TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
ƠN TẬP TỐN 12
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y

+++
−∞→
=



<∞+
>−∞
)0(
)0(
a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +

y −
∞
CT CĐ −
∞
Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
2

−
là tiệm cận đứng vì
dcx
bax
cdx
+
+
−→ /
lim
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
dcx
bax
x
+
+
∞→
lim
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −

= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−

0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y +
∞
CT +
∞
y +
∞
CT CĐ CT +
∞
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y

++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/
=(af)
2
−(bf−c e).ae
∆

+−
∞→
=
(x)ε
∞→x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+

−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
y
+
∞

∞
||+
∞ −
∞

y
+
∞
+

0
)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
3
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
a.e > 0
a.e < 0
c

0
)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2


(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải
tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT
; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN

… .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/

0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u
v v
′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y


+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
1
min y
[a;b]
2
=
y
CT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
max y
[a;b]
=
y
CĐ
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
5
đổi dấu qua x
0
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1

=



có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :

*Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ∞
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
*Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim 0
x
=
→∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu

Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x

• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
* Hàm số logarit:

B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C log
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log
c
b ⇔
log b

a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/
= e
x
−> ( e
u
)
/
= u
/

x)
/
=
1
x ln a
−> (log
a
u )
/
=
u
u. ln a
′
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log
a
b
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN

[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b
v(x) u(x)
> > ≠
=





• Đặt ẩn phụ :
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f (x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−

f (x)
a
b
 
 ÷
 
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
1.
f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <



2.
f (x)
a
> b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1

b
a

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) >
b
a
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
8
hoặc
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Tài liệu ôn tập toán 12
•
( )
v(x)
u(x)
> 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) > 0
•
( )
)(
)(
xv
xu
< 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ
dang hơn.
1.
f (x)
a
>

∫
= e
x
+ C
x
a .dx
∫
=
x
a
ln a
+ C
1
(ax b)
(ax b) dx C
a( 1)
α+
+
α
+ = +
∫
α +
(α ≠-1)
dx
ax b
∫
+
=
1
a

2
Cos x
∫
=
2
(tg x 1).dx+
∫
= tgx
dx
2
Sin x
∫
=
2
(Cotg x 1).dx
+
∫
= −Cotgx
Cos(ax b).dx+
∫
=
1
a
Sin(ax+ b) + C
Sin(ax b).dx+
∫
= −
1
a
Cos(ax+ b) + C

9
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Tài liệu ôn tập toán 12
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa
một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
= −
∫ ∫
Hay

   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= +
=
⇒
+
=

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
10
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Tài liệu ôn tập toán 12
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính.
(nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:

ta tích được bằng bảng nguyên hàm
vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
∫
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**)

=
u(b)
u(a)
f (t)dt
∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
β
∫
α
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một
trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục

= =
∫
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
β
α
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
12

để tính
@ Dạng 3:
sin
.
∫
 
 
 
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b)sin(cx+d)dx
β
∫
α
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
β

Yêu cầu tính
f (x)
dx
g(x)
β
∫
α
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của
phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
13
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
Nên
f (x) r(x)
dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
.
Như vậy
h(x)dx

− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**)
để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được
dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị
thức .
Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối.
Tính
b
f (x) dx
a
∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc
có một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại khơng thuộc [a;b] thì

b
f (x) dx
a
∫
=
b
f (x)dx

b
| f (x) |.dx
a
∫
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
14
a
b
x
y
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
y g(x)
x b
=


=


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S =
b

c;y d
=


= = =

hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y
quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì
V =
d
c
2
f (y) .dyπ
 
∫
 
Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d. 2) mơđun số phức
2 2
z a bi a b= + = +
3) số phức liên hiệp z = a+bi là
z
= a − bi.
* z+
z
= 2a; z.
z

(nghiệm thực)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
15
a
b
x
y
y=f(x)
y=g(x)
x
x
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực:
b
x
2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức
b i
x
2a
− ± ∆
=
B. HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (S
xq
), diện tích tồn phần(S

4
r
3
π

* Khối lăng trụ: V= Bh.
Ph ần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
a
→
= (x;y;z) ⇔
a
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

Tính chất : Cho
a
→
= (a
1
;a
2
; a

•
a
→
k. = (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
a . b
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3
=
a
→
.
b

→
;
a
→
≠
0
→
⇔
b
→
= k.
a
→
⇔ [
a
→
,
b
→
] =
0
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z)⇔
OM
→
= x.
i
→
+ y.

)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
16
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
Thì M:
x k.x
B
A
x
M
1 k
y k.y
B
A
y
M
1 k
z k.z
B
A
z
M
1 k
−

=

−


2
+

=


+

=


 +
=


•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
1
x (x x x )
B
G A C
3
1
y (y y y )
B
G A C
3
1
z (z z z )
B

 ÷
 ÷
 
* [
a
→
,
b
→
] ⊥
a
→
; [
a
→
,
b
→
] ⊥
b
→
• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :

a
→
,
b
→
,
c

≠ 0
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
2
1
2 2
AB AC (AB.AC)
2
→ →
−
Hoặc S
ABC
=
2
1
.[
AB
→
,
AC
→
]
• Thể tích tứ diện ABCD : V
ABCD
=
1
6
[
AB

Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R =
2 2 2
A B C D+ + −
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M
1

A
2
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)
bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2

Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S (

α
n
làmVTCP
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
18
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
(d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +

thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M
0
:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+) Tính
→
IM
0
+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M
0

Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng:
* (ABC): +) tính
AB ? ; AC ?= =
uuur uuur

+) VTPT của (ABC) là
n [AB,AC]=
r uuur uuur
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT
n
r
.
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT
a
n [u ,AB]=
r uur uuur
với A∈ a; B ∈ b.
Nếu a cắt b thì
a b
n [u ,u ]=
r uur uur
*(A;a) thì VTPT
a
n [u ,AB]=
r uur uuur
với B∈ a.
* (α) //(β) thì VTPT
n n
α β
=

uur
=
a
r
)
*(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT
P Q
n [n ,n ]
α
=
uur uur uuur
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
+) Tính vectơ
AB
uuur
.
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT
AB
uuur
.
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
19
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Tài liệu ôn tập toán 12
a
n [n ,u ]
α β
=

r
* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP
AB
uuur
.
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP
D
u
uuur
.
*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là
n
α
uur
.
* ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì
+) VCTP của ∆ là
u [n ,n ]
α β
=
r uur uur
.
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M?
=> ∆ đi qua M có VTCP là
u [n ,n ]
α β
=
r uur uur
u [n ,n ]
α β

+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là:
u [BC,n]=
r uuur r
= ?
=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP
u [BC,n]=
r uuur r
.
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ∆ABC.
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là
n [BC,AC]=
r uuur uuur
= ?.
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là:
u [BC,n]=
r uuur r
= ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC.
=> Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP
u [BC,n]=
r uuur r
.
Bài toán 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
20
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Tài liệu ôn tập toán 12
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là
n

n
α
uur
.
+) giải hệ gồm
PTmp( )
PT(D)
α



+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
+) Tọa độ điểm đối xứng A
/
:
x 2x x
H
/
A
y 2y y
H
/
A
z 2z z
H
/
A

= −


/
A
z 2z z
H
/
A

= −


= −


= −


Bài toán 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A
/
x + B
/
y + C
/
z + D
/
= 0
vôùi
n
→

A
=
B
/
B
=
C
/
C
≠
D
/
D
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
21
TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ
Tài liệu ơn tập tốn 12
(P) cắt (Q)<=>
A
/
A
≠
B
/
B
∨
B
/
B
≠

n
→
và
n
→
′
không cùng phương
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d
1
) và (d
2
).
Xác định các VTCP
u
→
=(a;b;c) ,
/
u
→
=(a
/
;b
/
; c
/
) ;Tính [
u
→
,
/


∈(d
2
) thì d
1
≡ d
2

Nếu [
u
→
,
/
u
→
] ≠
0
→
. Ta giải hệ
{
1 2
d d=
theo t và t
/
(cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành
phần ).
+) hệ có nghiệm duy nhất t và t
/
thì d
1

.
n
r
≠
0 thì (D) cắt mp(P).
Nếu
u
r
.
n
r
= 0 thì chọn điểm M bất kỳ trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) nếu thỏa mãn thì
(D) ⊂ mp(P). còn ngược lại thì (D)//mp(P).
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
d(A;(α)) =
Ax By Cz D
0 0 0
2 2 2
A B C
+ + +
+ +
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)

* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d
/
).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của (α) là
/
P d
d
n [u ,u ]=
uur uur uuur

=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT
/
P d
d
n [u ,u ]=
uur uur uuur
* Chọn điểm N bất kỳ trên (d
/
) . Tính d(N, mp(P)) =?
=> d((d), (d
/
)) = d(N, mp(P))
Bài toán 6: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A
1
x+B
1
y+C
1

Với
·
((mp(Q),mp(P))ϕ =

* Góc giữa đường thẳng (D):
x x at
0
y y bt
0
z z ct
0

= +

= +


= +

và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là
SinΨ =
n .u
P D

n . u
P D
uuruur
uur uur
=
2 2 2 2 2 2

/ /
0 2
/ /
0 2
/ /
0 2
x x a t
y y b t
z z c t

= +


= +


= +


thì
u .u
1 2
cos =
u . u
1 2
ϕ
ur uur
ur uur
=
a a b b c c