u

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HÀ ĐĂNG TOÀN

VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ
ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2012


Hà Nội – 2012
Lời nói đầu
Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặt
đại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số. Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứng
dụng thiết thực trong lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính. Vì vậy, nó đã và đang t rở
thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và tin học.
Năm 200 8, J. R. Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề
"Rational Algebraic Curvers". Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán tham
số hóa. Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu
tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìm
phép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham số hóa.
Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thì
ngoài những lợi ích mà phép tham số hóa mang lạ i như đã nói thì việc nghiên cứu các
tính chất hình học của nó có hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng một
đa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường cong, tìm số bội của một điểm bất kì và
từ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có gì khó khăn? Một trong các
câu trả lời đã được S. Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói trên, đưa ra
trong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007.
Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới. Công việc của người viết là tr ình
bày lại những nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tương
đối phức tạp. Luận văn được trình bày thành 3 chương:
Chương 0. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày những khái niệm, kết quả mang tính
chất nền tảng của Hình học đại số như khái niệm đa tạ p đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữu
tỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính các đường cong, ước, giống Trong chương
này chúng tôi chỉ nêu chứng minh một số kết quả quan trọng đó là định lí Riemann,
định lí về công thức tính giống của đường cong chỉ có các kì dị thường.
Chương 1. Các t huật toán tham số hóa hữu t ỉ. Cùng với chương 2, đây là
i
một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày các
thuật toán tham số hóa hữu tỉ với công cụ chính là hệ thống tuyến tính các đường

(F
1
, F
2
, , F
r
) iđêan sinh bởi các đa thức F
1
, F
2
, , F
r
.
gcd(F, G) ước chung lớn nhất của các đa thức F và G.
I(V ) iđêan sinh bởi các đa thức triệt tiêu trên đa tạp V.
k[X
1
, , X
n
] vành đa thức n biến X
1
, X
2
, , X
n
biến trên trường k.
k(X
1
, , X
n

0.5 Không gian ước và giống. Định lí Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 26
1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Tham số hóa bằng các đường t hẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ. 48
2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ. . . . . . . 48
2.2 Phép tham số hóa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa . . . . 53
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
iv
Chương 0
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết về
đường cong đại số. Các kiến thức này là cơ sở để chúng tôi trình bày các nội dung
chính của luận văn. Tuy nhiên, chúng tôi chỉ nêu chứng minh đối với những kết quả
quan trọng. Chương này được trình bày chủ yếu theo [1] và [5].
Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặc
số 0. Còn khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụ
thể hơn là, đa thức định nghĩa của nó không chứa thừa số bộ i.
0.1 Đường co ng đại số và trường hàm hữu tỉ
0.1.1 Không gian afin và không gian xạ ảnh
Ta hiểu không gian afin n chiều trên trường k, kí hiệu A
n
(k), là tích Đề-các k× ×k
(n lần). Mỗi phần tử của A
n
(k) được gọi là các điểm. Đặc biệt, khi n = 1 thì A
1

cũng
1
được gọi là các điểm. Ta viết [x
1
: x
2
: : x
n+1
] để chỉ một phần tử (điểm) P của P
n
,
khi đó (x
1
, x
2
, , x
n+1
) được gọi là tọa độ thuần nhất của P.
Bây giờ ta kí hiệu U
i
= {[x
1
: x
2
: : x
n+1
] ∈ P
n
|x
i

với ϕ
i
(x
1
, : x
i−1
, x
i
, , x
n
) = [x
1
: : x
i−1
: 1 :
x
i
: : x
n+1
]. Để ý rằng P
n
=
n+1

i=1
U
i
, do đó P
n
được phủ bởi n + 1 tập hợp mà mỗi

thẳng xạ ảnh, P
2
là không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh.
0.1.2 Tập đ ại số. Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh
Giả sử F ∈ k[X
1
, , X
n
], một điểm P = (a
1
, , a
n
) trong A
n
được gọi là một không
điểm của F nếu F(P ) = F(a
1
, , a
n
) = 0. Nếu F không là hằng số thì tập tất cả các
không điểm của F được gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F ).
Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X
1
, , X
n
], ta kí hiệu
V (S) = {P ∈ A
n
|F (P ) = 0, ∀F ∈ S},
tức là V (S) = ∩

i
được gọi là các thành phần thuần nhất của F và m được gọi là bậc của C ký
hiệu là deg(C). Các đường cong bậc một được gọi là đường thẳng, bậc hai gọi là cônic,
bậc ba là cubic, .
Nếu F =
n

j=1
F
j
, trong đó F
j
là các nhân tử bất khả quy của F, thì ta nói rằng
đường cong a fin định nghĩa bởi đa thức F
j
là một thành phần của C. Hơn nữa, đường
cong C được gọi là bất khả quy khi đa thức định nghĩa của nó là bất khả quy.
Bây giờ ta nói về khái niệm tập đại số trong không gian xạ ảnh. Một cách tương
tự, một điểm P ∈ P
n
được gọi là không điểm của một đa thức thuần nhất F ∈
k[X
1
, , X
n+1
] nếu F (x
1
, , x
n+1
) = 0 với mọi cách chọn tọa độ thuần nhất (x

∗
tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F
∗
(X, Y, Z). Nghĩa
là, nếu:
F (X, Y ) = F
r
(X, Y ) + F
r+1
(X, Y ) + . . . + F
m
(X, Y ),
thì:
F
∗
(X, Y, Z) = F
r
(X, Y )Z
m−r
+ F
r+1
(X, Y )Z
m−r− 1
+ . . . + F
m
(X, Y ),
3
và
C
∗

Nếu không có nhầm lẫn nào thì sau đây ta sẽ dùng kí hiệu C
∗
thay cho C
∗,Z
. Nếu
P = [a : b : 1] ∈ P
2
thì ta gọi điểm tương ứng của nó trong không gian afin là P
∗
, tức
là P
∗
= (a, b).
Để cho đơn giản, đôi khi ta cũng đồng nhất đường cong với đa thức định nghĩa của
nó. Hơn nữa, xuyên suốt luận văn chúng ta chỉ quan t â m đến các đường cong đại số.
Vì vậy, khi không nói gì thêm thì “đường cong” được hiểu là “đường cong đại số”, tức
là, là một siêu mặt trong A
2
hoặc P
2
.
Một cách để phân loại các tập đại số nói chung là dựa vào tính khả quy hay bất
khả quy của chúng. Một tập đại số được gọi là khả quy nếu nó là hợp của hai hay
nhiều tập đại số nhỏ hơn. Trong trường hợp ngược lại thì ta có một tập đại số bất khả
quy. Nếu một tập đại số afin (xạ ảnh) là bất khả quy thì ta gọi đó là một đa tạp đại
số afin (xạ ảnh).
0.1.3 Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường c ong phẳng
Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng.
Định nghĩa 0.4. Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈
k[X, Y ] và P = (a, b) ∈ C. Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàm

và T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A
2
(k) (nghĩa là phép đổi biến tuyến
tính) sao cho T (
˜
P ) = P . Xét đường cong
˜
C định nghĩa bởi
˜
F = F ◦ T . Khi đó bội của
P trên C bằng bội của
˜
P trên
˜
C. 
Vậy, khái niệm bội là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tuyến tính.
Mệnh đề 0.6. ([5], chương 2, Định lý 2.4) Cho C là đường cong afin phẳng định nghĩa
bởi F (X, Y ). Bội của C tại gốc tọa độ là bậc nhỏ nhất của các thành phần thuần nhất
khác 0 của F . 
Do đó, bội của P có thể cũng được xác định bằng cách dời P về gốc tọa độ và áp
dụng mệnh đề 0.6.
Bây giờ, cho P = (a, b) ∈ A
2
(k) là một điểm bội r(r ≥ 1) trên đường cong C định
nghĩa bởi đa thức F . Khi đó thành phần đầu tiên không triệt tiêu trong khai triển
Taylor của F tại P là
T
r
(X, Y ) =
r

xúc t ại O bao gồ m hai đường thẳng Y = X và Y = −X.
Bằng một phép biến đổi tọa độ tuyến tính chuyển P thành gốc tọa độ, đa thức T
r
được biến đổi thành đa thức thuần nhất hai biến bậc r. Dễ thấy rằng, số nhân tử của
một đa thức là bất biến đối với một phép biến đổi tọa độ tuyến tính nên các nhân
tử bất khả quy của T
r
là tuyến tính và chúng là phương trình của các tiếp tuyến của
đường cong tại P . Ta có kết quả sau:
5
Mệnh đề 0.9. ([5], chương 2, Định lý 2.5) Cho C là một đường cong afin với đa thức
định nghĩa F (X, Y ) và P là điểm trên C có bội r. Khi đó các đa thức định ng hĩa của
các tiếp tuyến với C tại P là các n hân tử bất khả quy của đa thức T
r
(X, Y ). Và bội của
mỗi tiếp tuyến là bội của nhân tử tương ứng. 
Chúng ta sẽ phân loại các điểm kì dị dựa vào các tiếp tuyến của đường cong và số
bội tương ứng của các tiếp tuyến. Cách phân loại này giúp chúng ta thấy rõ hơn về
bản chất của các điểm kì dị.
Định nghĩa 0.10. Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thông
thường nếu r tiếp tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại.
Mệnh đề 0.11. ([5], chương 2, Định lý 2.7) Cho đường cong C đ ị nh nghĩa bởi F ,
P ∈ C, T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A
2
(k) (nghĩa là một phép đ ổi biến
tuyến tính) s ao cho T (
˜
P ) = P. Cho
˜
C định nghĩa bởi

m
j=1
mult
P
(C
j
)
2. Nếu L là tiếp tuyến của C
j
tại P với bội s
i
thì L là một tiếp tuyến của C tại P
với bội

n
i=1
s
i
. 
Mệnh đề 0.14. ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường con g afin ph ẳ ng chỉ có hữu
hạn điểm kì dị. 
Mệnh đề 0.15. ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả s ử P là một đ iểm đơn của đ ườn g
cong xạ ảnh C xác định bởi đa thức F (X, Y, Z). Khi đó:
X
∂F
∂Y
(P ) + Y
∂F
∂Y
(P ) + Z

, X
2
, , X
n
]. Do
đó vành thương
Γ(V ) = k[X
1
, X
2
, , X
n
]/I(V )
là một miền nguyên và được gọi là v ành tọa độ của V.
Với một tập V ⊂ A
n
, ta kí hiệu F(V, k) là tập hợp tất cả các hàm t ừ V tới k. F(V, k)
là một vành với các phép toán định nghĩa như sau: Nếu f, g ∈ F(V, k), (f + g)(x) =
f(x) + g(x) và (f.g)(x) = f(x).g(x) với mọi x ∈ V . Ta xem k như một vành con của
F(V, k) nếu đồng nhất k với vành con chứa tất cả các hàm hằng của F(V, k).
Trở lại trường hợp V ⊆ A
n
là một đa tạp, một hàm f ∈ F(V, k) được gọi là một
hàm đa thức tr ên V , nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức F ∈ k[X
1
, X
2
, , X
n
] với

P
(V ). Hơn nữa, do mỗi phần tử của Γ(V ) xác định vớ i mọi P ∈ V nên
Γ(V ) ⊂ O
P
(V ) và ta có bao hàm thức
k ⊂ Γ(V ) ⊂ O
P
(V ) ⊂ k(V ).
Ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 0.18. ([1], chương 2, Mệnh đề 2.)
1. Tậ p hợp các điểm cực của một hàm hữu tỉ là một tập con đại số của V.
2. Γ(V ) =

P ∈V
O
P
(V ). 
Mệnh đề 0.19. ([1], chương 2, Mệnh đề 2 ) O
P
(V ) là một miền nguyên Noether địa
phương. 
Chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1].
Trước khi kết thúc mục này chúng tôi trình bày khái niệm về bậc của một hàm hữu
tỉ.
Nhắc lại rằng, một và nh Noether địa phương R sẽ được gọi là một vành giá trị rời
rạc nếu iđêan cực đại của nó là một iđêan chính. Nói cách khác, tồn tại phần tử bất
khả quy t ∈ R sao cho với mọi phần tử z = 0 thuộc R ta luôn biểu diễn được một
cách duy nhất dưới dạng ut
n
, trong đó u là một phần tử khả nghịch trong R, n là một

, W ⊂ A
m
là các đa tạp. Một ánh xạ ϕ : V → W
được gọi một là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T
1
, T
2
, , T
m
∈ k[X
1
, X
2
, , X
n
]
sao cho
ϕ(a
1
, a
2
, , a
n
) = (T
1
(a
1
, a
2
, , a

n
, W ⊂ A
m
là các đ a tạp.
Khi đó, có một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đ a thức ϕ : V → W và các
đồng cấu ˜ϕ : Γ(W ) → Γ(V ). Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa
thức từ A
n
tới A
m
. 
Một ánh xạ đa thức xác định bởi bộ m đa thức (T
1
, , T
m
) từ A
n
tới A
m
thường
được kí hiệu là T = (T
1
, , T
m
). Nếu m = n và các T
i
, i = 1, , m đều có bậc 1 thì T
được gọi là một phép biến đổi tọa độ trên A
n
. Có thể thấy rằng mỗi phép biến đổi tọa

Tôpô Zariski là tôpô được định nghĩa trên X là không gian afin A
n
, không gian xạ
ảnh P
n
hoặc không gian hỗn tạp P
n
1
× P
n
2
× × P
n
r
× A
m
: Một tập con U của X
được gọi là tập mở nếu X\U là một tập đại số.
Với định nghĩa như thế, ta có t hể chứng minh được rằng mọi tập con của X đều
được trang bị tôpô cảm sinh. Đặc biệt, khi V là một đa tạp thì một tập là tập đóng
của V khi và chỉ khi nó là tập đại số. Hơn nữa, mọi tập mở của V đều trù mật trong
V.
Với tôpô Zariski, chúng ta cũng có khái niệm đa tạp và các khái niệm liên quan
một cách tổng quát hơn: Cho một tập đại số bất khả quy không rỗng V của không
gian afin, không gian xạ ảnh hay không gian hỗn tạp (như đã nói ở trên). Một tập mở
bất kì của V được gọi là một đa tạp. Đa tạp này được trang bị tôpô cảm sinh từ V ;
tôpô này được gọi là tôpô Zariski trên X.
Nếu U là một tập con mở của X thì U cũng mở trong V nên cũng là đa tạp và ta
gọi U là đa tạp con mở của X. Ta cũng chứng minh được rằng một tập con đóng Y
bất khả quy của X là mở trong

). Khi đó ta nói K là một trường hàm đại số trên k.
Nếu X là một đa tạ p, k(X) là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k. Ta định
nghĩa số chiều của X, dim X là bậc mở rộng siêu việt của k(X) trên k. Một cách tự
10
nhiên, nếu dim X = 1 thì X được gọi là đường cong, dim X = 2 thì X được gọi là mặt,

0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương
song hữu tỉ giữa các đường cong.
Để xây dựng khái niệm ánh xạ hữu tỉ trước hết chúng ta cần có định nghĩa về cấu
xạ giữa hai đa tạp.
Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ A
n
. Phép hợp thành với
ϕ tạo nên một đồng cấu vành ˜ϕ : F(Y, k) → F(X, k) tức là ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ.
Định nghĩa 0.23. Cho X và Y là các đa tạp. Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạ
ϕ : X → Y sao cho
1. ϕ liên tục;
2. Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U, O
Y
) thì ˜ϕ(f) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ
−1
(U), O
X
).
Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1 − 1 từ X lên Y sao cho ϕ
−1
là cấu xạ.
Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một cách tiếp cận khái niệm cấu xạ một cách
tường minh hơn.
Mệnh đề 0.24. ([1], ch ươn g 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó , có

2
. Với quan hệ tương đương như vậy ta có các định
nghĩa:
Định nghĩa 0.26. 1. Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi là
một ánh xạ hữu tỉ từ X tớ i Y. Ánh xạ hữu tỉ f được g ọi là trội nếu f(U) trù
mật trong X, với mọi U là đa tạp con mở của X.
11
2. Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tập
mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đương
F. K hi đó, ta cũng nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ.
Ví dụ 0.27. Xét ánh xạ f : A
1
→ A
1
xác định bởi f (t) = t
3
. Rõ ràng f là một ánh
xạ hữu tỉ. Tuy nhiên, dễ thấy rằng ánh xạ ngược của f không là hữu tỉ. Như vậy, f
không phải là một ánh xạ song hữu tỉ.
Ta có các kết quả quan trọng sau đây:
Mệnh đề 0.28. ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ
khi và chỉ khi các trường hàm của chúng là đẳng cấu. 
Hệ quả 0.29. Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng.

Ta nói rằng một đa tạp là hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với A
n
hoặc P
n
với n nào đó. Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau.
Định nghĩa 0.30. Một đường cong đại số được gọi là đường cong hữu tỉ nếu nó tương

1
→ W
2
với dim W
1
= dim W
2
. Ta
định nghĩa bậc của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W
1
) trên ˜ϕ(k(W
2
)), tức là:
deg(ϕ) = [k(W
1
) : ˜ϕ(k(W
2
))].
Ta có thể sử dụng khái niệm này để đặc trưng cho tính song hữu tỉ của một ánh
xạ trội như sau:
12
Bổ đề 0.33. ([5], chương 2, Bổ đề 2.41) Một ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W
1
→ W
2
với
dim W
1
= dim W
2

là ánh xạ hữu tỉ
trội giữa các đa tạp cùng chiều. Khi đó, tồn tại tập con mở U khác rỗng của W
2
sao
cho với mọi P ∈ U thì ϕ
−1
(P ) có số phần tử đúng bằng deg(ϕ). 
0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong
Khi nghiên cứu về các đường cong đại số thì số giao và hệ tuyến tính của các đường
cong là những khái niệm mang tính nền tảng. Nếu như số giao là công cụ không thể
thiếu đối với các bài toán tươ ng giao của các đường cong thì hệ tuyến tính của các
đường cong nói chung, hệ tuyến tính các đường cong liên hợp nói riêng lại đóng vai trò
quyết định trong việc giải bài toán tham số hóa hữu tỉ.
0.3.1 Số giao c ủa các đường cong. Định lí Bézout
Trước hết, ta xem xét khái niệm số giao của hai đường cong trong mặt phẳng afin
A
2
.
Cho F và G là hai đường cong trong mặt phẳng A
2
. Số giao của F và G tại một
điểm bất kì P ∈ A
2
được kí hiệu là I
P
(F, G) và được xác định thông qua 7 tính chất
sau.
1. I
P
(F, G) ≥ 0, ∀F, G và ∀P ∈ A

tiếp tuyến chung tại P.
6. Giả sử F =

i
F
e
i
i
, G =

j
G
s
j
j
thì
I
P
(F, G) =

i,j
e
i
s
j
I
P
(F
i
, G

2
tại P . 
Tiếp theo ta xét trong không gian xạ ảnh P
2
. Cho F và G là hai đường cong xạ ảnh,
số giao của F và G tại một điểm P ∈ P
2
được xác định như sau: I
P
(F, G) = I
P
∗
(F
∗
, G
∗
).
Số giao trong P
2
cũng thỏa mãn 7 tính chất của số giao trong A
2
, chỉ có thay đổi
ở tính chất thứ 7, và tính chất này được phát biểu lại như sau:
I
P
(F, G) = I
P
(F, G + AF ) với mọi A mà deg(A) = deg(G) − deg(F ).
Ta kết thúc mục này bằng một kết quả cổ điển
Định lý 0.37. (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m, n

. Một chu trình không
được gọi là dương nếu n
P
≥ 0 với mọi P. Ta nói rằng

n
P
P lớn hơn

m
P
P nếu
n
P
≥ m
P
với mọi P, khi đó ta viết

n
P
P ≥

m
P
P.
Tiếp theo ta giả sử F, G là các đường cong xạ ảnh với bậc tương ứng m và n không
có thành phần chung. Ta định nghĩa chu trình giao F  G là
F  G =

P ∈P

+ bG
∗
.
Định lý 0.38. (Định lí cơ bản Max Noether) Cho các đường cong xạ ảnh phẳng
F, G, H, trong đó F và G k hông có thành phần chung. Khi đó, tồn tại đẳng thức
H = AF + BG (A, B là các dạng thuần nhất và deg(A) = deg(H) − deg(F ), deg( B) =
deg(H) − deg(G)) nếu và chỉ nếu điều kiện Noether thỏa mãn tại mọi P ∈ F ∩ G. 
0.3.3 Hệ tuyến tính các đường cong.
Hệ tuyến tính của các đường cong là công cụ rất quan trong đối với bài toán tham
số hóa hữu tỉ. Để xây dựng khái niệm này chúng ta xuất phát từ ý tưởng như sau:
Chúng ta coi mỗi đường cong bậc d trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
như là một điểm của
không gian xạ ảnh P
d(d+3)
2
. Điều này hoàn toàn thực hiện được vì chúng ta biết rằng
một đường cong bậc d sẽ xác định nếu ta biết đầy đủ các hệ số a
1
, a
2
, , a
N+1
(với
N =
d(d+3)
2
) của các đơn thức bậc d theo một thứ tự cố định. Chẳng hạn, một đường
cong bậc 2 tổng quát a
1

: : a
N+1
] ∈ P
d(d+3)
2
(đương nhiên (a
1
, a
2
, , a
N+1
) và λ(a
1
, a
2
, , a
N+1
), với
λ = 0 xác định cùng một đường cong). Như vậy ta có thể nói rằng t ậ p hợp các đường
cong bậc d là không gian xạ ảnh có chiều là
d(d+3)
2
.
Bây giờ, nếu ta đặt các điều kiện cho tập hợp các đường cong bậc d thì tập các
đường cong bậc d t hỏa mãn các điều kiện đó sẽ là một tập con của P
d(d+3)
2
. Nếu tập
con này là một đa tạp con tuyến tính (đa tạp con sinh bởi các đa thức thuần nhất bậc
1) của P

là các điểm trong P
2
, r
1
, r
2
, , r
n
là các số nguyên không âm. Đặt
V (d, r
1
P
1
, r
2
P
2
, , r
n
P
n
) là tập hợp các đường cong bậc d mà m
P
i
(F ) ≥ r
i
, (1 ≤ i ≤ n).
Mệnh đề 0.40. ([1], chương 5, Định lí 1)
1. V (d, r
1

thì dim V (d, r
1
P
1
, r
2
P
2
, , r
n
P
n
) =
d(d+3)
2
−

r
i
(r
i
+1)
2
. 
0.4 Giải kì dị đường cong đại số
Khi nghiên cứu một đường cong đại số, ngoài các điểm đơn và các kì dị thông
thường với các tính chất hình học đã rõ ràng thì chúng ta còn gặp các kì dị không
thông thường (đã định nghĩa ở đầu chương). Ta cần phải xem xét các kì dị loại này
một cách đặc biệt.
Trong phần này chúng tôi trình bày một công cụ để giải quyết vấn đề nêu trên (giải

2
→ B xác định bởi ϕ(x, z) = (x, xz, z). Dễ thấy rằng ϕ là một
đẳng cấu. Giả sử ψ = π ◦ ϕ : A
2
→ A
2
; ψ(x, z) = (x, xz) . Gọi E = ψ
−1
(P ) = ϕ
−1
(L) =
V (X). Khi đó ψ : A
2
\E → U là một đẳng cấu nên ψ là một cấu xạ song hữu tỉ của
mặt phẳng vào chính nó.
Như vậy, phép nổ một điểm trong không gian afin chính là cấu xạ song hữu tỉ ψ mà
16
chúng ta vừa xây dựng. Áp dụng cho đường cong C = V (X) : Nếu ta kí hiệu C
0
= C∩U,
là một đa tạp con mở của C. G ọi C
′
0
= ψ
−1
(C
0
) và nếu C
′
là bao đóng của C

= F
r
(1, Z) + XF
r+1
(1, Z) +
+ X
n−r
F
n
(1, Z).
2. Nếu đường thẳng X = 0 không tiếp xúc với C tại P và giả sử F
r
=
s

i=1
(Y −a
i
)
r
i
, khi
đó Y − α
i
X là các tiếp tuyến với C tạ i P. Với F như trên, f
−1
(P ) = {P
1
, P
2

′
= f
−1
(W ) là một đa tạp
con afin mở trên C
′
, f(W
′
) = W. Hơn nữa, Γ(W
′
) là mô-đun hữu hạn sinh trên
Γ(W ) và x
r−1
Γ(W
′
) ⊂ Γ(W ).
0.4.2 Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh
Tổng quát hơn, trong không gian xạ ảnh ta có thể thực hiện phép nổ cho nhiều
điểm.
Giả sử P
1
, P
2
, , P
t
∈ P
2
. Chúng ta sẽ nổ tất cả các điểm này và thay chúng bằng
các đường thẳng xạ ảnh. Để cho đơn giản (sử dụng phép biến đổi tọa độ nếu cần) ta
giả sử P

i1
x
3
: x
2
− a
i2
x
3
].
Gọi f = (f
1
, , f
t
) : U → P
1
× × P
1
(t lần) và gọi G là đồ thị của f.
Tiếp t heo, ta kí hiệu
B = V ({Y
i1
(X
2
− a
i2
X
3
) − Y
i2

17
0.4.3 Phép biến đổi bậc hai
Trong mục này chúng ta xét một loại ánh xạ song hữu tỉ tổng quát hơn các phép
nổ trình bày ở trên. Đó là các phép biến đổi bậc hai của mặt phẳng xạ ảnh lên chính
nó, còn gọi là ánh xạ Cremona.
Trong P
2
ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P
′
= [0 : 1 : 0], P
′′
= [1 : 0 : 0] là các điểm
cơ sở; L = V (Z), L
′
= V (Y ), L
′′
= V (X) là các đường thẳng cá biệt. Chú ý rằng P là
giao điểm của L
′
và L
′′
, còn L đi qua P
′
và P
′′
. Kí hiệu U = P
2
\V (XY Z).
Định nghĩa 0.41. Phép biến đổi Q : P
2

˜
C định nghĩa bởi
˜
F là dạng biến đổi bậc hai của C.
Thứ hai, ta nói một đường cong C có vị trí tốt nếu không đường thẳng cá biệt nào
tiếp xúc với C t ại các điểm cơ sở; đường cong C bậc n với mult
P
(C) = r có vị trí hoàn
hảo nếu C có vị trí tốt và L giao hoành với C tại n điểm phân biệt mà không có điểm
nào là cơ sở, L
′
, L
′′
mỗi đường giao hoành với C tại đúng n − r điểm phân biệt mà
không có điểm nào là cơ sở.
Bây giờ ta nghiên cứu sự tác động của một phép biến đổi bậc hai chuẩn lên các
điểm kì dị của một đường cong.
Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sở
P, P
′
, P
′′
có bội tương ứng là r
1
, r
2
, r
3
trên C. Giả sử
˜

˜
F ).
(3)
˜
C có bội n − r
2
− r
3
, n − r
1
− r
3
, n − r
1
− r
2
, tương ứng tại P, P
′
, P
′′
.
(4) Nếu C có vị trí tốt thì
˜
C cũng có vị trí tốt.
(5) Nếu C có vị trí tốt và P
1
, P
2
, , P
s

′
, P
′′
là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n − r
1
, n − r
1
.
(c) Trên
˜
C ∩ L
′
hoặc
˜
C ∩ L
′′
không có điểm nào không phải điểm cơ sở. Giả sử
trên
˜
C ∩ L có các điểm P
1
, , P
s
là các điểm không phải cơ sở thì m
P
i
(
˜
C) ≤
I(P

P
− 1)
2
.
và ta có thể chứng minh được rằ ng đây là một số không âm.
Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g
∗
(
˜
C) = g
∗
(C) −
s

1=1
r
i
(r
i
−1)
2
, với r
i
= m
P
i
(
˜
C) và
P