ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)
C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau
a)
2
2
lim
11 3
x
x
x
→−
+
+ −
b)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
+
c)
2
3 5
lim
2 4



+
−−
=
4
1
2
)(
2
x
xx
xf

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh AC vuộng góc với mp(SBD)
b) Chứng minh DC vuông góc với SC
c) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm B lên các đường thẳng SA và SC. Chứng
minh mp(SBD) vuông góc với mp(BMN).
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm
y'
của hàm số
x
y =
sin3x
. (1,0 điểm)
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số

′
≤−

.
Xác định giá trị của m để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó ?
Nếu x
1−≠
Nếu x= -1
Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, có đáy MNPQ là hình vuông cạnh a và O là
tâm của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO =
a 6
6
. Gọi A
là trung điểm của PQ.
a) Chứng minh rằng PQ
⊥
mp(SAO). b) Tính góc giữa SN và mp(MNPQ); tính theo a
khoảng cách từ điểm O tới mp(SPQ).
1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:
Câu 5.a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số
y = xcosx
. Chứng minh rằng:
2(cosx y') + x(y''+ y) = 0
−
.
(1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực
m:
2 2007
(1 m )x 3x 1= 0

f(x) = (a R)
x
ˆ
a ne u x = 0

− −
′
≠
∈


′

.
Xác định a để hàm số f có đạo hàm tại điểm
0x =
. Khi đó tính đạo hàm của hàm số tại
điểm
0x
=
.
Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Tính góc giữa hai mặt

4
lim
2( 5 6)
x
x
x x
→
−
− +
Câu 2 Cmr f(x) =
2
9
khi x 3
3
1 khi x = 3
x
x

−
≠−

+

−

gián đoạn
tại x = −3
Câu 3: hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a
2
, M là trung

lim ( 3 )
x
x x x
→−∞
− + +
; b)
3 2
3
2
3 9 2
lim
6
x
x x x
x x
→
+ − −
− −
; c)
2
1 2
lim
2 3
x
x
x x
→∞
−
+ −
.

1
y x
x
= −
tại giao điểm của nó với trục hoành .
CÂU 1: Tính: 1)
2
2
1 1
lim ( )
2
4
x
x
x
+
→
−
−
−
; 2)
2
3
3 1
lim
3
x
x x
x
+

. Gọi I là trung điểm
BC.
a) Cmr (SBC) ⊥ (SAI). b) Tính d[A,(SBC)]. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).d)
Tính d[SA, BC].
CÂU 4: 1)Tính y’:
2 4
2 3 1 cosx x
a)y= + 3x+1- + ; b)y = +
x x sinx
x x
2) Cho (C): y = x
3
− 3x
2
+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến vuông góc
d:
1
y = - 1
3
x
+
.
Hết
ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn: TOÁN 11 – NĂM HỌC 2009-2010
Câu Ý Nội dung Điểm
1 2,0 đ
a
Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số
cos 2

cos2 2 sin 2
'
cos 2
x x x
y
x
+
=
0,25
b
Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của đồ thị (C) của hàm số
3
( ) 2 3 1y f x x x= = − + −
, tại giao điểm của (C) với trục tung.
1,0 đ
(C) cắt Oy tại M(0; −1).
0,25
2
' '( ) 6 3y f x x
= = − +
0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến:
'(0) 3f
=
. 0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M là:
3 1y x= −
.

− + +

0,25
( )
1
( 1)(4 3)
lim
( 1) 2 3
x
x x
x x x
→
− +
=
− + +

1
4 3
lim
2 3
x
x
x x
→
+
=
+ +
0,50
1
2 3 7


= ∈
−


′
+ ≥

¡
liên tục trên tập xác định của nó ?
1,5 đ
TXĐ: D =
¡
. 0,25
Với mọi x < 2 , hàm số
4
8
( )
2
x x
f x
x
−
=
−
liên tục trên khoảng (−∞; 2).
Với mọi x > 2 , hàm số
( ) 1f x ax
= +
liên tục trên khoảng (2; +∞).

2
23
lim ( ) (2) 2 1 24
2
x
f x f a a
→
= ⇔ + = ⇔ =
.
Vậy
23
2
a
=
là giá trị cần tìm.
0,50
4 2,5 đ
a Chứng minh rằng CD
⊥
mp(SMO). 1,25 đ
ϕ
M
O
C
A
D
B
S
H
0,50

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 60
0
.
0,50
Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM). Vì CD
⊥

mp(SMO) nên mp(SCD)
⊥
mp(SOM), suy ra OH ⊥ (SCD).
Do đó d(O; (SCD)) = OH.
0,25
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 4 14 42
3 3 14
a
OH
OH OS OM a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy
42
( ;( ))
14
a
d O SCD =
.
0,25
5.a 2,0 đ
a
Cho hàm số

0,50
b
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị
của tham số thực m:
2 2009
(1 ) 3 1 0m x x
− − − =
.
1,0 đ
Đặt
2 2009
( ) (1 ) 3 1f x m x x
= − − −
. Ta có:
(0) 1 0f
= − <
.
0,25
2 2
( 1) (1 ) 3 1 1 0, f m m m
− = − − + − = + > ∀
suy ra:
2
( 1). (0) ( 1) 0, f f m m− = − + < ∀
0,25
Mặt khác hàm số
2 2009
( ) (1 ) 3 1f x m x x
= − − −
liên tục trên đoạn [−1;

1
B
1
là hai hình chữ nhật bằng
nhau nên các đường chéo AC
1
, A
1
C, BD
1
và B
1
D bằng nhau.
0,25
Áp dụng định lý Pithagore, ta được:
AC
1
2
= AC
2
+ CC
1
2
= AB
2
+ BC
2
+ CC
1
2

n
n
( 2)
u
3
+
−
=
. Chứng tỏ (u
n
) là một cấp số nhân.
Hãy tìm giới hạn
1 2 n
lim(u u u )
+ +×××+
.
1,0 đ
Ta có:
*
n
u 0, n
≠ ∀ ∈
¥
;
n 2 n
*
n 1
n+1 n 1
n
u ( 2) 3 2

u u u u 1
1 q 5 3
 
−
 
+ + ×××+ = = − −
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
 
;
0,25
Do đó:
n
1 2 n
4 2 4
lim(u u u ) lim 1
5 3 5
 
 
+ + ×××+ = − − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
(vì
n

f x m
x
m ne u x

− −
′
≠

= ∈


′
=

¡
. Xác định m để
hàm số có đạo hàm tại điểm
0x
=
. Khi đó tính đạo hàm của hàm
số f tại điểm
0x
=
.
1,0 đ
Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải
liên tục tại điểm đó, tức là
0
lim ( ) (0)
x

, 0
( )
1
ˆ
, 0
2
x
ne u x
x
f x
ne u x

− −
′
≠


=


′
− =


.
2
0 0 0
1 1 1
( ) (0) 2 1 2
2

1
2
m
= −
thì hàm số có đạo hàm tại điểm
0x
=
và
1
'(0)
8
f
= −
.
0,25
6.b
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai
mặt phẳng (AB'C') và (AC'D').
1,0 đ
A
B
C
D
A '
B '
C '
D '
M
Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'.
Do ∆AB'C' = ∆AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M ⊥ AC'.

cos ' ' ' ' 120
4
' 2
3
a
a
B M B D
B MD B MD
a
B M
−
−
= = − ⇒ =
0,25
Vậy
·
0 0
180 ' ' 60B MD
α
= − =
.
0,25
Lưu ý:
 Phần riêng: Nếu là học sinh các lớp 11B(9,10) thì được chọn tùy ý một trong hai
phần (phần 1 hoặc phần 2) , còn học sinh các lớp 11A(1,2,3) bắt buột làm phần dành cho học
sinh học chương trình nâng cao.
 Học sinh có thể giải bằng các cách khác nhau, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương
ứng với thang điểm của ý và câu đó.
 Thang điểm đề 2 tương tự.