GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS. Lê Hoàn Hóa
Ngày 21 tháng 12 năm 2004
KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt)
5 Không gian mêtric đầy đủ
5.1 Định nghĩa
Cho (X, d) là không gian mêtric và (x
n
)
n
là dãy trong X.
Dãy (x
n
)
n
là dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n  n
0
, ∀p ∈ N thì d(x
n+p
, x
n
) < ε.
Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều
hội tụ.
Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0, 1] với mêtric d(x, y) = max{|x(t)−y(t)| :
t ∈ [0, 1]}. Cho (x
n

với mọi n ∈ N.
Thí dụ:
1) R
n
với mêtric d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
là không gian mêtric đầy đủ.
2) X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b] với mêtric d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| :
t ∈ [a, b]} là không gian mêtric đầy đủ.
3) l
p
= {x = (x
n
)
n
:

∞
1
|x

5.2 Định nghĩa
Cho (X, d) là không gian mêtric, D là tập hợp con khác rỗng của X. Với x, y ∈ D đặt d
D
(x, y) =
d(x, y). Khi đó d
D
là mêtric trên D và (D, d
D
) là không gian mêtric con của (X, d).
8
Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và D ⊂ X. Khi đó:
D là không gian mêtric đầy đủ ⇔ D là tập đóng
Thật vậy, giả sử (D, d
D
) là không gian mêtric đầy đủ, (x
n
)
n
là dãy trong D, lim
n→∞
x
n
= x.
Ta chứng minh x ∈ D.
Do (x
n
)
n
là dãy trong (X, d) hội tụ về x nên (x
n

D
). Do (D, d
D
) là không gian mêtric đầy đủ nên (x
n
)
n
hội tụ trong (D, d
D
) và do giới hạn duy nhất nên lim
n→∞
x
n
= x ∈ D. Vậy D là tập đóng.
Ngược lại, giả sử D là tập đóng. Cho (x
n
)
n
là dãy cơ bản trong (D, d
D
). Do d
D
(x
n+p
, x
n
) =
d(x
n+p
, x

đủ.
Từ kết quả trên ta có thể thí dụ về không gian mêtric không đầy đủ. Do R
n
với mêtric
d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
là không gian mêtric đầy đủ, lấy D là một tập hợp con khác rỗng,
D không là tập đóng trong R
n
. Khi đó không gian mêtric con (D, d
D
) không là không gian
mêtric đầy đủ.
5.3 Ánh xạ co
Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X thỏa mãn điều kiện: có hằng số 0  k < 1
sao cho:
d(f(x), f(y))  k d(x, y), ∀x, y ∈ X
(f được gọi là ánh xạ co hệ số k) Khi đó có duy nhất x
0
∈ X sao cho f (x

(x))  . . .
 k
n
d(x, f
p
(x))  k
n

d(x, f(x)) + d(f(x), f
2
(x)) + · · · + d(f
p−1
(x), f
p
(x))

 k
n
(1 + k + · · · + k
p−1
)d(x, f(x)) = k
n
1 − k
p
1 − k
d(x, f(x))
Vậy d(x
n
, x
n+p

n→∞
x
n
= x
0
= f (x
0
).
Giả sử f (x
0
) = x
0
, f(y
0
) = y
0
. Do d(x
0
, y
0
) = d(f(x
0
), f(y
0
))  k d(x
0
, y
0
) nên x
0

n+p
, x
n
) < ε/2 và có k
0
∈ N
sao cho với k  k
0
thì d(x
n
k
, x) < ε/2. Đặt m = max{n
0
, n
k
0
}. Với n  m, chọn k  k
0
sao cho
n
k
> n
0
, khi đó:
d(x
n
, x)  d(x
n
, x
n

2
) = d
X
(x
1
, x
2
) + d
Y
(y
1
, y
2
). Chứng minh (Z, d) là không gian mêtric
đầy đủ ⇔ (X, d
X
), (Y, d
Y
) là các không gian mêtric đầy đủ.
Hướng dẫn: Cho z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N là dãy cơ bản trong Z. Do d(z
n+p
, z
n
)

là dãy cơ bản trong X, Y .
Đặt z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N thì (z
n
)
n
là dãy cơ bản trong Z. Do Z là không gian mêtric đầy
đủ nên có z = (x, y) ∈ Z sao cho lim
n→∞
d(z
n
, z) = 0. Khi đó: lim
n→∞
d
X
(x
n
, x) = 0 và
lim
n→∞
d
Y
(y
n
, y) = 0. Vậy

y ∈ Y sao cho lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y. Đặt z = (x, y), ta có:
lim
n→∞
d(z, z
n
) =

lim
n→∞
d
X
(x, x
n
) + lim
n→∞
d
Y
(y, y
n
)

= 0

với mêtric d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
và A ⊂ R
n
. Khi đó:
A là tập compact ⇔ A là tập đóng, bị chặn.
10
Bài tập
1) Cho (X, d
X
), (Y, d
Y
) là không gian mêtric, Z = X × Y với mêtric d(z
1
, z
2
) = d
X
(x
1

n
là dãy trong B. Đặt
z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N, là dãy trong A × B là tập compact nên có dãy con z
n
k
= (x
n
k
, y
n
k
), k ∈ N
sao cho lim
k→∞
z
n
k
= z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó
lim
k→∞
d(z, z
n
k
) = lim

n
), n ∈ N là dãy trong A × B. Do A
là tập compact, (x
n
)
n
là dãy trong A nên có dãy con (x
n
k
)
k
thỏa lim
k→∞
x
n
k
= x ∈ A. Do B
là tập compact, (y
n
k
)
k
là dãy trong B nên có dãy con (y
n
k
i
)
i
thỏa lim
i→∞

X
), (Y, d
Y
) là các không gian mêtric compact.
2) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A
n
, n ∈ N là tập đóng, A
n+1
⊂ A
n
. Giả sử

∞
1
A
n
= ∅. Chứng minh rằng có n
0
∈ N sao cho A
n
0
= ∅.
Hướng dẫn: Giả sử A
n
= ∅, ∀n ∈ N. Với mỗi n ∈ N lấy x
n
∈ A
n
. Do A
n+p

)
ki
⊂ A
i
nên
x ∈ A
i
. Vậy x ∈

∞
1
A
i
, mâu thuẫn giả thiết

∞
1
A
i
= ∅. Vậy, có n
0
∈ N sao cho A
n
0
= ∅.
Ghi chú: Bài tập 2) có thể phát biểu tương đương như sau:
2’) Cho (X, d) là không gian mêtric, A
n
, n ∈ N, là tập compact, A
n+1

7.1 Định nghĩa
Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y . Ta nói
• f liên tục tại x ∈ X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x

∈ X, d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε.
11
• f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Do đó
f liên tục trên X ⇔ ∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x

∈ X,
d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε
• f liên tục đều trên X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x

∈ X, d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε.
• f là đồng phôi nếu f là song ánh, f liên tục và ánh xạ ngược f
−1
là liên tục.
7.2 Tính chất

k
)
k
hội tụ, đặt x = lim
k→∞
x
n
k
. Do f liên tục tại x nên lim
k→∞
f(x
n
k
) = lim
k→∞
y
n
k
= f (x) ∈ f(X)
Vậy f(X) compact trong Y .
3) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, f : X → R liên tục. Khi đó, f đạt cực đại, cực
tiểu trên X nghĩa là có x
1
, x
2
∈ X sao cho:
f(x
1
) = max{f(x) : x ∈ X} , f(x
2

X
(x, δ) ⊂ f
−1
(B). Vậy f
−1
(B) là mở.
b)⇒a) Với x ∈ X và ε > 0, do f
−1
(B
Y
(f(x), ε)) là tập mở chứa x nên có δ > 0 sao cho:
B
X
(x, δ) ⊂ f
−1
(B
Y
(f(x), ε))
Suy ra
f (B
X
(x, δ)) ⊂ B
Y
(f(x), ε)
12