hoán c
ủ
a phép c
ộ
ng vect
ơ
nên có th
c
V
, ta kí hi
ệ
u:
1 2
1
n
n i
i=
+ + + =
∑
…
α α α α
Trong t
ổ
ng
đ
ó, ta không c
ầ
n
để
ý
đế
n trình t
ự
l
ấ
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
1 11 1 21 2 1 1 1 2 2
1 11 1 1 1 21 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n m m m nm n
m m m m n m nm n
VT a b b b a b b b
a b a b a b a b a b a b VP
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + + =
… … …
… … … …
α α α α α α
α α α
Do
đ
ó t
ổ
ng trên còn
đượ
c kí hi
j i
a b
=
∑
α
1.2. Tổ hợp tuyến tính. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa:
M
ộ
t
t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
ế
u
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α α
thì
α
đượ
c g
ọ
i là
bi
ể
u th
ị
(khai tri
ể
n) tuy
ế
n tính
theo h
α
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
β
, các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
β
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
γ
∑
β γ
Suy ra:
ij ij
1 1 1 1
m l l m
i jk k jk k
i k k j
x y x y
= = = =
= =
∑ ∑ ∑ ∑
α γ γ
. Do
đ
ó, các vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
ậ
p tuy
ế
n tính n
ế
u:
1
0
n
i i
i
x
=
=
∑
α
kéo theo
0, 1,2, ,
i
x i n
= =
.
H
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
:
1 2 3
(2,0), (0, 1), (4,2)
= = − =
α α α
.
6
H
ệ
1 2
( , )
α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính vì:
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
0 (2 ,0) (0, ) (0,0) (2 , 2 ) (0,0) 0
x x x x x x x x
+ =
⇒
+ − =
⇒
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi có h
ọ
các h
ệ
s
ố
( ), 1,2, ,
i
x i n
=
,
không
đồ
2)
H
ệ
con c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính là m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính (ta coi h
ệ
( ) ,
j j J
J I
∈
⊂
α
, là h
ệ
con c
ủ
a nó. N
ế
u h
ệ
( )
j j J
∈
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính thì
. V
ậ
y
( )
j j J
∈
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
3)
H
ệ
vect
ơ
ch
ứ
a h
ệ
vect
ơ
ph
ụ
thu
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
, ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi :
- N
ế
u n = 1 thì
1
0
=
α
,
- N
ế
u n >1 thì m
ộ
t vect
ơ
1
( )
α
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
⇔
có
0
x
≠
để
1 1
0 0
x
= ⇔ =
α α
. Khi n >1, n
ế
u
( ), 1,2, ,
i
ng h
ạ
n
0
n
x
≠
) sao cho :
1 1 1 1
0
n n n n
x x x
− −
+ + + =
α α α
,
suy ra
1 1 1 1
( / ) ( / )
n n n n n
x x x x
− −
= − − −
α α α
.
Ng
ượ
c l
ủ
a
n
α
là –1
≠
0, do
đ
ó h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
, ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính .
5)
N
ế
u h
ệ
khi
β
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính theo h
ệ
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
. Ngoài ra cách bi
ể
u th
ị
đ
ó là duy nh
ấ
t.
Th
ậ
t v
ộ
c
tuy
ế
n tính.
7
Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u h
ệ
1
( , , , )
n
α α β
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì có h
ọ
h
1
( , , )
n
α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên y ph
ả
i khác không. T
ừ
đ
ó:
1 1
( / ) ( / )
n n
x y x y= − − −
β α α
Bây gi
ờ
ta ch
ứ
α
, do
, 1,2, ,
i
i n
=
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính suy ra
'
, 1,2, ,
i i
y y i n
= = .
Chú ý:
Ng
ườ
i ta có th
ể
m
ở
r
ộ
ạ
n) các vect
ơ
. Cho h
ệ
vect
ơ
( )
i
i I
∈ ≠ ∅
α
(I có th
ể
có vô
h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
). M
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ỏ
a
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n “ tri
ệ
t tiêu h
ầ
u kh
ắ
p” (t
ứ
c là ch
ỉ
có m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
i I
∈
mà
( , )
α β
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi
,
α β
không cùng ph
ươ
ng.
H
ệ
ba vect
ơ
( , , )
α β γ
độ
c l
n tính.
2) Trong R- không gian vect
ơ
các
đ
a th
ứ
c m
ộ
t bi
ế
n v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c R[x], h
ệ
các
đ
a th
ứ
c:
2 3
(1, , , , , )
n
x x x là
k
x k
k
a x a k n
=
= ⇒ = ∀ =
∑
.
1.3. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
1.3.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ
Định nghĩa:
Cho m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
( ),
i
i I
∈
α
, trong
đ
ó K- không gian vect
ơ
V. H
ệ
ệ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính và n
ế
u thêm b
ấ
t c
ứ
vect
ơ
k
α
nào,
\
k I J
∈
, vào h
ệ
con
đ
ó thì ta
đề
a h
ệ
( )
i
α
i I
∈
, là m
ộ
t h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i thì m
ọ
i
vect
ơ
ơ
{
}
, 1,2, ,
i
i I n
∈ =
α
, và cho h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
( ),
j
j J I
∈ ⊂
α
(J có th
ể
r
ỗ
h
ệ
đ
ó ch
ứ
a h
ệ
con
đ
ã cho.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u ( ),
j
j J
∈
α
, không ph
ả
i là h
ệ
con
độ
c l
o
i I J
∈
, không là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ệ
( ),
j o
j J
∈
α
, trong
đ
ó
{ }
o o
J I i
= ∪
.
D
ễ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i thì l
ạ
i làm t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên. Do s
ố
ph
ầ
n t
ử
N h
ữ
u h
ạ
n nên sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
α α α
β β β
N
ế
u h
ệ
(1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính và m
ỗ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1) là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
t ta có:
1 1 1 2 2
s s
x x x= + + +
α β β β
.
Do (1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính,
1
0
≠
α
t
ừ
đ
ó suy ra các vô h
ướ
ng
i
x
không
1
α
, ta
đượ
c h
ệ
:
1 2
( , , , ) (4)
s
α β β
mà theo gi
ả
thi
ế
t, t
ừ
công th
ứ
c (3) và nh
ậ
n xét
ở
§2.I.1, suy ra m
ọ
i vect
ơ
p tuy
ế
n tính nên trong s
ố
các h
ệ
s
ố
2
, ,
s
y y
ph
ả
i có m
ộ
t h
ệ
s
ố
khác không, gi
ả
s
ử
2
0
y
≠
( , , , , ) (6)
s
α α β β
Mà t
ừ
(3) và (5) suy ra m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1)
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua h
ệ
(6).
N
ế
u r > s thì ti
ế
9
Trong
đ
ó m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a h
ệ
(1)
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua h
ệ
(7).
Đ
i
ề
u này trái v
ớ
i gi
( , , )
m
α α α
trong không gian vect
ơ
V thì s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ọ
i h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
h
ệ
1 2
( , , )
m
α α α
có hai h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i
1 2
( , , )
r
α
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
qua h
ệ
β
. Áp d
ụ
ng b
ổ
đề
trên ta có
r s
≤
.
Đổ
i vai trò c
ủ
a h
ệ
{ 5, 2 3, 1, 7 6, 2 4 20}
o
P P x P x x P x P x x= = + = + + = + = + +
. D
ễ
th
ấ
y
1 2
( , , )
o
P P P
độ
c l
ậ
p
tuy
ế
n tính. Th
ậ
t v
ậ
y,
2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
0 (2 ) 5 3 0 0
o o o o
a P a P a P a x a a x a a a a a a
+ + =
, ,
o
P P P
là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a h
ệ
ban
đầ
u. Do
đ
ó h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
ban
i là m
ộ
t
h
ệ
sinh
c
ủ
a
V
n
ế
u m
ọ
i vect
ơ
c
ủ
a
V
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính
theo h
i là
K
-
không gian vect
ơ
h
ữ
u
h
ạ
n sinh.
3)
M
ộ
t h
ệ
vect
ơ
trong
V
, g
ọ
i là m
ộ
t
c
ơ
s
đ
ó.
1.4.2. Định lý:
Gi
ả
s
ử
( ), 1,2, ,
i
i n
=
α
là m
ộ
t h
ệ
h
ữ
u h
ạ
n vect
ơ
trong không gian vect
ơ
, khi
đ
ó
các m
sinh
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a V
3)
( )
i
α
là h
ệ
con
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a V.
đề
u bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n
tính duy nh
ấ
t qua
( )
i
α
nên
1 1
0
n n
x x
+ + =
α α
và
1
0 0 0
n
+ + =
α α
V
nh
ư
là m
ộ
t h
ệ
vect
ơ
trong
V
.
3)
⇒
1). Do tính ch
ấ
t a m
ụ
c 1.1.3.
1.4.3. Định lý và định nghĩa:
V là m
ộ
t không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n sinh thì V có c
ơ
ủ
a không gian vect
ơ
V.
Khi V là m
ộ
t K - không gian vect
ơ
có s
ố
chi
ề
u n ta vi
ế
t dimV = n (hay
dim
K
V n
=
)
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
( )
i
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a
( )
i
α
,
i I
∈
. D
ễ
th
ấ
y khi
đ
ó
1 2
( , , , )
n
ủ
a
V
. Theo b
ổ
đề
ở
m
ụ
c 1.3.2, m
ọ
i h
ệ
m vect
ơ
v
ớ
i
m
>
n
đề
u ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ủ
a
( )
j
β
ph
ả
i
n
≤
.
Đổ
i vai trò c
ủ
a hai c
ơ
s
ở
cho nhau ta s
ẽ
th
ấ
y s
ố
các ph
ầ
n t
ử
c
u thì m
ọ
i h
ệ
vect
ơ
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
đề
u có th
ể
b
ổ
sung
để
tr
ở
thành m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
Đố
i v
ớ
i không gian vect
ơ
không h
ữ
u h
ạ
n sinh c
ũ
ng có th
ể
ch
ứ
ng minh các c
ơ
s
ở
c
ủ
a nó
cùng l
ự
c l
ượ
ng. Sau
đ
ây th
ườ
( , , , )
n
=
α α α α
c
ủ
a
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u
V
thì m
ọ
i vect
ơ
V
∈
α
vi
ế
t
đượ
a
độ
c
ủ
a
α
đố
i v
ớ
i (hay “trong” hay “theo”) c
ơ
s
ở
1 2
( , , , )
n
=
α α α α
,
i
x
g
ọ
i là t
ọ
a
α β
theo th
ứ
t
ự
có t
ọ
a
độ
( , )
i i
x y
trong c
ơ
s
ở
α
thì
+
α β
có t
ọ
a
độ
( )
i i
s
ở
1 2
' ( ' , ' , , ' )
n
=
α α α α
c
ủ
a
V
thì ta có khai tri
ể
n
11
ij ij
1
' , 1,2, , , (1)
n
j i
i
c j n c K
=
= = ∈
∑
α α
s
ở
'
α
thì:
ij ij
1 1 1 1 1 1
' ' ' '
n n n n n n
i i j j j i j i
i j j i i j
x x x c c x
= = = = = =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
α α α α α
Do tính ch
ấ
t duy nh
ấ
t c
c (1) ch
ỉ
s
ố
l
ấ
y t
ổ
ng (còn g
ọ
i là: ch
ỉ
s
ố
“câm”) là ch
ỉ
s
ố
tr
ướ
c c
ủ
a
ij
c
, còn trong
công th
ứ
c (2) ch
ỉ
v
ớ
i công th
ứ
c
đổ
i c
ơ
s
ở
(1).
Ví dụ 1:
Trong
K
- không gian vect
ơ
n
K
xét h
ệ
vect
ơ
( ), 1, ,
i
i n
=
ε
, v
ậ
y
( )
i
ε
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Ngoài ra v
ớ
i
m
ọ
i
1
( , , )
n
x x K
= ∈
α
ta có
1
n
i i
n
K
. C
ơ
s
ở
này g
ọ
i là
c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c (
hay
c
ơ
s
ở
t
ự
nhiên)
c
ủ
a
n
K
. T
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng h
ệ
1 2
' ( ' , ' )
=
α α α
v
ớ
i
1 1 2 2 2 1
' , '
= + = −
α α α α α α
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
c
ủ
a
β
trong c
ơ
s
ở
'
α
.
Giải.
a)
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2
' ' 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
k k k k k k k k
+ =
⇒
+ + − =
⇒
− + + =
α α α α α α α α
1 2
0
k k
⇒
ó
1 2
' ( ' , ' )
=
α α α
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
ℝ
.
b) Gi
ả
s
ử
t
ọ
a
độ
β
trong c
α α α
α α α
Nên công th
ứ
c chuy
ể
n t
ọ
a
độ
là:
1 2
1 2
2 ' '
4 ' '
x x
x x
= −
= +
,
T
ừ
ọ
c là m
ộ
t c
ơ
s
ở
cho nên không gian
đ
ó là 3 chi
ề
u.
1.5. Không gian vectơ con và không gian vectơ thương
1.5.1. Không gian vectơ con
Định nghĩa:
T
ậ
p con W c
ủ
a m
ộ
t K- không gian vect
ơ
V
đượ
c g
ọ
i là không gian vect
ơ
con c
a là:
, ,
, ,
W W
W x K x W
+ ∀ ∈ + ∈
+ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈
α β α β
α α
(ii)
W cùng v
ớ
i hai phép toán c
ủ
a V (h
ạ
n ch
ế
trên W) là m
ộ
t K- không gian vect
ơ
.
Nhận xét:
1)
Đ
u ki
ệ
n ii) suy ra W ph
ả
i ch
ứ
a vect
ơ
0
, t
ứ
c là
W
≠ ∅
Định lý:
Cho K- không gian vect
ơ
V,
W V
⊂
là không gian con c
ủ
a V khi và ch
ỉ
khi
W
≠ ∅
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
, ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh W là m
ộ
t
K- không gian vect
ơ
. Các tiên
đề
1, 4, 5, 6, 7, 8 th
ỏ
a mãn v
ớ
i m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
W
= ∈
α
( do W
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i phép nhân vô h
ướ
ng) rõ
ràng vect
ơ
0
này th
ỏ
a mãn tiên
đề
2
đố
i v
ớ
i m
ọ
i v
ớ
i W. V
ậ
y W là m
ộ
t K-
không gian vect
ơ
.
Ví dụ:
a) T
ậ
p
{
}
0
và V rõ ràng là nh
ữ
ng không gian vect
ơ
con c
ủ
a không gian vect
ơ
V. Chúng g
ọ
i là
nh
là
ℂ
-
không gian vect
ơ
thì
ℝ
không ph
ả
i là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a
ℂ
( vì
ℝ
không
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i phép nhân v
ớ
i m
con c
ủ
a K- không gian vect
ơ
K[x].
d) T
ậ
p các vect
ơ
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i m
ộ
t vect
ơ
khác
0
cho tr
ướ
c trong không gian vect
ơ
ở
ch
ươ
ng
trình hình h
ơ
V là m
ộ
t không
gian vect
ơ
con c
ủ
a V. Th
ậ
t v
ậ
y, rõ ràng chúng khác r
ỗ
ng (vì ch
ứ
a
0
) và
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
i các phép
toán c
ủ
ệ
bao hàm) n
ằ
m trong m
ọ
i ,
i
W i I
∈
.
Định nghĩa:
Cho
X V
⊂
thì giao c
ủ
a m
ọ
i không gian vect
ơ
con c
ủ
a V ch
ứ
a X
đượ
c g
ọ
i là bao
tuy
=
Nhận xét:
a)
Rõ ràng
X
là không gian vect
ơ
con bé nh
ấ
t ( theo quan h
ệ
bao hàm ) c
ủ
a V ch
ứ
a X.
b)
Vì
∅
là t
ậ
p con c
ủ
a m
ọ
i t
X là t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a không gian vect
ơ
V. Khi
đ
ó
X
là t
ậ
p các t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a các h
ệ
(h
ữ
u h
ạ
n) vect
ủ
a X là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a chính nó nên
X W
⊂
. D
ễ
th
ấ
y
W
≠ ∅
(vì
X
≠ ∅
) và W
ổ
n
đị
nh
đố
i v
ớ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a các h
ệ
(h
ữ
u h
ạ
n) vect
ơ
trong X t
ứ
c là
X W
⊃ . V
ậ
y
W X
= .
Ví dụ:
Trong không gian vect
ơ
3
ℝ
2 1 2 3
, ,
W
=< >
β β β
.
14
D
ễ
th
ấ
y
1 2
( , )
α α
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
1 1 2
, ( , )
W
β β
là c
, , 2
x y u v
y x y y v y u v
x v y v u v
+ = +
⇔ + = +
⇔ = = =
V
ậy
1 2 1 2
2 ,
v v v v v
= + = + ∈
ℝ
γ α α β β
.
Hay
(1, 2,3),
v v
= ∈
ℝ
γ
. Từ đó {(1,2,3)} là một cơ sở của
1 2
W W
∩
.
m
W W W
+ + +
D
ễ thấy
1 2
m
W W W
∈ + + +
α
khi và chỉ khi có thể viết được
1 2
, , 1,2, ,
m i i
W i m
= + + + ∈ =
α α α α α
. Nói chung các viết đó không duy nhất.
Ví dụ: Trong không gian vectơ
3
ℝ
cho
1 1 2
2 3 4
(1,0,0), (0,1,0)
(0,0,1), (1,1,0)
W W
+ ∈ ∈
α α α
cũng có thể viết là
1 3 4
( )
= + +
β α α α
(trong đó
1 1 3 4 2
, )
W W
∈ + ∈
α α α
.
Định nghĩa: Nếu mọi
1 1
m
W W
∈ ∈
α
đều được viết một cách duy nhất dưới dạng :
1 2
, , 1,2, ,
m i i
W W
là các không gian vectơ con của V. Khi đó
1 2
W W W
= +
là tổng trực tiếp
1 2
W W
⊕
khi và chỉ khi
{
}
1 2
0
W W∩ =
Chứng minh:
Giả sử
1 2 1 2
W W W W
+ = ⊕
. Nếu
1 2
W W
∈ ∩
α
thì :
15
ược lại nếu
{
}
1 2
0
W W∩ =
và có
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
, , , ,
W W
= + = + ∈ ∈
α α α β β α β α β
thì
1 1 2 2
− = −
α β β α
. Vì vế trái thuộc
1
W
, vế phải thuộc
2
W
nên
1 1 2 2 1 2
W W
− = − ∈ ∩
Chứng minh:
Gọi
1 2
( , , , )
r
α α α
là một cơ sở của
W Z
∩
( nếu
{
}
0
W Z∩ =
thì coi r = 0). Vì
1 2
( , , , )
r
α α α
độc lập tuyến tính nên có thể bổ sung để
1 1
( , , , , , )
r m
α α β β
α α β β γ γ
.
V
ế trái thuộc W, vế phải thuộc Z nên chúng phải thuộc
W Z
∩
. Do đó:
1 1 1 1
k k r r
c c t t
− − − = + +
γ γ α α
từ đó suy ra:
1 1 1 1
0
r r k k
t t c c
+ + + + + =
α α γ γ
. Vì
1 1
( , , , , , )
r k
α α γ γ
độc lập tuyến tính nên:
1 1 1
( , , , , , , , , )
r m k
α α β β γ γ
là độc lập tuyến tính và là cơ sở của W + Z.
T
ừ đó suy ra:
dim( ) ( ) ( ) dim dim dim( )
W Z r m k r m r k r W Z W Z
+ = + + = + + + − = + − ∩
.
Hệ quả:
dim( ) dim dim
W Z W Z
⊕ = +
Thật vậy, vì
W Z W Z
+ = ⊕
nên
{
}
0
W Z∩ =
. Áp dụng định lý trên suy ngay ra hệ quả
Định nghĩa: Nếu
V W Z
= ⊕
− = ∈
α α
W
+ ℜ ⇒ − ∈
α β α β
và W
− ∈ ⇒ ℜ
β α β α
+ ℜ
α β
và
W
ℜ
⇒
− ∈
β γ α β
và
W
− ∈
β γ
( ) ( )
W
là m
ột không gian vectơ, gọi là không gian vectơ thương (của V chia cho W).
Chứng minh:
Trước hết các phép toán được định nghĩa như trên không phụ thuộc vào đại diện. Thật vậy, nếu
[ '] [ ], [ ']=[ ]
=
α α β β
thì
', '
− −
α α β β
thuộc W, nên
( ') ( ') ( ) ( ' ')
− + − = + − +
α α β β α β α β
thuộc W, tức
[ ]=[ ' ']
+ +
α β α β
ngoài ra
( ') '
k k k
− = −
dim / dim dim
V W V W
= −
.
Chứng minh:
Lấy một cơ sở
1 2
( , , , )
m
α α α
của W ( nếu W=
{
}
0
, thì coi m = 0) rồi bổ sung để được cơ sở
1 2 1
( , , , , , , )
m n
α α α β β
của V (nếu W = V thì coi n = 0). Ta sẽ chứng minh
1
([ ], [ ])
n
β β
là một
c
vì n
ếu
1 1
[ ]+ +z [ ] 0
n n
z
=
β β
thì
1 1
+ +z
n n
z
β β
thuộc W, do đó
1 1 1 1
[ ]+ +z [ ]
n n m m
z t t
= + +
β β α α
. Nhưng hệ
1 2 1
( , , , , , , )
m n
α α α β β
=< > =< > =< > =< >
α α α α α α α α α α α
. Hãy xác định cơ sở
c
ủa T + U + W + Z, W
∩
V,
4
ℝ
/W.
a)
Xét hệ vectơ
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
ta thấy:
1 1 2 2 3 3 5 5
x x x x
+ + +
α α α α
, kéo theo:
1 3
2 3 5
1 2
2 3 5
0 (1)
0 (2)
được vào (3) rồi vào (2) ta được
2 5
0, 0
x x
= =
. Vậy hệ
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
độc lập tuyến tính . Từ đó
suy ra T + U =
1 2 3 5
, , ,
< >
α α α α
=
4
ℝ
. Hơn nữa, vì
{
}
0
T U∩ =
nên
T U T U
+ = ⊕
.
, , , , , , , ,
W Z
+ =< >=< >
α α α α α α α α α α
nên
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
là một cơ sở của W + Z.
c) Từ định lý về số chiều của giao và tổng các không gian vectơ con ta có:
dim dim dim dim( ) 2
W Z W Z W Z
∩ = + − + =
Khai tri
ển
6 7
,
α α
trong cơ sở
5 6 7
( , , )
α α α
của Z theo
1 2 3 5
( , , , )
α α α α
là cơ sở của
4
ℝ
nên có thể chọn cơ sở
c
ủa
4
/
W
ℝ
là lớp tương đương
{
}
4
5 5
[ ] |
R W
= ∈ − ∈
α β β α
.
*) Tài liệu học tập:
[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính
và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số
tuy
ến tính và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
∈
sao cho:
1 2
0
n
x x x
+ + + =
d)
Tập các phần tử
1 2
( , , , )
n
n
x x x K
∈
sao cho:
1 2
1
n
x x x
+ + + =
.
2.
a) Tập hợp các số thực
ℝ
với phép cộng số thực và phép nhân một số thực với một số hữu tỷ
có ph
ải là một
ℚ
có phải là một
ℚ
- không gian vectơ không?
4. Xét các hàm số thực xác định trên đoạn
[ , ]a b
⊂
ℝ
, với phép cộng hai hàm số và phép nhân
hai hàm số thực. Tập các hàm số sau có phải là
ℝ
- không gian vectơ không?
a) T
ập các hàm số liên tục trên [a,b]
b) T
ập các hàm số khả vi trênn [a,b] (tức là các hàm số có đạo hàm trên [a,b])
c) T
ập các hàm số bị chặn trên [a,b].
d) T
ập các hàm số
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
sao cho
[ , ]
sup | ( ) | 1
a b
f x
= ∈
α α α α α α α α
λ λ λ λ
Chứng minh rằng
1
n
V V
× ×
là K- không gian vectơ
6. Chứng minh rằng có thể chứng minh được tiên đề 4 từ các tiên đề khác của định nghĩa không
gian vect
ơ .
19
7. Chứng minh rằng không thể chứng minh được tiên đề 8 từ các tiên đề khác trong định nghĩa
không gian vectơ.
8. Cho hệ vectơ (
1 2
( , , )
n
α α α
trong K- không gian vectơ V. Xét xem hệ này độc lập tuyến tính
hay ph
ụ thuộc tuyến tính trong các trường hợp sau:
a)
Có một vectơ của hệ bằng
− +
= = = +
α β α β α β β
với
x K
∈
và hệ
1)
1
( , ,
n
+
β β
độc lập tuyến tính.
9. Xét tập các đa thức một biến x hệ số thực, bậc
≤
n:
{
}
2
0 1 2
( ) , , 0,1, ,
n
n i
f x a a x a x a x a i n
= + + + + ∈ =
ℝ
11. Trong
ℝ
- không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên
ℝ
, hệ hàm số sau phụ thuộc tuyến
tính hay
độc lập tuyến tính?
a)
2
1 2 3
( ) 3 , ( ) 5, ( ) 2
f t t f t t f t t
= = + =
b)
1 2 3
( ) 1, ( ) , ( )
t t
f t f t e f t e
−
= = =
c)
2 2
1 2 3
( ) , ( ) , ( )
t
f t t f t t f t c
= = =
d)
13. Giả sử
1
( , , )
n
ε ε
là một cơ sở của K- không gian vectơ V và
1
n
i i
i
x
=
=
∑
α ε
. Chứng minh rằng
n
ếu có chỉ số k để
0
k
x
≠
thì hệ vectơ
1 1
1
( , , , , , , )
k k
n
ℚ
có phải là một không gian vectơ hữu hạn sinh không?
16. Trong các trường hợp sau, chứng minh rằng
1 2 3
( , , )
ε ε ε
là một cơ sở của
3
ℝ
và tìm tạo độ
c
ủa
α
trong cơ sở đó biết rằng:
a)
1 2 3
(2,1,1), (6,2,0), (7,0,7), (15,3,1)
= = = =
ε ε ε α
.
b)
1 2 3
(0,1,1), (2,3,0), (1,0,1), (2,3,0)
= = = =
ε ε ε α
.
K
∈
λ
tùy ý.
β
) Cộng vào một vectơ của hệ vectơ khác của hệ nhân với một phần tử tùy ý của K.
T
ừ đó suy ra: Hạng của hệ vectơ không đổi khi ta cộng vào một vectơ của hệ một tổ hợp tuyến
tính c
ủa các vectơ vào hệ.
c) Xét m
ột hệ vectơ cột (coi là phần tử của
n
K
) của ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2. . .
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
(Ký hiệu X nói rằng đó là những phần tử nào đó của K).
Ch
ứng minh rằng hạng của hệ vectơ cột của A bằng hạng của hệ vectơ cột của A’. Hãy tính hạng
đó.
18. V là một K- không gian vectơ n chiều, W là một tập có m phần tử. Hãy tính số chiều của
không gian vect
ơ các ánh xạ từ W đến V.
19. Trong
ℝ
- không gian vectơ
4
ℝ
, tính hạng của các hệ vectơ sau:
21
a)
1 2 3
3 3
(0,0,0,0), (1,0, 1,3), ( ,0, , 3)
3 3
= = − = −
α α α
b)
1 2 3
2 2
(0, 3,12,3), (3 2, ,2 2, ), (6, 1, 4,1)
2 2
= − = − = −
hỏi các bộ phận sau có phải là không gian vectơ con không?
a)
{
}
1 2 3
( , , ) | , 1,2,3
i
A x x x x Q i
= ∈ =
b)
{
}
1 2 3 1 2 3
( , , ) | 0
B x x x x x x
= + + =
c)
{
}
1 2 3 1 2 3
( , , ) | 1
C x x x x x x
= + + =
d)
{
}
1 2 3 1 2 3 1 2 3
}
(1, 2,4), (1,1,3)
và
bao tuy
ến tính của
{
}
(0,1,1), ( 1,1, 1)
− −
bằng nhau.
24. Trong
ℝ
- không gian vectơ
3
ℝ
chứng minh rằng các bộ phận sau :
{
}
{ }
1 2 3 1
1 2 3 2
( , , ) | 0
( , , ) | 0
A x x x x
B x x x x
= =
= =
là nh
ững không gian vectơ con. Hãy xác định
và hãy tìm số chiều của chúng.
26. Trong không gian vectơ
4
ℝ
xét các không gian vectơ con của W sinh bởi (1,0,0,2), (0,2,1,-
1), (-1,6,3,7) và Z sinh b
ởi (3,2,0,1), (1,2,1,1). Tìm số chiều của W, Z, W + Z,
4
, /
W Z R W
∩ .
22
27. Chứng minh rằng mọi không gian con W của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V đều có bù
tuy
ến tính Z, tức có không gian vectơ con Z của V để
V W Z
= ⊕
. Hỏi Z có duy nhất không?
28. Giả sử
1
, ,
m
W W
là những không gian vectơ con hữu hạn n chiều của K- không gian vectơ V.
Ch
ứng minh rằng các điều kiện sau tương đương:
a)
1
m
i
∑
.
c)
1
m
i
i
W W
=
=
∑
và
1
dim dim
m
i
i
W W
=
=
∑
.
29.
a) Tìm số chiều của không gian vectơ Mat(m, n), Mat(n) trên trường
ℝ
.
b) G
ọi S(n) là tập hợp các ma trận đối xứng cấp n (tức các ma trận
là hao không gian vectơ con của không gian vectơ hữu hạn chiều V. Chứng
minh r
ằng nếu:
1 2 1 2
dim( ) dim( ) 1
W W W W
+ − ∩ =
. Thì tổng
1 2
W W
+
trùng với một trong các
không gian con
đã cho còn
1 2
W W
∩
trùng với không gian con còn lại.
31. Không gian vectơ con W của không gian vectơ V gọi là có đối chiếu m (ký hiệu
codim
W m
=
) nếu dimV/W = m. Giả sử
1
W
và
1
Z
là những không gian vectơ con có đối chiều
h
ếu dim W + dim Z > dim V thì
W Z
∩
chứa vectơ khác
0
.
b) N
ếu dim (W + Z) = dim
( ) 1
W Z
∩ +
thì một trong hai không gian vectơ con trên nằm
trong không gian vect
ơ con còn lại. 23
CHƯƠNG 2.
Ánh xạ tuyến tính và ma trận
Số tiết: 18 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 6 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ
véctơ độc lập tuyến tính, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại, hạng
của hệ véctơ, hệ véctơ cơ sở, số chiều của không gian véctơ, không gian véctơ thương, giao và
t
ổng của các không gian véctơ.
- Sinh viên hi
ểu được các tính chất, định lý của không gian véctơ.
- Sinh viên v
→
là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ), , , ,
f p q pf qf V p q K
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈
α β α β α β
2) :
f V W
→
là ánh xạ tuyến tính thì:
1 1
) ( ) ( )
k k
i i i i
i i
a f x x f
= =
=
∑ ∑
α α
đặc biệt,
) (0) 0
b f
=
) ( ) ( )
là những ánh xạ tuyến tính .
3)
Gọi
[
]
V x
=
ℝ
là
ℝ
- không gian vectơ các đa thức một biến với hệ số thực. Ánh xạ đạo hàm:
R[x]
→
R[x]
1
1 2 1
2
n n
n o n
a x a x a na x a x a
−
+ + + → + + +
là một ánh xạ tuyến tính.
24
4) Coi
ℂ
là
ℝ
- không gian vectơ. Ánh xạ
,
1 2 1 2
( ( , ) ( , )) (( , ))
(( , )) (( , )), 1,2
i i i i
i i
p a b p a b a b a b
ap bp i
+ = + + = +
= + =
α α β β α β α β α β
α α β β
6) Cho tổng trực tiếp
1 2
W W
⊕
của hao không gian vectơ con
1 2
,
W W
của K- không gian vectơ V,
khi
đó ánh xạ
1 2
:
i i
p W W W
⊕ →
a) f + g và kf là những ánh xạ tuyến tính.
b)
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến W với hai phép toán xác định như trên làm thành một
K - không gian vect
ơ và được ký hiệu là Hom(V, W) (trong đó vectơ không là ánh xạ 0).
2.1.4. Định lý: Giả sử V là một K- không gian vectơ n chiều. Khi đó ánh xạ tuyến tính từ V đến
K- không gian vectơ W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh:
Gọi
1
( , , )
n
ε ε
là một cơ sở của V và
1
( , , )
n
β β
là một hệ n vectơ tùy ý của W. Ta sẽ chứng
minh r
ằng có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f:
V W
→
sao cho
( ) , 1,2, ,
i i
f i n
= =
α ε ε
thì:
1 1 1 1
1 1
( ') ( ' ) ( ( ') ) ( ')
' ( ) ( ') ,
n n n n
i i i i i i i i i i
i i i i
n n
i i i i
i i
f k l f k x l x f kx lx kx lx
k x l x kf lf k l K
= = = =
= =
+ = + = + = +
= + = + ∀ ∈
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
α α ε ε ε β
β β α α
Rõ ràng
( ) ;( 1, 2, , )
i i
f i n
( ) ( ) ,
n n
i i i i
i i
f x f x
= =
= =
∑ ∑
α ε β
1 1
( ) ( ) ,
n n
i i i i
i i
g x g x
= =
= =
∑ ∑
α ε β
T
ừ đó suy ra
( ) ( )
f g=
α α
. Do đó f = g.
2.1.5. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
ε β
trong c
ơ sở
µ
:
ij
1
( ) ; 1, ,
m
i j
j
f a i n
=
= =
∑
ε µ
V
ới mỗi
1
n
i i
i
x
=
=
∑
1
; 1,
n
j i
i
y a x j m
=
= =
∑
1 11 1 12 2 1
2 21 1 12 2 2
1 1 2 2 n n
n n
m m m mn n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
= + + +
= + + +
a a a
= =
Ma tr
ận đó được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong (hay đối với) các cơ sở nói trên.
Nói cách khác cho các c
ơ sở
ε
của V và
µ
của W thì có một song ánh giữa tập Mat(m x n, K)
các ma tr
ận cỡ (m, n) trong K và tập Hom(V, W) các ánh xạ tuyến tính từ V đến W.
D
ễ thấy
ij ij
( ), ( )
A a B b
= = là ma trận các ánh xạ tuyến tính và g:
V W
→
tương ứng trong các cơ
sở
ε
Copyright: Tài liệu đại học ©