Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CHO SINH ẢNH FRACTAL 4
CHƯƠNG 2 : CÁC THUẬT TOÁN DỰA VÀO HỆ HÀM LẶP 32
CHƯƠNG 3: SINH ẢNH DỰA VÀO HỆ THỐNG ĐỘNG(CHAOS) 36
CHƯƠNG 4: MÔ TẢ CHƯƠNG TRÌNH 54
CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG FRACTAL 57
LỜI CẢM ƠN 60
KẾT LUẬN 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO 63
LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nhiều người khi lần đầu nghe tới khái niệm Fractal thì đều
không khỏi cảm thấy bỡ ngỡ đặc biệt là đối với những người không thuộc
chuyên ngành. Tuy nhiên nếu đi vào tìm hiểu sơ qua thôi chúng ta sẽ thấy
trong thực tế của cuộc sống, hầu như tất cả mọi lĩnh vực của cuộc sống đều có
những ứng dụng từ khái niệm này. Từ các lĩnh vực yêu cầu cập nhật thông tin
liên tục như thị trường chính khoán cho đến các lĩnh vực của cuộc sống
thường nhật như y tế, thời trang , nghệ thuật… Ngay trong một chương trình
mà chúng ta đều sử dụng hàng ngày đó là chương trình Windows Media
Player thì Fractal cũng được áp dụng. Điều đó cho thấy phạm vi ứng dụng của
phương pháp Fractal là dường như không giới hạn.
Fractal là tên gọi của thuật toán đồ họa. Nói một cách dễ hiểu thì thuật
toán này xây dựng nên những hình ảnh từ những đối tượng giống nhau (tương
tự như thuật toán đệ quy, khi một đối tượng được định nghĩa bằng chính nó).
Khi xem những hình ảnh được xây dựng bằng thuật toán Fractal, người
dùng có thể nhận ra những đối tượng xuất hiện nhiều lần trong hình ảnh,
nhưng chính điều này sẽ tạo nên tính chất trừu tượng và vẻ đẹp cho hình ảnh
đó.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 1
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Sinh ảnh bằng phương pháp Fractal là một trong 3 ứng dụng lớn của lý

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 2
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 3
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
CHO SINH ẢNH FRACTAL
1.1 Các kiến thức toán học cơ bản cho sinh ảnh Fractal:
1.1.1 Giới thiệu:
1.1.1.1 Sự ra đời của Fractal:
Từ hơn 2000 năm nay, con người đã quen với việc dùng hình học Ơcơlit
(Euclid) để mô tả hình dạng sự vật hiện tượng. Nhưng công việc đó chỉ thực
sự có ích cho việc mô tả những hình dạng đặc biệt còn đối với rất nhiều hiện
tượng sự vật xảy ra trong tự nhiên nếu chỉ dùng hình học Ơcơlit thì không thể
được mô tả hữu hiệu. Chính vì vậy mà một loại hình học mới ra đời đó là hình
học Fractal “hình học của tự nhiên”. Tuy mới hình thành khoảng cuối thế kỷ
19 đầu thể kỷ 20 nhưng nó đã đem lại một số ứng dụng và cách nhìn nhận mới
trong lĩnh vực toán học.
Sự ra đời của lý thuyết hình học fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ
lực giải quyết cácvấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc
biệt là vật lý và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học fractal được xây
dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâmở những thập niên đầu thế kỷ 20.
Các vấn đề đó bao gồm:
- Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên.
- Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học
Euclide cổ điển.
Năm 1979, nhà toán học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy
kì ảo lên máy tính. Ông đã khám phá ra một lãnh vực hình học mới đầy thú vị
cho phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Euclid.
Tất cả những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như : núi, mây, sông,
nước… nay máy tính đã có khả năng mô tả được bằng phương pháp fractal.

nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về
các độ đo đa Fractal(multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng
các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời
cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự
nhiên.
Bắt đầu là Georg Cantor, nhà toán học Đức (1845 - 1918) đã đưa ra tập
Cantor vào năm 1883 bằng cách đưa ra đoạn [0,1] rồi bỏ khoảng giữa (1/3,2/3)
và lặp lại quá trình này với từng đoạn con. Sau đó là Giuseppe Peano (1890),
David Hilbert (1891), Helge von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916)…đã
đưa ra một loạt các đường cong “lạ” có đặc điểm là tự đồng dạng (mỗi đoạn
nhỏ của đường cong giống như đoạn lớn). Số chiều khác với hình học truyền
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 5
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
thống. Khi mới xuất hiện nó không được các nhà toán học truyền thống đón
nhận và công cụ máy tính chưa phát triển. Nên cho mãi đến giữa thế kỷ 20
Edward Lorenz (trường đại học công nghệ Massachussetts) trong quá trình
xem xét việc dự báo thời tiết ông đã tìm ra các phương trình vi phân mà kết
quả của các phương trình này không ổn định hoặc tuần hoàn, nhận tập giá trị
có thể đoán được và liên tục tới vô cùng nhưng không bao giờ giống nhau.
Đường cong nổi tiếng là tập hút Lorenz. Tiếp theo vào những năm 70 Robert
May đã tìm ra phương trình phát triển dân số:
x
n
-rx
n-1
(1-x
n-1
)
Khi thí nghiệm với giá trị khác nhau của r, May đã tìm ra nguồn chaos.
Cùng với sự phát triển ngày càng tăng của tốc độ máy tính ngày nay ta có thể

một khoảng nhỏ giống như cấu trúc của cả tập.
• Tam giác Sierpinski:
Còn được gọi là miếng đệm Sierpinski được giới thiệu bởi Waclaw
Sierpinski vào năm 1916. Bắt đầu từ một tam giác trong mặt phẳng bỏ đi phần
tam giác ở giữa. Bằng cách nối các điểm giữa của 3 cạnh nhưng không bỏ đi
điểm đó. Phần còn lại là 3 tam giác có kích thước bằng 1/3 tam giác trước.
Thực hiện tương tự với 3 tam giác đó. Lặp lại vô hạn quá trình này ta thu được
tam giác Sierpinski. Tam giác Sierpinski có đặc tính tương tự: phóng to một
phần nhỏ lên ta được chính tam giác Sierpinski.

• Đường cong Von Koch
Helge Von Koch đã giới thiệu đường cong Koch vào năm 1904. Cách
đơn giản để xây dựng đường cong Koch bắt đầu từ một đoạn thẳng chia làm 3
phần bằng nhau. Sau đó thay thế đoạn thẳng ở giữa bằng tam giác đều và bỏ đi
chính đoạn vừa thay thế. Ta thu được một hình gồm 4 đoạn thẳng. Lặp lại quá
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 7
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
trình trên với 4 đoạn thẳng đó vô hạn lần thu được đường cong Koch có đặc
tính tương tự được tạo ra do quá trìh xây dựng.
• Bông tuyết Koch:
Bông tuyết Koch được xây dựng tương tự như trên nhưng khởi đầu là
một tam giác đều, mỗi cạnh sẽ là một đường cong Koch.• Tập Julia:
Xét đa thức x
2
+c trong không gian phức C. Ta xác lập c và chọn giá trị
của x thì tính được x
2

2
+c thì việc lặp còn lại là không
đổi. Cả hai tập này phủ lên những phần của không gian phức. Biên của tập bị
chặn đồng thời là biên của tập thoát. Biên đó chính là tập Julia của c (hoặc
x
2
+c). Tập Julia có cấu trúc lặp với tỷ lệ khác nhau, nó được phủ bằng cách tự
sao lại chính nó nhưng những bản sao này đạt được bởi một biến đổi không
tuyến tính. Đặc tính tự đồng dạng của tập Julia có bản chất khác với tam giác
Sierpinski.
Định nghĩa: Cho f: c→c là đa thức bậc lớn hơn một, F
f
là tập các điểm
trên không gian phức C, quĩ đạo của nó không hội tụ tới điểm vô hạn. Có
nghĩa là tập F
f
được gọi là tập phủ tập Julia kết hợp với đa thức f. Biên của F
f
được gọi là tập Julia của f và kí hiệu là J
f
.

• Tập Mandelbrot:
Xét hệ thống động {C;f
λ
(z)=z
2
+λ}
Tập Mandelbrot:
M={ λ ∈C| J

1
d
1
(x,y) ≤ d
2
(x,y) ≤ c
2
d
1
(x,y) ∀(x,y) ∈ X×X
Định nghĩa 4:
Hai không gian Metric (X
1
,d
1
) và (X
2
,d
2
) là tương đương nếu tồn tại hàm
h: X
1
→X
2
là song ánh sao cho metric d
1
trên X1 được định nghĩa bởi công
thức:
d
1

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 10
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Dãy {x
n
}
n
∞
=1 các điểm trên không gian metric (X,d) được gọi là dãy Cauchy
nếu
∀ ε > 0, ∃ N là số tự nhiên sao cho:
d(x
n
, x
m
) < ε ∀n, m>N
Định nghĩa 7:
Dãy {x
n
}
n
∞
=
1 các điểm thuộc không gian metric(X,d) được gọi là hội tụ
tới điểm x∈X nếu với mọi ε>0, ∃N là số tự nhiên sao cho:
d(x
n
, x) < ε, ∀n<N x được gọi là giới hạn của dãy và: x = lim
n
→∞
x

, d) với d là metric Ơclit.
Định nghĩa 9:
S⊂X là tập con của không gian metric. Điểm x∈X là điểm giới hạn của S
nếu tồn tại dãy {x
n
}
n
∞
=
1 các điểm x
n
∈S\{x} sao cho: Lim
n
→∞
x
n
=x
Định nghĩa 10:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). Bao đóng của S (ký
hiệu:S) được định nghĩa như sau:
S= S ∪{các điểm giới hạn của S}
S là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó : S=
Ví dụ : S = {x=1/n; n=1, 2, } là tập đóng trên ([0, 1], d), d là metric Ơcơlit.
• Tập compact, tập giới nội, tập mở:
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 11
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 11:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). Tập S là compact nếu mọi
dãy vô hạn {x
n

Định nghĩa 14:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). S được gọi là tập mở nếu
với mỗi s∈S ∃ε>0 sao cho B(x, ε)={y∈X:d(x, y)≤ε}⊂S.
1.1.2.2 Không gian Hausdorff (H(x), h):
Phần này trình bày một số khái niệm về không gian Hausdorff là cơ sở
để xây dựng fractal.
Định nghĩa 15:
(X, d) là không gian metric đầy đủ. Ký hiệu H(X) là tập con compact của
X.
Định nghĩa 16:
(X, d) là không gian metric đầy đủ, x∈X và B∈H(X). Khi đó khoảng
cách từ điểm x tới tập B được xác định như sau:
d(x, B) =Min{d(x, y): y∈B}.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 12
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 17:
(X, d) là không gian metric đầy đủ A, B∈H(X) khi đó khoảng cách từ tập
A tới tập B được xác định như sau:
d(A, B)=Max{d(x, B):x∈A}.
Định nghĩa 18:
(X, d) là không gian metric đầy đủ. Khoảng cách Hausdorff giữa các
điểm A, B∈H(X) được xác định như sau:
h(A, B) = d(A, B) ∨ d(B, A)
Định lý:
h là metric trên H(X).
Chứng minh:
+) h(A, B) = d(A, B) ) ∨ d(B, A) = d(B, A) ∨ d(A, B) = h(B, A)
+) A≠B ∈H(X) ⇒ có thể tìm được a∈A, a∉B :
d (a, B) > 0 ⇒ h (A, B) ≥ d(a,B) > 0
+) h (A, A) = d(A, A)∨d(A, A) = d(A, A) = Max{d(a, A):a∈A} = 0

1 là dãy vô hạn các số nguyên 0 < n
1
< n
2
< n
3
<
Giả sử có dãy Cauchy {x
nj
∈ A
nj
; j=1, 2, } trong (X, d) thì tồn tại dãy
Cauchy {x
n
∈A
n
; n≥1} sao cho: x
nj
= x
nj
∀j = 1, 2, 3,
Định lý: (Về tính đầy đủ của không gian fractal)
(X, d) là không gian metric đầy đủ thì (H(X), h) cũng là không gian
metric đầy đủ. Hơn nữa nếu {A
n
∈H(X)}
n
∞
=1 là dãy Cauchy thì A= lim
n

Biến đổi f: X→ X trên không gian metric (X, d) được gọi là co hay ánh
xạ co nếu tồn tại hằng số 0 ≤ s < 1 sao cho:
d(f(x), f(y)) ≤ s.d(x, y) ∀x, y∈X.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 14
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
khi đó s được gọi là hệ số co của f.
Định lý: (định lý ánh xạ co)
f: X→X là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (X, d). Thì f có
điểm cố định duy nhất x
f
∈X, ∀x∈X dãy {f
on
(x) : n=0, 1, 2, } hội tụ tới x
f
tức là:
lim
n
→∞

f
on
(x) = x
f
đối với mỗi x∈ X .
Bổ đề 1:
Cho không gian metric (X, d) và ánh xạ w từ X lên chính nó. Nếu
w:X→X là ánh xạ co trên (X, d) thì w liên tục.
Bổ đề 2:
w: X→X là ánh xạ liên tục trên không gian metric (X, d) thì w là ánh xạ
từ H(X) vào H(X).

N}.
1.1.3.2 Hệ hàm lặp IFS (Interated Function System):
Định nghĩa 21:
Một hệ hàm lặp bao gồm không gian metric đầy đủ (X, d) cùng với tập
hữu hạn các ánh xạ co w
n
:X→X với hệ số co tương ứng s
n
, 0≤s
n
<1, với n=1, 2,
, N.
Ký hiệu: {X;w
n
, n=1, 2, , N} và hệ số co của nó s= Max{s
n
:n=1, 2, , N}.
Định lý IFS:
Xét một IFS {X;w
n
, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp (hyberbol) với hệ số co
s, 0≤s
n
<1. Thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:
)( = W(B)
N
1=n
Bw
n


là tập cô đọng.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 16
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 24:
Cho {X;w
n
, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol với hệ số co 0≤s<1.
Nếu w
0
:H(X)→H(X) là một biến đổi cô đọng thì {X;w
n
, n=0, 1, 2, , N} là hệ
hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co s.
Định lý:
Cho {X;w
n
, n=0, 1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co
s thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:
∀B∈H(X)
là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (H(X), h(d)) với hệ số co s. Khi đó:
h(W(B), W(C)) ≤ s.h(B, C) ∀B, C ∈H(X)
điểm cố định duy nhất A ∈H(X) thỏa mãn:
A = W(A) = w
n
n=0
N
( )A

trong đó A=lim
n

Tập A và A
0
cho trước A, A
0
∈H(X), hệ w
0
, w
1
, , w
n
tạo thành hệ IFS
hyperbol thì: h(A, w(A
0
)∪w
2
(A
0
)∪ ∪ )≤ ε/(1-s). Nếu đầu tiên tập xuất A
0
phát khác tập cho trước A là ε thì sau lần lặp sẽ khác là ε/(1-s). Ý nghĩa của
định lý cắt dán nhằm đánh giá sự hội tụ của thuật toán lặp.
1.2 Số chiều Fractal:
Fractal "to" bao nhiêu? Khi nào hai fractal tương tự nhau theo một nghĩa
nào đó? Làm thế nào để có thể nói liệu hai fractal khác nhau có tương đương
về mặt metric hay không? v v và v v
Có nhiều đại lượng khác nhau liên quan đến fractal mà chúng ta có thể
dùng để so sánh các fractal với nhau. Các đại lượng này gọi chung là các
chiều fractal. Chúng dùng để đánh giá về việc fractal trù mật ra sao trong
không gian metric mà nó trú ngụ. Như vậy số chiều fractal là cách để so sánh
các fractal với nhau.

phủ toàn bộ tập A, họ này được gọi là một phủ mở của tập A. Do A là
compact nên từ phủ mở này có thể lấy ra được một phủ mở hữu hạn, tức là
phủ mở gồm một số hữu hạn, chẳng hạn, gồm M hình cầu mở. Lấy bao đóng
mỗi một hình cầu mở trong số này, chúng ta thu được một phủ của tập A gồm
M hình cầu đóng. Kí hiệu C là tập các phủ của A mà gồm nhiều nhất là M
hình cầu đóng bán kính ε. Khi đó tập C có ít nhất một phần tử. Giả sử
f:C→{1, 2, , M} được xác định bởi qui tắc: f(c)=số lượng các hình cầu trong
phủ c∈C. Thế thì {f(c); c∈C} là một tập hữu hạn các số nguyên dương, và do
đó tập này chứa số nguyên nhỏ nhất N(A, ε).
Về mặt cảm tính thì số chiều fractal có thể hiểu như sau: tập A có chiều
fractal là D nếu như:
N(A, ε) ≡Cε
-D
,
Với hằng số C nào đó. Trong diễn giải trên chúng ta cần hiểu kí hiệu ≡
theo nghĩa sau: với f(ε) và g(ε) là các hàm số thực của biến dương ε, thì f(ε) ≡
g(ε) có nghĩa là
.
Nếu chúng ta muốn tìm D từ công thức trên thì sẽ có kết qủa
.
Để ý rằng đại lượng log C/log(1/ε) tiến tới 0 khi ε tiến tới 0. Điều này
dẫn tới khái niệm sau đây.
Định nghĩa.
Giả sử A∈H(X), trong đó (X, d) là không gian metric. Với mỗi ε>0 kí
hiệu N(A, ε) là số nguyên nhỏ nhất các hình cầu đóng bán kính ε cần thiết để
phủ tập A. Nếu
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 19
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
tồn tại, thì D được gọi là chiều fractal của tập A. Trong những trường hợp cần
thiết, chúng ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu D thay cho D(A) để chỉ rõ rằng "tập A

,
n=1, 2, , với 0<r<1 và C>0. Nếu
D
N A
n
n
=
→∞
lim
log ( , )
log /
ε
ε
1
, thì A có số
chiều fractal bằng D.
Định lý (Đếm hộp)
Cho A∈H(R
m
), trong đó sử dụng metric Ơcơlit. Phủ R
m
bằng các hộp
kề nhau cạnh 1/2
n
. Giả sử N
n
(A) là số các hộp có giao không rỗng với điểm
hút. Nếu
D
N A

4
(A)=256, , N
n
(A)=4
n
.
Từ định lý trên suy ra
.
Ví dụ
Xét tam giác Sierpinski trong không gian R
2
với metric Ơcơlit, kí hiệu là
S. Chúng ta có thể kiểm tra rằng
N
1
(S)=3, N
2
(S)=9, N
3
(S)=27, N
4
(S)=81, , N
n
(A)=3
n
.
Từ định lý trên suy ra
.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 21
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống

)).
Ví dụ
Xét tập Cantor C nhận được từ đọan [0, 1] với việc vứt bỏ "đọan một
phần ba ở giữa". Kí hiệu
∼
C
là tập Cantor "sống" trong đọan [0, 3] bằng cách
bỏ đi "đọan một phần ba ở giữa". Khi đó, từ định lý trên suy ra hai tập này có
cùng số chiều fractal. Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng phương
pháp đếm hộp.
Ví dụ
Xét A là tập compact không rỗng của R
2
. Giả sử A có số chiều fractal là
D
1
nếu tính theo metric Ơcơlit và có số chiều fractal D
2
nếu tính theo metric
Manhattan. Khi đó D
1
=D
2
.
1.2.1 Xác định trên lý thuyết số chiều Fractal:
Định nghĩa sau đây là sự mở rộng của định nghĩa ở mục trước. Nó cho
phép xác định số chiều fractal đối với lớp rộng hơn các tập hợp.
Định nghĩa:
Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ. Giả sử A∈H(X) và kí hiệu N(ε)
là số nhỏ nhất các hình cầu bán kính ε cần thiết để phủ A. Nếu

Giả sử D(A) và D(A∪B) là số chiều fractal của tập A và tập A∪B. Giả
thiết rằng D(B)≤ D(A). Khi đó D(A∪B)=D(A).
Sau đây là một định lý rất tuyệt vời cho phép chúng ta thu được số chiều
fractal của điểm hút của một lớp các hệ hàm lặp IFS quan trọng.
Định lý:
Cho {R
m
; w
1
, , w
N
} là hệ hàm lặp IFS hypecbolic và kí hiệu A là điểm
hút của IFS này. Giả sử rằng w
n
có hệ số co là s
n
, với mọi n=1, , N. Nếu như
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 23
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
IFS là không liên thông toàn phần thì điểm hút sẽ có số chiều fractal D(A)
được tính theo công thức: là nghiệm duy nhất của bài toán
Nếu như IFS là lặp thì
D
≥D(A), trong đó
D
là nghiệm duy nhất của bài
toán
1.2.2 Xác định trong thực nghiệm số chiều Fratal:
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét cách xác định về mặt thực nghiệm số
chiều fractal của các tập hợp trong thế giới vật lý. Chúng ta mô hình hóa

khối lượng thay đổi với kích thước L như thế nào. Nếu chúng ta xét một phần
nhỏ của hệ có kích thước bL (b<1), thì M(bL) giảm đi bởi tỉ lệ với b
d
, tức là
M(bL)= b
d
M(L) (1.3)
Lời giải phương trình hàm (3.1) đơn giản M(L)=AL
d
.
Đối với thanh kim loại dài thì khối lượng thay đổi theo chiều dài tỉ lệ với
b, tức là d=1. Đối với các bản kim loại mỏng ta nhận được d=2 và đối với hình
lập phương thì d=3.
Tiếp theo chúng ta xét các đối tượng fractal. Ở đây chúng ta phân biệt
giữa fractal xác định và fractal ngẫu nhiên. Fractal xác định đựoc tạo ra bằng
cách lặp theo một cách thức xác định, trong khi fractal ngẫu nhiên được tạo ra
bằng cách sử dụng qúa trình nghiên cứu fractal xác định mà ở đó các tính chất
fractal có thể được xác định chính xác. Bằng cách nghiên cứu fractal tiền định
người ta lại có thể tìm ra tính chất của fractal ngẫu nhiên.
1.2.3 Các Fractal xác định:
Chúng ta mô tả một số ví dụ về fractal xác định và sử dụng chúng để
giới thiệu các khái niệm fractal như fractal và số chiều lý hóa, sự tự đồng
dạng, rẽ nhánh và các cấu trúc con (đường đi tối thiểu, đường kính mở rộng,
xương, và mối liên kết).
• Đường cong Von Koch
Một trong những fractal xác định phổ biến nhất là đường cong Koch.
Chia đường thẳng ra n phần (thông thường n=3 ), phép lặp đầu tiên của đường
cong fractal. Đối với mỗi phép lọc độ dài đường cong tăng lên 4/3 lần. Fractal
tóan học là giới hạn của các phép lặp khi n→∞, ở đây độ dài tổng thể của
đường cong tiến tới ∞.