Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản
của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương
trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường
có trong các đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ. Chính vì vậy việc đi sâu nghiên
cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương
trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh các kiến
thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương trình. Trong đề
tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1/ Cơ sở lý luận
Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT.
Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư
duy. Hàm số có ứng dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà
một trong các ứng dụng đó là việc giải và biện luận phương trình, bất phương
trình.
Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa
thông qua khái niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong
việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn. Một
mặt nó tác dụng củng cố thêm các kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến
thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài toán về phương trình và bất
phương trình.
2/ Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh
rất lúng túng trong việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về
hàm số một phần do kiến thức về phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và
muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của hàm số cũng chưa được coi trọng
đúng mức. Trong một số bài toán về phương trình, bất phương trình nếu dùng
các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có thể không

2
∈

K ,x
1
< x
2
⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
∀
x
1
,x
2
∈
K ,x
1
< x
2
⇒
f(x
1
) > f(x
2
)

xV
là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
);( ba
khi đó hàm số
( ) ( )
xVxUy +=
cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến)
trên
);( ba
ĐL3: Gỉa sử
( )
xU
và
( )
xV
là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
);( ba

và
( )
0xU
;
( )
0xV
với
);( bax ∈∀
khi đó hàm số
( ) ( )
xVxUy =
cũng là hàm số

- Các hướng khai thác.
+ Đưa phương trình về dạng
( ) ( )
xgxf =
. Trong đó
( )
xf
là hàm số đồng
biến
( )
xg
là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại. Khi đó nếu x = x
0
thỏa mãn
( ) ( )
00
xgxf =
thì x = x
0
là nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng
( )
Axf =
Trong đó
( )
xf
là hàm số đơn
điệu. Nếu tồn tại x = x
0
sao cho

x
2
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Bài giải: phương trình đã cho tương đương với
x
x
−=
−
35
2
Ta thấy hàm số
( )
2
5
−
=
x
xf
là hàm số đồng biến vì
( )
5ln5'
2−
=
x
xf

( )
0' xf
với

3
=






+








x
x
Ta thấy hàm số
( )
x
x
xf







(Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001)
Bài giải:
uxx =−
2
vx =−1
Thì
( )
2
1−=− xvu
Phương trình đã cho tương đương với :
vu
uv
−=− 22
⇔
vu
vu 22 +=+
Hàm số tương ứng ở hai vế là:
( )
t
ttf 2+=
(*)
có
( )
02ln21' 
t
tf +=
Nên
( )
tf
đồng biến, do đó (*)

là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một
hằng số không đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:
( )
065ln3ln0' −+=f
( )
065ln53ln31' −+=f
⇒

( )
0' =xf
có nghiệm duy nhất
α
=x
và đổi dấu từ âm sang dương.
Ta có bảng biến thiên.
3
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
x
∞−

α

∞+
( )
xf '
- 0 +
( )
xf
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số


=
=+
t
t
x
x
3
21
⇔
tt
231 =+
⇔
t
t
231
2
=+
Từ ví dụ 1 suy ra
2
=
t
là nghiệm duy nhất của phương trình
⇒
2log
3
=x
⇒
9=x
.

=








−
+








+
xx
(2)
Ta thấy
232 ±
⇔
1
2
32
0 



−−
xx
⇔



−
3
1


x
x
(1)
⇔
( ) ( )
32log22log
2
347
2
348
−−=−−
++
xxxx
⇔
( ) ( )
32log22log
2
347






+=+
=
y
y
at
at
11
hay
( )
y
y
aa 11 +=+
⇔
1
1
1
1
=






+

1=y
là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Với
1=y

⇒
1log =t
a
⇔
at =

⇔
34732
2
+=−− xx

⇔
034102
2
=−−− xx
⇔
34111 +±=x
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
34111 +±=x
.
b. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình
Các hướng khai thác
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng
( ) ( )
afxf 

( )
xf
và
( )
xg
thì có thể suy ra
được nghiệm của bất phương trình.
- Đưa bất phương trình về dạng
( )
Axf 
(hoặc
( )
Axf 
). Dựa vào việc
khảo sát hàm số
( )
xf
ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình.
Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải
thông qua bước đặt ẩn phụ.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
122
1
−
−
x
x

(1)

( )
01 =f
nên (1)
⇔

( ) ( )
1fxf 
( )
xf
là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là
1x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
(
)
( )
257log155log
2
3
2
2
≤−++++− xxxx
(1)
Bài giải: Đặt
txx =+− 55
2
( )
0≥t
Bất phương trình (1)
⇔


2

+
+
+
=
t
t
t
tf
với
[
)
+∞∈∀ ;0t
Nên
( )
tf
đồng biến trên
[
)
+∞;0
Ta lại có
( )
21 =f
nên bất phương trình (2)
⇔
( ) ( )
1ftf ≤

⇔



≤≤






+
≥
−
≤
41
2
55
2
55
x
x
x
⇔






≤≤
+

2
2
2
224log
−
≥−−
x
xx
(2)
Đặt
24
2
−−= xxu
024'
=−=
xu
⇔
2
=
x
Ta có bảng biến thiên:
x

22 −
2
22 +
'u
+ 0 -
u
2

x
xx
do đó bất phương trình (2)
⇔
( )
2
2
2
2124log
−
==−−
x
xx

⇔

2
=
x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2=x
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
3412 −−− xx
Bài giải: Tập xác định
1≥x
Xét hàm số
( )
12 −−= xxxf
Ta có
( )


1

3
4

4

∞+
( )
xf '
- 0 + +
( )
xf

2

34 −

3
Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
4x

Ví dụ 5: Giải bất phương trình
5429 +++ xx
Bài giải: Xét hàm số
( )
429 +++= xxxf
có tập xác định:
2

50 =≤ fxf
⇒
bất phương trình vô nghiệm
Khi
0x
thì
( ) ( )
50 =fxf 
⇒

0x
∀
là nghiệm.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1.
xxx
543 =+
2.
( )
( )
42lg6lg
2
++=+−− xxxx
3.
( )
xx
x
6
log

xfy =
liên tục trên
[ ]
ba;
và
( ) ( )
0bfaf
thì
∃
( )
bax ;
0
∈
sao
cho
( )
0
0
=xf
.
Ví dụ 1: Biết rằng
0632 =++ cba
(1)
Chứng minh
( )
cbxaxxf ++=
2
có nghiệm trong
( )
1;0

7
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Suy ra tồn tại 2 trong 3 số
( )
0f
,






2
1
f
và
( )
1f
là trái dấu nhau trong bất
kì trường hợp nào thì
( )
xf
cũng có nghiệm trong
( )
1;0
Cách 2: Ta có
( )



9
2

32
9
6
9
2
2
c
ccc −=






+−=
*
0=c
thì (1)
⇔

032 =+ ba

0
=
a

⇒

33
2
.0
2

c
ff −=







⇒

( )
xf
có nghiệm






∈
3
2
;0x
Hay

⇒
hàm số
( )
xf
đồng biến trên R
( )
xf
liên tục trên R.
( ) ( )
011.0 −=ff
Suy ra phương trinhg
( )
xf
chỉ có 1 nghiệm
( )
1;0
0
∈x
hay phương trình
đã cho có nghiệm duy nhất
( )
1;0
0
∈x
.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
1. Biết rằng
0334
=++
cba

++
++
 x
b. Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số
( )
xfy =
liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
thì
( )
bac ;∈∃
sao cho
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
='
Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng:
0632 =++ cba

Chứng minh

( )
1;0
0
∈∃x
sao cho:
( )
( ) ( )
01
01
'
0
−
−
=
FF
xF
Hay
( )
1;0
0
∈∃x
sao cho
( )
0
6
662
23
0
=
++

x;0
Hàm số liên tục trên
[ ]
x;0
và có đạo hàm trên
( )
x;0
. Theo định lí
Lagrăng ta có
( )
xc ;0∈∃
sao cho
( )
( ) ( )
0
0
'
−
−
=
x
fxf
cf
hay
( )
xc ;0∈∃
sao cho
x
e
e

[ ]
0;x
và có đạo hàm trên
( )
0;x
.
Theo định lí Lagrăng ta có:
( )
0;xc∈∃
sao cho
( )
( ) ( )
x
xff
cf
−
−
=
0
0
'
hay
( )
0;xc∈∃
sao cho
( )
x
xf
e
c

0
1
1
10
=+++
−
−
xaxaxa
n
nn
có nghiệm dương
1
x
thì phương trình:
( )
0 1
1
2
1
1
0
=++−+
−
−−
n
nn
axanxna
cũng có nghiệm dương
12
xx 

( )
xfy =
trên D.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
( )( )
mxxxx =−+−−++ 6363
(1) Có nghiêm.
Bài giải: Đặt
xxt −++= 63
Với
[ ]
6;3−∈x
thì
9
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
( )( )
0
632
36
' =
−+
+−−
=
xx
xx
t

⇔


[ ]
23;3∈t

( )( )
2
9
63
2
−
=−+
t
xx
Khi đó phương trình (1) trở thành:
mt
t
m
t
t =++−⇔=
−
−
2
9
22
9
22
(2)
phương trình (1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm
[ ]




− 3;
2
9
23
nên
phương trình đã cho có nghiệm khi






−∈ 3;
2
9
23m
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:
0sincos2cos
2
=−−+ mxxx
(1) có nghiệm.
Bài giải: Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
mxx =−+ 2coscos3
2
Đặt:
tx =cos

- 0 +
y
2 0

12
25
−

Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1;1−∈t
khi
2
12
25
≤≤− m
10
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Hay phương trình (1) có nghiệm khi
2
12
25
≤≤− m
.
* Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình
( )
mxf 
( hoặc

bất phương trình 2 có nghiệm
0≥X
⇔
có ít nhất một điểm của đồ thị
2
1
2
+
+
=
X
X
y
với
0
≥
X
không ở phía
dưới đường thẳng
my =
.
Xét hàm số
2
1
2
+
+
=
X
X

31−−

∞+
'y
- 0 + + 0 -
y

4
13 +

2
1
0
Qua bảng biến thiên suy ra với
4
13 +
≤m
thì bất phương trình đã cho có
nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho bất phương trình:
04
34
≥++ mxxx
thỏa mãn với
1≥∀x
Bài giải: bất phương trình đã cho:
⇔

( )
04

( )
xf
∞+

5
+
m
Suy ra bất phương trình
( )
0≥xf
có nghiệm khi và chỉ khi
505 mm
⇔≥+
Ví dụ 3: Tìm m sao cho mọi
( )
3;2∈x
đều là nghiệm của bất phương trình:
( ) ( )
04log1log1
2
5
2
5
mxxx ++−++
(*)
Bài giải: Ta có (*)
⇔

( )
[ ]

Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
( )
3;2∈∀x
là nghiệm của bất phương trình (*)
⇔
( )
3;2∈∀x
đồng thời là
nghiệm của (1) và (2).
Xét hàm số
( )
( )





++
−+−
3;204
3;20544
2
2
trênmxx
trênmxx


Thì
( )


2

3

∞+
( )
xg'
( )
xg

m
−
12
Suy ra
0)( >xf
và
0)( >xg
với
)3;2(∈x






≤≤−⇔
≥+
≥−
⇔

có nghiệm.
3) Tìm m sao cho
04cos2cos ≥++ xmx
với mọi
x
d. Sử dụng phương pháp max, min trong việc biện luận sự tồn tại
nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Để áp dụng được phương pháp này chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:
Mệnh đề1: phương trình
mxf =)(
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
)(max)(min xfmxf
D
D
≤≤
Mệnh đề 2: bất phương trình
mxf <)(
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
mxf
D
<)(min
Mệnh đề 3: bất phương trình
mxf <)(
có nghiệm với mọi
Dx∈
mxf
D
<⇔ )(max
Mệnh đề 4: bất phương trình
mxf >)(

++−+==
nnn
axxnxnxfy

)3()2)(1()( −++=
′
xxnnxf
n
Vì n là số tự nhiên chẵn nên
0>
n
x
với mọi x nên
0'y
với
3x
và
0'≤y
với
.3≤x
Do đó min
( )
033
21

++
−==
nn
afy
(vì

hoặc
2−=x

3=t
Khi
xx +=− 24
1=⇔ x
Bất phương trình (1) trở thành:
( )
104
2
+−= tttf
(2)
Bất phương trình (1) có nghiệm khi bất phương trình (2) có nghiệm
[ ]
3;0∈t
Ta có bảng biến thiên:
t
0 2 3
( )
tf
10 7
6
Qua bảng biến thiên :
[ ]
( )
6min
3;0
=tf
và bất phương trình (2) có nghiệm

tt



−=
=
)(3
2
Lt
t
mxxmxxmxxt =+−−⇔=++⇔=++⇒= 164164242
44
4
4
Xét hàm số
164)(
4
+−−= xxxf

10)1(444)(
33
−=⇔=+−=−−=
′
xxxxf
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đường thẳng
my =
với
đồ thị
)(xfy =
.Ta có bảng biến thiên:

(2):
mkxxf +=)(
(k là hằng số)
(3):
00
)()( yxxmxf +−=
(
00
, yx
là hằng số)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị
)(xfy =
với
đường thẳng
my =
hoặc
mkxy +=
hoặc
00
)( yxxmy +−=
Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình:

tt
emme )4(4 −=−+
Bài giải: Viết phương trình đã cho về dạng:
m
x
xx
=
−

2
0
0
)1(
2
)(
2
2
x
x
x
xx
xf
x
∞−
0 1 2
∞+
)(' xf
+ 0 - + 0 -
)(xf

∞+
4
0
∞−

∞+
Phương trình e
t
= x (x>0) có nghiệm duy nhất với mỗi giá trị x>0 suy ra:


14:
1
−=∆ xy34:
2
+=∆ xy
với (C) song song với đường thẳng
mxy += 4
Suy ra:



>
−<
3
1
m
m
Phương trình có 1 nghiệm đơn

1−=m
hoặc
3=m
phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

31 <<− m
: Phương trình có 3 nghiệm

1−=x

3−>m
: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
4.4. Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phường
trình, bất phương trình.
Ví dụ1: Giải và biện luận phương trình(ĐH Ngoại Thương 2001)

mmxx
mmxxmxx
++=−
+++++
255
224222
22
Bài giải: Đặt
umxx =++ 22
2

vmmxx =+++ 242
2
Phương trình
vu
vu
−=−⇔ 55
(2)
Xét hàm số
ttf
t
+= 5)(

21
== xx

1
=
m
: Phương trình có nghiệm
1
21
−== xx




>
<
1
0
m
m
: Phương trình có nghiệm
mmmx −±−=
2
2,1
Giới thiệu một số bài toán áp dụng:
1. Dựa vào đồ thị
)2()1(
2
xxy −+=
biện luận theo m số nghiệm phương trình

sin
1
cot(
2
1
cossin1
5. Kiểm nghiệm đề tài:
Để đánh giá kết quả của việc thực hiện chuyên đề tôi đã tiến hành nhiều
cuộc điều tra. Sau đây tôi xin trình bày 1 số kết quả kiểm tra.
Đề bài:
1. Với giá trị nào của m thì phương trình
15
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán

mxx +=+12
có nghiệm
2. Giải phương trình
0132 =+− x
x
3. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với
x∀

0
cos1
cos
22
22
>
−+

quả
1 2 12 24 16 32 21 42
Lần thứ 2: Kiểm tra trên đối tượng học sinh đã được nghiên cứu chuyên đề
Nhóm 1:(Lơp 10B7)
Loại
điểm
9 - 10 7 - 8 5 - 6 Dưới 5
S.lượng % S.lượng % S.lượng % S.lượng %
16
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Kết
quả
3 6,3 15 31,9 25 53,1 4 8,7
Nhóm 2:(Lớp 10B10)
Loại
điểm
9 - 10 7 - 8 5 - 6 Dưới 5
S.lượng % S.lượng % S.lượng % S.lượng %
Kết
quả
6 12 21 42 19 38 4 8
Nhóm 3:(Lớp 10B11)
Loại
điểm
9 - 10 7 - 8 5 - 6 Dưới 5
S.lượng % S.lượng % S.lượng % S.lượng %
Kết
quả
5 10 19 38 21 42 5 10