Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

Sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ DẠNG VỀ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xuất phát từ thực tiễn dạy học phổ thông học phải đi đôi với hành. trong
chương trình hình học lớp 12 bài toán viết phương trình mặt phẳng và phương trình
đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó, tuy nhiên để làm bài toán dạng này
đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng,
lôgic.
Là dạng toán chiếm tỉ lệ nhiều trong phần hình học giải tích trong không gian
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi đại học, cao đẳng.
Là giáo viên đang công tác tại trường THCS & THPT Bàu Hàm, đa số là học
sinh ở mức độ trung bình – yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em dễ nhầm lẫn khi giải
bài toán dạng này, đặc biệt là trong việc tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ
chỉ phương của đường thẳng. Do đó để giúp các em không bị khó khăn khi gặp dạng
toán này, thiết nghĩ nên tóm tắt lại phương pháp phân loại lại bài tập từ dễ đến khó để
học sinh dễ tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và vận dụng làm bài tốt hơn.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Cơ sở lý luận
Trong thực tế giảng dạy nếu chỉ cung cấp kiến thức mới mà làm các bài tập mà
không chú ý tới các dạng của bài toán thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi gặp những
dạng toán được phát triển từ dạng toán ban đầu thì học sinh sẽ găp khó khăn. Đặc biệt
là những học sinh thuộc dạng trung binh – yếu, tư duy của các em bị hạn chế.
Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ bài tốt tôi thiết nghĩ phải nên tổng hợp lại các
dạng toán cho học sinh sau khi đã giúp học sinh giải các tập để học sinh có thể vận

quát của mặt phẳng ( α ). Khi đó mp( α ) có một véctơ pháp tuyến là n = ( A; B; C ) .
r

4) Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì
mp( α ) có phương trình là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
5) Nếu ( α ) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc ≠ 0 thì phương trình mặt
phẳng (ABC) là

x y z
+ + = 1 (1). Phương trình (1) được gọi là phương trình mặt
a b c

phẳng theo đoạn chắn.

r
r r
6) Véctơ a ≠ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì a là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d.
r
7) Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)∈ d và có vectơ chỉ phương của d là a = (a; b ; c ) thì:
 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

;( t là tham số)

3. Nêu phương pháp chung để giải bài toán
Cần lưu ý cho học sinh: Để viết được phương trình đường thẳng d thì phương
pháp chung là phải xác định được một véctơ chỉ phương của đường thẳng và tọa độ
một điểm mà đường thẳng đi qua, sau đó dựa vào công thức của định nghĩa (trang
83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng đó.
4. Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trìnhr tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
khi biết véctơ chỉ phương a = ( a; b; c) và đi qua điểm M0(x0;y0;z0).
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Hướng dẫn:

Năm học: 2011 - 2012

 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

;( t là tham số)

x − x0 y − y0 z − z0

( t là tham số)
 z = −2t


phương trình chính tắc của d là

x y
z
= =
3 1 −2

Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
cho trước.
Hướng dẫn
- Véc tơ chỉ phương của d là AB
- Chọn điểm A hoặc B là điểm mà d đi qua .
( Đưa về dạng 1)
Ví dụ: Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 1; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-1, 2, 3) và gốc tọa độ.
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên véc tơ chỉ phương của d là AB =(1; 1; -5)
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

B3: đường thẳng d đi qua điểm M0 và nhận a làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua M(2; -1; -3) và vuông góc với ( α ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua N(0; 2; -3) và vuông góc (Oxy)
Lời giải

uu
r

r

a/ do d vuông góc với ( α ) nên ta chọn ad = nα = (1; 2; -3) là vectơ chỉ phương
của d
uu
r

đường thẳng d đi qua M(2;-1; -3) và nhận véctơ ad = (1; 2; -3) làm vectơ chỉ phương
x = 2 + t

có phương trình tham số là  y = −1 + 2t (t là tham số)
 z = −3 − 3t

b/ Do d ⊥ (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là k =(0; 0; 1)
x = 0

phương trình tham số là  y = 2
 z = −3 + t


(t là tham số)

x − 2 y +1 z
=
=
3
2
4

c/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với trục ox.
Lời giải

r
a/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = (1; 2; -3)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = −1 − 3t


r
b/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = (3; 2; 4)

 x = 2 + 3t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = −1 + 4t

c/ Do d // Ox ⇒ vec tơ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 3

Lời giải

Năm học: 2011 - 2012

Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1)

r
Do d //(P) và d//(Q) vec tơ chỉ phương của d là a = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)
 x = 3 − 3t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1 − 4t
 z = 5 − 9t


( t là tham số)

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước, song
song với hai mặt phẳng (P) và vuông góc với d’ cho trước.(d’ không vuông
góc với (P))
Hướng dẫn

uu
r uu
r
B1: Tìm vectơ nP và ad' .

uu
r
uur
B2: Vec tơ chỉ phương của d là ad = [ n P, ad ' ]

r
Do d//(P) và d ⊥ d’ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = [ n P, ad ' ] = (-11; -10; 13)
 x = 2 − 11t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −10t
 z = −1 + 13t

r
b/ Ta có : j = (0; 1; 0) và a d ' = (3; -1; 2 )

( t là tham số)

r
r
Do d//(Oxz) và d ⊥ d’ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = [ j , a d ' ] = (2; 0; -3)
 x = −1 + 2t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1
 z = 3 − 3t

Giáo viên: Trần Văn Công

( t là tham số)

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012


x +1 y z + 3
= =
2
5
3

Lời giải

r
r
Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là a 1 = (-3; 1; 2) và a 2 = (2; 5; 3 )
r r r
Do d ⊥ d1 và d ⊥ d2 ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a =[ a 1, a 2]= (-7; 13; -17)
 x = 2 − 7t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −3 + 13t
 z = 4 − 17t


( t là tham số)

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cho trước , vuông góc
với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.
Phân tích bài toán :

- do d ∩ d 2 = N ⇒ N ∈ d và N ∈ d 2 ⇒ N ∈ d2 và N ∈ d
- Khi đó MN là vec tơ chỉ phương của d ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ tọa độ điểm N
Hướng dẫn giải :
B1: Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2 theo tham số t

 x = −2 − t

⇒ phương trình tham số của d là :  y = 1 + 2t
 z = 3 − 3t


( t là tham số)

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường
thẳng song song d1 và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Hướng dẫn
B1: Chỉ phương của d là chỉ phương của d1 và d2 (Do song song)
B2: Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2
⇒ toạ độ trung điểm I của MN ∈ d.

B3: Viết phương trình thẳng d theo dạng 2
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
 x = 2 + 3t

x − 4 y +1
z
=
=
d1:  y = −3 + t ( t là tham số ) và d2:
3
1
−2
 z = 4 − 2t



vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng
x = 3 + t

d1:  y = 2 + 3t ;
 z = 1 − 2t


x = 2 − t '

d2:  y = 3 + t '
 z = 4 + 2t '


( t và t’ là tham số )

Lời giải:
Giả sử d cắt d1 tại M ⇒ toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N ⇒ toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
⇒ MN =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3)

Pháp tuyến của (P) là n P= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P) ⇒ MN và n P cùng phương.
⇒

− t '−t − 1 t '−3t + 1 2t '+2t + 3
− 1 và t’= − 13
⇒ t=
=
=
1



; ( t là tham số )

Dạng 11: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt
phẳng (P).
Hướng dẫn
B1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
B2: khi đó M = d ∩ ( P )
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của A(0, 1, -2) lên mặt
phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0
Lời giải
x = t

Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là  y = 1 − 2t
 z = −2 + 2t

Do M là hình chiếu vuông góc của A lên (P) nên tọa độ điểm M = d ∩ ( P )
Xét phương trình : t – 2(1 – 2t) + 2(-2 + 2t) – 1 = 0

<=> t =

7


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
x−3 y −3 z −3
=
=
d1:
1
3
1

Năm học: 2011 - 2012

x = 2 − t

và d2:  y = 2t
z = 8 + t


Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai
x = 3 + t

đường thẳng d1:  y = 2 + 5t
 z = −1 + 4t


(t ∈ R);

x = 2 − t '

d2:  y = 4 + 2t '

=
= =
, d2:
2
−3
3
−2
3
4

Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vuông góc với
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2

=
=
đường thẳng d1:
và cắt đường thẳng d2:  y = 8 − t
3
1
1
z = 9 − t


(t ∈ R)

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường
thẳng d1:

x−2 y +2 z −3



Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
Bài 15: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d 1, d2 và thuộc mặt
phẳng chứa hai đường thẳng d1:

x+2 y −5 z −9
=
=
;
3
−1
4

d2:

x y+3 z+7
=
=
3
−1
4

III. Kết quả thực hiện
Đề tài thực hiện trong Năm học 2010 – 2011 cho hai lớp 12A1và 12A4, tôi
nhấn thấy đã thu được kết quả rất khả quan, các em nắm bài tốt hơn và điểm cao hơn
so với hai lớp 12 năm học 2009 – 2010 và đặc biệt trong kỳ thi tốt nghiệp năm học
2010 – 2011 đã làm rất tốt phần hình học giải tích trong không gian.
Kết quả bài kiểm tra 45 phút của chương : phương pháp tọa độ trong không


40

10

25

25

62.5

0

0

12A4

44

5

11.9

22

52.4

5

11.9