Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
A. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói
riêng và trong toán học nói chung, không những như là đối tượng nghiên cứu
trọng tâm của giải tích mà còn đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương
trình, lý thuyết về hàm số.
Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các khoa học
khác như vật lý thiên văn học, cơ học…nó như là một giải pháp hữu hiệu của
các mô hình toán học cụ thể.
Bài toán tích phân đổi biến dạng 1, từng phần chiếm tần suất cao trong
các đề thi nhưng học sinh lớp12 khi ôn thi Tốt nghiệp phổ thông, thi Đại học
– Cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập tích phân. Những người
mới học chưa có phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng
lý thuyết vào giải các bài toán thực tế
Một lý do không kém phần quan trọng là trong chương trình sách giáo
khoa giải tích lớp 12 (chuẩn) hiện hành được trình bày rất ít, hạn hẹp trong 4
tiết lý thuyết và 3 tiết luyện tập, giới thiệu sơ lược ví dụ và bài tập đưa ra sau
bài học rất hạn chế. Do số tiết phân phối chương trình nên trong quá trình
giảng dạy giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho mỗi dạng để
hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế để giải được bài
toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở
mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn, thuần thục.
Với tất cả những lí do trên thúc đẩy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm
“Giải pháp giúp học sinh lớp 12B
2
học tốt tích phân”
2. Đối tượng nghiên cứu:
- 1 -

bài, khả năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập của các em.
- Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp
12B2 của trường như sau:
Lớp: 12B2 (2010-2011): thực nghiệm
Lớp: 12B2 (2009-2010): đối chứng
4.3 Giả thuyết khoa học:
Trong tiết dạy tích phân giáo viên hướng dẫn, giúp các em nhận dạng,
nêu rõ ràng về phương pháp giải của từng dạng từ đó học sinh sẽ hiểu bài,
làm bài tốt; kết quả kiểm tra một tiết, thi HKII khả quan hơn
B. Nội dung:
1. Cơ sở lí luận:
Định lí: (phương pháp đổi biến số)
Cho hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử hàm số x =
( )
t
ϕ
có đạo
hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;
α β
sao cho
( ) ( )
,a b
ϕ α ϕ β
= =

[a;b] thì
( ) '( )
b
a
u x v x dx
∫

( ( ) ( )) '( ) ( )
b
b
a
a
u x v x u x v x dx= −
∫
hay
b b
b
a
a a
u dv uv vdu= −
∫ ∫
Nếu lần đầu tiên tiếp xúc bài toán tích phân mặc dù có nhớ định lí học
sinh không biết bắt đầu từ đâu (do không nhận được dạng; không biết đó là
bài tích phân loại nào, cách giải ra sao)
Với đặc điểm, đặc thù như vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận đúng
dạng, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng.
2. Cơ sở thực tiễn:
2.1 Thực trạng sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 12:
- Sách giáo khoa: trình bày lý thuyết, cho ví dụ và bài tập nhưng ví dụ
và bài tập khác dạng

để từ đó hình thành kỹ năng cho các em; giúp nâng cao chất lượng học tập
cũng như chất lượng dạy trong từng tiết học.
3.2 Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
Để hoàn thành đề tài, chúng tôi đã tiến hành các bước sau:
- Chọn đề tài.
- Điều tra thực trạng.
- 5 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
- Nghiên cứu đề tài.
- Xây dựng đề cương và lập kế hoạch.
- Tiến hành nghiên cứu.
- Thống kê so sánh.
- Viết đề tài.
3.3 Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc
Hưng học tốt Tích phân:
Do Tích phân khó đối với học sinh lớp 12 nên giáo viên cần phải nắm
vững thủ thuật giải toán, các cách giải khác nhau của cùng bài toán (nếu có)
Học sinh cần phải:
- Thuộc bảng nguyên hàm, định nghĩa, định lí
- Nắm từng dạng cùng cách giải
- Dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả
3.3.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1:
Khi đổi biến điều quan trọng là chọn được biến mới sao cho tích phân
theo biến mới đơn giản hơn so với tích phân ban đầu và gắn liền với việc
đổi biến là phải đổi cận
Trên tinh thần giúp cho học sinh nhận được dạng làm quen dần từ dễ đến
khó, tôi chia thành 4 dạng phổ thông thường gặp sau:
Dạng 1: Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì ta đặt t là

Đổi cận x = 0
⇒
t = -1; x = 1
⇒
t = 2
Do đó
1
2 3
0
( 1)( 2 1)I x x x dx= + + −
∫
=
( )
2
4
2
4 4
3
1
1
1
2 15
2 8 8 8 8
dt t
t
−
−
−
= = − =
∫

0 1
(1 ) ( )t t dt t t dt
−
−
− − = −
∫ ∫
=
0
6 7
1
13
6 7 42
t t
−
 
= − = −
 ÷
 
- 7 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 3: Tính K =
( )
2
1
ln
( 2010)
2 ln
e

   
∫ ∫
( )
2 3 1
ln3 ln2 1 ln
3 2 3
 
= + − + = −
 ÷
 
Lưu ý đối với bài này học sinh có thể đặt t = lnx, nhưng việc tính tích phân
khi chuyển về biến t phức tạp hơn
Ví dụ 4: Tính L =
2
3 2
3
sin cosx xdx
π
π
∫
Đối với bài này mặc dù mũ 3 cao nhất nhưng ta không đặt t = sinx
được (vì tích phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t)
Gặp tích phân chứa hàm lượng giác đôi khi ta phải dùng các công thức
lượng giác cơ bản, công thức hạ bậc, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng,
tổng thành tích …trước rồi mới đặt
Bài giải: L =
2
3 2
3
sin cosx xdx

Do đó L =
( ) ( )
1
0
2
2 2 2 4
1
0
2
1 ( )t t dt t t dt− − = −
∫ ∫
1
3 5
2
0
17
3 5 480
t t
 
= − =
 ÷
 
Bài tập tự luyện:
Tính các tích phân sau
a.
( )
3
2
3
0

c dx
x x
π
+
∫
HD: đặt t = 1 + tan 3x
Dạng 2: Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
Ví dụ 1: Tính I =
( )
1
0
1
1
x
x
e x
dx
xe
+
+
∫
Bài giải:
Đặt t = 1 + xe
x

⇒
dt = (1 + x)e
x
dx
Đổi cận: x = 0

+
= = +
∫
- 9 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 2: Tính J =
2
1
ln
e
e
dx
x x
∫
Nhận xét: ta có mẫu chứa xlnx nhưng ta không đặt hoàn toàn t = xlnx vì
như thế dt = (lnx + 1)dx không có trong đề bài.
Khi làm bài tập về đổi biến giáo viên nhắc nhở học sinh không đặt t = x và
không tham lam khi đặt; ta đặt biến t và thử nhẩm xem đạo hàm của t có
trong đề bài không, nếu có yên tâm khả năng chuyển hết về biến mới rất cao.
Bài giải: Tính J =
2
1
ln
e
e
dx
x x
∫

∫
Bài tập tự luyện:
2
0
sin
.
1 3cos
x
a dx
x
π
+
∫
1
2
1
2
.
1
x
b dx
x
−
+
∫

3
2
2
2 1

học tốt tích phân
Đổi cận: x = ln4
⇒
t =
3
; x = ln6
⇒
t =
5
Khi đó I =
5 5
5
3
3 3
2
2 2 2( 5 3)
tdt
dt t
t
= = = −
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính J =
6
0
1 6sin cosx xdx
π
+
∫
Đặt t =
1 6sin x+

1
1x xdx−
∫
Đặt t =
3
1 x−
, t
3
= 1 – x
⇒
x = 1 – t
3

Suy ra 3t
2
dt = - dx hay dx = - 3t
2
dt
Đổi cận: x = 1
⇒
t = 0; x = 9
⇒
t = -2
Do đó K =
( ) ( )
0
2 0
4 7
3 2 3 6
0 2

2
học tốt tích phân
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =
2
π
thì t = 4
Ta có: H =
4
4
1
1
1 2 2
3 3 3
dt
t
t
= =
∫
Ví dụ 5: Tính K =
3
3
1
ln
ln 1
e
x
dx
x x +
∫
(Dự bị khối D năm 2005)

2
2
3
1
3
6
x
dx
x x
+
+
∫
HD: đặt t =
23
6x x+
b.
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
HD: đặt t =
2
4x +
c.
ln 2
2
0

′
∫
. Đặt t = u(x)
- 12 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 1: Tính I =
tan
4
2
0
cos
x
e
dx
x
π
∫
Đặt t = tan x
⇒
dt =
2
1
cos
dx
x
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0; x =

1
; 1
4 2 2
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
Khi đó J =
2
1
1
2
1
sin
2
1
2
1
4 2
sin 2
x t t
e xdx e dt e e e
π
π
= = = −
∫ ∫
Sau đây là các bài tập nâng cao, kết hợp nhiều dạng:
Bài1: Tính: I =
2
0
sin 2 sin

0 2
1
sin 2cos 1
2 2 1 2 2 34
3 3 9 3 27
1 3cos
x x
t t
dx dt t
x
π
+
 
+
= − = + =
 ÷
+
 
∫ ∫
Bài 2: Tính: I =
ln 3
2
ln 2
1 2
x
x x
e
dx
e e− + −
∫

+
   
− + = − + + + = − +
 ÷
 ÷  ÷
+ +
   
 
∫
Bài 3: Tính I =
3
0
3
3 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
Đặt t =
2
1 1 2x t x tdt dx+ ⇔ = + ⇒ =
Đổi cận khi x = 0, t = 1; x = 3, t = 2
Khi đó I =
3
0
3
3 1 3
x

∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4: Tính I =
( )
4
2
0
1
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
Đặt t = 1 +
1 2x+

( )
1
1 2
dx
dt dx t dt
x
⇒ = ⇒ = −
+
và x =
2
2
2
t t−

2
2 2 1
1 1 3 4 2
2 2
1 4 2 1 2 1
3 3 4ln 2ln 2
2 2 2 4
t t t
t t t
dt dt
t t
t
t dt t t
t t t
− + −
− + −
= =
 
 
= − + − = − + + = −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
∫
3.3.2. Tích phân từng phần:
Công thức:
b b
b

vdu
∫
dễ tính hơn so với
b
a
udv
∫
Giáo viên lưu ý khi tính tích phân từng phân không có bước đổi cận
Sau đây là một số dạng (thường được dùng trong tích phân từng phần)
1. Dạng 1: I =
( )
( )ln
b
k
a
P x f x dx
∫
Chọn
( )
1
ln ( ).
ln ( )
( )
( )
( )
k
k
f x
du k f x dx
u f x

du dx
u x
x
dv xdx
v x

=
=


⇒
 
=


=

I =
2
1
4 lnx xdx
∫
=
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
1
1 1



 
⇒
 
= +



= +


- 16 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
J=
( )
2
2
1
ln
e
x x xdx+
∫2
2
2

 
   
= + − +
 
 ÷  ÷
   
 
= + +
∫
Ví dụ 3: Tính K =
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫
(ĐHKD – 2004)
Lời giải:
Đặt
( )
2
2
2 1
ln
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x

∫
=
3
3
2
2
2
1
ln( ) 2
1
x x x dx
x
 
− − +
 ÷
−
 
∫
= 3ln3 – 2
Ví dụ 4: Tính L =
2
3
1
ln x
dx
x
∫
Lời giải:
Đặt
3

3 2 3 2 2
1 1 1
1 1
ln ln ln 1 3 2ln 2
2 2 2 4 16
x x dx x
dx
x x x x x
− − −
= + = − =
∫ ∫
- 17 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Nhận xét: do không có công thức nguyên hàm của lnx nên mục đích đặt là
khử lnx, nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào k
Chẳng hạn: H =
3 2
1
ln
e
x xdx
∫

Đặt
2
4
3
1

4
2 3
1
1
1
(ln . ) ln
4 2
e
e
K
x
x x xdx= −
∫
14 2 43
Tính K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
Đặt
3
4
1
ln
4
du dx
u x
x

e
x x
x dx= −
∫

4 4 4
1 3 1
4 16 16 16 16
e e e
 
= − − = +
 ÷
 
Do đó H =
4
5 1
32
e −
Đôi khi gặp các bài phải kết hợp phương pháp đổi biến lẫn từng phần
Chẳng hạn Tính L =
2
0
sin ln(1 cos )x x dx
π
+
∫
Đặt t = 1 + cosx; dt = - sinxdx
- 18 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2

+
∫
.
Hướng dẫn đặt
( )
2
ln( 1)
2
u x
dx
dv
x
= +



=

+

. Kết quả:
1 4
ln 2 ln
3 3
− +
2. Dạng 2: Dạng
( )cos( )
b
a
P x ax b dx+

cos2x xdx
π
∫
Lời giải:
Đặt
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



I=
4 4
4 4
0 0
0 0

dv xdx v x
= + =
 
⇒
 
= = −
 
( )
( )
2
2
0
0
2
2
0
0
2 1 cos 2cos
2 1 cos 2sin 1 2 3
J x x xdx
x x x
π
π
π
π
= − +  +
 
= − +  + = + =
 
∫

2 2
0 0
1 1
2 1 2 1 cos2
2 2
x dx x xdx
π π
= − + −
∫ ∫
Tính L
1
=
( )
2
2
2
2
0
0
1 1
2 1
2 2 8 4
x dx x x
π
π
π π
 
− = − = −
 
∫

 
= −
 
⇒
 
=
 
=
 
2
2
2
0
0
1 1 1
( (2 1)sin 2 ) sin2
4 2 2
L x x xdx
π
π
= − − = −
∫
Do đó: K =
2
1
8 4 2
π π
− −
Ví dụ 4: Tính L =
2



=

=
 
⇒
 
 
= −
= − +



2
2
0
0
1 1 1
cos3 cos cos3 cos
2 3 2 3
x
L x x x x dx
π
π
−
   
= + − − +
 ÷  ÷
   

b
f x
a
P x e dx
∫
Đặt
( )
( )
f x
u P x
dv e dx
=


=

- 21 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ1: Tính
1
0
(2 1)
x
I x e dx= +
∫
Lời giải:
Đặt
2 1 2

1
2
0
( 2)
x
J x e dx= −
∫
Lời giải:
Đặt
2
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

= −


⇒
 
=
=


3
0
x
x e dx
∫
(Dự bị 1 Khối D 2003)
Đặt
2
2
2
2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv xe dx
=


=
 
⇒
 
=
=



−
∫

- 22 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
HD: Ñaët
4
2
3 4
7 5
4
x
u x
e
KQ
dv e dx
−
−
= −

− −

⇒ =

=


4. Dạng 4:

 
=
=




hoặc đặt
1
sin
cos
kx
kx
du ke dx
u e
dv mxdx
v mx
m

=

=

⇒
 
=
= −




=
=



K =
2
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
=
2
2
2 2
0
0
1 2
sin3 sin 3
3 3
x x
L
e x e xdx
π
π
−
∫

 
=
= −



- 23 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
L =
2
2
0
sin3
x
e xdx
π
∫
=
2
2
2 2
0
0
1 2
cos3 cos3
3 3
x x
K

- Ta cũng có thể đặt
2
2
3sin 3
cos3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
= −

=


⇒
 
=
=



, vẫn cho kết quả
như vậy
-
cos
b


=

=

⇒
 
=
= −



KQ: M =
3
2
3 5
34
e
π
+
3.4 Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều
tiến bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12B2.
- 24 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Đối tượng học sinh 12B
2
(2009-2010) có trình độ ngang nhau (đối