BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ THỦY

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT CỰC TRỊ
TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy giáo, TS. Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn em
trong thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và phòng sau đại học
Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học
tập tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn cao học.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

1.3.2. Mô hình VaR ............................................................................................... 7
1.3.2.1. Khái niệm VaR ....................................................................................... 7
1.3.2.2. Mô hình VaR .......................................................................................... 8
1.3.2.3. Các phương pháp tính VaR ................................................................... 10
1.3.3. Mô hình ES (tổn thất kì vọng).................................................................... 17
1.3.3.1. Khái niệm mô hình tổn thất kì vọng ES ................................................ 17
1.3.3.2. Một số tính chất của mô hình ES .......................................................... 17
1.3.3.3. Công thức ước lượng mô hình ES ......................................................... 18
1.3.4. Hậu kiểm mô hình VaR, ES ....................................................................... 18
1.3.4.1. Hậu kiểm mô hình VaR ........................................................................ 18
1.3.4.2. Hậu kiểm mô hình ES ........................................................................... 20
1.4. Thực trạng công tác đo lường rủi ro trong đầu tư tài chính ở VN .................... 20
1.4.1. Công cụ đo lường rủi ro: độ lệch chuẩn ..................................................... 21
1.4.2. Phương pháp ước lượng VaR, ES .............................................................. 22
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ PHƯƠNG PHÁP VƯỢT NGƯỠNG. 23
2.1. Giới thiệu về phân phối giá trị cực trị.............................................................. 23
2.2. Phân phối cực trị tổng quát ............................................................................. 23
2.3. Hàm phân vị ................................................................................................... 33
2.4. Biểu đồ Q-Q và P-P ........................................................................................ 34


2.5. Phương pháp cực đại khối............................................................................... 35
2.5.1. Phân phối phù hợp GEV .......................................................................... 35
2.5.2. Mức lợi suất và tổn thất stress.................................................................. 37
2.6. Phương pháp vượt ngưỡng .............................................................................. 38
2.6.1. Phương pháp Pareto tổng quát ................................................................. 38
2.6.2. Mô hình tổn thất vượt ngưỡng ................................................................. 40
2.6.3. Mô hình đuôi và thước đo rủi ro đuôi ...................................................... 41
2.6.4. Phương pháp Hill..................................................................................... 43
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT CỰC TRỊ ĐỂ ĐO LƯỜNG RỦI

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1: Biểu diễn thay đổi giá trị tài sản sau khoảng thời gian Δt ......................... 8
Hình 1.2: Đồ thị mật độ xác suất biểu diễn phân vị mức α ..................................... 10
Hình 1.3: Minh họa hậu kiểm VaR ........................................................................ 19
Hình 2.1: Đồ thị hàm phân phối tích lũy của phân phối cực trị tổng quát H  cho
Fr'echet (  = - 0,5), Weibull (  = 0,5) và Gumbell (  = 0)................. 30
Hình 2.2: Đồ thị hàm mật độ xác suất của phân phối cực trị tổng quát h cho
Fr'echet (  = -0,5), Weibull (  = 0,5) và Gumbell (  = 0) ................... 30
Hình 2.3: Minh họa phương pháp cực đại khối và phương pháp vượt ngưỡng ....... 36
Hình 2.4: Hàm mật độ của phân phối Pareto .......................................................... 39
Hình 2.5: Ước lượng chỉ số đuôi............................................................................ 43
Hình 3.1: Đồ thị QQ cho 5 chuỗi lợi suất giá cổ phiếu từ ngày 02/01/2009 đến
06/05/2015 ........................................................................................... 49
Hình 3.2: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của giá
cổ phiếu DPM....................................................................................... 51
Hình 3.3: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của giá
cổ phiếu HAG...................................................................................... 51
Hình 3.4: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của giá
cổ phiếu REE ....................................................................................... 52
Hình 3.5: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của giá
cổ phiếu FPT ....................................................................................... 52
Hình 3.6: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của giá
cổ phiếu LGC ...................................................................................... 53

Hình 3.7: Đ th QQ c a chu i l i su t giá c phi u c a danh m c P t
ngày 02/01/2009 đến 06/05/2015 ......................................................... 62
Hình 3.8: Đồ thị Hill và Mean Excess xác định ngưỡng u cho chuỗi lợi suất của
danh mục P ........................................................................................... 63




: Phân phối cực trị tổng quát

EVT

: Lý thuyết giá trị cực trị

GPD

: Phân phối Pareto tổng quát

CTCK

: Công ty chứng khoán

MDA

: Miền hấp dẫn

TTVN

: Thị trường Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây thị trường tài chính khu vực và thế giới đã xảy ra
nhiều vụ tổn thất lớn thậm chí dẫn đến khủng hoảng tài chính chẳng hạn: 19.10.1987

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết cực trị.
Nghiên cứu phương pháp vượt ngưỡng để đo lường độ rủi ro VaR, ES.
Sử dụng phương pháp vượt ngưỡng để đo lường các độ đo rủi ro VaR, ES và
ứng dụng phân tích rủi ro trong đầu tư chứng khoán …
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết cực trị, phương pháp vượt ngưỡng, phương pháp cực đại khối, mô
hình VaR, ES, đo lường rủi ro trong đầu tư chứng khoán…
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách và nghiên cứu tài liệu, thu thập dữ liệu, đo lường rủi ro với sự hỗ trợ
của phần mềm S-Plus…
Phương pháp tổng hợp, phân tích, thống kê, so sánh.
6. Đóng góp mới
Thử nghiệm, sử dụng lý thuyết cực trị để đo lường VaR, ES cho một danh
mục đầu tư trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn tốt nghiệp sẽ được chia làm ba chương cộng với phần mở đầu, kết
luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 của luận văn sẽ nói về đo lường rủi ro tài chính và mô hình VaR,
ES.
Chương 2 sẽ trình bày các kiến thức cơ bản của lý thuyết cực trị, 2 phương
pháp: Vượt ngưỡng và cực đại khối để ước lượng các độ đo rủi ro VaR, ES.
Chương 3 trình bày ứng dụng phương pháp vượt ngưỡng để đo lường rủi ro
trong đầu tư chứng khoán.


3

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH


+) Rủi ro thị trường: Rủi ro phát sinh do sự biến động về giá cả trên các thị
trường tài chính.
+) Rủi ro thanh khoản: Do tính thanh khoản các tài sản không được thực hiện.
+) Rủi ro tín dụng: Do đối tác trong hoạt động tín dụng không có khả năng
thanh toán.
+) Rủi ro hoạt động: Do con người hoặc do kỹ thuật gây ra các sự cố.
+) Rủi ro pháp lý: Do các giao dịch không đúng pháp luật.
Trên bình diện khu vực và thế giới đã từng xảy ra nhiều vụ tổn thất lớn thậm
chí dẫn đến khủng hoảng tài chính. Ta có thể điểm qua một số vụ việc dưới đây:
Bảng 1: Sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới
giai đoạn 1987 - 2011
Năm
1987

Sự kiện

Hậu quả

19.10.1987 - ngày thứ 2 Tại thị trường LonDon chỉ số FTSE đột ngột
đen tối.

giảm 30% chỉ sau 3 ngày, khủng hoảng tài
chính toàn cầu.

1990

Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Drexel Burnham Lambert US
trái phiếu Mỹ.



Khủng hoảng tài chính Khủng hoảng nợ của nhiều tổ chức tài chính,
Châu Á.

sự đổ vỡ của thị trường cổ phiếu và tiền tệ
Châu Á.


5

1998

Khủng hoảng nợ tại Nga.

2000

Sự mất giá của cổ phiếu Chỉ số NASDAQ giảm gần 50% sau một thời
TMT.

2002

gian ngắn.

Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Enron, WorldCom và một số
trái phiếu công ty Mỹ.

2003

Khủng hoảng tại thị trường mới nổi.


Trong lĩnh vực bảo hiểm thiệt hại từ 12-35 tỉ
USD.

Qua các sự kiện trên có thể thấy hai đặc điểm:
 Các sự kiện tưởng như “trăm năm mới có một lần” lại diễn ra tương đối
thường xuyên, gần như hàng năm.
 Ảnh hưởng tiêu cực tới thị trường tài chính ngày càng mở rộng cả về quy
mô lẫn mức độ tổn thất.


6

Như vậy với quy mô phát triển và xu hướng toàn cầu hóa, trong quá trình vận
hành thị trường tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định, rủi ro. Để hỗ trợ
công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phương pháp tiếp cận công cụ phân tích
định lượng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành.
Hiện nay, lý thuyết cực trị được sử dụng trong lĩnh vực quản lý rủi ro, đặc biệt
đo lường rủi ro thị trường. Rủi ro thực chất là phản ánh tính không chắc chắn của
kết quả nên người ta sử dụng xác suất để đo lường rủi ro. Lý thuyết EVT đưa ra
những phương pháp để ước lượng các phân phối xác suất, đặc biệt là đuôi phân
phối. Nó giúp ta phân tích và đánh giá được các độ rủi ro như giá trị rủi ro (The
Value at Risk – VaR); mức tổn thất kỳ vọng (The Expected shortfall – ES); giá trị
rủi ro trong đầu tư vốn (The Capital – at – Risk) là các thước đo trong nghiên cứu.
1.3. Mô hình đo lường rủi ro
1.3.1. Mô hình đo lường độ đo rủi ro chặt chẽ
Ta xét một nhà đầu tư (cá nhân hoặc tổ chức) nắm giữ một danh mục. Đặt t :
thời điểm hiện tại,  t  1 : thời điểm cuối của kì đầu tư (thời điểm trong tương lai),

Vt , Vt 1 : giá trị của danh mục tại t và (t  1) . Giá trị Vt đã biết, Vt 1 chưa biết và là
biến ngẫu nhiên do đó khi nắm giữ danh mục nhà đầu tư sẽ đối mặt với rủi ro: nhà

Với mọi X   , với mọi a   :   X  a     X   a .
T2: Cộng tính dưới:
Với mọi X 1 , X 2   ta có:   X 1  X 2     X 1     X 2  .
T3: Thuần nhất dương:
Với mọi X   và với mọi   0 :    X     X  .
T4: Đơn điệu tăng:
Với X 1 , X 2  X mà X 1  X 2 hầu chắc chắn, ta có:   X 1     X 2  .
1.3.2. Mô hình VaR
1.3.2.1. Khái niệm VaR
VaR (Value-at-Risk) của danh mục hay tài sản thể hiện mức độ tổn thất có
thể xảy ra đối với danh mục, tài sản trong một khoảng thời gian nhất định với mức
độ tin cậy nhất định.
VaR của danh mục tài sản tài chính được định nghĩa là khoản tiền lỗ tối đa
trong một khoảng thời gian nhất định, nếu ta loại trừ những trường hợp xấu nhất
hiếm khi xẩy ra.


8

VaR là một phương pháp đánh giá mức độ rủi ro của một danh mục đầu tư
theo hai tiêu chuẩn như giá trị của danh mục đầu tư và khả năng chịu đựng rủi ro
của nhà đầu tư.
Trong toán tài chính và quản lý rủi ro tài chính, VaR là một giá trị sử dụng
rộng rãi đo mức độ tổn thất trên một danh mục tài sản tài chính nhất định. Cho một
danh mục, xác suất và khoảng thời gian không đổi, VaR được định nghĩa như một
giá trị ngưỡng sao cho xác suất để tổn thất danh mục trong khoảng thời gian nhất
định không vượt quá giá trị này là một xác suất cho trước.
1.3.2.2. Mô hình VaR
(a) Tiếp cận mô hình
Giả sử rằng một nhà đầu tư quyết định đầu tư một danh mục tài sản P. Tại

tin rằng giá trị tương lai không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ.
Giá trị không âm: Các tài sản nhất thiết phải là các giá trị không âm.
Thời gian cố định: Giả thiết này cho rằng, điều gì đúng cho một khoảng thời
gian thì cũng đúng cho nhiều khoảng thời gian. Chẳng hạn, nếu cho khoảng thời
gian một tuần thì cũng có thể mở rộng lên cho một năm.
Phân phối chuẩn: Trong một số phương pháp tính VaR, thì giả thiết lợi suất
tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, chỉ trừ một số phương pháp tiếp cận
VaR phi tham số như Monte Carlo, VaR mô phỏng lịch sử.
(c) Công thức chung
Xem xét nhà đầu tư ở vị thế trường vị, khi ΔV(k) < 0 tức là nhà đầu tư sẽ
chịu tổn thất P(∆V(k) ≤ xα) = α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu tổn thất dưới
mức xα (xα < 0) là α.
Ngược lại nhà đầu tư ở vị thế đoản vị, ΔV(k) > 0 tức là nhà đầu tư sẽ chịu
tổn thất P(∆V(k) ≥ xα) = 1 - P(∆V(k) ≤ xα) = 1 - α, ta nói rằng xác suất để nhà đầu
tư chịu mức tổn thất trên mức xα (xα > 0) là 1-α.


10

α

x

Hình 1.2: Đồ thị mật độ xác suất biểu diễn phân vị mức α
Nguồn: Internet
Đứng trên vị thế cho nhà đầu tư, khi nhà đầu tư chịu tổn thất tức là giá trị
danh mục sụt giảm (giá trị âm). Trong cả hai trường hợp trên, α được cho như xác
suất để mức tổn thất không vượt quá giá trị âm này. Ngưỡng giá trị âm này chính là
VaR. Như vậy VaR của một danh mục chu kỳ k và độ tin cậy (1-α)100% là mức
phân vị α của hàm phân bố Fk(x). Khi đó đại lượng này được kí hiệu là VaR(k,α) và

Bước 1: Tính toán lợi suất (hoặc sự thay đổi giá) của tất cả các tài sản của danh
mục giữa khoảng thời gian đã xác định.
Ở bước đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra chu kỳ và tính toán lợi suất của mỗi tài
sản giữa hai chu kỳ liên tiếp. Thông thường chúng ta thường tính theo chu kỳ 1
ngày, nhưng chúng ta cũng có thể tính theo chu kỳ dài hơn như 1 tháng hoặc 1 quý
tùy đặc điểm của dữ liệu. Phương pháp mô phỏng lịch sử yêu cầu lịch sử đủ dài để
đánh giá được ý nghĩa của VaR. Ví dụ như nói những quỹ thanh khoản linh hoạt thì
số liệu lịch sử của lợi suất trong 1 năm sẽ không cung cấp một ước lượng VaR tốt.
Giả sử chúng ta tính lợi suất theo ngày và số liệu lịch sử gồm n số liệu, bắt
đầu từ ngày 0 (tương ứng là số liệu ngày đầu tiên nắm giữ danh mục) - giá trị tài sản
là S0, ngày 1 (ngày tiếp sau ngày đầu tiên) – giá trị tài sản là S1.…, ngày n – giá trị
tài sản là Sn.
Với bộ số liệu, sẽ cho ra (n-1) viễn cảnh, mỗi viễn cảnh là sự thay đổi giá
giữa hai ngày liên tiếp. Trong đó lợi suất ở ngày thứ t (là sự thay đổi giá giữa ngày
thứ t và ngày thứ (t-1)) sẽ bằng:


12

rt 

St -1 - St
S
hoặc rt  ln t -1 .
St
St

Bước 2: Áp dụng những lợi suất tài sản đã tính toán được cho giá trị hiện tại của
tài sản và tính lại giá trị danh mục.
Sau khi tính xong lợi suất tài sản giữa hai chu kì liên tiếp, ở bước này chúng

Bước 4: Đọc giá trị VaR tương ứng với độ tin cậy
Bước cuối cùng là phải quyết định mức độ tin cậy mà chúng ta quan tâm. Giả
sử đó là α%. Chúng ta có thể đọc trực tiếp giá trị tương ứng trong dãy giá trị mô
phỏng tổn thất đã được sắp xếp và sau đó lấy ra từ giá trị trung bình của dãy giá trị
tổn thất mô phỏng. Cách khác, VaR với độ tin cậy α% là giá trị trung bình của mô
phỏng tổn thất trừ đi (1-α)% giá trị thấp nhất trong dãy giá trị mô phỏng tổn thất đã
được sắp xếp. Điều này có thể được minh họa bởi công thức sau:

VaR1   ( R)  R

(1.2)

Trong đó:
VaR1-α là ước lượng VaR với độ tin cậy 100(1-α)% .
µ(R) là trung bình của dãy lợi suất mô phỏng hoặc tổn thất mô phỏng của
danh mục.
Rα là lợi suất thấp nhất thứ α của dãy giá trị mô phỏng tổn thất của danh mục,
hoặc lợi suất của dãy giá trị mô phỏng tổn thất ứng với mức ý nghĩa α.
Chú ý rằng trong những trường hợp không lấy được chính xác giá trị ứng với
mức phân vị α% thì ta lấy giá trị trung bình của hai giá trị gần nhất với mức phân vị
α% để có được giá trị ước lượng của VaR.
Những ưu điểm và hạn chế của phương pháp
Phương pháp mô phỏng lịch sử tương đối đơn giản trong thực hành nếu như
số liệu lịch sử là đủ hợp lí cho ước lượng VaR. Phương pháp này cũng được áp
dụng cho những phân phối phi tuyến và không chuẩn vì nó sử dụng trực tiếp giá
lịch sử. Nó cũng không dựa vào cấu trúc ngẫu nhiên cơ bản của thị trường hoặc
những giả định đặc biệt nào về mô hình định giá, vì vậy nó cũng không có những
rủi ro khi mô hình sai.
Phương pháp mô phỏng lịch sử đưa ra giả thuyết rằng sự phân bố tỷ suất sinh
lời trong quá khứ có thể tái diễn trong tương lai. Đây là một hạn chế vì nhiều tài sản

S h  



có phân phối chuẩn tắc N(0,1). Từ công thức (1.3) ta có:

 S ( h)   VaR ( , h)   
P

   .



Đặt:

VaR( , h)  



(1.4)

 N 1 ( ) thì ta có công thức tính VaR(α,h) là:

VaR ( , h )  ( N 1 ( ).   ) .

(1.5)

Trong đó: N 1 ( ) được tra từ bảng giá trị phân vị của phân phối chuẩn.
Trong thực hành ta thường tính VaR với độ tin cậy 1% hoặc 5%. Tra bảng ta có


chuẩn, có thể có phân phối đuôi dầy khác như phân phối đuôi dạng mũ hoặc đuôi
dạng Logistic. Khi đó công thức tính VaR với chu kỳ h ngày sẽ là:
VaR(α, h ngày) = VaR(α, 1 ngày)×

.

(1.8)

Từ các công thức ở trên ta thấy sử dụng phương pháp VaR tham số tương đối
nhanh, đơn giản. Đây là phương pháp tốt để tính VaR cho những danh mục tuyến
tính và phân phối của nó gần với phân phối chuẩn. Thêm nữa, nó cũng không có
những rủi ro giả thiết về mô hình. Tuy nhiên, phương pháp này cũng không thích
hợp cho những danh mục không tuyến tính như quyền chọn hoặc các phân phối xác
suất không chuẩn.
Những ưu điểm và hạn chế của phương pháp:
Ưu điểm của phương pháp VaR tham số là dễ áp dụng trong thực tế vì nó chỉ
bao gồm các phép nhân chia ma trận. Như vậy chúng ta có thể sử dụng các phần
mềm tính toán, phân tích số liệu như: EXCEL, EVIEWS, SPLUS, … để hỗ trợ tính
toán trong các danh mục có nhiều tài sản. Hạn chế lớn nhất của phương pháp là do
sự tồn tại đuôi dầy của hàm phân phối lợi suất trong hầu hết các tài sản tài chính.


16

Những đuôi dầy này có thể gây ra rắc rối bởi vì VaR chính là mức phân vị của đuôi
trái. Trong trường hợp này, một mô hình giả thiết về phân phối của danh mục chuẩn
có thể không lường hết được các rủi ro, do vậy giá trị VaR sẽ không chính xác và
đưa đến quyết định đầu tư sai lầm. Một vấn đề khác là kết quả VaR sẽ không thỏa
đáng đối với danh mục không tuyến tính như quyền chọn và cầm cố.
c) Mô hình RiskMetrics