ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TIẾN ĐẮC
TÍNH TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG
CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

Chuyên ngành : Cơ học vật thể rắn
Mã số : 60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

Hà Nội, năm 2012 2
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 2
Chƣơng 1. Tổng quan về vật liệu composite cốt sợi đồng phƣơng 4
1.1. Mô hình 4


nhiều tác giả nghiên cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8] Cách tiếp cận là dựa
trên các phương pháp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân năng
lượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm. Theo cách tìm
các biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế 5
năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận dưới của các module đàn hồi. Tuy
nhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gần
đúng các module này. Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thông qua các
hàm năng lượng. Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vào
các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính toán khá phức tạp.

Các cách tiếp cận như vậy đã ứng dụng nguyên lý Esenpi, sử dụng các hàm
năng lượng…Ưu điểm của của những phương pháp đó là cho phép đưa ra lời giải với
độ chính xác khá cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toán ta thường gặp rất nhiều khó
khăn.

Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trong
các bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác. Ưu điểm của
phương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận. Việc mô hình hoá
dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài toán cơ bản của lý
thuyết đàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi.

Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác định
module đàn hồi
23
K
- module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợi
đồng phương thông qua bài toán kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực

Ta xét một phần tử đại diện trong trường hợp tổng quát là một hình bình hành
có chiều dài 2 cạnh a, b. Ta gọi nó là hình bình hành mắt xích chu kì tuần hoàn. Trong
mỗi mắt xích này các sợi đồng phương được bố trí sao cho các đỉnh của hình bình
hành trùng với tâm của mỗi sợi (các sợi có tiết diện tròn với bán kính R). Khi đó, toạ
độ các điểm cắt trục của những sợi đồng phương trên mặt
 
12
,xx
(còn phương cơ
bản theo phương
3
x
) sẽ là: 7

1
2
x ma
x nb





với m, n = 0,
 .1, 2,

Xét các trường hợp riêng:

Như vậy, đối với trường hợp này, phân bố thể tích sợi trong composite đạt mức tối đa
là 78.5%. Hình 1.3: Mô tả mặt cắt của phần tử đại diện có cấu trúc hình vuông.
+) a=b=1,

 /3
. Khi đó, cấu trúc có dạng tam giác đều. 8
Từ trước đến nay, nhiều bài toán về composite khi xem xét các phần tử đại diện
đều được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn với mỗi mắt xích tuần hoàn là một phần tử
đại diện. Cách tiếp cận mà các bài toán đó hướng tới dựa trên quan điểm vi mô.
Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệu
đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng. Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụ
tròn. Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong
mặt phẳng
 
12
,xx
là
mn
A
. Biên của nền và sợi
mn
A
là


xx
khi x A










1
12
2
( , )
mn
khi x S
xx
khi x A








+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hoàn. Hình 1.4: Hình dạng các cốt sợi trong vật liệu nền.

Với những đặc tính vuợt trội, vật liệu composite thực sự đã trở thành loại vật
liệu then chốt trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đặc biệt là ngành công
nghiệp nặng, hàng không vũ trụ. Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiện
đại đã đưa đến nhu cầu to lớn về vật liệu, đặc biệt là vật liệu composite với những đặc
tính hơn hẳn các vật liệu thông thường khác. Composite với các sợi độn đồng phương
cũng là một trong các dạng phân loại theo cơ học của vật liệu composite, đem lại
những ứng dụng hữu ích cho khoa học kĩ thuật và thực tế đời sống.
Trong composite cốt sợi đồng phương, các sợi độn đóng vai trò quan trọng
trong việc tạo ra các vật liệu composite có tính năng nổi trội. Bằng cách dựa vào đặc
tính và mật độ của các sợi trong thành phần nền, chúng ta có thể tạo nên những vật
liệu có đặc điểm phù hợp với nhu cầu và mục đích sử dụng như đặc tính cơ lí, tính dễ
gia công, chi phí gia công vật liệu… Khi chế tạo vật liệu, ta có thể điều chỉnh được sự
phân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật
liệu có cơ lí tính khác nhau.
Để giúp cho việc chế tạo kết cấu chi tiết composite, luận văn muốn giới thiệu
sơ lược về công nghệ pulltrusion [1]. Công nghệ này là quá trình công nghệ chế tạo
các kết cấu composite bằng cách kéo liên tục các sợi cốt, được tẩm qua nhựa nền
thông qua những khuôn tạo dáng nóng (hình 1.5). Một trong những ví dụ về sản phẩm
của phương pháp này là các dầm, cốt của bê tông trong xây dựng, có hình dáng hệt
như thép nhưng lại được chế tạo từ composite (những dầm như vậy có cấu trúc cốt sợi 10
đồng phương). Quá trình công nghệ này, về thực chất giống như công nghệ extrusion,
chỉ khác nhau ở chỗ: trong công nghệ extrusion, lực ép đẩy vật liệu qua khuôn tạo

pháp năng lượng để giải quyết vấn đề. Luận văn xin giới thiệu khái quát nguyên lý
năng lượng do Esenpi xây dựng, nguyên lý này có những ứng dụng quan trọng trong
cơ học vật liệu composite [8].
Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là
sự phân bố thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (
0.3


). Do đó, thay
vì tính năng lượng của vật thể thông qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp,
năng lượng toàn phần của vật thể được tính thông qua năng lượng của miền đồng chất
cộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản,
dễ tính toán).

* Xét hai vật thể có cấu trúc tương tự nhau, chịu tác dụng của lực ngoài và điều kiện
biên như nhau. Tuy nhiên, vật thể thứ hai không có cốt (hình 1.6).
+ Nghiệm của bài toán với vật thể một là:
.,,
iijij
u


+ Nghiệm của bài toán với vật thể hai là:
.,,
o
i
o
ij
o
ij



trên S (1.4)
Năng lượng đàn hồi: + Đối với vật thể 1:


V
ijij
dVU

2
1

(1.5)
+ Đối với vật thể 2:


V
o
ij
o
ij
dVU

2
1
0

(1.6) Từ (1.5) và (1.6), ta có:


 )(
2
1
)(
2
1
,,,,,

Suyra:
jiijijij
u
,
)(



(1.8)
Thay (1.8) vào (1.7), ta có:



V
j
o
i
o
ijiijo
dVuuUU ),(
2
1

trên S

o
i
o
i
o
ij
o
ijj
o
i
o
ij
uunnu


trên S 13
Suy ra:
dSuudSuudSnuu
o
ii
S
o
ii
o
ii

một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực ngoài.

* Xét bài toán với một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực như hình 1.7. Có thể xem
vật thể tương đương với hai vật thể như sau:
Hình 1.7: Phân tích cấu trúc của vật thể.

Gọi nghiệm của bài toán với vật thể (a) là:

ij
,

ij
,
i
u
, với vật thể (b) là:
o
ij

,
o
ij

,
o
i
u

i i i
u u u

Thế đàn hồi của bài toán (a) có dạng:

11
( )( )
22
oo
ij ij ij ij ij ij
VV
U dV dV
     

   

(1.12) 14
Khai triển (1.12) có:

  
o TH
U U U U
(1.13)
trong đó:

dVU
V

2
1


dVU
o
ijij
V
ij
o
ijTH
)(
2
1






(1.16)
với
TH
U
là năng lượng tương hỗ của hai trạng thái ứng suất trên (b) và (c).
Tích phân năng lượng (1.16) có thể biểu diễn dưới dạng thuận tiện hơn. Xét số hạng
thứ hai trong vế phải (1.16), áp dụng định luật Hooke ta có:

ijTH




(1.18)
Sử dụng nguyên lí hợp nhất nghiệm và
0
,

o
jij

ta có:

dSuU
S
i
o
iTH




(1.19)
Theo (1.10) ta đã có:

dSuuUU
o
ii

(1.20) Từ (1.19) và (1.20) suy ra:
THo
UUU
2
1


(1.21) Trở lại (1.18), phân tích miền lấy tích phân thành hai miền với mặt phân
chia

như hình 1.8. Khi đó, (1.18) có dạng:

dVdVU
I II
V V
ij
o
ijij
o
ijTH
 





(1.22)
Hệ thức (1.22) có thể viết lại dưới dạng:

dsudsudsuU

o
iTH
)(







(1.24)
Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm và biến đổi, ta được:

dsuuU
o
iii
o
iTH
)
ˆˆ
(




(1.25)
Với

,
ii

io
I
)(
2
1



(1.26)
Dễ thấy, kết quả này có thể tổng quát cho trường hợp nhiều cốt. Như vậy, năng
lượng của vật liệu nhiều thành phần bằng năng lượng của vật liệu đồng nhất nào đó
cộng với một năng lượng được lấy tích phân trên biên của thành phần độn. Nhờ
nguyên lý này, ta có thể xác định các module đàn hồi K và G của vật liệu composite
các hạt độn cầu Phương pháp dùng hàm năng luợng là một trong các phương pháp
được sử dụng để giải bài toán tìm module đàn hồi nhưng tính toán lại rất phức tạp.
16
1.3. Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng
phƣơng
Trong thực tế, nhiều vật liệu sử dụng cho kĩ thuật đều là những vật liệu không
thuần nhất. Vì thế để nghiên cứu các ứng xử cơ học, mối quan hệ bản chất của vật
liệu, ta đưa ra giả thiết về tính liên tục của vật liệu, tức là cấu tạo thực của vật liệu
được lí tưởng hóa bằng cách xem nó là liên tục. Do đó, khái niệm về sự thuần nhất
hóa được đưa ra: môi trường trong vật liệu được coi là thuần nhất khi tính chất của nó
tại mọi điểm là như nhau.
Vật liệu thực tế thường không thuần nhất ở chỗ tính chất cơ lí của nó phụ thuộc
vào các điểm của vật liệu. Theo đó, các quá trình biến đổi ở composite hoặc là liên tục
hoặc là gián đoạn. Với trường hợp này, sự biến đổi là gián đoạn tại các mặt chuyển

trong đó:
+

ij
và

ij
là ứng suất biến dạng tại điểm
k
x
.
+ dV là vi phân thể tích bao quanh điểm
k
x
.
Các quan hệ trên rất tổng quát, cho phép biểu thị các hằng số độ cứng và các hằng số
độ mềm bởi các biểu thức sau:



ij ijkl kl
C
(1.29) 17



ij ijkl kl

thể sẽ thay đổi, kéo theo trạng thái ứng suất sẽ thay đổi theo. Ứng suất xuất hiện trong
vật thể là do biến dạng làm thay đổi sự sắp xếp các phần tử cơ bản của nó. Điều đó
cho thấy giữa ứng suất và biến dạng phải tồn tại một sự liên hệ nào đấy. Công thức
Green [2] chỉ ra liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:



 





1
2
ij
ij ij
WW
(1.31)
Vì thế, ta có:


ij ijmn mn
C
(1.32)
Trường hợp vật liệu là trực hƣớng tròn xoay (tức là đẳng hướng ngang), số hằng số
độc lập là 5, bao gồm:
1111 1122 2222 2233 1212
, , , ,C C C C C
.

;
   
   
   

   
   
   
       
       
       
       
       
   
       
       
       
       
       
(1.33)

Khi đó, định luật Hooke biểu thị ứng suất qua biến dạng:









55
66
66
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
C C C
C C C
C C C
CC
C
C
(1.34)

hay
   

 ANếu biểu thị biến dạng qua ứng suất, ta có: 19


12 22 23
33
12 23 22
22 23
44
66
55
66
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 2( ) 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
SS
S
S
(1.35)
hay
   

 B

trong đó: A, B tương ứng là các ma trận độ cứng, độ mềm (với A, B là ma trận nghịch
đảo của nhau). Tính chất của vật liệu cốt sợi đồng phương phụ thuộc vào 5 hằng số
đàn hồi độc lập trên, bao gồm
20
CHƢƠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT
LIỆU COMPOSITE HAI PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

2.1. Phƣơng pháp xấp xỉ thể tích
Mục tiêu của luận văn là xác định các module đàn hồi của vật liệu composite
cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một trong năm hằng số đàn hồi độc lập
là module khối biến dạng phẳng
23
K
. Thực chất của việc xác định các module đàn hồi
là xác định mối liên hệ giữa ứng suất trung bình và biến dạng trung bình của môi
trường composite, tức là xác định các hằng số
ijkl
C
trong công thức của định luật
Hook. Như phần mở đầu giới thiệu, có nhiều phương pháp tiếp cận để giải bài toán
tìm module đàn hồi, nhưng phương pháp chủ đạo được sử dụng trong luận văn là
phương pháp xấp xỉ thể tích của phần tử thể tích đại diện. Ưu điểm dễ nhận thấy của
phương pháp này là đơn giản, dựa trên phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lý
thuyết đàn hồi và dạng nghiệm thu được là giải tích.
Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem toàn bộ vật thể trong một mô
hình được đơn giản hoá. Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệu
composite như là một khối hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bố
đều theo phương dọc của hình hộp. Với công nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệu

2

R
.h
 R =
1/


với h là chiều dài của sợi.
Như vậy, với mặt cắt là hình vuông đơn vị thì hình vuông này sẽ được xấp xỉ diện tích
thành hình tròn có bán kính
1/

trong mặt phẳng.
Từ cấu trúc hình hộp chữ nhật chứa hình trụ tròn chuyển thành cấu trúc hai
hình trụ tròn lồng nhau thông qua việc xấp xỉ thể tích, có thể nói đây chính là ý tưởng
chính của phương pháp xấp xỉ thể tích. Sau đó, dựa vào các hệ thức cơ sở, các giả
thiết ban đầu và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lí thuyết đàn hồi, ta sẽ
giải bài toán này tìm ra công thức xác định các module khối biến dạng phẳng
23
K
của
vật liệu composite cốt sợi đồng phương.
22 Hình 2.2: Phần tử đại diện sau khi đã được xấp xỉ.


.
Trụ được kéo dọc bởi lực hằng theo phương sinh và coi rằng liên kết giữa 2 miền là lí
tưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền. Điều này dẫn đến biến dạng
dọc theo trục z của 2 miền là như nhau và bằng

. Bài toán đặt ra: hãy xác định
module đàn hồi Young E
11
của trụ không đồng chất khi xem nó là một vật liệu
composite tương đương với các đặc trưng
 
,

.
23

Hình 2.3: Mô tả cấu trúc không gian của một phần tử đại diện.

* Các hệ thức cơ sở trong hệ toạ độ trụ
 
,,rz

:
Do tính đối xứng, các thành phần chuyển dịch trong toạ độ trụ có dạng:

 




  

0
r
rr
r
zz
r z zr
du
e
dr
u
e
r
e const
e e e
(2.2)
nên:

  
rr
e
du u
dr r
(2.3)
Định luật Hooke trong toạ độ trụ có dạng:


Phương trình cân bằng có dạng: 24

0

  


rr rr
d
dr r
(2.5)
Thay

e
ở trên vào các phương trình (2.4a), (2.4b), (2.4c) ta được:


    
    
    

   



   


0
rr
r
d u du
u
r dr
dr r
(2.9)
Phương trình này có nghiệm tổng quát dạng:

r
B
u Ar
r
Hình 2.4

* Trong miền nền
 
a r b
:
Nghiệm của (2.9) có dạng:
(2)
2
2

r
B