GIỚI HẠN DÃY SỐ:
lim c =c
0
n
1
lim
k
=
lim n
k
=+
∞
lim q
k
= 0 (|q| <1) lim q
k
= +
∞
(q >1).
Chia tử số cho n mũ cao nhất hoặc đặt n mũ cao nhất, nhân lượng liên hiệp (nếu cần) .
Bài 1: Tính các giới hạn:
1.
2n
1n2
lim
+
+
2.
n4n
1n3
lim

+
+ +
6.
2nn
5n2
lim
2
+−
+
7.
1nn3
n2n
lim
2
2
++
+
8.
2n3
1nn2
lim
3
2
−
++

9.
1n3n
n2
lim

+
13.
4
32
)1n(n
)2n()1n(
lim
−
++
14.
nnn2
3n2n
lim
2
2
−+
++
15.
1nn
3nn2
lim
2
++
+
16.
2
lim
1
n
n n

2
+
−+
22. lim 23.
3
3
2
lim
2
n n
n
+ +
+
24.
3
3
2
1 1
lim
3 2
n
n
+ −
+ −
25. lim
1n
1n3nn
22
+
+++

30.
)2n)(1n(
)n3)(nn2(
lim
++
+

Bài 2: Tính các giới hạn:
1.
( )
1n11n2lim
3
+−
2.
( )
1n21n5lim
3
++−
3.
2nn3
n2n
lim
2
3
−+
−
4.
2n
1n11n2
lim

)
1nnnlim
22
+−+
6.
(
)
2 2
lim 5 1n n n n+ + − −

7.
4n2n
1
lim
22
+−+
8. lim) 9. lim)
10.
(
)
nn2nlim
3 23
−−
11.
( )
3 3
lim 1n n− +
12.
3
3

n n n
− +
+ −
5.
1
2
3 4
lim
3 4
n n
n n
+
+
−
+
6.
1
1
2 6 4
lim
3 6
n n n
n n
+
+
+ −
+
7. lim 8. lim
9. lim 10. lim 11.
163

5.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b) Tính lim (u
n
)
6.Viết các số sau dạng thập phân:
a) 2,1111111 b) 1,030303030303
c) 3,1515151515 d) 0.14232323232…
7. Cho dãy (x
n
) thỏa 0 < x
n
< 1 và x
n+1
(1 – x
n
) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (x
n
) tăng. Tính limx
n

8. Cho dãy (x
n

n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
a) Chứng minh rằng u
n
< 3 ∀ n b)Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
11. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi





−=
−=
+
.6u
3
2
u
,5u
n1n

−→
xx
x

1
14
lim/3
2
2
1
+−
++
→
xx
xx
x1
21
lim/4
3
+
+−
−→
x
xx
x
)2(lim/5
3

−
+
−→
b. .
3x
3x4x
lim
2
3x
−
+−
→
c.
4x
6xx
lim
2
2
2x
−
−+
→
d.
20xx
16x
lim
2
2
4x
−+

+ −
− −
h.
2
2
1
x
2
2x 5x 2
lim
4x 1
→
− +
−
i.
2
2
x 1
2x 3x 1
lim
x 4x 5
→−
+ +
− + +
j.
22xx
2x
lim
2
2

lim
x 2x
→−
−
+
n.
3
2
x 1
x 1
lim
x x
→
−
−
o.
3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 3x 2
→
− − +
− + −
p.
1xxx
2x3x
lim
23

lim
x 4x 3
→
− +
− +
t.
8x
18xx4
lim
3
2
2x
−
−+
→
u.
4 2
2
3
72
lim
2 3
x
x x
x x
→
− −
− −
v.
5

→

Bài 3: Tính các giới hạn:
a.
1x
xx5x4
lim
2
56
1x
−
+−
→
b.
5 6
2
x 1
x 5x 4x
lim
(1 x)
→
− +
−
c.
3 3
h 0
(x h) x
lim
h
→

n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
→
− + −
−
1x
1x
lim
n
m
1x
−
−
→
m,n∈N
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
→
− + −
−





−
−
−
→
3
1x
x1
3
x1
1
lim

)
4x
4
2x
1
(lim
2
2x
−
+
+
−→


2 2
x 2
1 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
→
 
+
 ÷
− + − +
 
Bài 4: Tính các giới hạn:
x4
35x
lim
4x
−
−+
→

x
x1x1
lim
0x
−−+
→

49x
3x2
lim


3x3
2x3x2
lim
1x
+
+−+
−→

3x4x
4x7x2
lim
23
1x
+−
−++
→

1x
xx
lim
2
1x
−
−
→
23x
1x
lim
1x

2x3x
lim
2
3
1x
−
−−
→

1x
x3x3x
lim
32
1x
−
−++
→
a)
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x
→
+ − + +
b)
2
x 7
x 3 2
lim

+ −
− +
f) EMBED Equation.DSMT4
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
→
+ − +
−
g) EMBED Equation.DSMT4
2
2
1
2 3
lim
3 2
x
x
x x
→
− +
− + −
h) EMBED
Equation.DSMT4
3
2
2
lim
8

→
− +
− −
l) EMBED Equation.DSMT4
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
→
− +
+ −

EMBED Equation.DSMT4
2
3
1
2 6 4 1
) lim
2 1
x
x x x
m
x x
→
+ + − +
− +
n) EMBED Equation.DSMT4
4
3 2
x 1

+
+ +
q) EMBED Equation.DSMT4
3
2
x 2
2x 12 x
lim
x 2x
→−
+ +
+
r) EMBED Equation.DSMT4
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
→
+ −
−
s)
EMBED Equation.DSMT4
3
0
1 1
lim
1 1
x
x

→
−
+ −

x) EMBED Equation.DSMT4
3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
(x 1)
→
− +
−
a.
x2
1x21
lim
0x
−+
→
b.
x2
1x21
lim
0x
−+
→

lim
4x
−−
+−
→
g.
2x
3x21
lim
4x
−
−+
→
h.
31x4
2xx
lim
2x
−+
+−
→
i.
3x2
37x2
lim
1x
+−
−+
→
j.

2
3
5x
−
+−
→
n.
x
x11
lim
3
0x
−−
→
o.
x3
x11
lim
3
0x
−−
→
p.
1x
1x
lim
3
1x
−
−

−+
+
−→
33
2x
x8x8
x
lim
+−−
→

1x
2xx
lim
3
35
1x
+
++
−→
1x1
x
lim
3
0x
−+
→

2
3 2

2x
−
+−−
→

4x
2x6x
lim
2
3
2x
−
+−+
→

3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
→
+ − +
− +
3 5
4
4
x 1
(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)
lim

−
+−+
→
d.
2xx
6x6x
lim
2
3
2x
−+
++−
−→
e.
1x
3x9x
lim
3
1x
−
++−
→
f.
2xx
1x2x2
lim
2
1x
−−
−−+

lim
x
→
+ + + −
d.
3
x 0
x 1 x 1
lim
x
→
+ − +
e.
3
2
1
3 3 5
lim
1
x
x x
x
→
+ − +
−
f.
3
2
x 1
8x 11 x 7

x
−−−
−∞→

)x5x(xlim
2
x
−+
∞→
)x1x(xlim
2
x
−+
+∞→
)3x7x1x2x(lim
22
x
+−−−−
+∞→

2
2
x
x x 2 3x
lim
4x 1 x 1
→∞
+ + +
+ − +


1xx16x141
x7
lim
2
x
++++
∞→
2x
x3x
lim
2
x
+
−
∞→
)1xxx(lim
22
x
+−−
∞→

x
1
sinxlim
2
0x
→
3x2x
x2cos3xsin
lim

 
+ + −
 ÷
 
3 2 3
x
lim(x 3x x )
→∞
+ −
(
)
3
2 3
x
lim x 1 x 1
→∞
+ − −
Dạng
∞
∞
: Chia tử mẫu cho x mũ cao nhất hoặc đặt x mũ cao nhất làm nhân tử chung .
a)
x
2x 1
lim
x 1
→+∞
+
−
b)

3 2
3 2 2
lim
2 2 1
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2
x
x x
x x
→±∞
− −
+ −
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1
x
x x

(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
→±∞
− +
− −
k)
2
x
4x 1
lim
3x 1
→∞
+
−
l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
− +
−
m)
2
3 2
lim

x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→±∞
+ + + +
+ + −
q)
2
x
x x 3
lim
x 1
→+∞
+
+
r)
3
3 2
2
lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ +
−
s)
33 2 2 3 2 2

3x2
1x
lim/1
2
2
x
3
25
x
2
3
x
2
x
+−
++
+
++
−
++−
+
+
∞→∞→+∞→−∞→
3 3
2
x
2
3
x
4

lim/9
3
2
x
2
x
+−
+
−
+
∞→∞→
Bài 6:Tính các giới hạn:
xx
xxx
x
−++
++++
∞→
214
4132
lim/1
2
2

1
12419
lim/2
22
−
++−++


d)
2
x
lim ( x x x)
→−∞
+ −
e)
2
x
lim ( x x x)
→+ ∞
+ −
f)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
+∞→
g)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
−∞→
h)
2
lim ( 2 4 )

x
lim (3x 2 9x 12x 3)
→± ∞
+ − + −
n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x

o)
)223(lim
2
−++−
−∞→
xxx
x
p)
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + + −
q)
2
lim ( 3 1 3)
x

+ − −
w)
3 3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→±∞
+ − − −
Bài 7:Tính các giới hạn:
a.
)xxx(lim
2
x
−+
∞←
e.
)1xx1xx(lim
22
x
++−+−
−∞→
g.
)xx3x(lim
3
32
x
−+
∞→
b.
)1xx(lim

−
+
b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→
−
c)
1
1
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
d)
1
1
lim
1
x

−
+−
−
→
x
xx
x
h)
2
33
lim
2
2
−
+−
+
→
x
xx
x
i)
4
3
lim
4
x
x
x
±
→

l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
−
→
− +
− +
g)
x 0
1 x
lim x
x
±
→
 
−
 ÷
 ÷
 
h)
2
x 1
x x 2
lim
x 1
+

(x 1)
2
với x 1

− +
>


−
=


− <


=

2
o
4 x
(x 2)
b) f(x)
x 2
1 2x (x 2)
với x 2

−
<

=

7.Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x
o
:
a)
3
x 1
(x 1)
f(x)
x 1
Ax 2 (x 1)

−
<

=
 −

+ ≤

với x
0
= 1 b)
3 2
2
x 6 2x 9
A x 3
f (x)
x 4x 3x
3x 2 x 3


b.
11x
x2sin
lim
0x
−+
→
c.
xsinx
x2cos1
lim
0x
−
→
d.
2
0x
x2
x4cos1
lim
−
→
e.
3
0x
x
xsintgx
lim
−
→

−
→
j.
xcos21
3
xsin
lim
3
x
−






π
−
π
→
k.
xsin
xcosxsin1
lim
2
2
0x
−+
→
l.


xcos1
x3cos1
lim
0x
−
−
→
2
0x
x2
x3cosxcos
lim
−
→

2
0x
x
xcos1
lim
−
→
x6sin
xcosxsin3
lim
6
x
−
π

xcos
1
xsin
1
(lim
0x
−
→
tgx)x
2
(lim
0x
−
π
→

xsin
xcos12
lim
2
0x
+−
→

2
0x
x
x2cos.xcos1
lim
−

lim .
sinx sin3x x
→
 
−
 ÷
 

3
x 0
tgx sinx
lim
x
→
−

2
x 0
1 cosx
lim
tg x
→
−

x
2
cosx
lim
x- /2
π

tg x 3tgx
lim
cos(x + )
6
π
→
−
π

x
lim x.sin
x
→∞
π
 
 ÷
 
2
x 0
2 1 cosx
lim
tg x
→
− +

x 0
1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→

→
−
d)
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
→
−
e)
3
x 0
tgx sinx
lim
x
→
−
f)
x 0
1 3
lim x
sinx sin3x
→
 
−
 ÷
 
g)
0

2
x
−−
+
+
∞→
= 0
8. Tính các giới hạn sau:
a)
(
)
2 2
x
lim x x 2x 2 x x x
→+∞
+ − + +

b)
(
)
3 3 2 2
x
lim x 3x x 2x
→+∞
+ − −
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại x
o
⇔




≥−
<+−
1 xkhi 32x
1 x khi 4x3x
2
tại x
o
= 1
f(x) =







=
≠
−−
−−
2 xkhi
3
11
2 xkhi
2xx
6xx
2


− +
≥


−


− <


tại x
o
= 1
f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2

−
<

−


− >

tại x

1
khi x 0
6

−
≠




=


tại x
o
= 0
f(x) =
1 2x 3
khi x 2
2 x
1 khi x 2

− −
≠


−

=


3x2x
2
3
tại x
0
= 1
c) f(x) =
1 cos4x
khi x 0
x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1

−
<



+

≥

 +
tại x
o
= 0
d) f(x) =
1 x 1 x
khi x 0










>−
≤≤
+
+
<
−
−+
5 x khi 43x
5x2 khi
2x
32x
2 xkhi
4x
10x3x
2
2

5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
3
3x 2 2

−


π
=



5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =









π
>
π
≤≤
π
−+
π
−<−

2
x khi xcos

2
+ x + 2/3 = 0 d) x
3
– 6x
2
+ 9x – 10 = 0
e) x
5
+ 7x
4
– 3x
2
+ x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7. Chứng minh rằng phương trình
a) x
3
– 3x
2
+ 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x
3
+ 3x
2
– 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x
3
– 3x

a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)
3
(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m
2
+ m + 1)x
4
+ 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có
nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x
4
– x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm x
o
∈ (1;2) và x
o
>