ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Đình Nam
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG DÂY
LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG
DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số : 604401 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2011
và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm…………………………………………………27
2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và
phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………27
2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm………………….28
2.2.1 Hamilton của hệ điện tử-phonon âm giam cầm trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vô hạn………………………………………………………28
2.2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………………………… 29
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
2
Chương 3 : .Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích .thước lên .sự gia .tăng sóng âm.
(phonon âm) giam cầm .bởi trường .bức xạ laser trong .dây lượng tử hình trụ .hố.
thế cao vô hạn………………………………………………………………… 46
3.1 Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn……… 46
3.2 Tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận……………………………….…53
Kết luận ……………………………………………………………………… 58
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………… 60
Phụ lục………………………………………………………………………… 63
Danh mục các hình vẽ………………………………………………………… 67 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Khoa học vật liệu ngày càng phát triển, các thành tựu của nó ngày càng
được ứng dụng rộng rãi. Các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu các tính chất
vật lý của vật liệu, trong đó có hiệu ứng giảm kích thước. Trong cấu trúc bán
dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm chặt dọc theo dọc theo một
tọa độ với vùng rắt hẹp không quá vài trăm
0
A
và chiều rộng này so sánh được
với chiều dài bước sóng De Broglie thì hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện. Hiệu
ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất của bán dẫn thấp chiều nói
chung và dây lượng tử nói riêng.
Khi chuyển từ hệ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều 2D, 1D hay 0D, do hiệu
ứng giảm kích thước gây nên làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý cả về
định tính và định lượng. Chính điều này đã làm sơ sở để tạo ra các linh kiện điện
tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng và thông minh làm việc theo những nguyên lý
hoàn toàn mới.
Dây lượng tử là một ví dụ điển hình về hệ khí điện tử một chiều. Hiện
nay, dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD.
Trong cấu trúc dây lượng tử, chuyển động của điện tử được giới hạn 2 chiều làm
cho điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam cầm điện tử
trong hệ này làm thay đổi khả năng chuyển động của điện tử. Chính điều này dẫn
tới một số hiện tượng mới. Các hiện tượng này khác với các hiện tượng trong các
bán dẫn khối. Trong các loại dây lượng tử thì dây lượng tử hình trụ là loại hay
được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết.
Hiệu ứng giảm kích thước (trong bán dẫn thấp chiều) ảnh hưởng lên các
tính chất vật lý làm các tính chất vật lý thay đổi, trong đó có sự thay đổi tốc độ
khác nhau khi áp dụng cho các loại bài toán vật lý cụ thể khác nhau. Trong luận
văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ
phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon
trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để giải quyết bài toán. Ngoài ra, trong
phần tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết thu được, chúng tôi sử dụng ngôn
ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows. Phương pháp này đã tỏ rõ ưu
việt khi giải quyết các bài toán vật lý tương tự trong bán dẫn thấp chiều và cho
phép thu nhận biểu thức giải tích, tính số và vẽ đồ thị các đại lượng vật lý đặc
trưng cho hiệu ứng.
Luận văn đã đưa ra được biểu thức giải tích cho tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vô hạn, sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm vào vectơ sóng âm, tần
số sóng âm
,
tần số trường bức xạ laser. Trong luận văn đã thực hiện khảo sát và
tính toán số trong trường hợp cụ thể đối với mẫu dây lượng tử hình trụ
GaAs/GaAsAl. So sánh các kết quả thu được với trường hợp không xét đến ảnh
hưởng của phonon giam cầm ta thấy rằng tốc độ gia tăng sóng âm giam cầm
mạnh hơn. Đặc biệt, biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm còn phụ
thuộc vào m,m’ là chỉ số giam cầm đặc trưng cho phonon giam cầm, khi cho
m,m’ tiến tới 0 ta dễ dang thu lai được kết quả như trong trường hợp phonon
không giam cầm.
Bố cục luận văn gồm 3 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục
với 67 trang, 33 tài liệu tham khảo.
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ
TRONG DÂY LƢỢNG TỬ (NHƢNG KHÔNG KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG
CỦA GIAM CẦM PHONON)
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon trong bán
dẫn khối.
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
6
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt
trường sóng điện từ
)sin(
0
tEE
được xác định bởi biểu thức :
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
2
1
( ) ( )
2
e
p p A t
mc
là năng lượng điện tử;
q
là năng
lượng của phonon âm;
p
và
()pq
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
,
e
i b b H t p A t b a a
q q q p p
t m c
t
p
tt
b b b C b a a b b
p
qq
k
k k k p k k k
t
k p k
t
p
(1.4)
Ta thiết lập phương trình cho
p q p
t
aa
:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
7
2
1
, ( ) ' ( ) ,
''
2
(1.5)
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được kết quả :
()
( ) ( )
(1.6)
Suy ra :
( ) ( )
1
1
exp ( )( ) ( )
1 2 2
t
a a i dt C a a b b a a b b
p q p p p
k k k
p k k p k k
t
k
tt
t
e
i t t i qA t dt
p p q
mc
(1.7) Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
( ) ( )
1
,
1
exp ( )( ) ( )
1 2 2
t
b i b C C dt a a b b a a b b
q q q q p p
k k k
t
p k k p k k
tt
p k k
tt
t
e
i t t i qA t dt
p p q
mc
t
(1.8)
Trong gần đúng bậc hai của
q
C
, ta có thể bỏ qua
1
q
t
b
, và sẽ thu được:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
8
2
()
1
,
1
1
(1.9)
Trong đó :
0
( ) sin( ) os( )
2 0 2 2 2
cE
A t cE t dt c t
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi sau :
exp( iz sin )= J ( ) exp( in )
n
n=-
z
(1.11)
Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon
trong bán dấn khối.
1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trƣờng hợp
Và :
b i b
qq
t
tt
(1.12)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
9
Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có
2
()
(1.13)
Hay viết dưới dạng khác:
11
( ) ( )
22
2
00
()
22
,
1
( ) exp ( )( ) is t
1 1 1
2
i t i t
i B e d i B e d
q q q
2
00
()
22
,
íl t
()
1
2 ( )
eE q eE q
C n n J J
s
l
Với :
()x
là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t
( ) ( )
i t il t i t
B e d B s l e d
qq
Suy ra :
eE q eE q
J J B s l
s
l
q
ls
mm
(1.16)
Ta sẽ có:
2
( ) ( ) ( ) ( )
,
B C J aq J aq l B s l
s
l
q q q q
ls
q
(1.17)
Trong phương trình (1.17) các số hạng với
ls
q p p q p p q q
l
p
(1.19)
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính
hệ số hấp thụ sóng âm
()q
cho bán dẫn.
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>p
F
,
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
11
Trong đó :
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
P
F
là xung lượng Fermi của điện tử;
()z
lầ hàm có bước nhảy:
10
()
00
z
đối số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho
1aq
với
0
eE
m
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3/2
2
2
exp ;
0
2
p
n A A n
p
mkT mkT
S – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19). Chuyển từ tổng sang tích
phân theo
p
, thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường
hợp hấp thụ một photon như sau:
2
1/2 2
0
( ) exp 2
2 2 2
4
22
exp 2 exp
2
2
4
n
m
q
q S sh
qq
s kT kT
q
(1.22)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
12
Ở đây :
2
2
m
S
q
và có dạng tường minh
sau:
2
1/2 2
4
22
0
( ) 2 exp
2
2 2 2
4
n
mq
q sh sh S S
q q q q
s kT kT
m
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng
sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp
hấp thụ một photon.
1.1.3 Ảnh hƣởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia
tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn
khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2
2
()q C J aq n l l
l
q p p q p q p q p q
l
p
(1.24)
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
()
2 2 2 2
q C n
qp
p
22
2 2 2 2
pq
q pq q
z
l
p q p q q q
m m m m
22
2 2 2 2
pq
q pq q
z
l
p q p q q q
m m m m
2
2
( ) . . exp exp
3
22
0 0 0
2
22
22
22
2 2 2 2
2
22
22
2 2 2 2
AC
P
q
P
z
q d dP P dP
z
mkT mkT
p q p q
qq
zz
qq
m m m m
p q p q
2
!2
0
2
2
2
2
exp
2
2
2
mn
mq
q
q
m
kT s
q kT
mq
I
q
m
l
q q kT
q
m
mq
q
m
q kT
q
n
m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
q kT m
m
mq
I
q
kT q kT
m
2
2
q
m
qq
q kT m q kT m
mm
(1.29)
Thì
( ) 0q
,còn nếu:
(1.30)
Ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2
22
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
!2
2
2
q
q
m
(1.31)
Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0q
đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0q
n,l,k n,l,k n,l,k+q n',l',k
, , ', '
n,l,k
k,
a a b b a a b
n l n l n l
q q q q q
q
n l n l
q
(1.32)
Trong đó:
,
()
q
là tần số của phonon ứng với vecto sóng
q
, c là vận tốc ánh sáng.
là hằng số Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ;
)(tA
là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu
thức:
)sin(
)(1
0
tE
dt
tAd
c
, , ', '
C (q)
n l n l
là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính bởi
công thức:
, , ', ' , , ', '
C
q
vV
s
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;
là hằng số thế biến dạng;
s
v
là tốc
độ sóng âm,
là mật độ tinh thể.
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
(1.34)
Ta thiết lập phương trình cho
, , ', ',n l k q n l k
t
aa
:
, ( )
, , ', ', , , ', ',
( ) , ,
,
, , , ,
, , ', ', , , ', ',
,,
1
1 1 1 1
11
(
, , ', '
1 1 1 1
) , ( ) .
', ',
,,
, , ', ',
11
, , ', '
11
1 1 1 1
,
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
18
( ) ( ) ( )
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
( ) ( )
, , ', '
, , ', ', ', ', ', ',
e
i a a k k q qA t a a
n l n l
t
n l k q n l k n l k q n l k
mc
tt
C j b b a a a a
n l n l
jj
n l k q n l k j n l k q j n l k
j
t
( ) ( ) ( )
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
e
i a a k k q qA t a a
n l n l
t
n l k q n l k n l k q n l k
mc
t
t
1
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2 1
', ' ,
*
t
i
a a C j b b a a a a
n l n l
jj
n l k q n l k n l k q n l k j n l k q j n l k
j
t
t
t
i ie
k k q t t qA t dt dt
n l n l
t
mc
19
( ) ( )
, , ', ' , , ', '
, , ', ',
,
()
, , ', ', ', ', ', ',
1
1
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2
', ' ,
*
i
i b b C q C j
n l n l n l n l
q q q
t
tt
n l n l
kj
t
b b a a a a
jj
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
i ie
k k q t t qA t dt
1
dt
(1.39)
Vì
*
qq
CC
nên
2
, , ', ' , , ', ' , , ', '
( ) ( ) ( )
n l n l n l n l n l n l
C q C q C q
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2 1
', ' ,
*
i
i b b C q
n l n l
q q q
t
tt
n l n l k
t
b a a a a
q
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
t
i ie
k k q t t q A t dt dt
n l n l
t
mc
(1.40)
Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là
,
, , , ,
()
nl
n l k n l k
t
n k a a
Do
( ) os
c
A t c t
nên:
00
11
( ) os( t ) sin( ) sin( )
2 2 2 2 1
* * * 2
ieE q ieE q
tt
ie
20
Áp dụng công thức:
sin( )
is t
( ).
iz t
e J z e
s
s
Với
()
s
Jz
là hàm Bessel đối số thực.Ta được:
1
exp ( ) ( ) exp sin( ) sin( )
1 1 1
Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong
dây lượng tử:
2
()
, , ', '
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
exp ( ) ( ) is
b i b
qq
t
tt
(1.43)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
21
Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có
q
sl
i
k k q t t
n l n l
q
t
b
, thêm thừa số
t
e
, trong đó:
0
,
(1.44) được viết lại ở dạng:
2
1
( ) ( )
, , ', '
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
( ) exp ( ) ( )
, ', '
exp ( ) (
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
()
()
( ) ( )
', ' ,
it
i B e d C q
n l n l
qq
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
sl
k
i l s t
e
Bd
q
i
k k q s i
n l n l
(1.46)
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lai có:
( ( ) )t
( ) ( )
i s l
it
B e d B s l e d
qq
s
l
sl
k
it
e
B s l d
q
k k q s i
n l n l
()
( ) ( )
( ) ( )
,
', ' ,
B C q n k q n k
n l n l
n l n l
qq
n l n l
k
B s l
q
JJ
s
l
k k q s i
sl
n l n l
và không
thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao
động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn
hai) s=l và lấy
q
, khi đó (1.48) có dạng:
2
1
( ) ( )
, ', '
, , ', '
, , ', '
1
2
()
( ) ( )
', ' ,
C q n k q n k
n l n l
n l n l
q
n l n l
k
J
s
(1.49)
Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.
Sử dụng công thức:
11
0
00
i x x
x x i x x
với
0
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Cao học 2009 - 2011
23
Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:
(1.50) 1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trƣờng hợp hấp thụ một photon:
Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho
đối số của hàm Bessel rất nhỏ (do
chứa số hạng E
0
– trường bức xạ laser là
yếu) :
1
0
*2
e
2
1
1 1 2
0
i
si
x
Jx
s
i s i
i
Và tính chất hàm Bessel:
( ) ( 1) ( ) ( )
s
s s s
Copyright: Tài liệu đại học ©