SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN"
Phần I: MỞ ĐẦU
I- Lý do lựa chọn đề tài.
I.1. Tính lịch sử.
“Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã thể hiện rõ
quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục
đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định trong việc đào
tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây
dựng CNXH.
Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao
gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa,
đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra
đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo
dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu “Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực”
cũng chính là nhằm hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông, môn Toán
đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển một cách
tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế
phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn
học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến,
việc học toán đối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn. Trong các phân môn của
toán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả.
Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan
như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức
trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn v.v Học toán
đồng nghĩa với giải toán. Muốn làm được bài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các
công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý còn cần có một phương pháp suy
luận đúng đắn.

uur uur
r
r
và gọi C, D, E là các điểm sao cho
= = =
1 1
AC 2AB, OD OB,OE OA
2 3
uuur uur uuur uur uuur uur
.
a/ Hãy biểu thị các vec-tơ
OC, CD, DE
uuur uuur uuur
qua các vec-tơ
a, b
r
r
.
b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
Số bài
Không làm
được câu nào
Làm được
cả 2 câu
Chỉ làm
được câu a
Chỉ làm
được câu b
Đề 1 42 25 (59,52%) 9 (21,43%) 7 (16,67%) 1 (2,38%)

không thực sự khá về môn Toán.
Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến thức vec-tơ,
có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải
toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ
năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.”
II. Mục đích nghiên cứu.
Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết vận dụng các kiến thức
cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn. Đặc biệt ở lớp 10, học sinh
lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông
qua việc dạy cho học sinh các vận dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh
thấy được:
- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ.
- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học.
- Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toán vec-tơ.
- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờ phương pháp
vec-tơ.
Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là các bài toán về
vec-tơ.
III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong năm học
2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa. Đây là hai
lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10.
Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học tự chọn của
bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chính khóa).
Phần II: NỘI DUNG
I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.
I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.
Cho 2 điểm A, B thì:
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là như nhau.
- Ký hiệu

uuur uur uuur
.
- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
+
IA IB 0+ =
uur uur r
.
+
MA MB 2MI+ =
uuur uuur uur
, với điểm M bất kỳ.
I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
Với ba điểm O, A, B thì:
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
.
I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
- Cho vec-tơ
u
r
và số k ∈ Ρ. Vec-tơ
ku
r
được xác định bởi:
+
ku

r
.
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
là các vec-tơ
cùng phương.
I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ.
- Cho trước hai vec-tơ
a, b
r
r
. Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ
OA a, OB b
= =
uuur uuur
r
r
. Khi đó góc
·
AOB
là góc giữa hai vec-tơ
a, b
r
r
. Ký hiệu:
·

⇔ = ⇔ = +
r r
r r r
.
- M(x; y) ⇔
OM (x;y) OM xi yj
= ⇔ = +
uuur uuur
r r
.
- Với
u(x;y), v(x ;y )
′ ′
r r
, k ∈ Ρ:
+
x x
u v
y y
′
=

= ⇔

′
=

r r
+
u v (x x ;y y )

′ ′
+ +
r r
r r
r r
.
I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một vec-tơ và
ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường là phân tích một
vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng không cùng phương hoặc phân tích thành
hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác
nhau giúp học sinh có những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ.
I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn
ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ:
TT Kiến thức hình học tổng
hợp
Vec-tơ
1 M là trung điểm của đoạn
1)
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
thẳng AB
2)
AM MB=
uuur uuur
3)
OA OB 2OM+ =
uuur uuur uuur
, với mọi điểm
O

¡
6
AB ⊥ CD
AB.CD 0=
uuur uuur
7 ABCD là hình bình hành
AB DC=
uuur uuur
(A ∉ DC)
I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.
I.1. Các bài toán xác định vec-tơ.
1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng nhau.
Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài toán về vec-
tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định một vec-tơ, không hiểu rõ
hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau với đoạn thẳng bàng nhau
Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân tích kỹ lời giải
của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước
vec-tơ
a
r
và điểm O cố định. Xác định điểm A sao cho
OA a=
uur
r
. Có bao nhiêu điểm A
như vậy.
Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho
AO a=
uuur
r

như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài toán.
Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh rèn luyện và
hiểu rõ hơn các khái niệm về vec-tơ:
- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A
≡
N)
- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N là
trung điểm của MA)
- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M
hay M là trung điểm của ON)
2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.
Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là một vấn đề
khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu như vẫn không phân
biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của một tam giác.
Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số tiếp xúc của
chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của hai vec-tơ, tác giả cho
học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao).
Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau:
Yêu cầu học sinh:
- Xác định các điểm A, B, C sao cho:
OA a, AB b, BC c
= = =
uuur uuur uur
r
r r
.
- Dựng các vec-tơ
a b, b c
+ +
r r

.
Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì:
u 2AI AK= =
uur uuur
r
.
Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?
Học sinh đã biến đổi:
u AB AC AD AE AB AE AC AD= + + + = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
. Từ đó, dựng
các hình bình hành ABME và ACND thì:
AB AE AM+ =
uuur uuur uuur
,
AC AD AN+ =
uuur uuur uuur
.
Như vậy:
u AM AN= +
uuur uuur
r
.
Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì:
u AK=
uuur
r
.
Cách 3: Gợi ý học sinh:

Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một quy tắc rất
cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có:
AO OB AB, OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. Cả hai quy tắc đó, mấu chốt vẫn là quy tắc ba điểm của
phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước
khi cho học sinh làm các bài toán cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc
lấy tổng, hiệu của hai vec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ đại
loại như:
AO OB AB; MI KM KM MI KI; EF EO OF
AM AN NM; CD ID IC
+ = + = + = = +
− = = −
uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
uuur uuur uuur uuur uur uur
( )
1
AI AM AN ; EM EN 2EI; KM 2KI KN
2
= + + = = −
uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
(Với I là trung điểm của đoạn
thẳng MN).
Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương,
cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn.
Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài
toán khá đơn giản sau đây.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt
AB a, AO b
= =

2 2 2
= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm trong bước
biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể biến đổi cách khác.
Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
( ) ( )
1 1 1 1
AE AB AC AB 2AO (a 2b) a b
2 2 2 2
= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
.
Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ không cùng
phương bằng ví dụ:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt
HA a,HB b,HC c
= = =
uuur uuur uuur
r
r r
. Chứng minh rằng:
1
HO (a b c)
2

uuur uuur uuur
)
- Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc hiệu đó) chưa
cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
theo
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
hoặc các vec-tơ cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
.
- Chú ý đến tính chất: Nếu
b 0
≠
r
r
và
a
r
cùng phương với
b
r
thì luôn tồn tại duy nhất
số k ∈ Ρ để
a kb
=
r
r

Hơn nữa OA' // AH nên
A O ma
′
=
uuur
r
. Do đó, ta có:
1 1 1
HO HA A O (b c) ma ma b c
2 2 2
′ ′
= + = + + = + +
uuur uuur uuur
r r
r r r r
(1)
Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì:
1 1
HO HB B O a nb c
2 2
′ ′
= + = + +
uuur uuur uuur
r
r r
(2)
1 1
HO HC C O a b pc
2 2
′ ′

·
o
BAD BCD 90
= =
⇒ CD // AH
và AD // HC.
Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy
HA HC HD
+ =
uuur uuur uuur
.
Mặt khác:
HB HD 2HO
+ =
uuur uuur uuur
.
Suy ra:
HA HB HC 2HO
+ + =
uuur uuur uuur uuur
hay
1
HO (a b c)
2
= + +
uuur
r
r r
.
I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ.

r
. (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ rằng
BC AB AB BC AC
+ = + =
uuur uur uur uuur uuur
nên
|u | AC AC= =
uuur
r
. Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường
hợp bằng các hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành
tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách đều nhau )
Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại
cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ
dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. Đồng thời cho học
sinh thực hành qua ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đặt
AB a,BD b,DC c,CA d
= = = =
uuur uuur uuur uuur
r r
r r
. Chứng minh rằng:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r
r r r r
.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Từ giả thiết và quy tắc ba điểm của phép cộng, hãy đánh giá một trong ba độ dài ở

uuur uuur uur uuur uuur uuur
⇒
| a d | | c d | | CB | | DA | CB DA BC AD
+ + + = + = + = +
uur uuur
r r
r r
.
Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC
⇒
| a d | | c d | | b | | d |
+ + + < +
r r r r
r r
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r
r r r r
.
* Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài
toán khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ,
tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã
thực hiện hiệu quả.
Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
1. Nếu AD
2
+ BC
2

⇔
2 2 2 2
BC BA DC DA
− = −
uur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
BC BA BC BA DC DA DC DA
− + = − +
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( )
AC BC BA AC DC DA
+ = +
uuur uur uuur uuur uuur uuur
⇔
( )
AC BC BA DC DA 0+ − − =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
( )
AC BC CD BA AD 0+ + + =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
AC.2BD 0 AC.BD 0= ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
⇔ AC ⊥ BD.
2. Ta có:
MA MC MB MD MA MB MD MC BA CD
+ = + ⇔ − = − ⇔ =

≤ ⇔ + ≤ +
r r r r
r r r r
⇔
| a b| | a | | b|
+ ≤ +
r r
r r
(III)
Dấu bằng ở (I) và (III) xảy ra ⇔
a kb
=
r
r
với k > 0.
Dấu bằng ở (II) xảy ra ⇔
a kb
=
r
r
với k ≠ 0.
- Học sinh lớp 10 đã quen công thức tính diện tích tam giác sau:
1 1 1
S absinC bcsin A acsinB
2 2 2
= = =

Nếu đặt
AB b, AC c= =
uuur uuur