CHƯƠNG 1
SỰ HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LOGIC TOÁN
1.1. Các hướng cải cách logic hình thức của Arixtốt và sự ra đời của logic toán.
1.1.1. Các hướng cải cách logic học Arixtốt.
Logic hình thức từ thời Arixtốt đã ở dạng khá hoàn chỉnh. Ba quy luật cơ
bản của tư duy logic hình thức là quy luật đồng nhất, quy luật cấm mâu thuẫn
logic và quy luật loại trừ cái thứ ba đã được trình bày một cách khá rõ ràng trong
bộ Orgamôn. Trong tác phẩm Orgamôn, tuy chưa có sự trình bày về quy luật lý
do đầy đủ, nhưng thực chất Arixtốt đã nắm vững quy luật này khi ông giảng dạy
cho học trò về các tình thái logic và quan hệ nhân quả. Các phương pháp suy
luận cũng đã được thể hiện một cách có hệ thống. Tuy nhiên, do hiểu biết của
con người về tự nhiên và xã hội ở thời kỳ cổ đại còn khá ngây thơ nên logic hình
thức cũng mang tính trực quan và sơ cấp. Trải qua rất nhiều thế kỷ, logic hình
thức không có một bước đột phá nào đáng kể mà nó còn bị Thiên chúa giáo làm
biến dạng để có thể cùng đi trên một con đường với triết học kinh viện thời
Trung cổ.
Đến thời kỳ Phục Hưng, nhiều phát hiện mới trong toán học và khoa học tự
nhiên xuất hiện làm thay đổi đáng kể thế giới quan của con người. Logic học
(với tư cách là tư duy cấp hai) đã bộc lộ một số hạn chế so với tư duy khoa học
đương thời. Nhiều ý tưởng cải cách logic hình thức của Arixtốt, xây dựng một
kiểu của logic học mới đã xuất hiện. Xét trong phạm vi phát triển của logic hình
thức, có thể chia các ý tưởng cải cách này thành hai xu hướng chính: Xu hướng
thứ nhất là xây dựng logic quy nạp mà tiêu biểu là Bêcơn (1561-1626); Xu
hướng thứ hai là xây dựng logic diễn dịch mà tiêu biểu là Đềcác và Lépnít.
Hướng xây dựng logic quy nạp được trình bày trong tác phẩm “Công cụ
mới” của Ph.Bêcơn. Trong tác phẩm “Công cụ mới”, logic hình thức của Arixtốt
được xem xét như một thứ logic học chỉ biết nghiên cứu tới luận ba đoạn. Với tư
cách vừa là nhà triết học, vừa là nhà khoa học thực nghiệm, Bêcơn cho rằng cần
phải tiến hành thí nghiệm để làm phong phú những hiểu biết của con người thay
cho việc tranh giành chân lý bằng lý luận; nếu cứ lao vào luận ba đoạn với
những dạng thức suy diễn được xây dựng trên nó thì không thể tìm kiếm được

thuyết khoa học. Con đường của Đềcác sau này được nhà logic học người Đức
Lepnit nhiệt tình ủng hộ và tiếp bước. Lepnit cũng là người đưa ra quy luật lý do
đầy đủ và hoàn thiện hệ thống bốn quy luật cơ bản của tư duy logic hình thức.
Nh vậy Đềcác và Lépnít là đại diện cho hướng xây dựng và phát triển logic diễn
dịch. Cũng chính hai ông là những người có những ý tưởng đầu tiên về việc xây
dựng logic toán.
1.1.2. Sự hình thành và phát triển của logic toán.
Trong đà phát triển mạnh mẽ của khoa học tư nhiên cuối thế kỷ 17, người
ta nhận thấy vai trò đắc lực của toán học trong việc phát hiện các quy luật vận
động của thế giới vĩ mô và thế giới vi mô. Các nhà triết học, logic học cũng tìm
cách sử dụng toán học để nghiên cứu các thao tác của tư duy logic. Nổi lên trong
trào lưu này trước hếtd phải kể đến lépnít. Ông cho rằng cần phải xây dựng logic
học theo các nguyên tắc toán học. Một mặt ông đánh giá cao tính chặt chẽ và
chính xác của toán học. Mặt khác ông cho rằng logic học có nhiều điểm tương
đường với toán học. Theo ông thì bất kỳ suy luận nào, kể cả suy luận trong toán
học và suy luận ngoài toán học đều có thể thực hiện dưới hình thức các phép
toán. Ông hy vọng với các phép toán như vậy, việc nghiên cứu về tư duy trong
phạm vi của logic học sẽ được giải quyết một cách đầy đủ và chính xác. Phương
pháp của Lépnít là gán cho mỗi khái niệm cơ bản một ký hiệu riêng, đồng thời
xây dựng quy tắc liên kết các ký hiệu này dựa trên quan hệ giữa các khái niệm
được ký hiệu hóa. Khi đó các thao tác logic của tư duy sẽ được thể hiện dưới
hình thức các biểu thức tương tự các biểu thức toán học. Với phương pháp này,
các hình thức và các thao tác của tư duy sẽ được nhìn nhận một cách rõ ràng
hơn, các suy nghĩ của con người sẽ được hình thức hóa một các tường minh hơn,
và quan trọng hơn cả là bản thân suy nghĩ của chúng ta cũng tránh được những
sự rườm rà không cần thiết. Tuy nhiên những ý tưởng đúng đắn của Lépnít cũng
chưa được thực hiện hóa một cách đáng kể ngoài một công trình nghiên cứu
được ông xây dựng nhưng chưa hoàn chỉnh và ông cũng không công bố công
trình này, vì ông không cảm thấy hài lòng về nó. Chúng ta có thể lý giải về
nguyên nhân của hiện tượng này là do trình độ phát triển của toán học đường

với các hàm số toàn học đủ khả năng biểu diễn các mệnh đề cụ thể. Chẳng hạn
công thức ∃xP (x) sẽ biểu diễn mệnh đề “Có những người là sinh viên” và công
thức ∀y∃xQ(x,y) sẽ biểu diễn mệnh đề “Mọi người đều có Ýt nhất một người
khác là bạn của mình”. Các phán đoán đơn trong logic hình thức truyền thống
cũng được biểu diễn lại theo ngôn ngữ toán học. Chẳng hạn “Mọi S là P” sẽ
được biểu diễn lại là ∀x(S(x) -> P(x)); “Tông tại S là P” được biểu diễn lại là
∃x(S(x)ΛP(x). Sáng kiến của Phêghe đánh dấu sự ra đời của một ngành logic
toán hoàn toàn mới mẻ - logic vị từ. Với sự ra đời của logic vị từ, cơ cấu logic
của các mệnh đề sơ cấp cùng với các dạng thức suy luận trực tiếp và các dạng
thức suy luận gián tiếp từ tiền đề không chứa mệnh đề phức hợp lại được nghiên
cứu một cách sâu sắc hơn so với trong logic hình thức truyền thống, do đó mà
đạt được những kết quả mới có độ khái quát và chính xác cao hơn.
Khi logic mệnh đề và logic vị từ tương đối định hình cũng là lúc phương
pháp tiên đề hóa - một phương pháp đặc trưng của toán học đã tỏ ra rất thành
công trong việc tiên đề hóa các lý thuyết hình học và đại số. Phương pháp này
cũng đang lan tràn sang các lĩnh vực khoa học lân cận với toán học và xâm nhập
vào logic toán vào cuối thập niên bảy mươi của thế kỷ 19. Tác phẩm “Phép tính
khái niệm” của Phêghe xuất bản năm 1879 đã đưa ra hệ tiên đề logic đầu tiên.
Nhiều hệ tiên đề logic tiếp theo đã xuất hiện vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20.
Việc trình bày logic toán học dưới dạng các lý thuyết tiên đề làm cho quá trình
suy luận trong đó trở nên trừu tượng hơn, nhưng cũng chính xác hơn. Chúng ta
sẽ nghiên cứu hỹ hơn về phương pháp tiền đề hóa trong logic toán và kết quả
của nó là các hệ tiên đề logic khi bàn về phương pháp đặc trưng của logic toán
(phương pháp hình thức hóa, phương pháp tiên đề hóa) và những nội dung cơ
bản của nó (logic mệnh đề, logic vị từ).
1.1.3. Phương pháp của logic toán.
Về cơ bản, logic toán (lưỡng trị) vẫn trung thành với những nguyên lý cơ
bản của logic hình thức truyền thống. Nét đặc trưng quan trọng nhất của logic
toán lại nằm ở phương pháp nghiên cứu của nó. Trong logic toán, các phương
pháp của toán học được sử dụng mạnh mẽ để giải quyết những vẫn đề của logic

cứu chính xác hơn cấu trúc và quy luật logic của quá trình tư duy. (phương pháp
tiên đề hóa). Lý thuyết tiên đề được xây dựng hoàn chỉnh khi xác định rõ bốn
yếu tố:
Yếu tè số 1: Ngôn ngữ của lý thuyết tiên đề, gồm một hệ thống các ký hiệu,
trong đó mỗi ký hiệu hay nhóm ký hiệu sẽ tương ứng với một khái niệm (công
thức, phép toán…).
Yếu tè số 2: Định nghĩa công thức. Các công thức trong logic toán được
định nghĩa theo phương pháp đệ quy. Ban đầu có một nhóm ký hiệu sẽ được gọi
là công thức, sau đó xác định quy tắc tạo ra công thức mới từ các công thức ban
đầu.
Yếu tè số 3: Hệ thiên đề, bao gồm một số công thức hằng đúng tiêu biểu.
Các công thức hằng đúng được lựa chọn làm tiên đề Ýt nhất cần đảm bảo tính
độc lập và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề.
Yếu tè số 4: Quy tắc dẫn xuất. Đay là quy tắc để tạo ra các công thức hằng
đúng từ các tiên đề. Công thức mới được tạo ra từ các tiên đề theo đúng quy tắc
dẫn xuất gọi là công thức dẫn được. Quá trình tạo ra các công thức dẫn được từ
các tiên đề gọi là quá trình dẫn xuất.
Nh vậy các tri thức được tạo ra trong lý thuyết tiên đề đều tồn tại dưới dạng
các công thức dẫn được và quá trình tạo ra các tri thức đó chỉ được thực hiện
trên cơ sở các yếu tố đã có trong hệ tiên đề. Cách làm như vậy đã tạo cho logic
toán có được khả năng cắt giảm được các yêu tố trực giác, các mối liên hệ mang
tính nội dung cụ thể và quá trình suy luận được thực hiện dưới dạng logic lý
tưởng, mang tính chính xác và chặt chẽ cao. Các tri thức mới được tạo ra với tư
cách là kết quả của các hoạt động toán học, nói nh Ăngghen, sẽ đạt tới sự chính
xác hoàn hảo hơn. Sự ra đời của các hệ tiên đề logic cùng với các quy tắc dẫn
xuất tương ứng có thể xem như sự một kết quả đạm nét của phong cách tư duy
toán học trong nghiên cứu logic học. Đây hoàn toàn không phải là những sản
phẩm tùy tiện của đầu óc suy tưởng toán học, mà là kết quả của sự phát triển
nhận thức của nhân loại thông qua thực tiễn nghiên cứu khoa học của nhiều thế
hệ, đúng như Lênin đã nhận xét trong bót ký triết học “Hoạt động thực tiễn của

đúng hay sai của một mệnh đề nghĩa là người ta nói đến giá trị chân lý của mệnh
đề đã cho: “Giá trị chân lý của mệnh đề A là đúng ” hoặc là “Giá trị chân lý của
mệnh đề A là sai”.
Nh vậy, thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lên tập
hợp B gồm hai phần tử, một trong chóng mang tên là đúng, còn phần tử kia
mang tên là sai. Nếu từ đúng hiển thị bằng số 1 và từ sai hiển thị bằng số 0 thì ta
có thể nói rằng giá trị chân lý của mệnh đề A bằng 1 hoặc bằng 0. Một số tài liệu
dùng 1 = T; 0 = F.
Trong đại số thông thường, các chữ có thể biểu thị hoặc là một số xác định
nào đó hoặc là một số bất kỳ trong một tập hợp số nào đó. Trong đại số mệnh đề
cũng cần phải dùng các chữ để hiển thị một mệnh đề xác định cũng như biểu thị
một mệnh đề bất kỳ. Trong trường hợp đầu ta dùng các chữ hoa đầu trong bảng
chữ cái La tinh A, B, C (có thể dùng với các chỉ số), trong trường hợp sau ta
dùng các chữ hoa cuối của bảng chữ cái La tinh X, Y, Z, (có thể dùng với các
chỉ số). Mỗi chữ dùng để biểu thị một mệnh đề bất kỳ (biến đổi) sẽ gọi là một
“biến mệnh đề”. Chú ý rằng biến mệnh đề không phải là một mệnh đề, và nếu
nói rằng giá trị của một biến mệnh đề X bằng 1 hoặc bằng 0 (X lấy giá trị đúng
hoặc sai) thì là nói về một mệnh đề cụ thể A nào đó đã thế vào X.
Ví dô: X là số chẵn (không là mệnh đề)
10 là số chẵn (là một mệnh đề)
Trong đại số mệnh đề, các liên kết đóng vai trò nh các phép toán, gọi là các
phép toán logic, hay các phép toán trên mệnh đề.
* Phép toán phủ định: Ta xét mệnh đề A. Phủ định của A là một mệnh đề,
ký hiệu là A (và đọc là “không A”), nó đúng khi A sai và sai khi A đúng.
Phép toán này được xác định bằng một bảng, gọi là bảng chân lý.
A A Phép toán phủ định tương ứng với liên kết logic “không”.
0 1
1 0
* Phép toán hội: Hội của các mệnh đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là
A Λ B (đọc là “A và B”) mà các giá trị của nó được xác định bằng bảng sau đây:

0 1 1
1 1 1
Phép kéo theo đóng vai trò rất quan trọng trong các suy luận (điều đó sẽ
được làm sáng tỏ dưới đây). Nhờ phép kéo theo mà hình thành được các định
nghĩa của các khái niệm khác nhau, các định lý và các uy luật khoa học.
Trong suy luận, từ mệnh đề kéo theo A -> B đúng và tiền đề A đúng, ta có
thể đưa ra kết luận là B đúng.
Theo định nghĩa của phép kéo theo, các mệnh đề: Nếu “2 là một số nguyên
tố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau”, hoặc là nếu “4 là một số
nguyên tố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau” là hoàn toàn đúng,
mặc dầu tiền đề và hệ quả trong các mệnh đề này không liên hệ gì với nhau về
mặt nội dung.
* Phép toán tương đương: Phép tương đương của các mệnh đề A và B là
một mệnh đề, ký hiệu là A ⇔ B (đọc là A tương đương với B) mà giá trị của nó
được xác định bằng bảng:
A B
A⇔ B Mệnh đề A ⇔ B lấy giá trị đúng chỉ trong trường
hợp cả hai mệnh đề A và B đều đúng hoặc đều sai.
0 0 1
1 0 0
Nếu A và B liên hệ với nhau theo nghĩa này thì
phép tương đương tương ứng với liên hệ logic “
khi và chỉ khi ”.
0 1 0
1 1 1
Khái niệm tương đương đóng vai trò quan trọng trong khoa học. Ta sẽ dùng
tới phép này khi nói tới các mệnh đề A và B sao cho từ A đúng suy ra B và từ B
đúng suy ra A đúng.
Ví dụ: Giả sử A và B là nh nhau: A là mệnh đề “số 3n là chẵn” còn B là “số
n là chẵn”. Phép tương đương của A và B trong trường hợp này có nghĩa là: “số

)] Λ (X
1
V X
4
) v.v
Các biểu thức nhận được nh vậy gọi là công thức xây dựng trên các biến
mệnh đề gốc (các biến mệnh đề gốc cũng được gọi là công thức).
Nhờ các dấu ngoặc ta xác định được thứ tự thực hiện các phép toán khi lập
công thức.
Trong trường hợp tổng quát, ta viết công thức lập nên từ các biến mệnh đề
dưới dạng A (X
1
X
n
). Đặc biệt:
A(X
1
, X
2
, X
3
) = [(X
1
V X
2
-> X
3
) Λ (X
1
V X

lại thực hiện trước các phép toán kéo theo và tương đương. Do đó công thức 2
có thể viết nh sau: A = (X
1
V X
2
-> X
3
) Λ (X
1
V X
3
). Còn trong công thức :
B = (X
1
-> X
3
) Λ (X
1
-> X
2
) thì không thể bỏ đi một cặp dấu ngoặc nào.
Các giá trị logic của công thức A (X
1
, X
n
) được xác định từ các giá trị
logic của các biến mệnh đề (1). Vì rằng các giá trị logic của X
i
là các phần tử
của tập hợp B = {0; 1 } nên công thức A có thể xem nh một hàm số, hay một

0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Tám hàng của ba cột thứ nhất chứa tất cả các hệ thống có thể có được của
các giá trị của các biến mệnh đề gốc X
1
, X
2
, X
3
trong công thức B. Mỗi hệ thống
này (000, 001, 111) là một số ba hàng trong hệ đếm cơ số hai và ở đây ta đã
đưa ra được tất cả các số ba hàng của hệ này gồm đúng 2
3
số. Bảng giá trị logic
cho một công thức gồm n biến mệnh đề gốc có 2
n
hàng, vì rằng mỗi một hệ
thống giá trị của các biến mệnh đề gốc lập thành một số nhị phân n hàng, mà tất
cả có 2
n
sè n hàng trong hệ nhị phân.
Với một công thức cho trước tùy ý, sau khi thay đổi mỗi biến mệnh đề có
mặt trong công thức bằng một mệnh đề cụ thể, giá trị logic của công thức có thể
bằng 1 hoặc bằng 0 phụ thuộc vào giá trị của các biến mệnh đề. Tuy nhiên, có
những công thức mà giá trị logic của nó không phụ thuộc vào giá trị logic của
các biến mệnh đề, chẳng hạn công thức p
->

Cũng bằng cách nh vậy có thể nghiệm lại rằng cũng có các hệ thức tương
đương sau đây thiết lập mối liên hệ giữa các phép toán hội và tuyển.
8.  X V  Y =  ( X Λ Y)
9.  X Λ  Y =  (X V Y)
Các hệ thức tương đương 8 và 9 gọi là quy luật Đờ Moocgan.
Ta hãy ký hiệu các công thức hằng đúng là Đ và các công thức hằng sai là S.
Ta có hệ thức tương đương:
10. X Λ Đ ≡ X
11. X Λ S ≡ S
12. X V Đ ≡ Đ
13. X V S ≡ X
14. X Λ X ≡ X
15. X V X ≡ X
Các tính chất của phép toán hội và tuyển biểu thị bằng các hệ thức tương
đương 14 và 15 gọi là tích lũy đẳng (từ gốc latinh idem là “cùng một”, potents là
“độ mạnh”).
16. (X -> Y) ≡  X V Y
Từ các hệ thức tương đương 1, 4, 16 ta suy ra:
 Y →  X ≡  ( Y) V  X ≡ Y V  X ≡  X V Y
Vì thế theo tính chất tương đương ta được:
17. (X -> Y) ≡ ( Y ->  X)
Hệ thức tương đương này gọi là tính phản vị trí.
Cũng có hệ thức tương đương sau đây liên hệ giữa phép kéo theo và phép
toán tương đương.
18. (X ≡ Y) ≡ (X -> Y) Λ (Y -> X)
Từ các hệ thức tương đương 16 và 18 ta được:
19. (X ≡ Y) ≡ ( X V Y) Λ (X V  Y)
Suy ra rằng, tất cả các hệ thức tương đương từ 1-19 vẫn đúng khi thay mỗi
biến mệnh đề tham gia trong đó bằng một công thức bất kỳ/
1.2.2. Hệ toán mệnh đề.

Trong phần này ta nghiên cứu hệ hình thức thể hiện nội dung của đại số
mệnh đề.
Hệ toán mệnh đề được xác định theo 4 yếu tố sau:
Yếu tè 1: Tập ký hiệu: A; B ; C; X ; Y; Z V; 1;  →; ⇔ ; ( )
Yếu tè 2: Định nghĩa công thức
a. Mỗi ký hiệu: A; B; C; X ; Y; Z là một công thức gọi là mệnh đề sơ
cấp.
b. Nếu A, B là công thức thì: A Λ B; A V B; A →B; A ⇔ B;  A còng là
những công thức.
c. Chỉ những biểu thức ở a, b mới gọi là công thức. Ở đây ta cũng áp dụng
các quy tắc bỏ dấu ngoặc hoặc viết gọn.
Yếu tè 3: Hệ tiên đề: Các tiên đề được chia làm 4 nhóm :
Giả sử A; B; C là các công thức bất kỳ.
Nhóm I: 1. A → (B → A)
2. (A → (B → C) → [(A → B) → (A → C)]
Nhóm II: 1. A Λ B → A
2. A Λ B → B
3. (A → B) → [(A → C) → (A → (B Λ C)]
Nhóm III: 1. A → (A V B)
2. B → (A V B)
3. (A → C) → [(B → C) → [(A V B) → C)]
Nhóm IV: 1. (A → B) → (B → A)
2. A →  ( A)
3.  ( A) → A.
Yếu tè 4: Quy tắc dẫn xuất.
Quy tắc thế: A là công thức đúng trong hệ toán mệnh đề.
Ta thay A bằng B bất kỳ, công thức vẫn đúng.
Quy tắc kết luận: A và A →B là công thức đúng hay hệ toán mệnh đề thì B
cũng là công thức đúng. Có nghĩa là B dẫn từ các công thức A và A → B (ta gọi
quy tắc này là MP).

sai.
Ở đây, khi mỗi mệnh đề được gắn với một đối tượng nhất định để miêu tả
thì nó mới nhận giá trị logic.
Ví dô: “x là chất lỏng”
(*)
, khi thay x bằng nước ta thu được mệnh đề đúng,
trái lại x bằng đồng chẳng hạn đó là một mệnh đề sai.
Chó ý: “đối tượng” có thể gồm hai hay nhiều thành phần (ngôi) nh các
mệnh đề “x là bạn của y”; “x, y, z cùng là các thành phố lớn”
Thông thường mỗi mệnh đề chỉ nhằm mục đích thể hiện tính chất của một
số đối tượng nhất định nào đó ở (*) cũng dễ nhận thấy rằng ta nên gán cho x là
một chất hóa học nào đó thay vì là một tên riêng của người hay gì khác. Với mỗi
mệnh đề, tập các đối tượng như vậy được gọi là “trường”. Trường có thể là cặp
các đối tượng nh cặp hai người ở ví dụ thứ hai, hoặc bô ba địa danh trong ví dụ
thứ ba
Như vậy, ta ký hiệu một mệnh đề chỉ tính chất P nào đó trên trường M là
P(x), tức là x có tính chất P, với x là phần tử thuộc M. Nếu mệnh đề Q nói về
cặp hai phần tử của M viết Q(x,y)
Ví dô: + P(x); “x là số nguyên tố (xác định trên tập số nguyên tố). (M)
Khi thay x = 17 → mệnh đề đúng
x = 16 → mệnh đề sai.
+ Q (x, y); “x bé hơn y, xác định trên tập số thực (M)
Khi thay x = 6 ; y = 7 → mệnh đề đúng
x = 6; y = 5 → mệnh đề sai.
Các mệnh đề P(x); Q(x,y) gọi là các “vị từ” xác định trên trường M; ký
hiệu hình thức x, y được gọi là biến đối tượng; các phần tử đã rõ, xác định của
M được gọi là “hằng đối tượng” thường biểu thị bởi a, b, c các chữ in thường
ở đầu bảng chữ cái; khi gán một hằng đối tượng sẽ xác định giá trị logic của
mình. Các vị từ trên cùng một trường M chỉ xuất hiện một cách hình thức thì
được gọi là biến vị từ. Ngoài ra, biến vị từ nh khái niệm biến mệnh đề đã định

không tồn tại a như vậy.
Trong các công thức: ∀x A(x) và ∃xA(x) các lượng từ ∀x và ∃x liên quan
tới biến x hay là biến x bị ràng buộc bởi lượng từ tương ứng.
Biến không bị ràng buộc bởi lượng từ nào gọi là biến tự do.
Ví dô : ∀x
1
(Q(x
1
,x
3
) V ∃x
2
P(x
1
,x
2
,x
3
))
x
1
, x
2
là biến ràng buộc; x
3
là biến tự do.
1.3.2. Các quy tắc cơ bản
Đây là trọng tâm của logic vị từ, nhằm thể hiện những suy luận trong hệ
logic này, từ đó sẽ rót ra những vận dụng phong phú và thiết thực. Cuối cùng
một số kỹ thuật và thao tác cơ bản trên các vị từ sẽ đưa lại hình ảnh trực quan về

này còn đúng với các vị từ và trường đối tượng khác. Hơn nữa, hoàn toàn tương
tự:
∃xQ(x) tương đương với  (∀x Q(x))
Để đi đến định lý tổng quát về dạng của các công thức, ta đề cập vài công
thức tương đương thường gặp khác nh:
1.  (A V B) ≡  A Λ  B
2.  (A Λ B) ≡  A V  B
3. A → B ≡  A V B
4.  (A) ≡ A
5.  (∀xi; A) ≡ ∃xi A
Trong đó, việc chứng minh các công thức tương đương trên nh trong đại số
mệnh đề. (A, B là các vị từ logic).
Ví dụ: (Công thức 5)
 ∀x P(x) ≡ ∃ x  P(x)
Từ đó suy ra:
 ∃x P(x) ≡ ∀x  P(x)
∀x ∀y P(x, y) ≡ ∀y ∀x P(x; y)
Mọi sự tương đương trong logic mệnh đề đều được sử dụng trong logic vị
từ, đặc biệt:
(A->B) tương đương với  A V B
1. (∃(x)) (A(x) -> ∀y B(y)) tương đương với ∃x ( A  x) V ∀y B(y)
2. ∀x F(x) → B(y) →∀z (Hz)  (∀xF(x) V ( B(y) V∀z H(z)
Các ví dụ minh họa được nêu ra tương đối dễ dàng, chẳng hạn với 1.
“Có một câu chuyện mà nó xảy ra thì mọi người đều ngạc nhiên” tương
đương với “Có một câu chuyện mà hoặc nó không xảy ra hoặc mọi người đều sẽ
ngạc nhiên”.
Công thức 2 đã đưa về dạng cuối cùng có tính chất:
+ Không chứa dấu ->
+ Dấu phủ định chỉ trực tiếp liên quan đến các biến vị từ hoặc biến mệnh đề.
+ Các dấu lượng từ (∀ và ∃) đứng trước (ngoài) mọi dấu liên kết khác.