ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TựN HIÊN
TÊN ĐỀ TÀI:
NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHÍ
ĐIỀU HOÀ ẢNH HƯỞNG LÊN CÁC CÁC THAM s ố
CẤU TRÚC CỦA CÁC HỢP KIM THU Được TỪ CÁC
PHỔ CÂU TRÚC TINH TÊ CỦA HẤP THỤ TIA X (XAFS)
MẢ SỐ: QT-00-06
CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI:
PGS-TSKH. NGUYỄN VĂN HÙNG
ủ;: ’■ ' ' G! . - A MI':• I Ị
: ’ TJ “IN TỉfbV:'MỊ
, •_ O T jO O X u ị
HÀ NỘI 2001
Tên đ ề tài:
NGHIÊN cúu CÁC HIỆU ÚNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHI ĐIỀU HOÀ ẢNH
HƯỞNG LÊN CÁC THAM s ố CAU TRÚC CỦA HỢP KIM THU Được TỪ
CÁC PHỔ CẤU TRÚC TINH TẾ CÚA HẤP t h ụ t i a X (XAFS)
Mã số: QT-00-06
Chủ trì đề tài: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
Các cán bộ phôi hợp:
1. ThS. Nguyễn Bá Đức
2. ThS. Nguyễn Văn Hợp
3. ThS. Đinh Quốc Vương
4. CN. Đào Xuân Việt
5 CN. Lê Hải H ư ng'
6. CN. Hổ Tiến Dũng
BÁO CÁO TÓM TẤT BẰNG TIẾNG VIỆT
a. Tên đề tài, mã số:
• Tên đề tài;
Nghiên cứu các hiệu ứng nhiệt động và phi điêu hoà ảnh hưởng lên

1. 1. “Theory o f Thermal Expansion and Cumulants in XAFS Technique ”
N. V. Hung, N. B. Due, D. Ọ. Vuong, J. Commun. in Phys. Vol. 11,
No. 1, 1-9, (2001).
2. “Theoretical Study ofXAFS Cumulant of fee Alloys Systems”
N. V. Hung, Đ. X. Viet, Tập công trình HNKH trường ĐHKHTN, 175-179,
tháng ỉ 1/2000.
3. “Lý thuyết thống kê lượng tử về các hiệu ứng dãn nở nhiệt của các hợp
kim dạng AB trong XAFS
N. V. Hùng, Đ. X. Việt, N. V. Hợp, HN Vật lý toàn quốc lần V, Hà nội,
1-3/3/2001.
4. “XAFS Cumulants and Thermal Expansion o fb cc AB Binary Alloys”
N. V. Hung, accepted for publication in VNU-Jour. Science.
5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence of Anharmonicity"
N. V. Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2001).'
f. Tình hình kinh phí của đề tài:
1. Tổng kinh phí được cấp: 7.000.ơ00đ (Bẩy triệu Đổng).
2. Kinh phí trên đã được sử dụng như sau:
*Thù lao cho các cán bộ khoa học có kết quả tốt trong nghiên cứu:
5.000.000đ (Năm triệu đồng)
*Mua tài liệu khoa học, hội tháo khoa học, in ấn, nghiệm thu đánh giá kết
quả,2.0Q0.00Qđ (Hai triệu đồng).
BRIEF REPORT IN ENGLISH
a. Name and number o f the project:
• Project name:
Study o f thermodynamic and anharmonic effects influencing on structural
parameters o f alloys systems obtained from X-ray absorption fine structure
(XAFS) spectra.
• Project number: Q T-00-06
b. Project director: Assoc. Prof. Dr. Sci. Nguyễn Văn Hùng
h. Participants in the project:

N. V. Hung, Đ. X. Viet, Tập công trình HNKH trường ĐHKHTN, 175-179,
tháng 11/2000.
3. “Lý thuyết thống kê lượng tứ vé các hiệu ứng dãn nở nhiệt của các hợp
kim dạng AB trong XAFS
N. V. Hùng, Đ. X. Việt, N. V. Hợp, HN Vật lý toàn quốc lần V, Hà nội,
1 3/3/2001.
4. “XAFS Cumulants and Thermal Expansion ofh cc AB Binary Alloys”
N. V. Hung, accepted for publication in VNU-Jour. Science.
5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence of Anharmonicity"
N. V Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2 0 0 1 )/
f. Distribution of the funding:
1. Total funding provided by the VNU-Hanoi: 7,000,000d (seven million)
2. The funding was distributed as follows:
^Provided to scientists achieving good research results: 5,000,000d.
*Buying documents, materials and organizing seminars, evaluation of the
research results: 2,000,000d.
XÁC NHẬN CỦA BCN KHOA CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI
(Ký và ghi rõ họ tên)
(Ký và ghi rõ họ tên)
tat*
PGS-TSKH. Nguyễn Vãn Hùng
XÁC NHẬN CUA TRƯỜNG
ShỔ Hiệu TRƯÓN®
PHẦN BÁO CÁO CHÍNH
1. Mục lục:
+LỜĨ nói đầu
+Nôi dung chính của các njỉhiên cứu và kết quả
+Kết luận
2. Lời mở đầu:
Đề tài nghiên cứu khoa học mang tên “Nghiên cứu các hiệu ứng nhiệt động

tính đối với các quá trình tương tác phonon-phonon đã được tiến hành chi tiết.
b. Dẫn giải các công thức đê tính hằng số lực dao động, tần số dao động, nhiệt
độ dao động trong mô hình Einstein tương quan phi điều hoà.
c. Các kết quả thu được bao chứa các đóng góp năng lượng điểm không là một
biểu hiện điển hình của các hiệu ứng lương tử nhất là khi xét các hiệu ứng tại
nhiệt độ thấp và có thể chuyên về các công thức của gần đúng cổ diển khi
nhiệt độ cao.
d. Biểu diễn các công thức qua hệ số Debye-Waller. Điều này không những làm
đơn giản các công thức thu được mà còn đơn giản việc tính toán cũng như
giảm bớt các phép đo vì nhận dược hệ số Debye-Waller là có thê suy ra các
tham số nhiệt động khác.
e. Trong dẫn giải đã nhận đưực các tham sô cấu trúc mới mà chúng có thể suy
nhận từ các các tham số nhiệt động của mô hình. Đo được tham số này ta có
thể xác định được cấu trúc của các vật thê đang nghiên cứu. Các kết quả lý
thuyết đã cho các giá trị đối với cấu trúc lập phương (simple cubic), lập
phương tàm diện (fee), lập phương tâm khối (bcc).
B. Xây dựng lý thuyết tổng quái về các iham số nhiệt động phi điều hoà và dãn
nở nhiệt trong lý thuyết XAFS đối với các hợp kim có cấu trúc lập phương
tâm diện (Các bài 2 và 3):
a. Xây dựng thế tương tác giữa các nguyên tử khác loại qua phép trung bình
cộng từ đóng góp của các nguyên tử thành phần. Thế được sử dụng là các thế
Morse. Từ đây xây dựng thế tương tác hiệu dụng đối với các hợp kim là một
vấn đề rất quan trọng khi tính các tham sô' nhiệt động và các phổ XAFS.
b. Xây dựng các tham số liên quan đến khối lượng rút gọn khi vật chất bao gồm
các nguyên tử của các loại khác nhau. Từ đó xác định đóng góp của các
nguyên tử thành phần vào các quá trình nhiệt động.
c. Trên cơ sở các kết quả trên chúng tôi xây dựng các biểu thức giải tích để tính
các tham số nhiệt động như sự dãn nở mạng do phi điều hoà (cumulant bậc 1)
hệ số Debye-Waller (cumulant bậc 2), sự dịch pha của các phổ XAFS do phi
điều hoà (cumulant bậc 3), và hệ số dãn nở nhiệt đối với các hợp kim hai

5. “Evaluation o f EXAFS Spectra with Influence o f Anharmonicity"’
N. V. Hung, VNU-Jour. Science, Vol. 17, No. 3, 7-10 (2001).
G. Đề tài đã góp phần đào tạo tốt nghiệp đại học, các nghiên cứu sinh và học
viên cao học:
1. ThS. Nguyễn Bá Đức, đã bao vệ luân án Thạc sĩ và hiện đang hoàn thành luận
án Tiến sĩ.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Vãn Hùng
2. ThS. Nguyễn Văn Hợp. đã thi đạt điểm đê làm NCS.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng, TS. Vũ Văn Hùng
3. ThS. Đinh Quốc Vương, đã thi đạt điểm đê làm NCS.
Người hướng dẫn: PGS-TS. Nguyễn Quang Báu, PGS-TSKH. Nguyễn Văn
Hùng.
4. CN. Đào Xuân Việt, đã báo vệ xuất sắc khoá luận tốt nghiệp cùa hệ đào tao
CNKHTN và được chuyên liếp làm NCS hiện đang hoàn thành luận án Tiến
sĩ.
Nguời hướng dần: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
5. CN. Lê Hải Himg, đang hoàn ihành luận án Thạc sĩ.
Người hướng dần: PGS-TSKH, Nguyễn Văn Hùng
6. CN. HỔ Tiến Dũng, đang hoàn thành luận án Thạc sĩ.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
7. CN. Hoàng Sỹ Thân, tốt nghiệp đại học năm 2000 và đang làm việc tại Trung
tâm KHKT hạt nhân.
Người hưóng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
8. Đinh Thị cẩm Thanh, tốt nghiệp đại học năm 2000 và đang học cao học.
Người hướng dẫn: PGS-TSKH. Nguyễn Văn Hùng
4. Kết luận:
*Với thời gian ngắn trong một năm đề tài QT-00-06 đã đạt được các kết quả khoa
học quan trọng như đã nêu trong các phần trên, góp phần phát triển lý thuyết về
các hiệu ứng nhiệt động cũng như ảnh hương cùa chúng lên các phổ XAFS của
các hợp kim và các kim loại thành phần. Trên cơ sở đó có thể nhận được các

material of strontium fluorovanadate
Letters to the Editor
Hoang Dac Luc, Co Tuong Hanh, Le Tien Quon - Assessment of waste water pollution 58- 61
by hejvy metals using nuclear analytical techniques
D. c. Hiep, L. V. Hong, N. M. Ha. p. V. Phuc, D. N. H. Nam, N. X. Phuc, T. T. P huong. 62- 64
r. L. Hung, and N. M. Hong -3 9 K superconducting alloy
of
vlgB-
Communications m Physics. \bl II. No 1(2001). pp 1-9
THEORY OF THERMAL EXPANSION AND Cl.1 MU LAN rs
IN X U STẸ
Vbstract.
NGUYEN!
Aĩị
I
lúicnliy <)/ rhy.ị
1'
A n e w t h e o r y III '•

i
, I M I 111 > / I i I' / Y1 / » »' / / 1 - X
CHNIQUE
MAN HUNG. NGUYEN BA DUC.
D DINH QUOC VUONG
ex. Iỉntversưv (>í Scicncc. I NI -Honor
•rnuil expansion and cunìuhnus in A. I/’.S has been fornw-
Uiiccf í/c\’i'lo/)i>i{Ị fur the r
//it' -V
'iLiniinnic-t. I H'lvliiicJ lun.stcin m o d e l I h e cx/uvssion.s
HV/t’

sinulc shell
IS described with in the frame work of a sinule-scattcriim and plane-wave approxim ation
bv
\ I />■! - .\[h) Ini
Mfc)
2fkr
1
ik'f l n r
.*!>!<L-\
1
2ikrii+ > r ]
n\
y.
0
J
(!)
where /.■ .!.<[> are the wave number, amplitude, and total phase shift of photoelectron,
respectively, r is the instantaneous distance between absorbing and backscattering atoms
and /•() IS Its value at the equilibrium or minimum position of the interaction potential, the
brackets • denote a thermal aveiage, and ơ <r 1 are the cumulants This approach has been
used mainly in fitting the X A lrs spcctfa to extract physical parameters from experimental
data. The anharmonic sin d e-particle potential theory [6], sinụle-bond spring constant [5],
full-latticc dynamical procedure [II], and anharrrionic-correlated Einstein model f4J ha\'c
been developed to approximate cumulants in X'AI-'S spcctroscopy. The comparison ol
these methods will be discussed in theiSection 5 of present paper
Contributing to solving the first'problem jn this work we develop iurtlier the an-
harmonic - correlated Einstein model,lỊlerivirm gèneral expressions for thermal expansion
and X A h 'S cumuiants which arc valid for any structure and any temperature then the
results for fee and bcc structure published beforfe [8, 9] as well as for simple cubic (s c )
obtained in this work are only the special cases of present theory.

i
THEORY OI; TIIliRMAL EXPANSION AND 3
I I
}
rounding the absorbing and backscattern.y atoms. arjd therefore, spnnu constant becomes
an effective one k, J f The contributions of such cỉuèter is described in Eq (4) by the sum
i which is over absorber (?' = U) and backscatterer (
7
- = 1), and the sum J which is over
all their near neighbors, excluding the absorber and backscatterer themselves. The lat
ter contributions are described by the term U{x), and H in Eq (4) is the unit bond lenuth
vector.
From F.qs (2-4) the interacting effect
I '}■: (u) = ('/■: {11)
Í
1
Til 1C interaction between atoms ot'ca
I
tive Einstein potential is uiven by
+ ộk'iỉ!Ầ2 r (^-1- (.V)
(5)
:h pair in the sirmle bond can be via an imperical
potential like Lennard-Jones, or Morse. < I' Mardeliinn potential In this work vvc use ail
anharmonic Vlorse potential which is appropriate far cubic crystals.
u
1
:
I
■,/
/

Sli ucluic
L* 1 L ' C-Ị
s.c
1
s
1 5/4
Icc
s
'1/5
5/4
lxc
1 1 /3
-
4
IS/1 1
i
5/4
Moreover. rhc anharmomcity parameter A i IS included in each of (7), (8), and wc
li.r itcci only Its I :rst order due to weak anharmomcitv
Now we vise the lirst-order thermodynamic perturbation theory Ị7Ị to derive the
l< rmulas lor the cumulants and the thermal expansion coefTicient The atomic vibration
!' quantized ns plionon and unharmomcitv IS ill. result o f plionon interaction Therefore.
' VC cx pres' // in len ns o f nnnihilaiion and creation operators, n and a .1 0
ị
7 n'] Ị » " j ( h ỵ ' l i i u : 11 ■' (9)
/
iiud lisc the huM'ionic oscillator states // as eigenstates with eigenvalues i — iihrr/
lunoriim the /.cro-point eneiuy 101 convenience
I lie cumulants arc expressed by the nvcrauc value of //. that's why to derive their
formulas we use the expression [7]

• III 7 ’' II 4- • Ỉ — (Í r1*) ’ (// 4' L j (// • 2) Í n •- 'ị I
and applied the followin'* mathematical expressions
Ẹ " - ' - = + ( I - ; ) '
»> n ' I
y [n + i f = - V •" n : ÌỊ [„ > 2) (15)
n
rỉ
We neulectcd all the terms containing IIs with -S' > 2 due to the weak anharmonicity
From Eq (10), first equation of (14) and first equation of (15) we obtain for the even
cum III an is
__
^ 7 ' 2
__
1 /■ _ 1 \ '
n .ihzz I
. I
2
I
u ) = 7 ,1 r p y = /•/;„// = TT > {"lu \n /~-
/ /() /() —'
ri.
h"r: 1 +
= \'f) = - J rpyc = - - / r/h)!/‘ = 7T > (n\!j*\n)= (16)
By performum the intcrural in liq (II) over A and evaluating the traces, the rcmamnm
odd moments arc uiven bv
N(ÌU Yl'.N VAN IIUNCi . NCSUYHN BA Due. AND DINII QIJOC VtJONCi
Using Eqs.( 10), (17) we obtain fo r/I — 1
i 1
2 (f7°'2
'!/) = - l i-py ~ r r ' l r fJi\!J = , - -

(21 )
Usinu hqs (7, 19) vvc derived the thermal expansion cocilicient
;Uv,
I)
. J/. ;{/-!
jt /-{III
) '5' -
{III ■- y
<:ị I ị lr ( 1 _ I I /Jn •/•([_ _ ) 2
( •
■ 10111 above results It is easy to get the followinu relations
n 7 r l'(T2 (1 -f ,;) In [ I / z )
= Í i - . : ) ( ! + U)z 4- z2) ’
.'i(i 4- 2)"
rr
2(1 +■ ilJc + ,:'2)
(23)
(24)
Note that CT( 1 ] a I contain the anharmonicitv parameter /r;?, and occur only when
this parameter IS included, that is why (Tf 1 1 . <7{ :i)and n 7' must be taken into account for
consideration of anharmomc ctTccts in AM/' .S' technique
III. D ESC R IPT ION OF TH E R M OD YN A M IC PARAM ETE RS BY
DEBYK-< \LL EU FACTORS
*
One of our important etĩorts is to'simplify the theoretical description, so that It can
lead to reducinu the numerical calculations and measurements For this purpose we may
niEORY OF T|iII-:ilMAL EXPANSION AND.
describe the temperature variable in term of Debye-Waller factor (V
Í
a 1 - Ờ1

r , Ị ) i Ỳ 1ơ i I - 1'2
2A:/i7 1 - (2 /3 ) ((T(5/(T'2) 2
n
c'il)(vr
(1
(:i)
_ I

2 - ( l / . ' O K W
'2 ■
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31 )
where iT|)' ) , <T^J and r r ^ arc zero-point c> Uributions.to <T(I) , rr2 and respectively
In the above description, besides the M orse potential parameters arc uiven, to calcu
late the thermodynamic parameters rr(1> , .r'2 , n^.cy-r and the relations (3 1, 32) we have
to calculate only the Debye-Waller factors rr2 So far, calculating or, m easuring (T2 one can
prcdict the other cumulants, thus reduciim the calculations and measurements.
IV HIG H -A N D LO W TE M PE R A T U R E L IM ITS
The above derived formulas are valid for all temperatures, but it is useful to consider
their high-temperature ( / / 7 ’i limit, where the classical approach is applicable, and low-
temperature ( / / / ’) limit, where the quantum theory must be used
In the i r r limit we use the approximation Rá 1 — //-;/. y /,•///' to simplify the
expressions of thermodynamic parameters. In the Ĩ/Ỉ' limit — 0, so that we can neulect
c2 and higher powers The results of these approximations are presented in Table 2
All the above results reflcct the proportionality to of and (>■[■. so that
these values characterize the anharmonic blTccts Note that ■rm , a 1 , íĩn) contain zero-

eases of present procedure when we put the magnitudes ol |"| (■■>. (■■ J from Table ] into the
above obtained expressions
With the discovery that the XAỈ's spcctra provide the number of atoms and the ra
dius ot each shell, the XA FS spectroscopy becomes a powerful structural analysis tech
nique, but the problem remained to solve is the distribution of these atoms. The factors
f.‘i . c2 and fj introduced in present work contain the angle between the bond connecting ab
sorber with each atom and the bond between absorber and backscatterer. That is why they
can provide the atomic distribution and hcnce discovered as new structural parameters.
Knowing structure of the crystals like cubic crystals, I e . the magnitudes o f r | :r2 r>;
from Table 1 we can calculate the cumulants and then the X A F S spectra according to
Eq.(l). But for structure unknown substances we can extract the atomic number and the
radius of each shell from the measured X A F S spectra, as well as, extract the factors
r’l, C-2 - <-■;{ according to our theory from the measured cumulants like Debye-Waller factor
to get information about atomic distribution or structure
Our developed expressions for thermal expansion and X A F S cumulants contain
the information on effective spring constant, correlated Einstein temperature Einstein fre
quency, Morse potential parameters,.and describe their temperature dependence involving
the results oi quantum theory and classical limit. These behaviours are as follows: at low
temperature a 11 , a 2 t fT(;!) , contain zero-point contribution as quantum effects at hiuh
temperature ,
(T/
arc proportional to
I
. and
iTi:u
is proportional to
I ;
as conclusions
OÍ classical approach [1] I lie thermal expansion cocllicient has ihc form similar to the
specific heat, thus agreeing with the fundamental of solid state theory

4 N V Hung and J .J Rchr. Phys Rev B 56 (1997) 43
5 A I Frenkel and J J. Rohr. Phy.v Rev B 48 (1993) 585
6 J iVI Tranquada and R. Ingalls. Phys Rev B 28 (1983) 3520.
7 R. R Feynman. Statistics Mechanics (Benjamin, Reading, 1972)
X N V Hung / ( 'onmiunicaiions m Pliys .8 (1998) 46
w N V Hun”. Vu Klin Thai. and Nguven Bn Due / Science' of I A1'’-Hanoi. 15. No 6 (1999)
10 L Weil701. D Arvunitis. H Rabus. T Lcdcrcr. K Babcrschkc and G. Comclli. l’hy.s. Rev Lei!
64 { 1990) I 765
11 T Mivanaea and T Fujikawa. ./ 77/v.v. Sot Jpn 63 ( 19^4) 1036 and
12 N Y llu n u o m lN B Due. J Commun
111
/ ’In'S . 10 (2000) 15
TUYÉN TẬP CÁC CÕNG TRINH KHOA HỌC -ỊHNKH - TRƯỢNG ĐHKHTN . NG ANH VẠT LY (11-2000)
X A FS cumulants
fee ab
í ì
and thermal expasion oí
binary alloys
Nguyen Vail H
J aculiy of I’hvsics, I hi
A new quantum statistical anhamioi
analvsis of XAFS cumulants and therma
model IS developed based on tl.c anlianiK
backscatterer from another one including
pair potential has been taken by plus-a\|
m g an d I)a u \ u a i i Vit'i
wrsi/Y of Sncncc. i'Nl \Hunoi
IC thcon. li:,s been derived for calculation and
expansion of fee AB binan allovs systems. This
MIC \ ibmtion of absorber from an atomic sortc and

physical parameters have been derived by averaging calculation using the statistical
density matrix. Numerical calculations have been carried out for fee compound AlCu
Our calculated thermal expansion coefficient aurees well with the experimental results.
TUYỂN TẬP CÁC CÓNG TRÌNH KHOA HỌC - HNKH - TRƯƠNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LÝ (11-2000)
Ị2. Theory
Our denvauon ol the expressions ịof thermodynamic c|ua)iuiiL‘s or cumulanls of ícc
ỊAB binar\ alloys systems in XAFS theory IS b a le d on quantum statistical llicon wiii)
|c)iiasi-harmonic approximation, accoidinu In which Ihc Hamiltonian OÍ I he system is
iv.TiUcn as a iiarmoniL" lerm Vk'iiti rcspt Cl U) UK' equilibrium a', a Liiven temperature. pills
!ai anharmonii penurbaiicm. so .ha; ihc Interaction between absorbing HIUỈ
ib a c k s c a u c rin i: ato m s in the C luster IS
.ha; I he interaction between
defined by jan clleciivc poicnual
I’cfi O ' = 7 kcfị y~ 4- ỔU(yị
-
( 2)
v = x - a . .V . CI =■: X <r>=0. (3)
w h e re r and r„ arc UK’ in s ia n ia iK o u s t no c u u ilib ĩỊiu m b o n d lu n ” in o f I h i. ' a b s o rb in g and
>nd m ic r .u li o n p o lc n liu ] is obtained hv
uivcn b\'
h a c k s c a iiL T in u a io m s . r c s p c c n w lv . I 11C sin g le k
an p lu s -a v c ra e in y OÍ’ M o r s e p a ir noli' Hal and is
OÍ Morse pair nolp Hat and is mven
Ỉ 12(x) - ^12 t _ ' "*■( 1 — u] 1 .V
r n . 2
Cí Ị2 = p—7

—
- ' — U
id a arc the Morse poicnlial parai

- — I— — r1 * j(,^r + P i ) " 5i,n ~ M\
kB /;
' . 11/2
ụ-,\ar ị\
In the Eq.(6-9) wc used kB as Bollzmann s consiani and llic lollowini: svmbols
M 1A 4 Ị M 1 A
Li =
A/] - s / iW| T / W i /17 Ị - M
where Ml and M l arc the mass OÍ ihc absorbin': and backswaticrin'j aloms rcspeclivclv
A c express in lerm OÍ annihihuion and erection opcraiors a and â ~ i c.
r - ơ„ (if - Cl~ ), c ir- (hi 2u(:iy)1'2 , (11)
ill'll] use the harmonic oscilkilor smius 'II/ a s ciucnslatcs a n d L, = nĩtù)£ as eigenvalue
The cumulants have been derive.] bv iiwni'jni.' ;prtict'dure. IIsi 11 u IỈK' siaúsúca! density
m a t r i x p a nd th e c a n o n i c a l p iiriiiiu n jlim w lio ri Z jin ih c 1'orm
A-/i - h U
(8)
(9)
(10)
TUYEN t ậ p c á c c ô n g t r ìn h k h o a HỌC - H ;'K H - TRƯỜNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LÝ (11-2000)
ln thL' calculation 01 iransúion matrix elcn.enis the sc cclion rule IS oi
matnemaiical relations have been U sed 10 simplify the expression:
obtain lhe expressions lor the first eumuhpt or net thermal expansion
I 3n - Li' -U
-
\ii<' .c. - ' _ tt ' i
LI -c ’ =-

—

—

nnn r ỈI
1
,' I 'jnh irmiinii'il \' I Viol 1C ir^m
The parameter a describes [he asvmmcirv
of iliL' bond length rr between ihc two Liịoms due 10 anharmoniciiv. that is whv i'rom
Hq.(] 3) we derived the thermal expansion cociTicicni
a T
3(1 +//-]+//2 )kPia r $ ị
4 [ J -r
j ( u
1 "T
Li
) ]
[ J
I
n cx
Ị / ]'
-0 r 7
(16)
T\ 1 - c
3. Numerical results
Now vvc apply the above derived expressions 10 numerical calculations for the icc
alloys Alj.xCuv with X - 0.04. The Morse potential parameters D and a were lakcn
from Kef. 8. The calculated values of D, • cip ,ap ,kcji ,(jj: .19£ for the bond A]-Cu
Tab]j 1: The culculuied values oj D
-
. ứịi . ( / p kcfi ,(JJ[7 ,6f: for tlic bond Al- Cu
Sample Bond
j 0 p ( L" Y ) 1 a p (A J
a p (A 1 1

the cumulanls, denotes the advantages of present quantum siaiislical anharmonic
procedure in calculation ()[ ihcrnioUynamii' Cịii.tniiiies of I lie compound svsicms.
Tilis approach can he applied U) lilt! rcsciirch OĨ tiicrmodvnamic properties of nano
syslcms.
1 7X
TUYEN TẬP CÁC CÒNG TRÌNH KHOA HỌC - HNKH - TRƯƠNG ĐHKHTN. NGÀNH VẬT LỶ (11-2000)
Acknowledgments
One of the authors thanks Professor M. Sarikaya (Univcrsily of Washington) for
providing the data of Dcbyc-Wallcr factor of Al. This work is supported in pan by Ihe
VNU-Hanoi research program QT-00-06 and by ihc fundamcnlal sciencc rcscarch
program No. 410 80].
References
1. J. J. Rehr, J. Mustrc de Leon, s. 1. Zahinsky. R. c. Albers,./. Am. Client. .Vor.113 (1991 )
51 35.
2. E. A. Stem, P. Lavins. z. Zhang, Fliys. R[ I. B 43 í 1 yy ị) 8X.S0.
3. N. V. Hung, R. I'Yahm, II. Kamiisubo /. Pliys. Soc. Jp/1. 65 (1996) 8X50.
4. D. D. Crozier, J. J. Rehr, R. Ingalls, in X-ray Absorption, edited by D. c. Koningsbergcr
and X. Frins (Wiley New York, 19XX) Chapter 9.
5. N. V. Munji, J. J. Rchr. Phys. Rev. Zi (
1
997) 41
6. N. \ . Hung, N. B. Due,./. CoinmuntcalujiL.s in Flixs. Nut. 10, No. ] (2000) 15.
7. N. V. Hung, N. B. Due. another paper ai this conference.
8. L. A. Giriialco. \'. Weizer. Phys. Rev. 114m 959) 6X7.
9. T. Yokoyarna. T. Susukawa, T. Ohta, Jpn. |/. Appl. PlìỴỊ>. 28, (1989) 1905.
10. T. Mianaga. T. Fujikawa,./. /-7m. Soc. Jpq. 63 (1994) tl 036. 3683.
] 1. R. B. Grccgtir. F. w. Lyilc, I’ll vs. Rev II 20 ( ] 9791 49f)x.
12. M. Sarikava, M. Ụian (unpublished)
13. L. N. Laricup. Iu. Ph. Iurtienko. Thermal i'ropcnics of Mauls and Alloys. Kiev iJumka
(19X5).