Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limq
n
= 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(u
n
± v
n
) = limu
n
± limv
n
;

lim(u
n
.v
n
) = limu
n
;
limv
n
lim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (u
n

1n2n
3n2
3 3
+−
−

f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim)
d) lim) e) lim
f) lim g) lim
13n
1n3nnn
2
3
23
+
++++
h) lim i) lim()
j) lim n() k) lim(
nn2n
3
23
−−
)
l) lim m) lim(1 + n
2
– )
n) lim
4.Tính các giới hạn

a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8. Cho dãy (x
n
) thỏa 0 < x
n
< 1 và x
n+1
(1 – x
n
) ≥
Chứng minh rằng: dãy số (x
n
) tăng. Tính limx
n

9. Cho dãy (x
n
) thỏa 1 < x
n
< 2 và x
n+1
= 1 + x
n
– x
n
2
∀n ∈ N
a)Chứng minh rằng: |x
n

n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
[ ]
x a x a
x a
lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)
→ →
→
± = ±
[ ]
x a x a
x a
lim f (x).g(x) limf (x).lim g(x)
→ →
→
=
x a
x a
x a
limf (x)
f (x)
lim
g(x) limg(x)
→
→
→

limf (x) thì lim 0
f (x)
→ →
= ∞ =

Định lý 4:
x 0
sinx
lim 1
x
→
=

x 0
x
lim 1
sinx
→
=

x 0
sin kx
lim 1
kx
→
=

x 0
kx
lim 1

2
2x
++
+
−→
d)
2x3x
1xxx
lim
2
23
1x
+−
+−−
→
e)
9x8x
9x3x5x
lim
24
23
3x
−−
++−
→
f)
3x2x
1x
lim
23

56
1x
−
+−
→
k)
1x
1x
lim
n
m
1x
−
−
→
m,n∈N
2.Tính các giới hạn sau:
a)
x4
35x
lim
4x
−
−+
→
b)
x
x1x1
lim
0x

x51
x53
lim
4x
−−
+−
→

g)
3x3
2x3x2
lim
1x
+
+−+
−→
h)
3x4x
4x7x2
lim
23
1x
+−
−++
→
i)
1x
xx
lim
2

1x1x
lim
2
1x
−
−+−
+
→
n)
1x
2x3x
lim
2
3
1x
−
−−
→
o)
1x
x3x3x
lim
32
1x
−
−++
→
3.Tính các giới hạn sau:
a)
33

1x1
lim
−+
→
e)
4x5x
x4x
lim
2
3
4x
+−
−+
→
f)
9x
5x10x2
lim
2
3
3x
−
−++
−→
g)
2x
2xx10
lim
3
2x

lim
(1 x)
→
− − − −
−
h)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
→
− + −
−
4.Tính các giới hạn sau:
a)
x2
x3sin
lim
0x
→
b)
x2sin
x5
lim
0x
→
c)
x7sin

2
0x
x
xcos1
lim
−
→

h)
x6sin
xcosxsin3
lim
6
x
−
π
→
i)
x8sin
xcosxsin
lim
4
x
−
π
→
j)
11x
1xsinxcos
lim

π
→
n)
xsin
xcos12
lim
2
0x
+−
→
o)
2
0x
x
x2cos.xcos1
lim
−
→
p)
xtg
x2cosxsin1
lim
2
0x
−+
→
q)
tgx1
xcosxsin
lim

lim
x
→
−
c)
2
x 0
1 cosx
lim
tg x
→
−
d)
x
2
cosx
lim
x- /2
π
→
π
e)
x
2
lim(1 cos2x)tgx
π
→
+
f)
x

lim x.sin
x
→∞
π
 
 ÷
 
j)
2
x 0
2 1 cosx
lim
tg x
→
− +
k)
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→
+ − −
l)
x
lim(sin x 1 sin x)
→∞
+ −
m)
x
lim(cos x+1 cos x)

b)
2 2
x 2
1 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
→
 
+
 ÷
− + − +
 
c)
x4x
)x3x)(1x(
lim
3
2
x
+
+−
∞→
d)
1x2
x3xx
lim
2
x
−
−+

+−−−−
+∞→
i)
2
2
x
x x 2 3x
lim
4x 1 x 1
→∞
+ + +
+ − +
j)
2 2
x
9x x 1 4x 2x 1
lim
x 1
→∞
+ + − + +
+
h)
2
3
3
x
x 2x 3
lim
x x 1
→∞

b)
)1xxx(lim
22
x
+−−
∞→
c)
x
1
sinxlim
2
0x
→
d)
3x2x
x2cos3xsin
lim
2
x
+−
+
∞→

e)
1x
xxcos5
lim
3
2
x

j)
(
)
3
2 3
x
lim x 1 x 1
→∞
+ − −
7.Tìm 2 số a,b để
a)
0)bax1xx(lim
2
x
=−−++
+∞→
b)
)bax
1x
1x
(lim
2
x
−−
+
+
∞→
= 0
8. Tính các giới hạn sau:
a)

*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và
x a x b
lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)
+ −
→ →
= =
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên
tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x
2
+ x – 3 b)f(x) = b)f(x) =
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =



≥−
<+−
1 xkhi 32x
1 x khi 4x3x
2
tại x

π

≠

−


−π =

tại x
o
= 1
d) f(x) =
2
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
x
khi x 1
2

− +
≥


−


− <

1 x 1

+ ≤



+ −

≥

+ −

tại x
o
= 0
g) f(x) =
3
2
1 cosx
khi x 0
sin x
1
khi x 0
6

−
≠




≥+
<−+
1 xkhi a2x
1 x khi 1x2x3
2
tại x
0
= 1
b) f(x) =





=
≠
−
−+
1 xkhi a
1 x khi
1x
3x2x
2
3
tại x
0
= 1
c) f(x) =
1 cos4x
khi x 0


−

+ ≥

 +
tại x
o
= 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =



−≥−
−<−−
2 xkhi x 1
2 x khi 7x3x
2

b) f(x) =











−


≤


b) f(x) =
sin(x )
3
khi x
1 2cos x 3
a khi x
3
π

−

π
≠

−


π
=



5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R




>−
≤≤+
<
3 xkhix 4
3x1 khi bax
1 x khi x
2
6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x
3
– 2x – 7 = 0 b) x
5
+ x
3
– 1 = 0
c) x
3
+ x
2
+ x + 2/3 = 0 d) x
3
– 6x
2
+ 9x – 10 = 0
e) x
5
+ 7x

+ 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
10*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0