Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
PHẦN 1
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý lý thuyết, áp dụng các
phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa
một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải
chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có
tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Một trong các vấn đề của vật lý thống kê là ký thuyết thăng giáng.
Khi hệ nằm trong trạng thái cân bằng, trên thực tế, các đại lượng vật lý bất
kỳ F(x) không phải là không đổi mà liên tục biến đổi ở gần giá trị trung
bình F của nó. Trong các phần nhỏ của một hệ thức bất kỳ, hoặc là sau một
khoảng thời gian nhỏ, do chuyển động của hạt vi mô của các hạt, có xảy ra
biến thiên tự phát của các thông số vĩ mô. Các độ lêch ngẫu nhiên tồn tại
trong hệ một cách liên tục này của các đại lượng vật lý so với trị số trung
bình được gọi là các thăng giáng.
Người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thăng giáng là Albert Einstein khi
ông nghiên cứu hiệu ứng kích thước nguyên tử hữu hạn tác động đến hiện
tượng tán xạ vào năm 1903 và 1904. Và sau đó ông đưa ra lý thuyết về
chuyển động Brown. Đây là bài báo đầu tiên về vật lý thống kê.
Việc tìm xác suất xuất hiện một trị số tuyệt đối nào đó của thăng giáng
là một trong các vấn đề cơ bản của lý thuyết thăng giáng. Dựa vào thăng
giáng người ta giải thích được nhiều hiện tượng vật lý như: tán xạ của ánh
sáng, sự xuất hiện của các dòng không đều trong các mạch có suất điện
động. Các thăng giáng đã đặt giới hạn cho độ nhạy của máy đo khác nhau…
Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về những vấn đề trên nên em chọn đề tài
“Lý thuyết thăng giáng”.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 1
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh

( )
F F−
là độ lệch khỏi trị trung
bình, đồng thời
( )
0F F F F− = − =
( )
2
F F−
là bình phương của độ lệch khỏi thị trung bình;
( )
2
F F−
là trị trung bình của bình phương độ lệch hay phương sai ;
( )
2
F F−
là độ lệch quân phương khỏi vị trí trung bình;
Để đánh giá gần đúng độ thăng giáng của một đại lượng vật lý, người
ta dùng độ lệch quân phương của nó. Thông thường như vậy là đủ. Nhưng
đôi khi để đánh giá độ thăng giáng người ta có thể dùng độ lệch có bậc cao
hơn, thí dụ độ lệch trung bình bậc bốn.
Độ thăng giáng của một đại lượng vật lý tính theo độ lệch quân
phương là bằng

( )
2
F F∆ = ± −
(I.1)
Đôi khi, thay cho trị tuyệt đối của độ thăng giáng người ta đưa vào

lượng ngẫu nhiên đó phân bố gần trị trung bình
F
theo định luật chuẩn
(định luật phân bố Gaoxơ)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
exp
2
F F
F F
F F
F F
ω
π
 
−
 
− = −
 
 
−
−
 
(I.3)

W(F)
F
Hình 2
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
được xác định từ thí nghiệm, còn trung bình của bình phương thì thường là
chưa biết.
Trong một hệ bất kỳ thường có các thăng giáng của nhiều đại lượng vật
lý. Khi đó, đối với hai đại lượng bất kỳ trong số đó, ngoài việc tính các độ
lệch quân phương
2
i
q∆
và
2
k
q∆
, ta thường xét đại lượng

( ) ( )
i i k k i k
q q q q q q− − = ∆ ∆
Đại lượng đó được gọi là tương quan của hai đại lượng
i
q
và
k
q
bởi
vì nó nói lên mối quan hệ tương hỗ của hai đại lượng ngẫu nhiên đó. Nếu

ϕ
, phần còn lại này đóng
vai trò hệ điều nhiệt và hệ trữ hạt. Ta cho hệ S có nhiệt độ T và thế hóa học
µ
.
Như ta đã biết, khi ở trạng thái cân bằng, xác suất
P
l
để S ở trạng thái vi
mô
( )
l
có năng lượng
E
l
và có số hạt
N
l
là:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 5
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
{ }
1
exp - (E )P N
Z
β µ
= −
l l l
(I.2.1a)

= =
∂
∑
l l
(I.2.3b)
Lấy đạo hàm biểu thức (I.2.3a) theo
µ
ta có:
2
2
2 2
N kT Z kT Z
Z Z
µ µ µ
 
∂ ∂ ∂
= −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
(I.2.4)
Từ đó ta có:
2 2
N
N N
β
µ
∂
 
= −

là

[ ]
( )
3
2
3
2
ln ln ln
N
N
mkT
F kTN N V kT
h
π
= − + −
(I.2.7)
Do đó thế hóa học là:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 6
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
ln ( )
F
kT N f T
N
µ
∂
= − = +
∂
(I.2.8)

( )
1
exp - EdP pV dV
Z
β
= + 
 
l l
(I.2.11)
Với
( )
0
exp - EZ dV pV
β
+∞
= + 
 
∑
∫
l
l
(I.2.12)
Vậy ta có:

( )
( )
( )
0
1
exp - E

β
+∞
∂
= = + = 
 
∂
∑ ∑
∫
l l l
l l
(I.2.14)
Vậy:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 7
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
1
1
2
2
2 2
V
V V V kT
p
 
 
∂
 
∆ = − = −
 
 ÷

 
 
Vậy:
1V kT N p
V p kTN
N
∆
= × =
(I.2.16)
3. Thăng giáng cục bộ
Trong thực tế người ta của mật độ hạt cục bộ trong thể tích V được định
nghĩa:
N
V
ρ
=
(I.2.17)
Thăng giáng
ρ
có thể tính bởi phương pháp của phần I.2.1, tức là giữ thể
tích V xác định cho ta kết quả:

1
2
2
,T V
N kT N
N N
ρ
ρ µ

 
(I.2.19)
Hai kết quả trên là tương đương, vì thực tế ta có hệ thức
2
2
,
,
T V
T N
N N V
V p
µ
 
 
∂ ∂
= −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
(I.2.20)
Thực vậy, một mặt ta có:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 8
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2
2
,T V
N F

2
2 3
, ,
F V V f V
f T T
V
N N N N
N
F V f
N N
V
N
∂ ∂
   
= −
 ÷  ÷
∂
 
   
∂
 ÷
 
∂ ∂
=
∂
 
∂
 ÷
 
Tương tự ta cũng có:

Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 9
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
bởi hệ thức (I.2.11). Để tính được thăng giáng của năng lượng E, ta phải
xét mối liên hệ giữa E và V, xác định bởi:

( ) ( )
. . 2 .E V E E V V EV EV EV E V EV∆ ∆ = − − = − + = −
(I.2.23)
Để có kết quả đánh giá mối tương quan trên ta đi tính trị trung bình của đại
lượng V(E+pV):

[ ]
( )
0
1
( ) ( )exp - ( )V E pV dV V E pV E pV
Z
β
+∞
+ = + +
∑
∫
l l
l
(I.2.24)
Với Z được tính bởi hệ thức (I.2.12).
Ta có thể thấy rằng như vậy
1 1
( )

V E pV V E pV kT
T
β
 
∂ ∂
+ − + = −
 ÷
∂ ∂
 
(I.2.27)
Và từ hệ thức tính
V∆
đã có ở (I.2.15) ta có hệ thức cho thấy sự tương quan
giữa năng lượng và thể tích:
, ,
.
p N T N
V V
E V kT T p
T T
 
   
∂ ∂
∆ ∆ = +
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
 

exp
Z
E pV dV E pV E pV
Z Z
β
β
+∞
∂
+ = + − + = − 
 
∂
∑
∫
l l
l
(I.2.30)
Như vậy:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 10
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo

( ) ( )
1
1
2
2
2 2
( )
E pV E pV
H E pV kT


ta có
WQ dE
δ δ
= −
vì
W = -pdV
δ
nên
Q dE pdV
δ
= +

mặt khác
Q dE pdV
δ
= +
do đó ta thu được biểu thức
(I.2.32).)
vậy:
1
2
2
( )
P
H E pV kT C
 
∆ = ∆ + =
 
(I.2.33)

T N
V V
EV EV E V kT T p
T p
 
 
 
∂ ∂
− = ∆ ∆ = +
 
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
 
 
1
2
2
( )
p
E pV kT C
 
∆ + =
 
Thay vào biểu thức tính
( )
2
E∆

2
p
p N
T N
V V
E kT C p kT pkT
p T
 
 
∂ ∂
∆ = − −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 

( )
2
2
2
,
,
2
p
p N
T N
p V V
E kT C p
T p T

v
. Muốn vậy từ
nhận xét rằng các vi phân của năng lượng và entalpi có dạng tổng quát
dE TdS pdV dN
dH TdS Vdp dN
µ
µ
= − +
= + +
ta suy ra được
, ,
V
p N V N
E S
C T
T T
∂ ∂
   
= −
 ÷  ÷
∂ ∂
   
(I.2.36)
, ,
p
p N p N
H S
C T
T T
∂ ∂

∂ ∂
   
(I.2.38)
Mặt khác, từ phương trình trạng thái, ta có:
, ,
,
p N V N
T N
V V p
T p T
 
∂ ∂ ∂
   
= −
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
(I.2.39)
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 12
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Thật vậy, theo phương trình trạng thái thì p là một hàm của thể
tích và nhiệt độ.
Nên ta có:
T V
p p
p V T
V T

,
0
T N V N
T N V N
V N
T N
p N V N
T N
p p
p V T
V T
p p
V T
V T
p
T
V
p
T
V
V V p
T p T
∂ ∂
   
∆ = ∆ + ∆ =
 ÷  ÷
∂ ∂
   
∂ ∂
   

,
,
p V
V N
T N
V p
C C
p T
 
∂ ∂
 
= −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
(I.2.40)
Ta thế biểu thức (I.2.40) vào biểu thức (I.2.35) ta có :

( )
2
2
,
,
V
p N
T N
V V p
E kT C T

2
2
V
E kT C
 
∆ =
 
(I.2.42)
Thật ra, hệ thức đơn giản trên liên quan đến điều hiển nhiên là thăng
giáng của năng lượng và của thể tích của hệ khí lý tưởng là không có tương
quan
0E V∆ ∆ =
(I.2.43)
I.2.3: Thăng giáng của nhiệt độ
Trong thực tế sự thăng giáng của năng lượng không được đo trực tiếp,
mà nhiệt độ được đo bằng nhiệt kế; năng lượng trung bình E và thể tích
trung bình E và thể tích trung bình V của hệ có mối quan hệ với nhiệt độ
của hệ.
Vì như vậy, nhiệt độ T của hệ S là hàm theo E và V nên :
V E
T T
T E V
E V
δ δ δ
∂ ∂
   
= +
 ÷  ÷
∂ ∂
   

∂ ∂ ∂
     

,
,
1
1
T N
V
V N
V
S
T p
C V
p
p T
C T
 
∂
 
= − −
 
 ÷
∂
 
 
 
∂
 
= −

2 2 2 2
2
2
, ,
1
2
V N V N
V
p p
T T E p V T V T V E p V
C T T
δ δ δ δ δ δ δ
 
∂ ∂
   
∆ = = + + − +
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
 
(I.2.47)
Độ tương quan giữa nhiệt độ và thể tích được đánh giá bởi:

( )
2
,
1
( )

 
 ÷
∂
 
 
 
Và
( )
( )
2
,p N
V V
V E pV V E pV kT
T
β
 
∂ ∂
+ − + = − =
 ÷
∂ ∂
 
mà ta đã thấy ở (I.2.15) và (I.2.29), ta có:

2
, ,
,
. 0
p N V N
V
T N


( )
2
2
2
, ,
,
2
p
V N V N
V
p N
kT p p V V
T C T
C T T p p
 
 
   
∂ ∂ ∂ ∂
 
   
∆ = − +
 
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
   
 

(I.3.1)
trong đó các chỉ số trên t và 0 có nghĩa là đại lượng đã cho được lấy tại các
thời điểm khác nhau t và
0t
=
trong nhiều trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh khá
đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương quan
bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng:

1 2
0 0 0
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
n
kk k
t t t
n n
F F F F F F− − −
(I.3.2)
Trong đa số trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh
khá đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương
quan bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng:

( )
2
2
( ) ( )
k k k k
F F D F F− = = ∆
(I.3.3)

tổng quát đối với xác suất có giá trị cho trước của xung lượng:
2
1 P
w( ) exp -
2mkT
2
k
k
P
m
π θ
 
=
 ÷
 
các trung bình bất kỳ, ví dụ
( )
k
F P
,
2
( )
k
F P
và
( )F∆
được tính bằng tích
phân một lần đơn giản. Với các đại lượng phụ thuộc vào tọa độ, việc tìm
momen tương quan như các trung bình theo phân bố Gibbs:
( ,a)-H(X,a)

θ
=
. Mà
0
k
P =
, do đó:

2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k k k k k k
k k k
k
P P P P P P m
v v v
m
θ
θ
∆ = − = − = =
∆ = − =
(I.3.6)
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 17
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Theo định lý Virian đối với dao tử điều hòa có
2 2
2 2
P q

bằng thực nghiệm) thì có thể tìm các đại lượng
2
( ) ( )
k k k
D F F F
= −
.
Theo bổ đề thứ hai của Gibbs, đối với số hạng bất kỳ ta có:
1
( )
F F H H
F F
a a a a
θ
 
∂ ∂ ∂ ∂
+ = − − −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
(I.4.1)
Nếu đại lượng
( )F X
là hàm của tọa độ, thì có thể biểu diễn như toạ
độ suy rộng mới
( )q X
nào đó. Đại lượng a xuất hiện trong (I.4.1) được biểu
diễn là lực phụ bên ngoài, tác động theo hướng tọa độ suy rộng q. Điều này
có nghĩa là hàm Hamilton của hệ có dạng:
0

a
∂
=
∂
ta
được:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 18
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2
( )
q
q q
a
θ
∂
− = −
∂
(I.4.4)
Tương tự, trong trường hợp hàm tọa độ suy rộng
1
( )q X
và
2
( )q X
, nếu
đặt:
1 2 0 1 1 2 2
( , , ) ( ) ( ) ( )H X a a H X a q X a q X= + +
(I.4.5)

F q=
,
2
a a=
ta có:
1 1
1 1
2 1 2 2
1
1 1 2 2
2
( )
( )( )
q q
H H
q q
a a a a
q
q q q q
a
θ
θ
 
 
∂ ∂
∂ ∂
− − = − −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂

a a
θ θ
∂ ∂
− − = − = −
∂ ∂
(I.4.7)
Công thức (I.4.4) và (I.4.7) cho phép ta tính các tương quan bình
phương của các đại lượng vật lý bất kì, chỉ là hàm của các tọa độ nếu biết
sự phụ thuộc của các giá trị trung bình của các đại lượng này vào các lực
không đổi bên ngoài tác động lên chúng.
Tương tự, có thể nhận được công thức liên hệ các momen tương
quan bậc cao hơn đối với các đạo hàm của các giá trị trung bình của các giá
trị trung bình của các tọa độ theo lực phụ
k
a
. Đồng thời ta sẽ chỉ ra rằng
phương pháp tổng quát được áp dụng để tính các momen tương quan không
chỉ của tọa độ, mà cả của vận tốc.
Giả thiết rằng đại lượng F trong (I.4.1) có ý nghĩa của vận tốc nào
đó, tức là thay F bởi
ϕ
&
. Khi đó, theo (I.4.1) và (I.4.2) ta có:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 19
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
( )( )q q
a a
ϕ ϕ
ϕ ϕ θ

= =
&
&
(I.4.9)
Từ (I.4.8) và (I.4.9) ta có:
q
a
ϕ
ϕ θ
∂
=
∂
&
&
Mặt khác,
( ) 0
d
q q q
dt
ϕ ϕ ϕ
= + =
&
&
, do đó:
q q
a
ϕ
ϕ ϕ θ
∂
= − = −

& &
Hay
2 2 2 2
( ) ( ) ( )q q q q q
m
θ
∆ = − = − =
& & & & &
Kết quả này chính là biểu thức (I.3.6)
I.5: Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gibbs
1. Dựa vào phân bố chính tắc Gibbs ta có thể tính được trung bình
của bình phương và cả trị số của độ thăng giáng của một đại lượng vật lý F
bất kỳ.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 20
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2 2
( ) ( ) ( )F F F F X dX
ω
+∞
−∞
− = −
∫
(I.5.1)
Trong trường hợp đặc biệt khi mà đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc
vào xung lượng của một hệ
1
( )F F p=
thì bài toán tìm thăng giáng được giải
đến cùng bằng cách lấy tích phân biểu thức

1
1 1
p1
( )exp -
2 mkT
2
F F p dp
mkT
π
π
+∞
−∞
 
=
 
 
∫
(I.5.3)
Còn trong trường hợp tổng quát, khi F phụ thuộc cả vào p lẫn q thì
việc tính tích phân (I.5.1) rất khó khăn.
2. Trong những trường hợp mà ta không thể tính trực tiếp biểu thức (I.5.1),
thì để xác định phương sai của các đại lượng nhiệt động , người ta xác
ddnhj theo cách khác: người ta biểu thị phương sai của một đại lượng nhiệt
động
2
( )F F−
theo một hàm nào đó của trị trung bình
F
mà ngườ ta
thường đã biết trước từ thí nghiệm. cách đó thường được sử dụng trong

X
H
F F X a
d X
ψ
θ
 
−
=
 
 
∫
theo a, ta được:
( )
-H
( , )exp
X
F
F X a dX
a a
θ
ψ
θ
 
∂ ∂
 
=
 
 ÷
∂ ∂

a a a a
ψ ψ ψ ψ
θ θ θ θ
 
 
∂ ∂  ∂ ∂ 
     
= + +
       
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
     
 
 
 
∫

1F F H
F F
a a a a
ψ
θ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂
 
 
Nên:
1F F H H
F F
a a a a
θ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
= + −
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Ta lại có:
( )
( )
AB AB A A B B− = − −
Do đó:
( )
H H H H
F F F F
a a a a
 
∂ ∂ ∂ ∂
+ = − −
 ÷

 
∂ ∂ ∂ ∂
− = − − −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Ta xét ví dụ sau:
Giả sử có N phân tử khi nằm trong thể tích V giới hạn bởi xylanh và
pittông có tác dụng của áp lực bên ngoài p (hình vẽ). Khi đó hàm Hamilton
H(X,p) của chất khí có dạng sau đây:
H(X,p) = H(X) + pV(X) (I.5.5)
ở đây áp suất p được xem như thông số ngoài a tương
ứng với thể tích V(X).
áp dụng hệ thức (I.5.4), thay a bằng p và F(X) bằng V(X)
ta sẽ có
( )
( ) 1V V X H H
V V
p p kT p p
 
∂ ∂ ∂ ∂
− = − − −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
(I.5.6)
Từ (I.5.5) ta có
( )

− = − − −
∂ ∂

( )
2
( ) 1V pV X
V V
p p kT
∂ ∂
− = − −
∂ ∂
Mà
( )
0
pV X
p
∂
=
∂
Nên ta có được:
( )
2
1V
V V
p kT
∂
= − −
∂
Hay:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 23

(I.5.8)
Vậy phương sai của thể tích bằng
( )
2 2 2
2
2
2
k T N V
V V V
p N
∆ = − = =
(I.5.9)
Và thăng giáng tương đối của thể tích là
2
2
( ) 1V V
N
V
−
=
nghĩa là thăng giáng tương đối của thể tích tỷ lệ với căn bậc hai của số
hạt.
Thay
T
p
V
ψ
∂
 
= −

Với các thông số ngoài bất kỳ a và các tọa độ q tương ứng với
chúng, đẳng thức (I.5.7) có thể viết một cách tổng quát như sau:

( )
2
q
q q kT
a
∂
− = −
∂
và
2
2
1q
a
q
ψ
∂
= −
∂
 
∂
 ÷
∂
 
(I.5.11)
Theo (I.5.11) ta có thể tính thăng giáng của một đại lượng bất kỳ
q(x) qua đạo hàm
q

là năng lượng tự do của toàn bộ hệ và
1
ψ
là năng lượng tự do của hệ
trong các trạng thái P
1
, ta có
1
1 2 1
(ln ln ) ln
Z
kT Z Z kT
Z
ψ ψ ψ
∆ = − = − − = −
Do đó xác suất sao cho hệ đẳng nhiệt nằm trong nhóm trạng thái P
1
tức là xác suất của các thăng giáng trong hệ, sẽ có thể viết như sau:
1
W(P ) exp
kT
ψ
∆
 
= −
 
 
(I.5.12)
Như vậy, để tìm được xác suất của các thăng giáng W(P
1