1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC)
DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
2
CHƯƠNG 1.
Định thức và hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được các khái niệm: phép thế, dấu của phép thế, ánh xạ đa tuyến tính,
định thức, hệ phương trình tuyến tính.
- Sinh viên hiểu được các tính chất của phép thế, định thức, hệ phương trình tuyến tính và
cách giải hệ phương trình tuyến tính
- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan.
1.1. Phép thế và dấu của phép thế (hay hoán vị)
1.1.1. Định nghĩa: Phép thế bậc n là một song ánh
σ
u, t
ứ
c là n
ế
u
0
( ) ( )
i j
i j
σ σ
−
<
−
Phép th
ế
σ
g
ọ
i là ch
ẵ
n hay l
ẻ
tùy s
ố
các ngh
ị
ch th
ế
1
σ
−
n
ế
u
σ
ch
ẵ
n;
σ
l
ẻ
Ví dụ 1:
Phép th
ế
1 2 3 4
43 2 1
σ
=
có 5 ngh
ị
ọ
i là m
ộ
t chuy
ể
n trí (hay
chuy
ể
n v
ị
) b
ậ
c n. D
ễ
th
ấ
y m
ỗ
i chuy
ể
n trí là m
ộ
t phép th
ế
l
ẻ
. Th
ậ
t v
ậ
{i, k} v
ớ
i m
ọ
i k th
ỏ
a mãn i < k
≤
j
{l, j} v
ớ
i m
ọ
i l th
ỏ
a mãn i < l < j
T
ứ
c có t
ấ
t c
ả
(j – i) + (j – i – 1) = 2 (j – i) – 1 ngh
ị
ch th
ế
.
Chú ý:
T
ậ
3
1.1.2. Tính chất
1.
,
n
S
σ µ
∈
thì sgn
( )
o
µ σ
= sgn
( )
µ
.sgn
( )
σ
, t
ứ
c ánh x
ạ
sgn : { 1}
n
S
±
i j
i j
σ σ
−
−
∏
tích này ch
ạ
y qua m
ọ
i c
ặ
p s
ố
phân bi
ệ
t không th
ứ
t
ự
{
i
,
j
}
⊂
{1,2,…,
n
},
y qua m
ọ
i c
ặ
p
nh
ư
th
ế
và
{ , }
( ) ( )
sgn( )=
( ( )) ( ( ))
i j
i j
i j
σ σ
µ
µ σ µ σ
−
−
∏
V
ậ
y
{ , } { , }
( ) ( )
sgn( )sgn( )=
b
ậ
c n (n
2)
≥
là tích c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n chuy
ể
n trí.
Th
ự
c v
ậ
y, n
ế
u phép th
ế
là ánh x
ạ
đồ
đ
úng n – 2 ph
ầ
n t
ử
thì nó ph
ả
i là m
ộ
t chuy
ể
n trí.
Gi
ả
s
ử
tính ch
ấ
t 3
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i phép th
ế
gi
ữ
b
ấ
độ
ng m – 1 ph
ầ
n t
ử
. Gi
ả
s
ử
có
( )
i j i
σ
= ≠
. G
ọ
i
τ
là
phép chuy
ể
n trí
đổ
i ch
ỗ
i và j thì
1
τ τ
−
=
o o o
τ σ τ τ σ
−
=
(trong
đ
ó
1
, ,
q
τ τ
là các chuy
ể
n trí) do
đ
ó
1
1
q
o o
σ τ τ τ
−
=
.
Hệ quả:
Phép th
ế
σ
Định nghĩa:
Gi
ả
s
ử
V và W là nh
ữ
ng K- không gian vect
ơ
, p là s
ố
nguyên
1
≥
. Ánh x
ạ
:
:
p
V V V W
η
× × × →
G
ọ
i là
đ
a tuy
W
. Khi
W
=
K
thì
η
g
ọ
i là m
ộ
t d
ạ
ng
p
- tuy
ế
n tính trên
V
.
Ví dụ:
a) Ánh x
ạ
không:
V V V W
× × × →
;
1
( , , ) 0
p
ε ε ε
là các vect
ơ
đơ
n v
ị
trên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Đề
- các vuông góc. N
ế
u:
1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3
a a a
a a a
a a a
α ε ε ε
α ε ε ε
α ε ε ε
= + +
1 2 1 2
x
( , )
E E E
α α α α
→
∧
֏
21 31 31 11
11 21
1 2 1 2 3
22 32 32 12 12 22
a a a a a a
a a a a a a
α α ε ε ε
∧ = + +
-
tích h
ỗ
n t
ạ
p:
3 3 3
x x
ố
c
ủ
a hình h
ộ
p
đị
nh h
ướ
ng xác
đị
nh b
ở
i các vect
ơ
1 2 3
( , , )
α α α
) là nh
ữ
ng ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính.
c) L
= = ∈
∑
Thì ánh x
ạ
:
: VxVx xV
W
η
→1 1
( , , ) ( , , )
p p
α α η α α
֏
Trong
đ
ó
1 1
1
1 1
1 , , 1
( , , ) ( , , )
p p
p
tuy
ế
n tính t
ừ
V
đế
n W.
1.2.2. Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên
Định nghĩa:
Ánh x
ạ
p- tuy
ế
n tính
1
( )
( 1)
q
p p
p
j i
=
+
∑
−
η
t
ừ
V
đế
. T
ứ
c là:5
( , , , , ) 0
η α α
=
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a suy ra khi
đổ
i ch
ỗ
hai vect
ơ
trong p vect
ơ
đ
ã cho thì giá tr
η α α η α α
= −
Nói cách khác, n
ế
u
τ
là m
ộ
t chuy
ể
n trí b
ậ
c p thì
(1) (2) ( )
1 2
( , , , ) ( , , , )
p
p
τ τ τ
η α α α η α α α
= −
T
ừ
đ
ó do h
E
nói trên là nh
ữ
ng ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính thay
phiên.
b) Gi
ả
s
ử
V
là
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u,
1 2
( , , , )
n
α ε
=
=
∑
thì
1 2 (1).1 (2).2 ( ).
( , , , ) sgn( ) .
n
n n n
S
D a a a
ε σ σ σ
σ
α α α σ
∈
=
∑
D
ễ
th
ấ
y
D
ε
là n- tuy
ế
n tính. Ta s
j
v
ớ
i
k
và g
ọ
i
H
là t
ậ
p các
n
S
µ
∈
mà
( ) ( )
j k
µ µ
<
thì v
ớ
i m
ọ
i
\ , ( ) ( )
n
S H j k
u ki
ệ
n
j k
α α
=
ngh
ĩ
a là
ij
1, ,
ik
a a i n
= ∀ =
.
Do
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
\
n
S H
µ
∈
ta có:
( ). ( )( ). ( )( ).
(1).1 ( ). (1).1 ( ). (1).1 ( ).
\
(1).1 ( ). ( . )(1).1 ( )( ). (1).1 ( ).
sgn( ) sgn( ) sgn( )
sgn( ) sgn( . ) (sgn( ) sgn( . )) 0
n n
n n n n n n
S H S H
n n n n n n
H H H
a a a a a a
a a a a a a
σ σ µ µ σ σ
σ µ σ
µ µ µ τ µτ µ µ
µ µ µ
σ µ σ
µ µ τ µ µ τ
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
= +
= + = + =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
V
ậ
y n
ế
u
ơ
n
chi
ề
u. Ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính thay phiên
:
n
V V K
η
× × →
Còn
đượ
c g
ọ
i là d
ạ
ng
n
- tuy
ế
n tính thay phiên trên
V
n
A V
v
ớ
i các phép toán c
ộ
ng ánh x
ạ
và nhân ánh x
ạ
v
ớ
i m
ộ
t vô h
ướ
ng thu
ộ
c
K
là m
ộ
t
K
- không gian vect
ơ
.
Định lý:
dim
( )
ó theo ví d
ụ
trên
( )
n
D A V
ε
∈
vì
1
( , , ) 1
n
D
ε
ε ε
=
nên
0
D
ε
≠
. Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh
( )
D
ε
α ε
=
= =
∑
thu
ộ
c V vì
η
là
đ
a tuy
ế
n tính nên
1 1
1
1 .1 .
1
( , , ) ( , , )
n n
n
n
n i i n i i
i i
a a
η α α η ε ε
=
=
∑
( , , ) ( ), , ( )
sgn( ) ( , , )
( , , ). ( , , )
n
n
n n n
S
n n n
n n
a a
a a
D
σ σ
σ σ
σ
σ σ
η α α η ε η ε
σ η ε ε
η ε ε α α
∈
=
=
=
∑
∑
Đặ
A V
và dim
V
= 1
T
ừ
cách ch
ứ
ng minh trên ta có:
Hệ quả:
V là K- không gian vect
ơ
n chi
ề
u,
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a V thì m
ạ
ng 3- tuy
ế
n tính thay phiên trên không gian các vect
ơ
trong hình h
ọ
c
ở
trung h
ọ
c
đề
u t
ỷ
l
ệ
v
ớ
i tích h
ỗ
n t
ạ
p c
ủ
a ba vect
ơ
.
1.3. Định thức
a nó. Gi
ả
s
ử
1
, 1, ,
n
i ji j
j
a i n
α ε
=
= =
∑
. Khi
đ
ó
1 (1).1 ( ).
( , , ) sgn( )
n
n n n
S
D a a
ε σ σ
σ
α α σ
∈
=
Tính chất:
a)
D
ε
là m
ộ
t d
ạ
ng n- tuy
ế
n tính thay phiên trên V.
b)
1
( , , ) 1
n
D
ε
ε ε
=
c)
N
ế
u
1
( , , )
n
ε ε ε
=
n
A V D
ε
=
và
D
α
là nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
khác không thu
ộ
c
( )
n
A V
nên có
0
c
≠
thu
ộ
c K
để
.
ng t
ự
1
( , , )
n
D D D
α α ε
α α
=
.
d) H
ệ
1
( , , )
n
α α α
=
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i m
ệ
nh
đề
: N
ế
u h
ệ
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì
1
( , , ) 0
ở
c
ủ
a V, do
đ
ó theo cách ch
ứ
ng minh tính
ch
ấ
t c)
ở
trên
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
≠
Tính ch
ấ
t d) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
ơ
trong hình h
ọ
c
ở
trung h
ọ
c thì
1 2 3
( , , )
D
ε
α α α
v
ớ
i
1 2 3
( , , )
ε ε ε ε
=
là c
ơ
s
ở
nói trong ví d
ụ
b) m
t ph
ầ
n t
ử
ký hi
ệ
u là
dèt
K
∈
sao cho
1
( ), ( , , )
n
n
A V
η α α
∀ ∈ ∀
ta có
1 1
( ( ), , ( ) det . ( , , )
n n
f f f
η α α η α α
=
Chứng minh:
Do
× × →
sao cho
1 1
( , , ) ( ( ), , ( ))
n n
f f
θ α α µ α α
=
thì d
ễ
th
ấ
y
( )
n
A V
θ
∈
, nên
,
b b K
θ µ
= ∈
.
Do
đ
ó
nh lý trên g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c t
ự
đồ
ng c
ấ
u
f
.
Tính chất:
a)
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
ta có det f =
1 (1).1 ( ).
( ( ), , ( )) sgn( )
n
n n n
S
D f f a a
ε σ σ
σ
ε ε σ
∈
=
∑
b)
det(Id ) 1
V
=
c)
(
)
det det .det , ,
gf g f g f EndV
= ∀ ∈
Th
ậ
gf D g f g f g D f f
g f D g f
ε ε
ε
ε ε ε ε
ε ε
= =
= =
d) det
f
0
≠
⇔
f
đẳ
ng c
ấ
u
Th
ậ
t v
ậ
y,
1
( , , )
n
ε ε ε
ậ
p tuy
ế
n tính
⇔
f
đẳ
ng c
ấ
u. V
ậ
y GL(
V
)= {
f
∈
End
V
|det
f
0
≠
}
1.3.3. Định thức của một ma trận vuông
1.3.3.1. Định nghĩa:
( )
ji
A a
= ∈
n n nn
a a a
a a a
a a a
Đượ
c xác
đị
nh b
ở
i: det
A
=
(1).1 ( ).
sgn( )
n
n n
S
a a
σ σ
σ
σ
∈
∑
Nhận xét:
Rõ ràng
đị
nh th
ứ
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
n
K
Ví dụ:
11 12
21 22
(2, )
a a
A M K
a a
= ∈
thì
11 12
11 22 21 12 11 22 21 12
21 22
1 2 1 2
det sgn sgn
1 2 2 1
a a
= + + +
12 32 23 21 12 23
1 2 3 1 2 3
sgn sgn
1 3 2 2 1 3
a a a a a a
+ +
11 12 33 31 12 23 21 32 13 31 22 13 12 32 23 21 12 23
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + − − −
Cho
K
=
ℝ
ta
đượ
c
đị
nh th
ứ
c c
ấ
đồ
ng c
ấ
u f c
ủ
a K- không gian vect
ơ
n chi
ề
u V trong m
ộ
t c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
ε ε ε
=
nào
đ
ó thì
det
A =
det
f
S
f a a A
σ σ
σ
σ
∈
= =
∑
b)
N
ế
u
, 1, ,
n
i ji j
S
a i n
σ
α ε
∈
= =
∑
thì
1
( , , ) det
n
D A
ε
Ma tr
ậ
n
A
g
ọ
i là không suy bi
ế
n n
ế
u
det 0
A
≠
. V
ậ
y
A
kh
ả
ngh
ị
ch khi và ch
ỉ
khi nó không suy
bi
ế
n. Do
đ
ó: GL(
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a m
ộ
t
t
ự
đồ
ng c
ấ
u.
Chú ý:
T
ừ
tính ch
ấ
t b) do
D
ε
là ánh x
c. Ch
ẳ
ng h
ạ
n:
11 1 1 1 11 1 1 11 1 1
1 1 1
) i i n i n i n
n ni ni nn n ni nn n ni nn
a pa qb a a a a a b a
p q
a pa qb a a a a a b a
α
+
= +
+
)
β
Đổ
i ch
ỗ
hai c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
đị
nh th
ứ
c
đ
ó).
)
γ
Đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t c
ộ
t b
ằ
ng 0,
đị
10
)
σ
N
ế
u c
ộ
ng thêm vào m
ộ
t c
ộ
t m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các c
ộ
t còn l
ạ
i thì
đị
nh th
đư
a vi
ệ
c tính m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c
ph
ứ
c t
ạ
p v
ề
vi
ệ
c tính nh
ữ
ng
đị
nh th
ứ
c
đơ
n gi
ả
n h
ơ
thuộc Mat(n, K) thì ma trận
ij
( )
t
A a
= =
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
gọi là ma trận chuyển vị của A. Dễ thấy:
- Dòng thứ i của ma trận
t
A
là cột thứ i của ma trận A
n n
t
n n n n
S S
A a a a a
σ σ σ σ
σ σ
σ σ
∈ ∈
= = − −
∑ ∑
S
ở dĩ có đẳng thức sau vì nếu ( )
i k
σ
=
thì
1
( )
i k
σ
−
= do đó
, ( ) ( ).
1
i i k k
a a
σ σ
= −
S
A a a A
µ µ
µ
µ
∈
= =
∑
V
ậy mọi tính chất của định thức của ma trận vuông, xem là ánh xạ
n
K K
→
trên h
ệ vectơ cột
c
ủa ma trận, vẫn còn đúng đối với hệ vectơ dòng. Ví dụ:
det A = 0
⇔
hệ vectơ dòng (coi mỗi dòng là một phần tử của
n
K
) phụ thuộc tuyến tính.
1.3.3.4. Định lý Laplace
Cho A =
( )
ji
a
∈
, , ,
q
i i i
. Ký hiệu định thức của nó là:
1
1( )
q
q
i i
j j
A
∆
(gọi là một định thức con cấp
q của A)
N
ếu ta xóa các dòng thứ
1
, ,
q
j j
, các cột
1
, ,
q
i i
của A thì được ma trận vuông (con) cấp n – q
của A mà định thức của nó nhân với
( )
q
q
i i
j j
A
∆
Ví dụ:*
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
=
thì
1 2
ɶ
( ) ( 1) '
i
j i
ji
ji
j
A a a
+
= − =
∆
(
ở
đ
ây
'
ji
a
là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
vuông c
ấ
đị
nh
th
ứ
c con c
ấ
p q c
ủ
a A n
ằ
m trong q dòng
đ
ó v
ớ
i ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a chúng. T
ứ
c là:
1
1
1
ji
ji
i
A a a
=
=
∑
(j c
ố
đị
nh). G
ọ
i là khai tri
ể
n detA theo dòng th
ứ
j.
Ta c
ũ
ng có công th
ứ
c t
ươ
ng t
ự
khi thay ch
ữ
“dòng” b
ằ
i i
i i
j j
j j
j j j n
A A
≤ < < < <
=
∑
∆
∆
ɶ
1
det
n
ji
ji
j
A a a
=
=
∑
(i c
ố
đị
nh)
G
ọ
n d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c), dòng th
ứ
2
j
v
ề
dòng
th
ứ
2 (
đổ
i
2
j
- 1 l
ầ
n d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c)… ta s
1
, 1, ,
n
i ji j
j
a j n
α ε
=
= =
∑
12
1
( , ,
n
ε ε ε
=
là c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
η α α ε ε α α
+ +
≤ < < < <
= −
∑
Trong
đ
ó các s
ố
nguyên
1
' , , ' ( )
s
i i s n q
= −
xác
đị
nh b
ở
i
1 2
1 ' ' '
s
i i i n
≤ < < < ≤
( , , ) 0
n
η α α
=
vì: d
ễ
th
ấ
y trong t
ổ
ng nói trên n
ế
u có
1
, 1
u u
i k i k
+
= = +
thì s
ố
h
ạ
ng
đ
ó c
ủ
a t
ổ
ũ
ng có s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a t
ổ
ng
ứ
ng v
ớ
i 1, '
u v
i k i k
= + =
và
2 s
ố
h
ạ
ng
đ
ó là
đố
i nhau do th
ừ
a s
ố
i i
D
ε
η
+ +
= −
D
ễ
th
ấ
y
1
1
1
1, ' 1, '
1 ' '
, ' , '
( , , , , , )
s
s
s
q i q i
n i i
q q i q q i
a a
D
a a
ε
đ
ó B là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p p, D là ma
tr
ậ
vuông c
ấ
p n – p , còn C là ma tr
ậ
n c
ỡ
(p, n – p ) thì detA = det B. det D
1.3.3.5. Công thức tính ma trận nghịch đảo
G
ọ
i
ji
α
là ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
p c
ủ
a A. Ta có
1
det
n
ji ji
j
a a A
=
=
∑
Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh:
1
0, '
n
ji jk
j
a a i k
=
= ≠
∑
ộ
t khác gi
ữ
nguyên) thì B có hao c
ộ
t gi
ố
ng nhau nên detB = 0. Khai tri
ể
n detB theo c
ộ
t
th
ứ
k, chú ý r
ằ
ng ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
jk
b
(trong B) và ph
ầ
n bù
t
ừ
các công th
ứ
c trên ta có:
1
det
n
ji jk ik
j
a a A
δ
=
=
∑13
Hay
. det .
t
n
A A A I
=
T
j
a a A
δ
=
=
∑
.
1.3.3.6. Ví dụ
a) Tính
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
n
D =
c) Tính
đị
nh th
ứ
c (Vandermonde)
2 1
1 1 1
2 1
2 2 2
2 1
1
1
( )
x n
x n
D x n
x
=
e) Tính
1 2 3
2 2 3
1 2 3
x n
x n
D
x n
+
+
=
+g) Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
ậ
n trong câu g)
1.3.4. Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ
14
1.3.4.1. Định nghĩa:
Cho A
∈
Mat(m x n, K). H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n A, ký hi
ệ
u h
ạ
ng A, là h
ạ
ng c
ủ
a
h
ệ
vect
ơ
c
ộ
đ
i m
ộ
t s
ố
dòng và
m
ộ
t s
ố
c
ộ
t g
ọ
i là ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p + 1 c
ủ
a A. N
ế
u xóa thêm m
ộ
t dòng, m
ộ
t c
ộ
t n
ữ
p p c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông con không suy bi
ế
n mà m
ọ
i
ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p+ 1 bao nó
đề
u suy bi
ế
n
Chứng minh:
Có th
ể
coi ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p
đ
ó n
ằ
m
ế
u chúng
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì các c
ộ
t c
ủ
a C ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính, nên det C = 0 trái gi
ả
thi
ế
t C không
suy bi
ế
n. Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh m
n vuông c
ấ
p p + 1 sau
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
p s
p s
p p pp ps
k k kp ks
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Khi
k p
≤
ma tr
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
theo dòng cu
ố
i thì
đượ
c:
1 1 2 2
1
det 0
( , , )
k k kp p ks
p
a b a b a b a C
b b K
+ + + + =
∈
Chia hai v
ế
cho detC
0
≠
thì
đượ
ế
n tính c
ủ
a p c
ộ
t
đầ
u c
ủ
a nó. V
ậ
y h
ạ
ng A = p.
4. Chú ý:
a) T
ừ
đị
nh lý trên suy ra h
ạ
ng c
ủ
a A c
ũ
ng b
ằ
ng h
ạ
ng c
1
( , , ), ( 1, , )
m
n i ji i
j
a i n
ε ε ε α ε
=
= = =
∑
thì h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
1
( , , )
n
α α
chính là h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
1.4.1. Định nghĩa
1.4.1.1. Hệ phương trình:
1
,( 1, , )
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
Trong
đ
ó
,
ki k
a b
cho tr
ướ
c (k = 1,…, m; i = 1,…, n)
∈
K,
( 1, , )
i
x i n
=
là
ẩ
s
ố
,
k
b
g
ọ
i là h
ệ
s
ố
t
ự
do.
Ma tr
ậ
n
11 12 1
21 22 2
1 2( )n
n
ki
m m mn
n
n
bs
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
=
Có
đượ
c b
ằ
ng cách thêm vào c
ộ
t h
ệ
s
ố
t
ự
Ma tr
ậ
n c
ộ
t các h
ệ
s
ố
t
ự
do
1
1
.
.
.
m
b
b
b
β
=
ọ
i vect
ơ
c
ộ
t th
ứ
i c
ủ
a ma tr
ậ
n A là
1 2
( , , , )
m
i i i mi
a a a K
α
= ∈
, vect
ơ
c
ộ
t t
ự
do
1 2
( , , , )
m
i
x
α β
=
=
∑
1.4.2. Giải hệ phương trình
1.4.2.1. Hệ Cramer
a. Định nghĩa:
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính n ph
ươ
ng trình n
ẩ
n s
ố
mà ma tr
ậ
n các h
ệ
s
ố
c
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng ma tr
ậ
n
=
Ax
β
. Do A không suy bi
ế
n nên ph
ươ
ng trình
trên t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
1
x A
β
−
=
.
Cách 2:
Dùng ph
β
khai tri
ể
n
đượ
c
m
ộ
t cách duy nh
ấ
t qua c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
α α
thu
ộ
c
n
K
. Nói cách khác có duy nh
ấ
t h
ướ
i d
ạ
ng vect
ơ
:
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
thì v
ớ
i m
ỗ
i i=1,2,…,
n
ta có
1 1 1 1
1 1 1
1
( , , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , )
D
ε
α α β α α
− +
∆ =
D
ễ
th
ấ
y
i
∆
là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n có
đượ
c t
ừ
A
b
ằ
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1
2 2
2 2 3
x z
x y z
x y z
+ =
− + + =
− + =
1.4.2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
a. Định lý:
(Kronecher – Capelli hay Gauss)
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
Vi
ế
t h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho d
ướ
i d
ạ
ng vect
ơ
:
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
thì h
ệ
có nghi
ệ
m khi
1
( , , )
n
α α
= h
ạ
ng
1
( , , , )
n
α α β
hay h
ạ
ng A = h
ạ
ng
bs
A
b. Cách giải
Gi
ả
s
ử
h
ạ
ng
1
đ
ã cho d
ướ
i d
ạ
ng
1
1 1 1
p
p p p n n
x x x x
α α β α α
+
+
+ + = − − −
.
Xem
1
, ,
p n
x x K
+
∈
cho tr
ướ
c thì do
1
( , , )
Gi
ả
s
ử
đị
nh th
ứ
c t
ạ
o b
ở
i
p
t
ọ
a
độ
đầ
u c
ủ
a p vect
ơ
1
, ,
p
α α
ả
i h
ệ
Cramer g
ồ
m
p
ph
ươ
ng trình
đầ
u c
ủ
a h
ệ
đ
ã cho
đố
i v
ớ
i p
ẩ
n s
ố
:
1
, ,
p
(1)
1
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ở
đ
ây
1 2 3 4
, , ,
x x x x
đươ
ng n
ế
u các t
ậ
p
nghi
ệ
m c
ủ
a chúng (coi là t
ậ
p con c
ủ
a
n
K
) trùng nhau.
Nh
ậ
n xét:
Cho h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính
1
( 1, , )(1)
-
C
ộ
ng vào m
ộ
t ph
ươ
ng trình m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i thì ta v
ẫ
n
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ố
các
ẩ
n s
ố
(n
ế
u c
ầ
n) có th
ể
bi
ế
n
đổ
i h
ệ
(1) thành h
ệ
:
1
' ' ( 1, , )(1')
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
⋱
+ Khi m
ộ
t trong các
1
' , , '
p m
b b
+
khác 0 thì h
ệ
vô nghi
ệ
m.
+ Khi
1
' , , ' 0
p m
b b
+
=
thì h
ệ
có nghi
1
'
p
x
−
suy ra t
ừ
ph
ươ
ng trình
p
– 1 và
'
p
x
Ví dụ 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
5 3 20
2 3
2 10
2 7
2 17
3 2 4 21
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Ví dụ 3:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1 3 4 5
1 2 3 4
ể
dùng vi
ệ
c gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính
để
tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a
m
ộ
t ma tr
ậ
n kh
ả
ngh
ị
2 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 2
−
− −
− −
− −
−
1.4.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1.4.3.1. Định nghĩa:
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
v
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t có d
ạ
ng:
1
(1) 0 ( 1, , )
n
ki i
i
a x k m
=
= =
∑
Trong
đ
ó
ki
a
c 1.4.2.
1.4.3.2. Ý nghĩa hình học của tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Coi ma tr
ậ
n
( )
ki
a
xác
đị
nh b
ở
i h
ệ
(1) nh
ư
là ma tr
ậ
n c
ủ
a ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
1 1
1
(2) :
( , , ) ( ' , , ' ); ' , 1, ,
n m
ử
c
ủ
a
n
K
) chính là
Ker
f
.
N
ế
u h
ạ
ng ( )
ki
a p
=
thì Im
f
=
p
do
đ
ó dim Ker
f
=
n
–
p
n
K
. T
ừ
đ
ó suy ra.
Hệ quả:
a.
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t luôn có nghi
ệ
m (ít nh
ấ
t là nghi
ệ
m
1
0
n
x x
= <
.
Th
ậ
t v
ậ
y, a. là hi
ể
n nhiên vì
ker
f
≠ ∅
(luôn ch
ứ
a
0
)
b. H
ệ
(1) có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi dim Ker
f
n
thì h
ệ
(1) có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi
det( ) 0
ki
a
=
.
c. Ta
đ
ã xem m
ỗ
i nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) nh
ư
là ph
ộ
t vect
ơ
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1).
20
L
ấ
y m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a ker
f
:
1
( , , )
n p
β β
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) có d
ạ
ng :
1 1 1
( , ,
n p
n p
t tn p t t
β β
−
−
+ + −
tùy ý
thu
ộ
c
K
) nghi
ệ
m
đ
ó g
ọ
i là nghi
ệ
ph
ươ
ng trình (1) nói
ở
trên:
1
0, 1, ,
n
ki i
i
a x k m
=
= =
∑
G
ọ
i là h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t
ứ
ng trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát
(
3
),
1
( , , )
n p
β β
−
là m
ộ
t h
ệ
nghi
ệ
m c
ơ
b
ả
n c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
n p
n p
t t
α β β
−
−
+ + +
Nghi
ệ
m
đ
ó g
ọ
i là nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
(
1
) còn
α
g
ọ
ng t
ổ
ng c
ủ
a
m
ộ
t nghi
ệ
m riêng c
ủ
a nó v
ớ
i nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t t
chính
t
ắ
c, nói trong m
ụ
c 2,
1
( , , )
m
m
b b b K
= ∈
, khi
đ
ó
1 1
( ) , ( ) 0
n p
n p
f b f t t
α β β
−
−
= + + =
T
ừ
(3)
Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử
γ
là nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a h
ệ
(3) thì
( )
f b
γ
=
. T
ừ
γ α β β
−
−
= + + +
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
21
1 2 3 4
1 2 3 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
3 3
2 2 6 0
2 3 3 2
2 3 3 9 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
− + + =
ế
n tính
và Hình h
ọ
c gi
ả
i tích,
Nhà xu
ấ
t b
ả
n
Đạ
i h
ọ
c Qu
ố
c Gia Hà N
ộ
i, Hà N
ộ
i.
[2] Khu Qu
ố
c Anh, Nguy
ễ
n Anh Ki
ệ
t, T
ố
c Gia Hà N
ộ
i, Hà N
ộ
i.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:
1.
Tìm d
ấ
u c
ủ
a các phép th
ế
sau và phân tích chúng thành tích m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n phép chuy
ể
n trí
a.
1 2 3 4
2 4 1 3
K
- không gian vect
ơ
V
đế
n
K
- không gian vect
ơ
W
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
T
v
ớ
i hai phép toán c
ộ
ng ánh x
ạ
và nhân ánh x
ạ
v
ớ
.
3.
G
ọ
i
( )
p
A V
là t
ậ
p các d
ạ
ng
p
- tuy
ế
n tính thay phiên trên
K
- không gian vect
ơ
V
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
( )
p
u bi
ế
t dim
V
=
n
.
4.
Gi
ả
s
ử
V
,
W
là nh
ữ
ng
K
- không gian vect
ơ
,
, ,
K
=
ℚ ℝ ℂ
… là nh
ữ
ng ánh x
thu
ộ
c tuy
ế
n tính trong
V
thì
1
( ( , , ) 0
p
W
ϕ α α
= ∈
.
b. N
ế
u c
ộ
ng thêm vào m
ộ
t vect
ơ
trong h
ệ
1
( , , )
p
α α
ó) không thay
đổ
i.
5.
V
là m
ộ
t
ℝ
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u. C
ơ
s
ở
1
( , , )
n
ε ε ε
=
c
ủ
a
ε
α α
>
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quan h
ệ
“cùng h
ướ
ng” là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đườ
ng trong t
ậ
p các c
ơ
s
ở
c
ủ
a
c sau trong
ℂ
a.
a c di
c di b
+
−
b.
cos isin 1
1 cos isin
α α
α α
+
−22
7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
a
,
b
−
−
b.
3 0 5
0 0 2
1 2 3
0 0 0
a
b
c
d
c.
1 0 2
2 0 0
3 4 5
0 0 0
a
b
c
9.
Không khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c, ch
ứ
c)
2
2
2
1
1 ( )( )( )
1
a a
b b b a c a c b
c c
= − − −
10.
tính các
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n sau:
a)
1 2 3
1 0 3
1 2 0
1 2 3
n
n
n
1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 1
n n
n n
n n
n n
n n
−
−
−
−
− −23
11.
A
là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n ph
ả
n
đố
i x
n vuông ph
ứ
c sao cho
ij
, ,
ji
a a i j
= ∀
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng det
A
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c.
13.
A
là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông c
ấ
A
−
.
14
. Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a các ma tr
ậ
n sau:
a)
os sin
sin os
c
c
α α
α α
−
b)
2 5 7
6 3 4
5 2 3
b)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
16.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ma tr
ậ
n (
X
là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p 3 ph
ả
i tìm):
a)
1 2 3 1 3 0
3 2 4 10 2 7
2 1 0 10 7 8
X
− −
không suy bi
ế
n trên tr
ườ
ng
K
, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
A
là tích m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n ma tr
ậ
n d
ạ
ng ( , ), ( , , ), ( , 1, , ); ,
D i E i j i j n i j K
λ λ λ
= ≠ ∈
)
1 2 3 4
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
B Mat p r K B Mat p s K B Mat q r K B Mat q s K
∈ ∈ ∈ ∈1 2 3 4
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
A Mat m p K A Mat m q K A Mat n p K A Mat m q K
∈ ∈ ∈ ∈
Khi
đ
ó phép nhân ma tr
ậ
n khung
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n theo quy t
ắ
c sau:
24
1 1 2 3 1 2 2 41 2 1 2
3 4 3 4
3 1 4 3 3 2 4 4
k l n
I
+ =
b.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
1 2
1 4
3 4
, ,
A A
A A A
A A
=
là các ma tr
ậ
n không suy bi
ế
n thì
l
A I A A
A I
A A A
−
−
−
20.
Ma tr
ậ
n A
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i ma tr
ậ
A B
− −
= =
− −
b.
76 6 14 60
45 16 3 13
A B
− −
= =
− −
21.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a các ma tr
ậ
n sau:
a)
47 67 35 201 155
26 98 23 294 86
λ
∈
1 1 2
2 1 5
1 10 6 1
λ
λ
−
−
−
23.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
các vect
ơ
a.
{
}
ế
n các vect
ơ
1 2 3
(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)
α α α
= = =
theo th
ứ
t
ự
thành các vect
ơ
1 2 3
' (2,2,4), ' (1,1,2), ' (1, 1,0)
α α α
= = = −
.
25.
Nghiên c
ứ
u h
ạ
ng c
ủ
a m
2 3
2 3
x ay a z a
x by b z b
x cy c z c
+ + =
+ + =
+ + =
27.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n (theo
R
λ
∈
) c
ủ
a các h
ệ
ph
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1
1
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
28.
Tìm nghi
ệ
m t
− + + =
− + + =
− + + =
b)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
5 6 2 7 4 0
2 3 4 2 0
7 9 3 5 6 0
5 9 3 6 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − + + =
+ − + + =
+ − + + =
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình
a)
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
1
4
3
2
1
x x
x x x
x x x
x x x
x x
+ =
+ + =
+ + = −
ng
1 2 3
( , , )
ε ε ε
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
3
ℝ
và khai tri
ể
n
α
theo c
ơ
s
ở
đ
ó trong các tr
ườ
ng
h
ợ
sau là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
3
ℝ
và tìm m
ố
i liên h
ệ
c
ủ
a cùng m
ộ
t
vect
ơ
trong hai c
ơ
s
ở
đ
ó.
1 2 3
sau trong
4
R1 2 3 4 5
(1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1,2,3,4),
(0,1,2,3)
α α α α α
= − = = = =
Copyright: Tài liệu đại học ©