Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện
(Đề thi gồm có 01 trang)
: 01
đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs cấp huyện
năm học: 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
Câu 1 ( 4 điểm):
Cho biểu thức:
2 2
3 2
3 3 1 1 2 5 5
:
1 1 1 1
x x x x
A
x x x x x

+ +
=
ữ
+ +

.
a) Rút gọn
A
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của
A

(
E
khác
B
và
C
). Qua
A
kẻ
Ax
vuông góc với
AE
,
Ax
cắt
CD
tại
F
. Trung tuyến
AI
của tam giác
AEF

cắt
CD
ở
K
. Đờng thẳng kẻ qua
E
, song song với

Cho các số
,a b
lần lợt thoả mãn các hệ thức sau:
3 2
3 5 2011 0a a a + =
,
3 2
3 5 2005 0b b b + + =
Hãy tính
a b+
.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
1
Đề chính thức
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện
Hớng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán lớp 8
Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm
Câu1
4đ
a.
(2đ)
ĐK:
1x
2 2 2
3 2
3 3 2 1 1 1

=
2
1
2 5 5x x +
=
2
1
5 25 15
2( 2 )
4 16 8
x x + +
=
2
1
5 15
2( )
4 8
x +
Vì
2
5 15 15
2( )
4 8 8
x +


x
nên
2
1


( )
( )
3 2
( ) 2 3 12 16 2011P x x x x x m= + + +
Do đó
( )P x
chia hết cho
( 2) 2011 0x m =
2011m =
1.0
0.5
0.5
b.
(2đ)
Với
2011m =
,
( )
( )
3 2
( ) 2 3 12 16P x x x x x= + +
Do đó:
( ) 0P x =
( )
( )
3 2
( ) 2 3 12 16P x x x x x
= + +
= 0

x
(
x
>0,
x
đo bằng
km). Theo bài ra ta có quãng đờng An đã đi đã là 2
x
, suy
raquãng đờng Bình đã đi là
2
4 2
x x
=
.
Do đó quãng đờng Bình đi từ nhà đến khi gặp An là
4
x
, quãng đ-
ờng An đI từ nhà đến khi gặp Bình là
3
4 4
x x
x =
.
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là
3
16
x
(giờ), thời gian

ã
ã
BAE CAF=
( Cùng phụ với
ã
DAE
). Vậy
ABE ADF =

AE AF =
Vì
AE AF
=
và
AI
là trung tuyến của tam giác
AEF

AI
EF
. Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF,
ã
ã
IEG IFK=
( So le
trong) nên

IEG=

IFK

45KAF ACF= =
( AC là đờng chéo hình vuông ABCD, AK là
trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:
2
.
AF FK
AF FK FC
FC AF
= =
0.5
0.5
0.5
0.5
c.
2.0 đ
Theo ý a, ta có
ABE ADF =
nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng
-EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)
0.5
0.5
1.0
Câu5
2đ
Từ điều kiện đã cho ta có:
( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
1 1 2 0
2 2 2
a b a b= + + + >

,a b
Nên
2 0a b+ =
2a b + =
0.5
0.5
0.5
0.5
Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không
chấm.
điểm.
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng.
Hết
4
PHÒNG GD&ĐT
Đề thi có 01 trang
Đề: 02
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Ngày thi: …./4/2015
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)

x 2x 3x 2 y .+ + + =
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho
2x
+
dư 10, f(x) chia cho
2x
−
dư 24, f(x)
chia cho
2
4x −
được thương là
5x−
và còn dư.
2. Chứng minh rằng:

2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )a b c b c a c a b a b c b a c a c b− + − + − + − = − + −
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE =
AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng:
AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
= +
AD AM AN

4 2
2013 2012 2013x x x+ + +

( )
4 2
2013 2013 2013x x x x
= − + + +
0,5

( )
( ) ( )
2 2
1 1 2013 1x x x x x x
= − + + + + +
0.5

( ) ( )
2 2
1 2013x x x x
= + + − +
0.5
Kết luận
4 2
2013 2012 2013x x x+ + +
( ) ( )
2 2
1 2013x x x x
= + + − +
0.5
2


2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( 4) 4(2 ) (2 )
x x x x x
x x x x x
  
− − −
= −
 ÷ ÷
+ − + −
  
0.25

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2)
2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4)
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
   
− + − − + + −
   
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + − − +
   
   


. 0.25
Câu 2 (4.0 điểm)
1
(2.0
điểm)
Đặt:
2
2
2 2013
5 2012
a x x
b x x

= + −


= − −


0.25
Phương trình đã cho trở thành:

2 2 2
4 4 ( 2 ) 0 2 0 2a b ab a b a b a b+ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
0.5
Khi đó, ta có:
2 2 2 2
2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024x x x x x x x x+ − = − − ⇔ + − = − −
0.5

9 15
(x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2
4 16
 
+ − = + + = + + > ⇒ < +
 ÷
 
(2) 0.5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
(-1 ; 0)
0.5
KL
0.25
Câu 3 (4 điểm)
1
(2.0 điểm)
Giả sử f(x) chia cho
2
4x −
được thương là
5x−
và còn dư là
ax b+
.
Khi đó:
2
f ( ) ( 4).( 5 ) ax+bx x x= − − +

0.5
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng:
3
47
f ( ) 5 17.
2
x x x= − + +
0.5
7
2
(2.0 điểm)
Ta có:
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 (1)a b c b c a c a b a b c b a c a c b− + − + − + − − − + − =
Đặt:
2
2
2
x z
a
a b c x
x y
b c a y b
a c b z
y z
c
+

=


0.5

2 2 2 2 2
1
. . . . ( )
2 2 2 2 4
x z x z y z z y
y x x y z
+ − + −
= + − −
0.5

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
( ). ( ). ( ).
4 4 4
x z y z y x x y z= − + − − −
0.25

2 2 2 2 2 2
(1)
1 1
( ). ( ). 0 VP
4 4
x y z x y z= − − − = =
(đpcm) 0.25
KL:….
0.25
Câu 4 (6 điểm)
1

F
E
D
C
B
A
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác.
·
0
DAE = 90
(gt)
0.5
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25
2
(2.0 điểm)
Ta có
ΔABH ΔFAH:
(g.g)
AB BH
=
AF AH
=>
hay
BC BH
=
AE AH
( AB=BC, AE=AF)
0.5
Lại có

2
BC
= 4
AE
 
⇒
 ÷
 
nên BC
2
= (2AE)
2
⇒
BC = 2AE
⇒
E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
0.5
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5
3
(2.0 điểm)
Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

⇒
AD AM
=
CN MN

AD CN
=
AM MN


2 2
AD AD
+ =1
AM AN
   
 ÷  ÷
   
2 2 2
1 1 1
AM AN AD
=> + =
(đpcm)
0.5
Câu 5 2 điểm
2.0 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với
∀
a, b, c
∈
R và x, y, z > 0 ta có

( )
2
2 2 2
a b c
a b c
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +

⇔

( )
2
0bx ay− ≥
(luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra
⇔

a b
x y
=
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
0.75
9

( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + ≥ + ≥
+ + +
Dấu “=” xảy ra
⇔

a b c
x y z

 
+ +
 ÷
 
(Vì
1abc
=
)
0.5
Hay
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
2
a b c
ab ac bc ab ac bc a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
0.25
Mà
1 1 1
3
a b c
+ + ≥
nên
2 2 2
1 1 1

– x – 6
b/ ( x
2
-2x)(x
2
-2x-1) - 6
c/ x
4
– 14x
3
+ 71x
2
– 154x +120
Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức : A =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2006
).
1
14
1
1
1
1
(

+ +
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc
với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng
qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
b)
∆
AEF ~
∆
CAF và AF
2
= FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC
không đổi .
Câu 5:(0,5 điểm)
Chứng minh : B = n
4
- 14n
3
+ 71n
2
-154n + 120 chia hết cho 24
HẾT
Đề thi gồm có 1 trang
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……………………………….Số báo danh………………………

UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

= (x+1)(x-3)(x
2
-2x+2) 0,25
c
x
4
– 14x
3
+ 71x
2
– 154x +120
=

x
4
- 3x
3
- 11x
3
+33x
2
+ 38x
2
– 114x -40x +120
= (x-3)(x
3
– 11x
2
-38x- 40)
= (x-3)(x

x
x
xxxx 2006
1
14)1()1(
(
2
222
+
⋅
−
−−++−+
=
x
x 2006+
1
c
c) Ta có: A nguyên
⇔
(x + 2006)



±=
±=
⇔⇔
2006
1
2006
x


Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x= 7
0,25
0,25
0,25
0,25
b
12
3
3 3 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1
Ta c : 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3. . 3 .
ó
x y z z x y
z x y z x x y x y y
 
+ + = ⇒ = − +
 ÷
 
   
⇒ = − + ⇒ = − + + +
 ÷  ÷
   
0,25
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 . . 3.

∆
ABE =
∆
ADF (c.g.c)
⇒
AE = AF
∆
AEF vuông cân tại tại A nên AI ⊥ EF .
∆
IEG =
∆
IEK (g.c.g)
⇒
IG = IK .
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường và
vuông góc nên hình EGFK là hình thoi
0,5
0,25
0,5
b
b)
Ta có : <
KAF
= <ACF = 45
0
, góc F chung

∆
AKI ~

- 144n + 120
Suy ra B

24 0,5
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán 8
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a,
12
22
++− xyx
14
b,
3254276
234
+−+− xxxx
c, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho biểu thức:
( )
3
2 2 3
2 1 1 1 x 1
A 1 1 :
x x 2x 1 x x

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Câu 5:(0,5 điểm) Tìm x,y,z biết :
5
zyx
4
z
3
y
2
x
222222
++
=++
HẾT
Đề thi gồm có 1 trang
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……………………………….Số báo danh………………………

-3x
2
+ 6x +16x -32)

)163)(2)(1(
2
+−−−= xxxx
0,25
0,25
0,25
c
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x
2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) + 128
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
(y - 12)(y + 12) + 128 = y
2
- 16
= (y + 4)(y - 4)
= (x
2
+ 10x + 16)(x
2
+ 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x
2



+
+
+
+
ĐKXĐX
∉
{0;1;-1}
A=
22
32
)1)(1(
)1(
xxx
xx
+−
+
A=
1−x
x
0,25
0,25
0,5
b
Tacó:1-A=
1
1
−
−

2005 1995 4 14
x x x x− − − −
+ + + =
⇔
( )
1 1 1 1
2010 0
2005 1995 4 14
x
 
− + + + =
 ÷
 
⇔ x – 2010 = 0
⇔ x = 2010
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Ta có: x
3
+ y
3
+ xyz - xy(x + y + z)
= x
3
+ y
3
– x

a 1
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
∠
BEC=
0
135=∠ADC
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
0
45=∠AEB
do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
0,5
0,25
17
Suy ra:
2 2BE AB m
= =
0,25
b 1
Ta có:
1 1
2 2

0,25
0,5
c 1
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suyra:
GB AB
GC AC
=
,
vì
ABC
∆
~
DEC
∆
nên
HC
HD
HC
AH
DC
ED
AC
AB
===
(DE//AH)
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =

=0
zyx0
20
z
15
y2
10
x3
222
==⇔=++⇔
0,25
0,25
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2
Năm học 2014 - 2015
Môn thi:Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
18
Cho biểu thức
2 2
2 2 3 2
2 2 1 2
A 1
2 8 8 4 2
x x x
x x x x x x
 
−

bca
b
acb
a
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho
AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai
điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh
rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
= +
AD AM AN
.
Bài 5: (1,0 điểm)
. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
3 2 3
x 2x 3x 2 y .+ + + =
HẾT
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo
danh
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: TOÁN - Lớp 8

x x x x
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
+ + −
 
 
0.25

2 2
2 2
( 2) 4 ( 1)( 2)
2( 2)( 4)
x x x x x
x x x
 
− + + −
 
=
 ÷
 ÷
− +
 
 
0.25

2

1;1∈ −
0.25
Thay vào A và kết luận
Với x
{ }
1;1∈ −
thì A
∈
Z
0.5
Bài 2: (3 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a
Ta có
4 2
2013 2012 2013x x x+ + +

( )
4 2
2013 2013 2013x x x x
= − + + +
0.25

( )
( ) ( )
2 2
1 1 2013 1x x x x x x
= − + + + + +
0.25


2
- x + 1 = (x -
1
2
)
2
+
3
4
> 0
x
∀
)
0.25

x 5 0 x 5
x 6 0 x 6
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
0.25
20
2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =
{ }
6;5−
0.25

+
+
+
)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy
0.25
A
)222(
2
1
++≥

= 4
S
(gt)
2
BC
= 4
AE
 
⇒
 ÷
 
nên BC
2
=
(2AE)
2
0.25
BC = 2AE
⇒
E là trung điểm của AB, F là trung điểm của 0.25
21
N
M
H
F
E
D
C
B
A

2
3 3 2
3 7
y x 2x 3x 2 2 x 0 x y
4 8
 
− = + + = + + > ⇒ <
 ÷
 
(1) 0.25
2
3 3 2
9 15
(x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2
4 16
 
+ − = + + = + + > ⇒ < +
 ÷
 
(2) 0.25
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x +
1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; => y = 0 và kết luận
0.25
Học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.
22
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Bài 3: (1,5 điểm)
a. Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
b. Chứng minh rằng
2 2 4 2
1 1 1 1
1
2 3 4 100
P = + + + + <
Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ
ME

a)
ĐKXĐ :
0; 2; 3x x x≠ ≠ ± ≠
0.25
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ):( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
0.25

2 2 2 2
(2 ) 4 (2 ) (2 )
.
(2 )(2 ) ( 3)
x x x x x
x x x x
+ + − − −
=
− + −
0.25

2
4 8 (2 )

( vì 4x
2
> 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ) 0.25

3x
⇔ >
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0.25
Bài 2: (2,5 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
1 a

2
7 6x x+ +
2
6 6x x x= + + +
0.25
( ) ( )
1 6 1x x x= + + +
0.25
( ) ( )
1 6x x= + +
0.25
b

4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
4 2
2008 2008 2008x x x x= − + + +
0.25
( )

+ (y - 3)
2
+ 2 (z + 1)
2
= 0 khi
2 2 2
( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z− = − = + =
0.25
x = 1; y = 3; z = -1 0.25
24
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0.25
Bài 3: (1,5 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a
Ta có :
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
+ + = ⇔ =
⇔
ayz + bxz + cxy = 0 0.25
Ta có :
2
1 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
+ + = ⇔ + + =
2 2 2
2 2 2

= + + + + < + + + +
0.25

1 1 1 1 1
1
2 2 3 99 100
= − + − + + −
0.25

1 99
1 1
100 100
= − = <
0.25
Bài 4: (3,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a)
a Chỉ ra : AE = DF 0.25

AED DFC∆ = ∆

0.5
25