Các bài tập hàm số liên tục Page 1 9/4/2014
CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
•
Phương pháp :
)()(lim afxf
ax
=
→

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
a.
1)²3³(lim
1
−=+−
→
xxx
x
b.
0)²(lim
0
=−
→
xx
x
c.
3)1²(lim
2
=−
−→
x

– Nếu
0)( =aQ
và
0)( ≠aP
thì
∞=
→
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
– Nếu
0)( =aQ
và
0)( =aP
thì
)(
)(
lim
xQ
xP
ax→
có dạng
0
0
tính
)(
)(

x
x
2.
∞=
−
+
→
3
1²
lim
3
x
x
x
3.
1)2(lim
3
)2)(3(
lim
3
65²
lim
333
=−=
−
−−
=
−
+−
→→→

xx
x
xxx
5.
2
1
1
12
lim
)1)(1(
)12)(1(
lim
1²
13²2
lim
111
=
−
+
=
−+
++
=
−
++
−→−→−→
x
x
xx
xx

xx
xx
xxx
7.
32)4²)(2(lim
2
)4²)(2)(2(
lim
2
16
lim
22
4
2
=++=
−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
8.
5
7

)²2(
23²
lim
222
x
x
x
xx
x
xx
xxx
1
Các bài tập hàm số liên tục Page 2 9/4/2014
10.
3
4²
8³
lim
2
=
−
−
→
x
x
x
11.
∞=
−
++−

x
xxx
xx
xx
xx
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
•
Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức
liên hợp
Cần nhớ :
•
a – b =
))(( baba −+

•
a – b =
)².²)((
333333
bbaaba ++−
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
)1²1(
)1²1)(1²1(
lim
1²1
lim
00

lim
2
321
lim
44
+−++
+++−+
=
−
−+
→→
xxx
xxx
x
x
xx
3
4
)321).(4(
)2).(4.(2
lim
²)2).(321(
)2²).(321(
lim
44
=
++−
+−
=
−++

)314).(2)(1(
lim
2
=
++−
++−+
=
→
xxx
xxx
x
4.
2
111
lim
0
=
−−
→
x
x
x
5.
1
23²
1
lim
1
−=
−+

3
2
23²
1
lim
3
1
−=
−+
+
−→
x
x
x
8.
2.2
3
)1²).(1).(21(
1²).(21).(21(
lim
1
21
lim
333
33
1
3
1
=
++−++

lim =
−
+−
∞→
x
xx
x
2.
1
)5)(2(
1²
lim =
−+
−
∞→
xx
x
x
3.
∞=
−
++−
∞→
2²
1³
lim
x
xx
x
4.

x
xxx
x
=
5
3
7.
∞=
+
−+
∞→
72
1²
lim
3 5
x
xx
x
8.
4
1²4
32²
lim =
−+
++
+∞→
xx
xx
x
9.

thừa lớn nhất
– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định
∞−∞
bằng cách nhân thêm
lượng
biểu thức liên hợp
•
Cần nhớ : x
→
+
∞
thì x =
²x
x
→
–
∞
thì x = –
²x
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
3
Các bài tập hàm số liên tục Page 4 9/4/2014
1.
2
²
11
1
4
1
²

)3²(
)3²)(3²(
lim)3²(lim
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+−
−+−++−
=++−
−∞→−∞→
xxx
xxx
x
−+−
−+−
=
−∞→
3²
²3²
lim
2
1
)1
²
31
1(
)
3
1(

=−−
+∞→+∞→+∞→
4²
4
lim
4²
)4²)(4²(
lim)4²(lim
=
2
)1
4
1(
4
lim −=
+−
−
+∞→
x
x
x
x
4.
1
1
²
lim −=
+
−
−∞→

HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
0
x
:
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính
)(
0
xf
– Tính
)(lim
0
xf
xx→
– So sánh
)(lim
0
xf
xx→
=
)(
0
xf
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :
1.f(x) =
2
1
−
+





≤+
>
−
−−
132
1
1
12²3
xkhix
xkhi
x
xx
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1
Tacó : f(1) = 5
4
1
)13)(1(
lim
1
12²3
lim
11
=
−
+−
=

+−
−
=
2
23²
)2(2
22
xkhi
xx
x
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2
Ta có : f(2) = 2
2
)2)(1(
)2(2
lim
23²
)2(2
lim)(lim
222
=
−−
−
=
+−
−
=
→→→
xx

tại x = 1 )
5.f(x) =





>
−
≤+
1
3²
1
11
xkhi
xx
xkhix
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên
tục tại x = 1 )
5
Các bài tập hàm số liên tục Page 6 9/4/2014
6.







≠

cos1
0
4
1
)(
xkhi
x
x
xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x
= 0 )
8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x
=1
a. f(x) =
1
23²
−
+−
x
xx
Ta có :
1
1
)2).(1(
lim
1
23²
lim)(lim
111

xkhi
x
xx

b. f(x) =
1
1
−x
Ta có :
+∞=
−
=
++
→→
1
1
lim)(lim
11
x
xf
xx

−∞=
−
=
−−
→→
1
1
lim)(lim




≤+
>
−
−−
12
1
1
12²3
xkhiax
xkhi
x
xx

6
Các bài tập hàm số liên tục Page 7 9/4/2014
Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 )
c.f(x) =







≥
+
−

++−
−
=
+−−
=
+=
+
−
+=
−−−
++
→→→
→→
xx
x
xx
xf
a
x
x
axf
xxx
xx
⇒
f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi :
f(0) =
)(lim
0
xf
x

ax
xkhi
xx
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 )
e. f(x) =







=
≠
−−
0
4
1
0
42
xkhi
xkhi
x
x
Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0
Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
f(x) gián đoạn tại x
0
⇔

Tại x = 2 thì f( x ) không xác định
Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
7
Các bài tập hàm số liên tục Page 8 9/4/2014
2. f(x) =





≠
+−
−
=−
2
23²
)1(2
22
xkhi
xx
x
xkhi
f(x) xác định
∀
x
∈
R
{
1;2
}

x
⇒
f(x) không xác định tại x = 2
⇒
f(x) gián đoạn tại x = 2
•
Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2
2
)2).(1(
)1(2
lim
23²
)1(2
lim)(lim
111
−=
−−
−
=
+−
−
=
→→→
xx
x
xx
x
xf
xxx
⇒

24²
−
+−
x
xx
TXD : D = R
{
1
}
Ta có : f(x) =
1
24²
−
+−
x
xx
là hàm hữu tỷ
Vậy f(x) liên tục trên D = R
{
1
}
8
Các bài tập hàm số liên tục Page 9 9/4/2014
3. f(x ) =
2²
12²3
+
++
x
xx

– Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức
– Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (–
∞
; a ) và (
a ; +
∞
) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a
Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1. f(x) =





=
≠
−
+−
2
2
2
65²
xkhia
xkhi
x
xx
•
x
≠
2 thì f(x) =

xx
x
xx
xf
xxx
– Nếu a = –1 thì f(2) =
)(lim
2
xf
x→
nên f(x) liên tục tại x = 2
– Nếu a
≠
1 thì f(2)
≠

)(lim
2
xf
x→
nên f(x ) không liên tục tại x =
2
Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R
a
≠
1 thì f(x) liên tục trên ( –
∞
; 2 ) và ( 2 ; +
∞
)

Các bài tập hàm số liên tục Page 10 9/4/2014
⇒
f(x) liên tục trên khoảng ( –
∞
; 3 )
•
Với x
>
3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức
⇒
f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; +
∞
)
•
Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b
1
3
)4).(3(
lim
3
127²
lim
6)2(lim
33
3
−=
−
−−
=
−

b
≠
– 7 thì
+
→3
lim
x
≠

−
→3
lim
x
nên f(x) không
liên tục tại x = 3
Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R
b
≠
– 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( –
∞
; 3 ) và ( 3 ; +
∞
)
3.f(x) =







•
Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên
[
a ; b
]
– Chứng minh f(a).f(b)
<
0
Ví dụ :
1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0-3f(2).f(1)
1 f(1)
3 f(2)
<=⇒



−=
=
thì
∃
x
1
∈(
1 ; 2
)
: f( x



=
=
thì
∃
x
3
∈(
–1 ;– 2
)
: f( x
3
) 0
Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
2. Chứng minh phương trình : 2x
4
+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm
thuộc
(
-1 ; 1
)
Giải
Đặt f(x) = 2x
4
+ 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0-12f(1).f(0)
3 f(0)
4 f(1)

2
∈(
0 ;– 1
)
: f( x
2
)
= 0
Vậy phương trình : 2x
4
+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc
(
-1
; 1
)
3.Chứng minh phương trình : x
17
= x
11
+ 1 có nghiệm
Giải
Đặt f(x) = x
17
– x
11
– 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0f(0).f(2)
0 f(2)
1- f(0)

nghiệm
( f(1).f( – 2) < 0 )
6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x –
a)( x – b ) = 0
luôn có nghiệm
( f(a). f(b).f(c).f(0)
≤
0 )
11