A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bậc tiểu học là bậc học hết sức quan trọng trong việc đặt nền móng cho
sự phát triển về đức và tài của con người. Bậc học này được ví như viên gạch
đặt nền móng đầu tiên xây lên toà lâu đài tri thức. Mỗi con người muốn bước
lên nấc thang cao hơn thì trước hết phải có những tri thức khoa học ban đầu
về tự nhiên và xã hội, phát triển năng lực nhận thức, trang bị những phương
pháp ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn. Bồi dưỡng và
phát triển tình cảm, thói quen, năng lực giải qưuyết vấn đề, có phương pháp
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, con người biết tư duy, phê
phán, giải quyết vấn đề một cách hợp lí.
Trong các môn học, Toán là một môn học bồi dưỡng, rèn luyện cho các
em những đức tính đó. Nó có ý nghĩa quyết định trong việc hình thành rèn
luyện để phát triển năng lực trí tuệ và nhân cách của con người, giúp học sinh
phát triển trí thông minh, suy nghĩ độc lập, phán đoán và phẩm chất cần cù
sáng tạo chủ yếu thông qua các cách giải và trình bày đúng bài toán có lời văn
đặc biệt là về dạng toán: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu, tỉ của hai số đó.
* Những khó khăn, trở ngại hiệu quả thấp, còn hạn chế:
Là một giáo viên giảng dạy khối 4 nhiều năm,đặc biệt trong năm nay tôi
đảm nhận dạy SEQAP (chương trình đảm bảo chất lượng giáo dục trường
học) khối 4 và khối 5. Nắm được tình hình hầu như tất cả lớp ở khối 4,5 ở
trường tiểu học Lê Qúy Đôn. Cũng như trao đổi với các bạn đồng nghiệp đều
thống nhất ý kiến đánh giá trong kết quả học tập của các em về môn toán các
em cũng đã giải được một số bài toán có lời văn, làm đúng các phép tính
cộng, trừ, nhân, chia hoặc giải đúng một số bài toán dạng tìm x , nhân một số
với một tổng. Song đối với dạng toán có lời văn đặc biệt là dạng toán: Tìm
hai số khi biết tổng, hiệu hoặc tỉ của hai số đó thì thực sự các em thường hay
lẫn lộn, lúng túng nhất là khi bài toán có thuật ngữ (mới) hoặc thay đổi dữ
kiện của bài thì các em không xác định được dạng toán dẫn đến giải bài theo
1
suy nghĩ, không có cơ sở căn cứ, không biết bắt đầu từ đâu. Do vậy dẫn đến
bước giải bị sai và không đúng kết quả. Một số em chưa biết xác định dạng

1. Cơ sở khoa học mà đề tài vận dụng:
Toán học nghiên cứu một số mặt xác định của thế giới vật chất, là môn
khoa học nghiên cứu những mặt xác định của thế giới hiện thực. Toán có
nguồn gốc thực tiễn, vật chất sự phát triển của xã hội loài người cũng chỉ rõ
rằng các khái niệm đầu tiên của toán học như khái niệm về số tự nhiên, hình
học … đã nảy sinh trong quá trình lao động (đếm, đo đạc, …).
Đối với giai đoạn học tập ở lớp 4, 5 có thể coi là học tập sâu so với giai
đoạn các lớp 1, 2, 3. Học sinh chủ yếu nhận biết các khái niệm ban đầu đơn
giản qua các ví dụ hoặc thông qua sự hỗ trợ của mô hình tranh ảnh … do đó
chủ yếu nhận biết cái toàn thể (cái riêng lẻ) mà chưa làm rõ mối quan hệ các
tính chất của sự vật hiện tượng. Ở giai đoạn học sinh lớp 4, 5 vẫn học tập các
kiến thức cơ bản của môn toán nhưng ở mức độ sâu hơn, khái quát hơn. Vì
vậy để dạy tốt môn toán cho học sinh lớp 4, 5 nhất là các dạng “Tìm hai số
khi biết tổng, hiệu, tỉ của hai số”.
a. Đối với giáo viên:
Giáo viên cần phải có kiến thức chuẩn của toàn cấp, phải có phương
pháp dạy học phù hợp với đối tượng nhằm mục đích tổ chức hướng dẫn cho
học sinh lĩnh hội kiến thức cơ bản của tiết học, môn học đạt hiệu quả cao.
Muốn dạy tốt môn toán người giáo viên phải có khả năng lựa chọn, vận
dụng phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh, người giáo viên
phải có vốn kiến thức vững chắc nhằm hình thành tốt các khái niệm ban đầu
giúp học sinh nắm được từng mạch kiến thức từ các lớp 1, 2, 3 đến lớp 4, 5.
b. Kiến thức mà học sinh cần nắm:
Đối với học toán có lời văn nói chung các em cần biết tính toán cụ thể
các bài toán thực tế, không những thế còn giúp cho các em phát triển được tư
duy sáng tạo qua các bài toán có tính chất nâng cao. Ngay từ lớp 1 học sinh
4
đã được làm quen với các bài toán có lời văn dạng đơn giản, ở đây các em đã
được tính toán với các con số không phải chỉ ở trong các dãy tính mà còn ở
các bài toán có văn. Cụ thể các em đã được làm quen với các lời giải cho mỗi

sinh tóm tắt bài toán dưới dạng ngắn gọn, cô đọng nhất.
Giúp học sinh phân biệt và xác định được các dữ kiện cần thiết liên quan
đến cái cần tìm, loại bỏ các tình tiết không liên quan đến việc giải quyết bài
toán.
2. Những khó khăn khi tìm hiểu đề bài và cách giải quyết.
Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu, tổng và tỉ, hiệu và tỉ là dạng
toán có lời văn vì vậy thường xen lẫn cả ba thứ ngôn ngữ: ngôn ngữ tự nhiên,
ngôn ngữ thuật toán và ngôn ngữ kí hiệu nên học sinh hay nhầm lẫn khi xác
định rõ dạng toán. Vì vậy giáo viên cần phải chú tọng đến việc kết hợp dạy
cho các em biết đọc và hiểu yêu cầu của bài toán với việc củng cố và nâng
cao trình độ Tiếng việt giúp các em hiểu được những thuật ngữ toán học.
Học sinh thường gặp khó khăn khi phân biệt các yếu tố cơ bản của bài
toán nhất là quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái phải tìm. Khi bài toán có dữ
kiện thay đổi hay thuật ngữ mới học sinh lại lúng túng. Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Bài toán: Trung bình cộng của hai số là 66. Tìm hai số đó biết
rằng số lớn hơn số bé là 12 đơn vị.
Thường thì ở dạng toán này đầu bài cho biết tổng và hiệu một cách khá
rõ ràng thông qua các thuật ngữ quen thuộc như ví dụ sau:
6
Ví dụ 2: Trung bình số cây của lớp 4A và lớp 4B trồng được là 66 cây.
Lớp 4A trồng nhiều hơn lớp 4B là 12 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu
cây?
Ở ví dụ 1, khi đọc đề bài các em còn mơ hồ chưa xác định được mối liên
hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm. Một số em không xác định được dạng toán
nên giải như các bài toán ở lớp 1, 2 đặt lời giải không đúng với yêu cầu của
bài và viết phép tính theo ý hiểu của mình, chỉ viết một phép tính cộng rồi đáp
số dẫn đến bài làm sai. Vì không xác định rõ dữ kiện của bài toán giữa cái bài
toán đã cho và cái cần phải tìm, mối liên hệ giữa tổng và trung bình cộng nên
nhiều em tóm tắt viết ngay tổng là 66 và hiệu là 12 sau đó giải theo công thức
và dẫn đến kết quả sai các em thường giải như sau:

Đáp số: Số lớn: 72
Số bé: 60
Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải toán.
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích, xác định dạng bài.
Đối với dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu trước hết học sinh phải
xác định được tổng, hiệu của hai số.
Ví dụ: Một lớp học có 28 học sinh, số học sinh trai hơn số học sinh gái là
4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái?
Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:
Học sinh trai:
Học sinh gái:
Tóm tắt như trên học sinh dễ dàng xác định được đây là dạng toán tìm
hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
Việc giúp các em nắm được phương pháp chung và thủ thuật cơ bản cần
dùng rất cần thiết.
Lập kế hoạch giải là nhằm xác định trình tự giải quyết thực hiện các
phép tính số học. Phân tích đề bài nhằm giúp học sinh loại bỏ các yếu tố thừa
hoặc tình tiết không liên quan đến việc giải toán. Đây là dạng tư duy khó đối
với học sinh tiểu học song tính chất quan trọng của nó giáo viên cần làm cho
học sinh nắm vững và làm thành thạo các bước này.
8
?
?
4
28
Ví dụ: Năm nay mẹ 32 tuổi và gấp 4 lần tuổi con. Hỏi bao nhiêu năm nữa
thì tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con?
Phân tích:
Để biết được sau bao nhiêu năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con ta cần
tính được tuổi của mẹ hoặc của con khi đó.

sinh, gây hứng thú học tập, thúc đẩy sự cố gắng tìm tòi, óc suy nghĩ, tính linh
hoạt, độc lập sáng tạo. Nói chung việc dạy cho các em giải toán dạng tìm hai
số khi biết tổng và hiệu bằng nhiều cách giải làm cho học sinh có điều kiện để
nâng cao bồi dưỡng kĩ năng giải toán tuy nhiên không kém phần quan trọng
không những chỉ biết tìm ra nhiều cách giải mà còn đánh giá chọn lọc cách
giải hợp lí nhất, đơn giản nhất mà không bị nhầm lẫn các dạng toán.
Vì vậy giáo viên cần chú trọng phát huy óc tưởng tượng và sáng tạo của
học sinh, tránh gò ép rập khuôn theo khuôn mẫu nhất định của giáo viên khi
dạy học. Ngoài cách giải thông thường, để học sinh tìm ra cách giải khác
ngắn gọn hơn, hợp lí hơn thì giáo viên cần đưa ra phân tích để lớp thấy rõ
được cái hay và kịp thời tuyên dương và học tập cách làm đó.
Ví dụ: Tổng của hai số chẵn là 30. tìm hai số biết rằng giữa chúng là 3 số
lẻ.
Cách 1: Sử dụng phương pháp tìm hai số khi biết tổng và hiệu.
Vì giữa hai số chẵn có 3 số lẽ nên số lớn hơn số bé 6 đơn vị. Vậy bài
toán trở thành tìm hai số chẵn mà tổng là 30, hiệu là 6.
Số bé:
Số lớn:
Giải:
Số bé là: (30 – 6 ) : 2 = 12
Số lớn là: 12 + 6 = 18
Đáp số: 12 và 18
10
?
?
6
30
Hoặc: Số lớn là: (30 + 6 ) : 2 = 18
Số bé là: 18 – 6 = 12
Đáp số: 12 và 18

×
7 = 35 (tuổi)
Đáp số: Tuổi con: 7 tuổi
Tuổi bố: 35 tuổi
Từ bài toán trên tôi hướng dẫn cho học sinh cách kiểm tra lại bài sau khi
giải. Hướng dẫn học sinh nhìn lại phương pháp giải, các câu lời giải với từng
bước thực hiện theo yêu cầu của bài đã hợp lí chưa, nhẩm lại kết quả phép
tính và tính hợp lí của đáp số.
Giáo viên chú ý từng bước cho các em soát lại và suy nghĩ về tính hợp lí
để cải tiến đặc biệt tạo cho các em tìm tòi các cách giải khác.
Kiểm tra đánh giá kết quả của bài toán là một yêu cầu quan trọng không
thể thiếu, khi giải bài toán bước này nhằm giúp phát huy tinh thần trách
nhiệm, lòng tin vào kết quả lao động của mỗi học sinh. Do đó học sinh cần
rèn luyện cho các em thói quen kiểm tra lại bài sau khi đã giải xong.
Thông qua các bước giải bài toán, lựa chọn phương pháp cho từng đối
tượng (dạy đến từng cá thể học sinh). Căn cứ vào thực trạng lớp, những khó
khăn hạn chế của học sinh tôi xây dựng cách dạy cho mỗi dạng toán cụ thể là:
* Dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số.
Với đề bài:
Tổng của hai số là 70, hiệu của hai số là 10. Tìm hai số đó.
- Tìm hiểu đề và xác định dạng toán:
12
10 năm
Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài.
Giáo viên hỏi: Bài toán cho biết gì? (Tổng của hai số là 70, hiệu của hai
số là 10).
Bài toán yêu cầu tìm gì? (Tìm hai số đó)
- Phân tích đề:
Vì bài toán cho biết tổng và hiệu của hai số chúng ta đi tìm số đó là hai
số nào? (bài này chính là dạng bài tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số

Số bé là: 40 – 10 = 30
Đáp số: Số bé: 30
Số lớn: 40
- Hướng dẫn học sinh kiếm tra bài toán:
Yêu cầu học sinh nhìn lại những phương pháp giải và các bước thực hiện
đã đúng với dạng toán chưa? Nhẩm lại kết quả xem đã hợp lí chưa và ghi đáp
số đúng vào cuối bài.
- Kết quả sau khi dạy thấy được 5 – 6 em trung bình và yếu còn làm sai.
- Biện pháp: Giáo viên dành nhiều thời gian giúp đỡ các em khi làm bài,
lấp lỗ hổng kiến thức cũ cho các em nhằm giúp các em xác định đúng dạng
toán và nắm vững các bước giải của dạng toán.
* Dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số:
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12m. Tìm chiều
dài, chiều rộng của hình đó biết rằng chiều dài bằng
7
4
chiều rộng.
+ Bước 1: HS đọc đề, xác định dạng toán.
14
- Phân tích: Tỉ số
7
4
cho ta biết điều gì? (học sinh học sinh nêu chiều dài
là 7 phần bằng nhau, chiều rộng là 4 phần như thế).
Chiều dài:
Chiều rộng:
+ Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải:
Yêu cầu học sinh nắm được trình tự giải quyết bài toán.
* Tìm hiệu số phần bằng nhau: 7 – 4 = 3 (phần)
* Tìm giá trị một phần: 12 : 3 = 4 (m)

bạn nữ và số bạn nam sau khi thay đổi.
Hỏi: bài toán cho biết tỉ số bạn nam và số bạn nữ sau khi thay đổi là bao
nhiêu? (
3
4
)
Dựa vào căn cứ trên học sinh nêu được đây là dạng toán tìm hai số khi
biết hiụe và tỉ của hai số. Đối với học sinh đã giải thành thạo dạng toán này
thì không yêu cầu phải vẽ sơ đồ mà lời giải hợp lí, rõ ràng, chính xác như vậy
là các em đã có kĩ năng giải toán có lời văn ở dạng bài này:
GV hỏi:
+ Khi có thêm 3 bạn nữ và chuyển đi 5 bạn nam thì số bạn nữ nhiều hơn
số bạn nam là bao nhiêu? (5 – 2 + 3 = 6)
+ Vậy làm thế nào để biết số bạn nữ khi có thêm 3 bạn?
Học sinh nêu: Lấy số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam chia cho (4 – 3 ) và
nhân với 4.
+ Muốn biết số bạn nữ lúc đầu ta làm thế nào?
Lấy số bạn nữ khi có thêm 3 bạn trừ đi 3.
+ Muốn tìm số bạn nam lúc đầu của lớp đó ta làm thế nào?
Lấy số bạn nữ lúc đầu của lớp đó cộng thêm 2.
- Thực hiện kế hoạch giải:
Giải:
16
Khi có thêm 3 bạn nữ chuyển vào và 5 bạn nam chuyển đi thì số bạn nữ
nhiều hơn số bạn nam là:
5 – 2 + 3 = 6 (bạn)
Số bạn nữ khi có thêm 3 bạn là:
6 : (4 – 3)
×
4 = 24 (bạn)

Hỏi: Khi nhìn vào sơ đồ ta thấy 96 gồm có mấy phần bằng nhau? (8
phần)
- Xây dựng kế hoạch giải:
Nhìn vào sơ đồ ta nhận thấy đây là dạng toán gì?
Xác định các bước giải của bài toán (một số học sinh nêu)
-Yêu cầu học sinh giải toán:
Giải:
+ Tìm tổng số phần bằng nhau: 3 + 5 = 8 (phần)
+ Tìm giá trị 1 phần: 96 : 8 = 12
+ Tìm số bé: 12
×
3 = 36
+ Tìm số lớn: 12
×
5 = 60 (Hoặc: 96 – 36 = 60)
Khi trình bày bài toán này có thể gộp bước 2 và bước 3 lag 96 : 8
×
3 =
36
- Hướng dẫn học sinh kiểm tra lại bài:
Yêu cầu học sinh đọc từng lời giải và phép tính đã phù hợp với các bước
giải dạng toán này chưa?
Các dự kiện và điều kiện đề ra đã đáp ứng chưa và có hợp lí không? Khi
đã hợp lí thì điền đáp số vào bài.
C. KẾT QUẢ
Qua việt tìm tòi và áp dụng các biện pháp trên vào giảng dạy tại trường
đối với dạng toán có lời văn mà cụ thể là dạng bài tìm hai số khi biết tổng và
hiệu, tổng và tỉ, hiệu và tỉ của hai số tôi nhận thấy kết quả học tập môn toán
18
?

người giáo viên phải luôn quan tâm việc đổi mới phương pháp. Kết quả của
việc này phụ thuộc vào sự sáng tạo linh hoạt và lòng yêu nghề, làm việc có kỉ
cương, tình thương, trách nhiệm của mỗi giáo viên.
19
Một điều cơ bản cần thiết nữa là người giáo viên phải nắm vững kiến
thức ở toàn bậc học để có khả năng bồi dưỡng cho học sinh và dẫn dắt các em
leo lên những nấc thang mới, tiếp thu kiến thức vừa sức, đúng với mục tiêu
của giáo dục.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi trong quá trình dạy
phát triển kĩ năng giải toán dạng tìm hai số khi biết tổng, hiệu, và tỉ của hai số
ở các lớp 4, 5. Trong quá trình viết đề tài và bước đầu thực hiện không tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của hội đồng
thi đua và các bạn đồng nghiệp để cho đề tài này càng hoàn thiện hơn và có
hiệu quả cao trong việc áp dụng vào thực tế của lớp, trường góp phần nâng
cao chất lượng học tập của học sinh.
…., ngày 03 tháng 01 năm 2013
Người viết

20