Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
A. PHN M U
Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh
trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m
hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt
dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia,
Olympic khu vc v Olympic quc t.
giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm
nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh
hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti
ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp,
kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc.
ti gm 2 phn c bn:
Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc.
Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc
c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong
sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin
i ng thi nờu mt s vớ d minh ha.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
B. NI DUNG
Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp
2) Tam thc bc 2
3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s
4) Quy np
5) Lng giỏc húa
6) Phng phỏp hỡnh hc
7) Cỏc BT thụng dng

>
+++
>
+++
>
+
Cng v theo v ta c
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<1
Mt khỏc ta cú
cba
cb
ac
c
cba
ba
cb
b
cba
ca

>+ xxxx
Gii:
Rxx
x
x
x
xxx
xxxxxx
>+








+






=
++++=++
0
3
1
3

Do ú
3
2
258
>+ xxxx
(pcm)
Vớ d 3: CMR
Nn
nn
<
+
+++ 1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
Gii: Ta cú
)(
1
11
)1(
1
*
Nk
kkkk

+

+++
nnnnn
Vy ta cú pcm.
II. Phng phỏp Tam thc bc 2.
Vớ d 1: CMR
11
5913
423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x
Gii: TX:
Rx
Gi
423
25
2
2
++
+

423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x
Du t bờn trỏi xy ra
121
)5913(13
= x
Du t bờn phi xy ra
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
3
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
121
)5913(13 +
= x
III. Phng phỏp hm s, dựng o hm.
Vớ d 1 : CMR
0>x
thỡ
xx <sin

vi b<x
0
<a sao cho
ab
afbf
xf


=
)()(
)('
0
b
a
x
ba
ba
ba
x
ln
lnln1
00
=




=
Vỡ b<x
0

yxyxyxxf =
Trong khai trin ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
4
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy
+++++=++
+++=
Theo BT Cauchy
3
2
321
133221
)(
3
yyy
yyyyyy

++
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++


4
3
.
2
1
+
<

n
n
n
Gii: + Khi n=2 ta cú
<
7
1
8
3
(*)
ỳng.
+ Gi s BT ỳng vi n=k tc l
13
1
2
12

6
5
.
4
3

1
22
12
.
13
1
22
>+<+
+++<+++
++<++
+
=
++
<
+
+
+
kkk
kkkkkk
kkkk
kk
k
k
k
n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
5
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi
2n

+ Gi s BT ỳng vi n=k
0)1( > xk
tc l
!

!3!2
1
32
k
xxx
xe
k
x
+++++>
Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l :
)!1(

!3!2
1
132
+
+++++>
+
k
xxx
xe
k
x
Tht vy theo gi thit quy np ta cú:
0

2 3 1
(1 )
2! !
1
2! 3! ( 1)!
x x
k
y
k
x
y y
e dy y dy
k
x x x
e x
k
+
> + + + +
> + + + +
+

2 3 1
1
2! 3! ( 1)!
k
x
x x x
e x
k
+

yx
yxyx
Gii: t







<<

==
2
,
2

tgytgx
Ta cú:
dpcmA
b
tgtg
tgtgtgtg
yx
yxyx
A

+=
++=
=

Ryx ,
thỡ
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

yx
xyyx
2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món





=+
=+
1
1
22
22
dc
ba
CMR

)23;1()2;3( yxvyxu =+=
thỡ
)3;4(=+ vu
Li ỏp dng
vuvu ++
suy ra pcm.
Vớ d 3: CM
cba ,,
thỡ
444
)( cbacbaabc ++++
Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu
din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng
thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc
thỡ ta thng dựng phng phỏp ta .
b) Phng phỏp ta :
Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0.
CMR
6)7()5()5()3(
2222
+++ baba
Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7)
M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0
)(
. Ly A

i xng A qua
)(
ta cú A


C
P
N
A
z
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
[ ]
1)1()1()1(
1.1.60sin.
2
1
)1()1()1(60sin
2
1
00
<++
<++
<++

xzzyyx
xzzyyx
SSSS
ABCBNMCPNAMP

Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho:
OA=a ; OB=b ; OC=c
00

4 4 2
AOB BOC AOC
ab bc ac
S S S ac b
a c

+
+ = + = =
+
*) Mt s bi tp
1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món





+=++
+=++
)(1236
)(21
22
22
dcdc
baba
CM:
6226
)12()()()12( ++ dbca
2. CMR
x


20
5
16
22
+ yx
4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1
Tỡm MIN (x+y)(x+z)
VII. S dng cỏc BT quen thuc.
1. Bt ng thc Cauchy
a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú
xy
yx

+
2
. Du =
yx
=
Dng khỏc
baba +
+
411
Du =
ba
=
b. Tng quỏt cho n s khụng õm
n
aaa , ,,
21
ta cú



+






+






Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
x
xxx
x
xxx
x
xxx
a
bc
abca
c
ab
b
ca








+






=













+


Du = xy ra khi v ch khi x=0.
Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM
cabcab
a
c
c
b
b
a
++++
333
Gii : ỏp dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
2
33
2
33
2
33
2.2
2.2
2.2
cca
a
c
ca
a
c
bbc
c
b

222
222222
0)()()(
2
1
Thay vo (1) suy ra pcm. Du = xy ra khi v ch khi a=b=c.
c. Mt s dng toỏn c bn s dng BT Cauchy tng quỏt c/m.
1) Cho n s thc dng
n
aaa , ,,
21
thừa món
0(
1

11
21
>=+++ kk
aaa
n
cho trc)
CMR
1 1 2 2 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 2
1 11

n n n

n
aaamamamam +++
Li ỏp dng cho m s dng ta cú
)2(21
21
2
2
1
1
m
m
n
mm
n
n
n
aaa
m
a
m
a
m
a
m
+++
T (1) v (2) ta cú
(


1
2
2
1
1
2
2211








++++
+++

n
n
nn
a
m
a
m
a
m
m
amamam

+
++
222111
2. CMR
3
abc
cba
a
c
c
b
b
a ++
++
Tng quỏt
n
n
n
kkk
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a







3. Cho



+
>
1
0,
ba
ba
. Tỡm MIN
ab
abS
1
+=
2. S dng BT Bunhiacopxki(BCS)
Vi 2 b s
( )
n
aaa , ,,
21
v
( )
n

Vi quy c a
i
=0 thỡ b
i
=0
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
12
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Chng minh:
+Nu
22
2
2
1

n
aaa +++
=0 suy ra BT luụn luụn ỳng
+Nu
22
2
2
1

n
aaa +++
>0. Xột tam thc
) )( () (
00)(
) () (2) ()(

bxabxabxaxf
+++++++++

++++++++++=
+++=
Vớ d 1: Cho 2 s thc x, y thừa món
23 =+ yx
.
CMR
3
8
32
22
+ yx
Gii: Theo BT BCS ta cú
( )
3
8
32321
2
1
3.12.
2
1
2222
2
++




2
y
x
yx
Vớ d 2: a) Cho n s thc
( )
n
aaa , ,,
21
v n s dng
( )
n
bbb , ,,
21
CMR
( )
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
+++
+++

ab
ba
b
ab
a
Gii: a) p dng BT BCS cho 2 b s dng








n
n
b
a
b
a
b
a
; ;;
2
2
1
1
v
( )
n

n
n
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
bbb
b
a
b
a
b
a
aaa
+++
+++
+++
+++





abbaab
ba
ab
ba
b
ab
a
pcm
Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng
CMR
2
)( cba
a
c
c
b
b
a
++++
Gii: p dng BT BCS ta cú a, b, c dng nờn
( )
2
2
2
)(
)(
cba
a
c
c






++=++
=
3
1
===== cba
a
c
ac
c
b
bc
b
a
ab
VII. Cỏc phng phỏp khỏc
1. S dng khai trin nh thc Newton
c/m A

B ta cú th lm nh sau
a) Nu a A v dng

=

=+=
n

j
j


=0
lỳc ú
ATB
n
j
j


=0
Vớ d 1: Nu
1<x
v n nguyờn, n>1 thỡ
nnn
xx 2)1()1( <++
Gii: Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
14
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

=

++++=++=
n
i
iini
n







+









+
m
m
m
m
Gii:
2 1 2 2 1
2 2 2
1 1 1 2 1
(1) 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 1)
m m
m m m m m
+ +

)1(3
)12)(12(
)1(
)12(
1
12
3314
232222
22

+

>

+
+

+
+

+

>
m
mm
mmm
m
mm
m
m

nn
2
1
2
11
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
222
+<+<+
<<

+>++

++=+=
2. S dng phng phỏp phõn chia.
a) Nu hm s bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D
thnh cỏc tp con D
1
, D
2
,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con
d dng hn.
b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm
thnh tng ca cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn.
Vớ d 1: Tỡm Max ca

ta cú
04,0,0 yxyx
p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c
2002
2004
2002
2002
2004
2002 . . . .(4 )
2002 2002 2002
2002. 4
2002
2002
2002
2004 501
x x x
F y x y
x
y x y
F
=

+ +
ữ
=
ữ
ữ

2002
501

2002''
1)(40032)(
==
=
x
xFxxF
+
( )
1)(2002,2001 = xFx
+
124003)(2001 = xxFx
2001'' == x
Vy Min
[ ]
2002,20011)( = xxF
Vớ d 3: Tỡm Min
)()( yxzzyxA +++=
trong ú x, y, z l cỏc s thc thừa món
1
222
=++ zyx
.
Gii: t
2121
; AAAzxAzxyzxyA +==++=
Ta cú:
2
1
020)(
11


=++
=
=

1
0
222
zyx
zx
y
(2)
1
2
(1)
1 1
1; ' ' 0
(2)
2 2
1
2
x
A y
z

=






+
=

+
=

+
= ;;

Ta cú
)2(
2
5
)()()(
)1(2
2
22
2
22
2
22
222


+
+

+
+

ac
ac
cb
cb
ba
ba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
v
)3(
4
1
)()()(
222


+

+
ac
ca
cb
bc
ba
ab
Cng (2) v (3) ri bin i ta cú:

I. S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc:
Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin
i tng ng ta cú th tỡm c mi quan h mt thit t nhng bt ng
thc cú v hon ton khỏc nhau.
Vớ d 1: Xột BT
8
))()((
abc
cpbpap
(1)
trong ú
cba ,,
l di 3 cnh 1 tam giỏc ;
p
l na chu vi.
CM: Theo BT Cauchy ta cú
44
)(
))((
44
)(
))((
44
)(
))((
22
22
22
bapcp
apcp

)2(2
84
.
8
8
.))()(()1(
2
rR
abc
p
R
abc
prabc
p
S
abc
pcpbpapp



(2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1)
CM (2) nh sau: Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
18
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
)(2
2
1
1
2

CBA
CBA
R
r
r
cba
CBAR
prCBARCabS
=++=
==
++
=
++
=
===
(
2
3
coscoscos ++ CBA
l BT c bn)
Tip tc bin i theo hng khỏc :
)3(
848
)1(
2
2
2
cba
R
abc

2
cos
2
cossinsinsin)4(
++


CBA
CBA
CBA
CBA
Suy ra pcm.
Tip tc bin i (1) :
)5(
4
1
4
1111
1
)3()1(
2
2
222
2
R
S
hhhhhh
RS
hhhhhh
R

1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
8
4
2( ) (6)
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
r r r r r r h h h h h h
S S S S
r r r r r r h h h h h h
+ +

+ +
ữ
+ + + +
ữ


+ +
+ +
+ + + +
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8

++
2
(3)
CBACBA sinsinsinsinsinsin4 ++
(4)
2
2
4
R
S
hhhhhh
accbba
++
(5)
)(2
accbbaaccbba
hhhhhhrrrrrr ++++
(6)
T (5) v (6) suy ra
2
2
8
R
S
rrrrrr
accbba
++
(7)
Túm li, gia cỏc BT tam giỏc trụng rt khỏc nhau nhng li cú mt mi
quan h tng ng hoc h qu.

33++ tgCtgBtgA
(3)
33tgAtgBtgC
(4)
)6(9)5(
)5(93)4(
222
3
222
++++
++
tgCtgAtgBtgCtgAtgBCtgBtgAtg
CBtgAtgtgtgCtgAtgBtgCtgAtgB
Vy t (1) cú c (3),(4),(5),(6).
Xut phỏt t (2) ta cú:
)9(
33
1
222
1
222222222
3
)8(1
2223
1
222
)7(
)7(3
222
3

++++
++
=






++






++
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B

tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
T (3) v (9)
222
27
C
tg
B
tg
A
tgtgCtgBtgA ++
(10)
Túm li t mt s h thc ta cú th thy trong nú n cha nhiu BT cn
c khai thỏc.
II. Nhng phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc.

cos3
3
2
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin
2
cos
2
cos2sinsinsin
2
22
=






+


















+

=++
CCC
CCCBAC
CBA
Vớ d 2 : CM BT
)2(
2
3
coscoscos ++ CBA
(2) c CM n gin nh sau :
2
cos cos cos 2cos cos 1 2sin
2 2 2
A B A B C
A B C
+

3.
3
sin
cos1
4
1
.
2
1
3
3
sin
)cos1(
2
1
sin.cos)cos(
2
1
sinsinsin
22











Vớ d 4: CM BT
)4(
8
1
coscoscos CBA
Ta cú
8
1
)coscos1(
4
1
.
2
1
cos)cos1(
2
1
coscos
2
cos
2
1
coscoscos
2
=+






2
sin
2
BABABACBA +
+
+
=++
2
3
2
3
2
1
4
sin2
4
sin21
4
sin2
2
2
+







+

liờn quan ca Trn Nam Dung, Nguyn Vn Mu
5. Bt ng thc: suy lun v khỏm phỏ - Phm Vn Thun Lờ V
6. 500 Bt ng thc ca Cao Minh Quang.
7. Sỏng to bt ng thc - Phm Kim Hựng
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
23