1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Chúng ta đều thừa nhận rằng, quá trình dạy học không phải chỉ cung cấp tri
thức một cách đơn thuần cho học sinh mà thông qua quá trình dạy học để:
Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực nhất định,
chẳng hạn như hình thành và bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy sáng tạo gồm:
tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo và tính linh hoạt.
Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những năng lực cần thiết như: năng
lực huy động tri thức, năng lực giải quyết vấn đề....
Hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, tính
sáng tạo:
- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự
mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn
thiện kết quả đạt được.
- Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát
hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới, cái mới thường nảy sinh,
bắt nguồn từ cái cũ .
Với cương vị là một giáo viên dạy toán, cũng như nhiều giáo viên khác tôi luôn
suy nghĩ làm gì để phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua một số
bài toán cơ bản. Bên cạnh đó, tôi đã có nhiều cơ hội tiếp cận học sinh khá, tôi
thường tìm cách tiếp cận, định hướng cho các em khai thác sâu hơn về nhiều khía
cạnh của một bài toán, thay đổi các dự kiện bài toán hay xuất phát từ một bài toán
cơ bản có thể xây dựng được bài toán mới hoặc phát triển bài toán theo nhiều định
hướng khác nhau có hệ thống từ dễ đến khó.
Trong quá trình giảng dạy, tôi say mê, mày mò nghiên cứu nhằm giúp cho học
sinh thấy được một hệ thống vấn đề xảy ra rất logic trong quá trình tư duy, việc
sáng tạo và nhìn nhận khá linh hoạt để tạo ra một hệ thống các bài toán trong
đó có những bước tổng quát lên và cả một số kinh nghiệm trong quá trình giải toán
hình học tôi cảm thấy có nhiều nét thú vị. Chính vì vậy, chọn đề tài: “Phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán hình học”
1.2. Mục đích nghiên cứu


a + a2 + ...+ an 
(*) ⇔ a1 a2 .... an ≤  1
÷.
n


n

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2n số thực (n ∈ N*, n ≥ 2)
Với 2n số thực a1 ,a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bn , ta có

(a

2
1

+ a22 + ... + an2

)(b

2
1

+ b22 + ... + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + ...+ anbn

)

2


2
1

+ b22 + ... + bn2

)

2


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
- việc giảng dạy không chỉ đơn thuần là truyền đạt tri thức, phương pháp
quan trọng của toán học là quy lạ về quen, hơn thế nữa với đối tượng khá, giỏi
người thầy phải biết cách dẫn dắc để các em sáng tạo ra bài toán mới, tránh việc
học sinh thụ động chỉ giải những bài toán do thầy đặt ra.
- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục thì người học là trung tâm, kiểm
tra đánh giá năng lực của hs mà đối với học sinh khá giỏi thì đó là năng lực sáng
tạo.
2.2.2. Đối với học sinh
- Với lớp bài toán vận dụng , vận dụng cao các em thường thụ động trong
việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ
chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải
các bài toán.
- Qua đề tài này tôi muốn gợi mở cho các em xây dựng hệ thống bài toán
hay xung quanh bài toán gốc.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán gốc
Bài toán: “Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh

OH ⊥ AK và OK ⊥ BC. Từ hệ thức

C

c
O

K
b
B

3


trong tam giác vuông ta có

1
1
1
=
+
(1)
2
2
OH
OA OK 2
1
1
1
=

h2 a 2 b2 c 2

Nếu chúng ta dừng ở đây thì khả năng sáng tạo của các em học sinh sẽ phần
nào bị hạn chế. Ta thử ‘‘dẫn dắt’’ các em đi tìm những điều thú vị xung quanh bài
toán này .
2.3.2 Các bài toán khai thác được thông qua bài toán gốc :
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
1 1 1 1 1 1 1
abc
= 2 + 2 + 2 ≥ + + , suy ra h ≤
. Đẳng thức xảy ra khi
2
h a b c ab bc ca
a+b+c
và chỉ khi a = b = c .
Ta thu được bài toán sau
Bài 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với
nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến mặt phẳng
(ABC) bằng h . Chứng minh h ≤

abc
.
a+b+c

( a + b + c ) . Hay là 1 ≥ 3 3 . Đẳng
abc
≤
a+b+c
27 ( a + b + c )
h a +b+c


Ta thu được bài toán sau
Bài 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông
góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến
2
2
2
mặt phẳng (ABC) bằng h . Chứng minh h ≤ a + b + c .
3

2

1 1 1 1 1 1 1 1
*Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có 2 = 2 + 2 + 2 ≥  + + ÷ . Từ đó
h a b c 3 a b c 
suy ra h ≤

3 abc
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
ab + bc + ca

Ta thu được bài toán sau
Bài 4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông
góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến
mặt phẳng (ABC) bằng h . Chứng minh h ≤

3 abc
.
ab + bc + ca


2

2

2

2

2

2

, r=

2

(

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
a 2 + b2 + b2 + c 2 + c 2 + a 2

)

.

Từ các kết quả trên ta thấy OI = 2 2 .r . Mặt khác h ≤ OI , suy ra h ≤ 2 2 .r .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ta thu được bài toán sau
Bài 5. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông
góc với nhau. Gọi h,r lần lượt là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh h ≤ 2 2 .r .


Từ (3) và (4) ta suy ra h ≤

2

2

2

2

≥

2 abc
(4).
a b + b2c 2 + c 2 a 2
2

2

R 2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2

Ta thu được bài toán sau
Bài 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với
nhau. Gọi h, R lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh h ≤

R 2

abc

1
9
1
1
2
h2
2
(
)
.
S
+
S
+
S
≥
⇒
.
≤
⇒
y
=
≤
1
2
3
2
1 S1 + S 2 + S 3 9

r =
ta tính được
C S
tp
rc =

abc
1
=
ab + bc + ca + a 2b2 + b 2c 2 + c 2 a 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 .
a b c
a 2 b2 c2

Mặt khác theo BĐT Bunhiacôpski, ta có

Suy ra

rc ≥

(

)

3 +1

rc ≥

1
1 1 1
1 1 1 .


V
V
V
V
I .ABC + I .OAB + I .OBC + I .OCA ⇒ 1 = rc + rc + rc + rc
1
=
Suy ra
V
V
V
V
h c a b.
OABC
OABC
OABC
OABC
1 1 1 1 1
1
3 3
Hay là r = h + a + b + c . Mặt khác theo bài 2 ta có ≥
. Từ đó ta thu được
h a +b+c
c
1 1 1 1
3 3
≥ + + +
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
rc a b c a + b + c

hợp
giữa
đẳng
thức
2
rC h a b c
h
h a+b+c

Đây là những bài toán hay và khó, việc sáng tạo ra chúng là không hề đơn giản,
tìm hướng giải quyết khác cho những bất đẳng thức đó lại càng khó hơn.
*Xét tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với
A

nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC.
Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
(Hình vẽ bên)

a
.H

HK
= cot ∠OKH (5).
Trong tam giác vuông HKO ta có
OH

Mặt khác, tam giác OAK vuông tại O nên ta có

C


Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Biết SA = a, SB= b,
SC = c. Chứng minh rằng a. S HBC + b. S HCA + c. S HAB ≤

abc 3
.
2

(Bài T8/429 – THTT năm 2013)
Nhận xét: Đây là một bài toán hay, để sáng tạo ra nó đòi hỏi chúng ta phải
có sự linh hoạt, tinh tế và tư duy sáng tạo. Phải chăng tác giả của bài toán đã
sáng tạo ra nó theo mạch suy luận như trên ? Có thể có những hướng khác nhau
để giải quyết bài toán này, nhưng quá trình lập luận như trên phải có sự tìm tòi,
sáng tạo nhất định. Chúng ta cần giới thiệu tới các em học sinh để các em suy
nghĩ, nắm bắt ý tưởng và học hỏi.
*Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho toạ độ các điểm

z
C

là : O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),
B

y

B(0; b; 0) và C(0; 0; c) cho các bài toán sau.
(Hình vẽ bên)
*Gọi G là trọng tâm của tứ diện OABC.

O
A

b
c
4

(a

2

)

1
1.
 1
+ b2 + c2  2 + 2 + 2 
b
c 
a

2
2
2 
Theo BĐT Cô-si, ta có ( a + b + c ) 

1
1 1
+ 2 + 2 ≥9.
2
b
c 
a

Do đó ta có được RC

2

2

(a

2

)

1
1 
 1
+ b2 + c2  2 + 2 + 2 
b
c 
a

≤

2
3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 13. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông
góc với nhau. Gọi h, RC lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng


3 
3

2
1

2

b 
c

MG22 = x 02 +  y 0 −  +  z 0 −  ≥ x 02
3 
3


.G3
O

2

y

B

.G2

2

.G1

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC và
a=b=c.

Vậy là ta thu được bài toán sau
Bài 14. Cho tứ diện OABC thay đổi có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một
vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi
G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAB, OBC, OCA. Đặt OA = a,
OB = b, OC = c. Chứng minh MG12 + MG22 + MG32 ≥

a 2b 2 c 2
.
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

(Bài T8/402 – THTT năm 2010)
12


Nhận xét: Ba bài toán có đề cập đến tọa độ trong không gian khá hay và
mới mẽ. Lập luận để có được bài 14 là không đơn giản, phải cần đến một khả
năng sáng tạo thực sự. Một lần nữa chúng ta thấy được vai trò quan trọng trong
việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hoạt động khai thác đẳng
thức

1
1
1
1
= 2 + 2 + 2 nói riêng và các kiến thức cơ bản khác của Toán học nói

học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư
duy, biết định hướng để giải và sáng tạo một bài toán từ bài toán gốc.

13


3.2. Kiến nghị
Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiến
kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng
rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai
áp dụng hiệu quả. Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của
sở để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.
Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa
chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm. Cần có những bản lưu
trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.
Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những
hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng
kiến hơn nữa.
Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc áp
dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình. Phản hồi những mặt tích cực.
những mặt hạn chế của sáng kiến.
Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sở
giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện
hơn nữa.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 02 tháng 5 năm 2018
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của tôi, không sao chép nội
dung của người khác