ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THU YẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THU YẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Trọng Nguyên
Hà Nội - 2011
Mục lục
Lời mở đầu 3
Lời cảm ơn 5
Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị 6
1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Miền h ấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm p h ân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Hàm p h ân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. B iểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Ước lượng các mô hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. Một số mô h ình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình . . . . . . . . . 29
Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài

và mức tổn thất kỳ vọng ES
q
. . . . . . . 60
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
2
LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều
sự đ ổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn , chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị
trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ
(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997), và mới đây là cuộc khủng hoảng
thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suy
giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần
đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài
chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ
quản lý rủi r o chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủi
ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chức
tài chính là một việc rất quan trọng.
Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,
r ủi ro lãi suất, rủi ro than h khoản, rủi ro hoạt đ ộng, trong đó rủi ro thị trường
đóng một vai trò quan trọng. Tro ng đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vào
các phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành và
phát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính.
Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô
tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, những biến
cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.
Vớ i mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:
Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình b ày định lý

bè đã luôn bên em, cổ vũ, độ n g viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn tốt nghiệp cao học .
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ
5
Chương 1
Tổng quan về lý thuyết cực trị
1.1 Phân p hối cực trị
Cho X
1
,X
2
, ,X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm
phân phối là F và x
∗
là điểm phải của F, tức là
x
∗
= sup{x : F(x) < 1},x
∗
có thể là vô hạn
Khi đó, max(X
1
,X
2
, ,X
n

> 0 và b
n
thực n = 1,2,··· sao cho:
max(X
1
,X
2
, ,X
n
) −b
n
a
n
có giới hạn là một hàm phân phối không suy b iến khi n → ∞, nghĩa là:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+b
n
) = G(x). (1.1)
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các h àm phân phối G có thể xảy
ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực
6
trị.
Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta s ẽ tìm điều kiện cần và
đủ cho h àm ph ân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàm
phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là

n→∞
n[1−F(a
n
x+b
n
)] = −logG(x),
hoặc
lim
n→∞
1
n[1−F(a
n
x+b
n
)]
= −
1
logG(x)
. (1.3)
Vớ i mỗi hàm không giảm f, kí hiệu: f
←
(x) := inf{y : f(y) ≥ x}, ta có bổ
đề sau.
Bổ đề 1. 1.1. Giả sử f
n
là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm khôn g
giảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a,b) là điểm liên tục của g:
lim
n→∞
f

(x) ≤ f
←
(x) +
ε
.
Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 <
ε
1
<
ε
sao cho g
←
(x)−
ε
1
là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm
7
liên tục của g là trù mật. Do g
←
là liên tục tại x, g
←
(x) là một điểm của hàm
tăng g, do đó g(g
←
(x) −
ε
1
) < x. Chọn
σ
< x −g(g

←
n
suy ra: g
←
(x) −
ε
1
≤ f
←
n
(x).
Chúng ta áp d ụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U =

1
1−F

←
, chú ý U(t)
xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương vớ i
lim
n→∞
U(nx) −b
n
a
n
= G
←
(e
−
1

t→∞
U(tx) −b(t)
a(t)
= D(x) (1.8)
với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G
←
(e
−
1
x
).
Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1 . 1. Ta đã
kiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3.
Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1,
U([t]x) −b
[t]
a
[t]
≤
U(tx) −b
[t]
a
[t]
≤
U

[t]x

1+
1

G
γ
(x) = exp

−(1+
γ
x)
−
1
γ

, 1+
γ
x > 0 (1.9)
γ
là s ố thực khác 0; trường hợp
γ
= 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm số
exp(−e
−x
).
Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D tro ng (1.8). Đầu tiên, giả sử rằn g
1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,
lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
= D(x) −D(1) := E(x). (1.10)
Lấy y > 0 và viết
U(txy) −U(t)

khác A
2
hoặc B
1
khác
B
2
, ở đây B
i
là các điểm giới hạn của
U(ty) −U(t)
a(t)
và A
i
là các điểm giới hạn
của
a(ty)
a(t)
, i = 1,2 khi t → ∞. Ta tìm từ (1.11) để
E(xy) = E(x)A
i
+ B
i
, i = 1,2, (1.12)
9
vớ i tất cả các điểm liên tục x củ a E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy các
điểm x
n
sao cho x
n

tồn tại với mọi y > 0, và với x,y > 0,
E(xy) = E(x)A(y) + E(y).
Từ đó với s = logx, t := logy ( x,y khác 1 ), và H(x) := E(e
x
), ta có
H(t + s) = H(s)A(e
t
) +H(t). (1.13)
Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0):
H(t + s)−H(t)
s
=
H(s) −H(0)
s
A(e
t
). (1.14)
Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H
khả vi tại mọi điểm và
H

(t) := H

(0)A(e
t
). (1.15)
Đặt Q(t) :=
H(t)
H



(0) = Q

(t) −1.
Từ đó su y ra Q khả vi cấp 2 và ta có,
Q

(0)Q

(t) = Q

(t).
Do đó
(logQ

)

(t) = Q

(0) :=
γ
∈ R, ∀ t.
Từ đó su y ra Q

(t) = e
γ
t
, (Q

(0) = 1) và:

(x) =

1+
γ
·
x−D(1)
H

(0)

1
γ
. (1.17)
Bây giờ D(x) = G
←
(e
−
1
x
), và do đó
D
←
(x) = −
1
logG(x)
. (1.18)
Từ (1.17) và (1.18 ), ta có kết luận của định lý.
Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx
0
),

= P(X
1
≤ x)
vớ i mọi x và n = 1,2
11
Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị G
γ
Định nghĩa 1.1.5. Tham số
γ
trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị.
Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:
• Vớ i
γ
> 0, sử dụng hàm G
γ
(
x−1
γ
), đặt
α
=
1
γ
> 0,
Φ
α
(x) =




1+ x
γ

,và với
α
= −
1
γ
> 0,
Ψ
α
(x) =





exp(−(−x
α
)), x < 0
1, x ≥ 0.
12
Lớp phân phố i này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV
2
:
G
2,
α
(x).
Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = G

γ
x)
−
1
γ

, ∀x với 1+
γ
x > 0.
(1.19)
2. Tồn tại một hà m dương a sao cho với x > 0,
lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
= D
γ
(x) =
x
γ
−1
γ
, (1.20)
ở đây với
γ
= 0 thì vế phải được coi là logx.
3. Có một hàm dương a sao cho
lim
t→∞
t[1−F(a(t)x+U(t))] = (1+

:= a(n). Tương tự, (1.22) thỏa
mãn với f(t) =
a
1−F(t)
.
Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ định
lý 1.1.2.
Ta chứng minh 2. ⇒ 4.: Với mọi
ε
> 0, dễ nhận thấy rằng
g(h
←
(t) −
ε
) ≤t ≤g(h
←
(t) +
ε
),
13
Vớ i g là mộ t hàm không giảm và h
←
là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đó
suy ra
(1−
ε
)
γ
−1
γ


1+
ε
1−F(t)

−U

1
1−F(t)

a

1
1−F(t)

→
(1+
ε
)
γ
−1
γ
.
khi t → x
∗
, và suy ra
lim
t→x
∗
t −U

,
và từ bổ đề 1.1.1,
lim
t→x
∗
1−F(t)
1−F

t + xa

1
1−F(t)

= (1+
γ
x)
1
γ
,
nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4. ⇒ 2. được chứng minh tương tự.
Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:
vớ i mọi x > 0,
lim
n→∞
n[1−F(a
n
x+b
n
)] = e
−x

và do đó
b
2
n
2
+ logb
n
−logn+
1
2
log(2
π
) → 0, (1.26)
khi n → ∞. Bây giờ do (1.25),
−
d
dx
n[1−F(a
n
x+b
n
)] =
n
b
n
√
2
π
exp


2
/(2b
2
n
)
e
−x
→ e
−x
vớ i x ∈R. Vì vậy
n[1−F(a
n
x+b
n
)] =
n
b
n
√
2
π
∞

x
exp

−

u
b

2
/(2b
2
n
)
e
−u
du → e
−x
bởi định lý Lebes gue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng.
Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay a
n
bởi a

n
, b
n
bởi b

n
vớ i điều
kiện là a
n
/a

n
→ 1, (b

n
−b

D(x) =
x
γ
−1
γ
, lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
=
x
γ
−1
γ
(1.27)
vớ i mọi x > 0,
γ
là tham số thực, a là một hàm dương.
15
Định lý 1.2.1 . Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị G
γ
nếu và chỉ nếu
1. Với mọi
γ
> 0, x
∗
:= sup{x : F(x) < 1} là vô hạn và
lim
t→∞

= 0, x
∗
có thể là hữu hạn hoặc vô hạn và
lim
t→x
∗
1−F(t + xf(t))
1−F(t)
= e
−x
(1.30)
với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với h àm
f thì
x
∗

t
(1−F(s))ds < ∞, với mọi t < x
∗
.
và (1.30) thỏa mãn với
f(t) =
x
∗

t
(1−F(s))ds
1−F(t)
. (1.31)
Định lý 1.2.2 . Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực


x
∗
−t
1−F(x)
x
∗
−x
dx < ∞ và
lim
t→0
x
∗

x
∗
−t
1−F(x)
x
∗
−x
dx
1−F(x
∗
−t)
= −
γ
. (1.33)
3. Với
γ


2
(1.34)
thỏa mãn
lim
t→x
∗
h(t) = 1. (1.35)
Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: lim
t→∞
E(logX −logt|X > t) =
γ
.
Thật vậy
∞

t
1−F(x)
x
dx
1−F(t)
= E(logX −logt|X > t),từ đó
∞

t
(logx−logt)dF(x) =
∞

t
1−F(x)

−x
−
1
γ

,
với mọi x > 0 và a
n
:= U(n);
2. Với
γ
< 0:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+x
∗
) = exp

−(−x)
−
1
γ

,
với mọi x < 0 và a
n

1−F(t)
= (1+
γ
x)
−
1
γ
(1.36)
với mọi x, 1+
γ
x > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f > 0 thì nó thỏa mãn với
f(t) =

















γ

t→x
∗
f(t)
x
∗
−t
= −
γ
,
γ
< 0,
f(t) ∼ f
1
(t),với f
1
(t) là hàm nào đó mà lim
t→x
∗
f

1
(t) = 0,
γ
= 0.
(1.37)
18
Định lý 1.2.6. Hàm phân phối F nằm trong D(G
γ
) nếu và chỉ nếu tồn tại cá c
hàm dương c và f, f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t

> 0
lim
t→x
∗
f(t)
x
∗
−t
= −
γ
,
γ
< 0,
lim
t→x
∗
f

(t) = 0 và lim
t→x
∗
f(t) = 0 nếu x
∗
< ∞,
γ
= 0.
Để chứng minh các định lý trên chúng ta cần một số kết quả của các bổ đề
sau :
Bổ đề 1.2.7. Giả sử (1.27) thỏa mãn.
1. Nếu

γ
= 0, thì
lim
t→∞
U(tx)
U(t)
= 1 (1.40)
với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(t)
= 0. Hơn nữa nếu U(∞) < ∞,
lim
t→∞
U(∞) −U(tx)
U(∞) −U(t)
= 1 (1.41)
19
với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(∞) −U(t)
= 0. Hơn nữa,
lim
t→∞
a(tx)
a(t)
= 1. ∀x > 0 (1.42)
Hệ quả 1.2.8. 1. Vớ i
γ

lim
t→∞
U
1
(tx) −U
1
(t)
a(t)
=
x
γ
−1
γ
, x > 0, (1.45)
ở đây a là hàm hợp lý dương và U
i
=

1
1−F
i

←
, i = 1,2. Các mệnh đề sau là
tương đương:
1. lim
t→x
∗
1−F
2

≤t ≤U

1+
ε
1−F(t)

hay
U

x
1−F(t)

U

1+
ε
1−F(t)

≤t
−1
U

x
1−F(t)

≤
U

x
1−F(t)

−1
U

x
1−F(t)

= x
γ
. (1.47)
Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý
lim
t→∞
1−F(t)
1−F(tx)
= x
1
γ
.
Chứng minh định lý 1.2.2 cho
γ
> 0: Từ (1.28) với
ε
> 0, t đủ lớn,
1−F(te)
1−F(t)
≤ e
ε
−
1
γ

[logx]
)
1−F(t)
≤ e

ε
−
1
γ

[logx]
≤ e

ε
−
1
γ

(1+logx)
= e
−
1
γ
+
ε
·x
−
1
γ
+

x
dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng
lim
t→∞
a(t) =
1
γ
21
vớ i a(t) :=
1−F(t)
∞

t
1−F(x)
x
dx
.
Chú ý rằng
−log
∞

t
1−F(x)
x
dx+log
∞

1
1−F(x)
x


,
vớ i mọi x > 0, t →∞,
1−F(tx)
1−F(t)
=
a(tx)
a(t)
exp

−
x

1
a(t
γ
)
d
γ
γ

→ exp

−
1
γ
x

1
d

F(x)
F(u)
, (x ≥ u).
Vớ i: F(x) = 1−F(x) được gọi là đuôi của phân phối F.
Điểm trái của F tại u là
α
(F
[u]
) = inf{x : F
[u]
(x) > 0}. Ta có
α
(F
[u]
) = u.
1.4 Phân p hối Pareto tổng quát
Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị
EV:
W(x) = 1+ logG(x) nếu logG(x) > −1.
22
Các dạng biểu diễn của hàm ph ân phối GPD thông qua hàm phân phối cực
trị EV ở chú ý 1.1.6 là:
• Phân phối mũ GP
0
: W
0
(x) =




α
(x) =













1, x > 0
1−(−x)
−
α
, −1 < x ≤ 0
0, x ≤ −1
Ta có các hàm mật độ tương ứng là:
• Mật độ mũ (GP
0
): w
0
= e
−x
vớ i x ≥0.
• Pareto (GP

σ
để có được
một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W
1,
α
,
µ
,
σ
(x) = W
1,
α

x−
µ
σ

.
Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F, nếu ta chọn
được các hằng số b
u
và a
u
thỏa mãn:
F
[u]
(b
u
+ a
u