SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HS KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TOÁN 10”

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn
gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng
phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết
và phù hợp .
Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học
sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết
vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất
phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó
là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu
thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được
Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Một số biện pháp giúp HS khắc phục sai lầm khi giải
phương trình và bất phương trình ở Toán 10.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể
xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có
thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc
kiểm tra …
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những
chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển,
chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích
dạy học.
1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
+ Lời giải không có sai lầm;
+ Lập luận phải có căn cứ chính xác;

phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các
phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng
tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn
đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một
bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ một
tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp
ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban
đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập hợp các đối
tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời
giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp, học
sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã
cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả
của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc
một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu rõ bài
toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm
được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh
lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận,
phát hiện và sáng tạo.
III. CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về phương
trình hoặc bất phương trình thì học sinh vận dụng thường biến đổi tương đương mà
không chú ý đến điều kiện xác định . Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã
dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên học sinh cần nắm vững lý thuyết
về phương trình tương đương và bất phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài
toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn. Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như


2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
2
2
6 0
3
x
x x
x
= −

⇔ − − = ⇔

=

Nguyên nhân sai: x=-2 thì 2x
2
+3x-2=0 nên loại nghiệm x=-2
Lời giải đúng:

2


− − =
  = −

⇔ ⇔ ⇔ =
 
+ − ≠



≠ − ≠


KẾT LUẬN:
( ) 0
( )
0
( ) 0
( )
f x
f x
g x
g x
=

= ⇔

≠

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

− =

⇔ ⇔ = −


− + =



=

Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 thì
2x −
vô nghĩa.
Lời giải đúng: pt(2)
2
x 2 0
x x 6 0
x 2 0

− =

⇔

− + =



− ≥


( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

với x thuộc tập xác định của phương trình
f(x).g(x)=0.
Bài tâp tương tự: Giải phương trình
(x+1)
2
2 2 2x x x+ − = +

f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

?
3. DẠNG :


2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

⇔
4x-3=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

2
2 2
2 2
4 3 0
3
3 2 0
4
3 2 1 1(*)
3 2 1 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
 − =


=



x x x
⇔ − + = − + + − + +
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=
− + = −


Vậy phương trình (3)có nghiệm: x=
3
4
Nguyên nhân sai lầm:
Thử lại : x=
3
4
không thỏa mãn phương trình (3)
Lời giải dúng:
Pt(3)
2 2
4 3
1
3 2 1
x
x x x x
−
⇔ =

3 2 1 1
3 2 ( 1 1)
3 2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + + − + +

2
2 2
0
0
1 ( )
1
1 ( )
x
x
x x x vn
x
x x x
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=
− + = −

= =
?

Ví dụ: Giải phương trình
2
( 1)( 2) 1x x x x+ − − = +
(4)
Sai lầm thường gặp: Pt (3)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +

2
( 1) ( 2) 1
1 2 1
1 0
2 0
2 1
1 0
x x x
x x x
x
x
x
x
⇔ + − = +
⇔ + − = +
 + =



− ≥

Pt(4)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +2
( 1) ( 2) 1
1 0
1 2 1
1 0
1
1
2 1
3
1
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
⇔ + − = +
+ =



⇔
+ − = +

9 ( 5)
3
x
x x
x
+
− = +
−
(5)
Sai lầm thường gặp:
pt (5)
3
2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +
−

3
2 3 3 ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +
−

x x
+
⇔ − − + =
−
+
⇔ − =
−
− > >
 
 
⇔ ⇔ ⇔ =
− = =
 
 
 
 
+ = =−
 
 
Nguyên nhân sai lầm:x=-3 là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất nghiệm x=-3
Lời giải đúng:
3
(5) 2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
pt x x x
x
+
⇔ − + = +
−

>




= −



≤ −




= −

KẾT LUẬN:
2
3 3 3 3
2 ( 3) ( 5) 2 . 3 ( 5)
3 3
3 3
3
(2 3 ( 5)) 0
3
2( 3) ( 5) 0; 3 0
2 3 ( 5) 0
2(3 ) ( 5) 0; 3 0
3
0

−

 − − + = − ≥


 − − + =





− − + = − ≤



+


≥


⇔ ⇔
>


−






≥ >


≥

= =


− − ≤ −


≤ <

−

Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
a.
2
5
3 25 (2 1)
5
x
x x
x
−
− = −
+
b.

3 2
2 3 2x x x x− = −
(6)
Sai lầm thường gặp:
Pt(6)
2 2
(2 3) ( 2) 2 3 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − = −

2
2
2
( 2 3 2) 0
0
0
2 3 2
2 3 2 0
x x x
x
x
x x
x x
⇔ − − − =

=

=
⇔ ⇔


− = −

≥ ≥
⇔ ⇔
 
 
 
 
− = − − − =
 
 0
2
0
1
1
2
x
x
x
x
x
=


≥





1
2
( 2) 0
2
0
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
=

=


=


− − =



⇔ ⇔ ⇔

− = −




= ⇔
=




≠ ≥

II. SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP
10
1. DẠNG:( ) 0
( )
. ( ) . ( )
( )
g x
f x a
b f x a g x
g x b
≠

≥ ⇔


2
4; 3
12 0
3 10 0
2( 1) ( 12)
x x
x x
x x
x x x
≠ − ≠

+ − =


⇔ ⇔
 
+ − ≥
+ ≥ − + −




4; 3
2
5 3
2
5
x x
x
x x

1 1 2( 1) ( 12) 3 10
0 0 0
12 2 12 12
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + − + −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x
−∞
-5 -4 2 3
+∞
2
3 10x x+ −
+ 0 - - 0
+ +
2
12x x+ −
+ + 0 - - 0 +
VT + 0 -
P
+ 0 -
P
+
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình:
S=(
−∞
;-5]
∪

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
  
+ ≤ −

 
≥ ≥
 

Nguyên nhân sai lầm:Với x
3
( 3; )
2
∈ −
thì x+3>0>4x-6 và bất phương trình nghiệm
đúng.Cách giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng:
Bpt(8)
1 1 4 6 ( 3) 3( 3)
0 0 0
3 4 6 ( 3)(4 6) ( 3)(4 6)
x x x
x x x x x x
− − + −
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x -
∞
-3 3/2 3 +


Ví dụ: Giải bất phương trình:x
2
(2x
2
-3x+1)
≥
0 (9)
Sai lầm thường gặp:Bpt(9)
2
1
2 3 1 0
1
2
x
x x
x
≥


⇔ − + ≥ ⇔

≤

Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 thì x
2
(2x
2
-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách giải trên đã
làm mất nghiệm.

Bài tập tương tự: Giải bất phương trình:

2 4 2
(2 1) (4 3) (3 5 2) 0x x x x− + − + ≤
2 2
( ) ( ) 0 ( ) 0; ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x g x f x g x g x≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ ≤
?
3. DẠNG

Ví dụ: Giải bất trình :
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥
(10)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(10)
2
2
2
1
3
2 3 2 0
2
1
3 0
3
2
0
x
x
x



≤



Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình(10)
Lời giải đúng:Bpt(10)
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0 3 0
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0
2 3 2 0
3 0
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x


− − =


≥ ≥
 
≥ ⇔ ≤ ⇔
 
≥ ≤
 
?

2
1
2
2
3 3
1
3
2
1
2
x
x
x
x x
x
x
x
 =





( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
g x
f x x D
f x g x
g x
f x g x
f x
f x g x
f x
g x


= ∈



=
=


≥ ⇔ ⇔


≥

(11)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(11)
2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x h x g x h x

6 0x x− − ≤
là không tương đương.
Lời giải đúng: ĐKXĐ:
{ }
0; 2 2x x≠ − < <
Bpt(11)
2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −



− ≤ ≤
− − ≤


KẾT LUẬN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x≥ ⇔ + ≥ +
;h(x)
∈
D với D là tập xác định của
( ) ( )f x g x≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x f x g x
+ ≥ + ⇔ ≥
;với x thuộc tập xác định
của
( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x+ ≥ +
Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:

2
2 2
2
3 2 1 25
5 25
x
x x x
x
− + − − ≥
+ −
V. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành

6. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải
toán, NXB Hà Nội.