Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
1
Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số

n
u
có giới hạn 0, kí hiệu

n
lim u 0
(hay
n
limu 0
), nếu với
mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở
đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó.
b. Tính chất:

n
11
lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1
n
n


nn
limu L lim u L 0

b. Các định lí:
Cho (u
n
) mà u
n
= c, n :
n
limu c

limu
n
= L
n
3
3
n
lim| u | | L|
lim u L










(2)
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1q
S u u q u q u q u . ;
1q



n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1q
S u u q u q u q limS limu . ;

limu

n
limvnn
lim u .vn
limu

n
limvnn
lim u .v












Quy tắc chia
n
limu L 0
có dấu
nn
limv 0,v 0
có dấu
n
n
u
lim
vNguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
2
+

. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là
số thực L, kí hiệu

0
xx
lim f x L


, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
), nếu với mọi dãy số

n
x

trong tập

0
a;b \ x
mà
n0
limx x
, ta đều có

n
limf x L


x
lim f x L


, nếu với mọi dãy số

n
x
trong khoảng

a;
mà
n
limx
, ta đều có

n
limf x L

3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử

0
xx
lim f x L


và


lim k.f x k.L k



0
xx
fx
L
lim M 0
g x M



b. Định lí 2: Giả sử

0
xx
lim f x L


. Khi đó: 0

xx
lim f x L


.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp

0
J \ x
. Khi đó:



0
00
0
xx
x x x x
x J \ x :g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L







mà
n0
limx x
, ta đều có

n
limf x L
.
Giả sử hàm f xác định trên khoảng

00
a;x ,x
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là
số thực L khi x dần đến x
0
, kí hiệu:

0
xx
lim f x L



, nếu với mọi dãy số

n
x
trong khoảng

0


Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
3
00
x x x x
1
lim | f x | lim 0
fx



5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân

b. Quy tắc chia

0
xx
lim f x
0
0
xx
fx
lim
gx


+
+
+






+




fx
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
gx



khi
0 0 0
x x ;x x ;x x ;x ;x


ta gặp các
dạng vô địn, kí hiệu
0
, ,0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đ-ợc các định lí về giới hạn cũng
nh- các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là
phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Ph-ơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm:
2
3
2

2
2
31
2
2n 3n 1 2
n
n
lim lim 2
2
1
n2
1
n







Ví dụ 3: Tìm:


2
lim n 1 n 1

Giải:


2






(1);

n n n
n
nn
v u w , n
limu L
limv limw L L








(2)
Ví dụ: Chứng minh:

n
1 cosn
lim 0
n



in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
4
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chứng minh dãy số

n
u
cho bởi

n
1
u
n n 1


có giới hạn.
Giải:
Ta có


n1
n
n n 1
u

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng công thức:
1
u
S ,| q | 1
1q



Ví dụ: Tính tổng
2n
1 1 1
S 1
2
22


Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q1
2

và
1
u1
. Vậy:
1
u
1
S2

lim lim
31
3n 1
n
n






Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
n
n n n




và

*
3
31
0n
n
n


43
43
n2
2
2n 4n 3
nn
nn
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n3
n
n


















Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x0
1
lim x.sin
x




.
Giải:
Xét dãy

n
x
mà
n
x 0, n
và
n
limx 0
. Ta có:

n n n
n
1



Giải:
Ta có:


22
2
22
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1
x
lim x x 1 x lim lim lim
2
11
x x 1 x x x 1 x
11
xx







Ví dụ 3: Tính:







(Chú ý: khi
x
là ta xét x < 0, nên
2
xx
)
Dạng 7: Chứng minh

0
xx
lim f x 0


(Hoặc bằng L)
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp

0
J \ x
. Khi đó:



Giải:
Ta luôn có:

2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x



2 2 2 2 2
22
4 4 4 4 4
x x x x x x x
44
11
x x x x x sin x
xx
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
11
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
11
xx




.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên


2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1



(1)

3
x 1 x 1
lim f x lim x 1



(2)
Từ (1) và (2) suy ra

x1
lim f x 1



Ví dụ 2: Cho hàm số

1

limf x


Giải:
a.

x 2 x 2
11
limf x lim
x 1 3




b.

x1
limf x
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
6
Ta có:

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2

lim f x L


)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Ph-ơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x
lim 4x 1



Giải:
22
22
x x x
11
lim 4x 1 lim x 4 lim | x |. 4
xx






Vì
x
lim | x |


Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
xx

Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho l-ợng
liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x2
x 9x 14
lim
x2




Giải:


2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7
x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2










Giải:




2
33
3
3
3
x 1 x 1 x 1
22
33
33
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4



x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
3
x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3







Ví dụ 5: Tìm:
3
x1
x 3x 2
lim
x1




Giải:














Ví dụ 6: Tìm:
4
3
x1
x 2 1
lim
x 2 1




Giải:
Đặt
12 12
12
t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1 đó thì
. Do đó:


x 7 x 3
lim
x1




Giải:
3
33
x 1 x 1 x 1
3
2
x1
33
2
x1
3
3
x 7 2 x 3 2
x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 7 2 x 3 4










2. Khi tìm giới hạn dạng x
Px
lim
Qx

, ta l-u ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:
x
1
lim 0
x




x
x







Ví dụ 2: Tìm:
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x




Giải:
2
2
xx
11
13
x x 1 3x 1 3 4
x
x
lim lim
2

2
31
81
8x 3x 1 x 8 1
x
x
lim lim 1
1 2 4 3
4x x 2 3x
43
x
x








C. Bài tập tự luận
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
8
1.
2
2
x3


4.
4 3 2
4 3 2
x1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1




5.
3
4
x1
x 3x 2
lim
x 4x 3




6.
32
42
x2
x 2x 4x 8
lim
x 8 x 16




2. Tìm các giới hạn hàm số sau:
1.
x2
x2
lim
3 x 7




2.
x1
2x 7 3
lim
x 3 2




3.
2
x0
1 x 1
lim
x





7.

3
2
3
2
x1
x 2 x 1
lim
x1




8.
3
x0
x1
lim
x1




9.
x2
x 2 x 7 5
lim

x1




13.
22
2
x3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3




14.
x0
x 9 x 16 7
lim
x



15.
3
2
3
2
x1

x0
1 x 1 x
lim
x



4.
3
2
x2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2




5.
3
32
x1
7 x 3 x
lim
x1




6.

4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
32
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3




2.
2
2
x
x x 1
lim
2x x 1




3.


23
32
x
2x 3 4x 7

6.
x
5x 3 1 x
lim
1x




5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
22
x
lim x x 1 x x 1





2.

2
x
lim 2x 5 4x 4x 1





3.






7.
3
32
x
lim x 2 x 1





8.
3
23
x
lim x 4x 5 8x 1



D. Bài tập trắc nghiệm
Dãy số có giới hạn 0
1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.

5
3




d.
n
4
3





3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.

n
0,909
b.

n
1,012
c.

n
1,013
d.


. Khi đó L bằng

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
9
a.
1
5

b.
1
4

c. 1 d. 0
6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
2n
b.
1
n
c.
n
4
3



d.



8. Cho
nn
n
n
25
u
5


. Khi đó limu
n
bằng
a. 0 b. 1 c.
2
5
d.
7
5

9. Gọi
cos2n
L lim 9
n

thì L bằng số nào sau đây?
a. 0 b.
3
c. 3 d. 9
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn

, , , , ,
3 9 27
3



là
a.
1
4
b.
1
2
c.
3
4
d. 4
12. Tổng của cấp số nhân vô hạn

n1
n1
1
1 1 1
, , , , ,
2 6 18
2.3





3

b.
2
3
c.
3
2
d. 2
Dãy số có giới hạn vô cực
14. Kết quả

3
L lim 5n 3n
là
a.

b. 4 c. 6 d.


15. Biết

2
L lim 3n 5n 3
thì L bằng
a.

b. 3 c. 5 d.



bằng
a.
2
5
b.
1
2
c. 0 d.


19.
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1


bằng
a. 0 b.

c.
3
4
d.
2
7Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong

3
4

b. 0 c.
5
4
d.
3
4

22.
3
2
2n 3n
lim
4n 2n 1


b»ng
a.
3
4
b.
5
7
c. 0 d.


23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ


u 3n n
d.
23
n
u n 4n  

25.
2
4n 5 n 4
lim
2n 1
  

b»ng
a. 0 b. 1 c. 2 d.


26. KÕt qu¶
 
lim n 10 n
lµ
a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0
27. KÕt qu¶
2
2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3



b»ng bao nhiªu?
a.
1
L8
b.
1
L8
c.
3
1
L2
d.
3
1
L8

30.
2n 3
lim
2n 5


b»ng
a.
5
7
b.
5
2
c. 1 d.

3
nn
lim
6n 2


b»ng
a.
1
6
b.
1
4
c.
3
2
6
d. 0
34.


22
limn n 1 n 3  
b»ng bao nhiªu?
a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1
35.
n sin 2n
lim
n5


c.
2
2
1 2n
5n 3n


d.
2
n
2
n2
u
5n 3n




37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n



b.

9n 7n
u
nn



b.
n
2007 2008n
u
n1



c.
2
n
u 2008n 2007n
d.
2
n
u n 1

39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4

3
2n 3
lim
2n 4


b.
3
2
2n 3n
lim
2n 1


c.
24
32
2n 3n
lim
2n n


d.
3
2
3 2n
lim
2n 1



2
3 2n
lim
2n 1



42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n



b.
n
1 2n
u
5n 5



c.

b.
71
c.
7
2
d. 0
44. Gọi


22
L lim n n 2 n 4




. Khi đó L bằng
a.

b. 6 c. 3 d. 2
45.
2
4n 1 n 2
lim
2n 3


bằng
a. 1 b.
3
2

23
n
32
n 3n
u
9n n 1



b.
2
n
2
2n n
u
3n 5



c.
43
n
32
n 2n 1
u
3n 2n 1



d.

a.
2
b. 5 c. 9 d. 10
53.
2
x1
x 3x 2
lim
x1



bằng
a.
1
b. 1 c. 2 d.


54.
32
x1
3x x 2
lim
x2



bằng

Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong


d.
2
3


56.
25
4
x1
3x x
lim
x x 5



b»ng
a.
4
5
b.
4
7
c.
2
5
d.
2
7


2x 3x 2



b»ng
a.
1
12

b.
1
7

c.
2
7

d.


59.
3
2
x2
xx
lim
x x 1




x1
lim
x 3 2



b»ng
a. 0 b. 1 c.
3
1
42


d.
2
3


62.
4 3 2
4
x
2x x 2x 3
lim
x 2x

  

b»ng
a.

5x 3x 2



b»ng
a.
2
5

b.
3
5
c.

d.


65.
45
46
x
3x 2x
lim
5x 3x 2



b»ng
a.


42
2
x2
x 4x 3
lim
7x 9x 1



b»ng
a.
1
15
b.
1
3
c.
35
9
d.
Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
13
68.
42
2
x1

a.
1
2
b.
1
6
c. 0 d.


70.
3
2
x1
1x
lim
3x x




b»ng
a. 1 b. 0 c.
1
3
d.


71.
x1
x2

a.

b. 2 c. 1 d.


73.
3
2
x2
x 2x 3
lim
x 2x




b»ng
a.

b.
1
8
c.
9
8

d.


74.

lµ
a.
1
b. 0 c. 1 d.


76. Cho hµm sè:
 
2
x 3x 1 x 2
fx
5x 3 x 2

  




víi
víi
. Khi ®ã
 
x2
lim f x


b»ng:
a. 11 b. 7 c.
1
d.

2 x 3
x1
x1
y f x
1
khi x 1
8
khi












. Khi ®ã
 
x1
lim f x


b»ng
a.
1
8

lim f x


b»ng
a. –1 b. 0 c. 1 d.


80. Cho hµm sè
 
2
2x
x1
1x
fx
3x 1 x 1
víi
víi









. Khi ®ã
 
x1
lim f x

L
2

b.
1
L
4

c.
1
L
4

d.
1
2


82. Cho
2
2
x2
x4
L lim
2x 3x 2




. Khi ®ã

b»ng
a.

b.
3
2
c.
1
2
d.
1
2


84.
2
x2
x 12x 35
lim
x5



b»ng
a.

b. 5 c.
2
5
d.

x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2


  
b»ng
a.
2
3
b.
2
3

c.
1
2
d.
1
2


87.
 
x
lim x 1 x 3

  
b»ng

lim x x 2 x


b»ng
a.

b. 2 c. 1 d. 0
90.
4
t1
t1
lim
t1



b»ng
a.

b. 4 c. 1 d.


91.
44
ta
ta
lim
ta



d.
4
3

93.
25
4
x
3x x
lim
x 6x 5



b»ng
a.

b. 3 c. –1 d.


94.
2
x
4x 1 x 5
lim
2x 7

  

b»ng




bằng
a.

b. 1 c.
2
3
d.
2
3


97.
2
x5
x 2x 15
lim
2x 10



bằng
a. 8 b. 4 c.
1
2
d.




d.


100.
45
4
x
3x 2x
lim
5x x 4



bằng
a.
2
5

b.
3
5
c.

d.


101.
3
2




bằng
a.
2
3

b.
1
3

c. 0 d.
1
3

104.
3
2
x
2x x
lim
x2



bằng
a.

b. 1 c. 2 d.

107.
2
x1
2 x 3
lim
1x



bằng
a.
1
4
b.
1
6
c.
1
8
d.
1
8


108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đ-ợc một khẳng định đúng.
Cột trái

Cột phải
1.
2

3.
2
x5
x 2x 15
lim
3x 15



b»ng

c)
3
2

4.
2
x5
x 3x 10
lim
2x 10



b»ng

d)
8
3