SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT
BÀI TOÁN”
I. Đặt vấn đề:
Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh
một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có
tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy
học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là
một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng
sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa
học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với
tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát
triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần
quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi
sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ
thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có
thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn
chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH
HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC”. Trong
sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của
hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập.
II. Giải quyết vấn đề:
Đề bài: Cho hình chóp
SABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA=
3a
. Gọi H, I,
K lần lượt là hình chiếu vuông

vuông ở A ta có :
Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
AB. AC = BC. AH
2 2
. ; .BA BH BC CA CH CB= =
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
sin , , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =os
BC = 2AM
b = a. sinB = a.cosC
c = a. sinC = a.cosB
b = c. tanB = c.cot C
a =
sin cos
b b
B C
=
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường
* Định lý hàm số Côsin:

.= + −
2 2 2

d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài
x chéo ngắn)
e/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x
chiều cao
g/ Diện tích hình tròn :
2
.R
π
=S
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 1. Tính độ dài các cạnh:
1) SB, SC, SD, SO.
2) SH, SI, SK
3) AK, AH, AI, BJ, DJ.
4) AQ, OM, OQ, OJ.
Giải
1)
2 2
2 2
2 2
2
5

2 2 2
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1 30
5
a
AH AK
AH SA AB
a
AI
AI SA AC
= + ⇒ = =
= + ⇒ =
2 2 2
1 1 1 2 5
5
a
DJ BJ
BJ SB BC
= + ⇒ = =
AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên
5
2 2
SC a
AQ = =
4)
2
a
OM ON OP= = =

1 3
.
2 2
SAD SAB
a
S S SA AB= = =
2 2 2 2
5SB BC a SC+ = =
⇒ ∆SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được ∆SCD
vuông tại D
2
1
.
2
SBC SCD
S S SB BC a= = =
2
1 15
.
2 10
BJD
a
S OJ BD= =
2)
2
ABCD
S a=
3)
2
2

a
S r
π
π
= =
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng
không có điểm nào
chung.
/ /( ) ( )a P a P⇔ ∩ = ∅
a
(P)
2.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường
thẳng d không nằm
trên mp(P) và song
song với đường thẳng
a nằm trên mp(P) thì
đường thẳng d song
song với mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P


d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau cùng
song song với một
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
∩ =


⇒



a
d
Q
P
đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song
song với đường thẳng
đó.
* Các câu hỏi liên quan:

dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến
thức ở phần ôn tập 3)
Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:
1)
( )
( )
( )
PN SCD
PN CD PN SC D
CD SCD
⊄


⇒


⊂

P P
Chứng minh tương tự ta được
PN//(SAB) (PN//AB),
2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD),
3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN),
4) Vì MN//BD//HK nên
MN, KH//(SBD),
MN, KH//(JBD),
BD// (MNKH), (QMN),
KH //(ABCD),
BD//(AKH)
Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC)

1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau
nếu chúng không có
điểm nào chung.
( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q⇔ ∩ = ∅P
Q
P
2.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P)
chứa hai đường thẳng
a, b cắt nhau và cùng
song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) và
(Q) song song với
nhau.
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q
⊂


∩ = ⇒



P

song song thì mọi
mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q)
và các giao tuyến của
chúng song song.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b


∩ = ⇒


∩ =

P
P
b
a
R
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD)
Giải
1) (OQM)//(SAD)

P P
3)(AKH) // (JBD)
Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ
bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông)
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
HI IK AKH
HI IK I AKH JBD
HI BJD IK BJD
⊂


∩ = ⇒



P
P P
(ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần
ôn tập 3)
Bài tập tổng hợp
Bài 7. Tìm thiết diện của (α) và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với (α) lần lượt là
các mặt phẳng
1) (NPQ)
2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA.
Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và
song song với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.
b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA.

M
Q
P
R
T
Kẻ MT// SA (T∈SB)
Q
X
Kẻ NR// SA (R∈SD)
MN∩AC=X, kẻ XU // SA (U∈SC)
Thiết diện là ngũ giác MNRUT
Bài 8.
a) Dựng QR//BC (R∈SB)
Dựng TV//AD (V∈SD)
Thiết diện là hình thang QRTV
b) Hình thang QRTV là hình bình hành ⇔ QR=TV
1
2
TV QR
AD BC
⇒ = =
⇒ T là trung điểm
SA
c)
( ) ( )
( ) ( )
AB CD
SAB SCD Sx AB CD
S SAB SCD


D
S
O
J
N
M
Q
P
R
T
Bài 9.
B
C
A
D
S
O
U
V
R
T
a) Q ua T dựng UV//BD (U∈BC, R∈CD)
V
R
U
Dựng UR//SB (R∈SC). Nối RV. Thiết diện là tam giác RUV cân tại R. (
,
RU RV
SB SD
SB SD

đường thẳng nằm trên
mặt phẳng đó.
( ) , ( )a mp P a c c P⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c
a
2. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng
d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng
d vuông góc với mp(P).
,
, ( ) ( )
,
d a d b
a b mp P d mp P
a b
⊥ ⊥


⊂ ⇒ ⊥



caét nhau
d
a
b

7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC
Giải
Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) BC ⊥ AB (g/t hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BC ⊂ (ABCD)) ⇒ BC ⊥
(SAB)
2) CD ⊥ AD (g/t hình vuông), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),CD ⊂ (ABCD)) ⇒ CD ⊥
(SAD)
3) AH ⊥ SB (gt), AH ⊥ BC (BC ⊥ (SAB) (câu 1)) ⇒ AH ⊥ (SBC)
4) AK ⊥ SD (gt), AK ⊥ CD (CD ⊥ (SAD) (câu 2)) ⇒ AK ⊥ (SCD)
5) AH ⊥ (SBC) (do câu 1) ⇒ AH ⊥ SC,AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC⇒ SC
⊥ (AHK)
6) BD ⊥ AC (g/t hình vuông), BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BD ⊂ (ABCD)) ⇒ BD ⊥
(SAC)
7) AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC, AI ⊥ SC (GT) ⇒ SC ⊥ (AIK)
8) ∆ SAB = ∆ SAD (c.g.c) ⇒ SB = SD và
·
·
ASB ASD=
, AH ⊥ SB và AK ⊥ SD (cmt) ⇒
có ∆ SAH = ∆ SAK (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ SH = SK ⇒
SH SK
SB SD
=
⇒ HK // BD.Mặt
khác ta lại có BD ⊥ (SAC) (câu 6) nên HK ⊥ (SAC)
9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC ⊥ (SAB) (cmt)
⇒OM⊥(SAB).
10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD ⊥ (SAD) (cmt)
⇒ON⊥(SAD).
11) OP là đng trung bình của tam giác BDC ⇒ OP // CD,BC ⊥ CD (gt hình vuông)

90
0
.
2. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một
đường thẳng vuông
góc với một mặt
phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông
góc với nhau.
( )
( ) ( )
( )
a mp P
mp Q mp P
a mp Q
⊥

⇒ ⊥

⊂

Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau
thì bất cứ đường

( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q
⊥


∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
A và vuông góc với
(Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau và
cùng vuông góc với

Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1) BC ⊥ (SAB) (câu 10.1), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥(SAB)
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2), CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥(SAD)
3) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3), AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SBC)
4) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4), AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SCD)
5) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥(SAC)
6) SC ⊥ (AHK) (câu 10.5), SC ⊂ (SAC) ⇒ (AHK) ⊥(SAC)
7) OM ⊥ (SAB) (câu 10.9), OM ⊂ (OQM)⇒ (OQM) ⊥(SAB).
8) ON ⊥ (SAD) (câu 10.10), ON ⊂ (ONQ) ⇒(ONQ) ⊥ (SAD).
9) BC ⊥ (OPQ) (câu 10.11), BC ⊂ (SBC) ⇒ (OPQ) ⊥ (SBC).
10) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (JBD)
11) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (JBD).
12) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (JBD).
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1
đường thẳng, đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a (hoặc trên
mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng

Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
1) C; (SAB) 2) C; (SAD) 3) A; (SBC)
4) A; (SCD) 5) A; (SBD) 6) O; (SAB)
7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD)
10) S; (AHK) 11) S; (JBD) 12)Q; (ABCD)
Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng