ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ MỞ ĐẦU
Trong mấy năm gần đây trong đề thi Đại học hay xuất hiện câu giải hệ
phương trình không mẫu mực. Theo nhận định chung, các câu này thường là câu
khó đối với thí sinh. Việc giải câu này bằng các phương pháp truyền thống tôi
xin không được bàn luận ở đây. Trong quá trình luyện thi cho học sinh phần hệ
phương trình, ngoài các cách truyền thống, để tăng thêm công cụ và tạo niềm
hứng thú cho học sinh tôi đã đưa thêm công cụ Số phức vào việc giải hệ phương trình.
Thực tế trong qua trình giảng dạy phần này có một số khó khăn như, trong
đề thi Đại học câu Số phức thường không khó, vì lý do đó các học sinh không
giành nhiều thời gian, tâm sức vào phần Số phức nhưng vẫn đạt dược điểm tối
đa cho câu Số phức ; sách tham khảo cũng ít đề cập đến vấn đề này, nếu có
thường không được tác giả đi sâu, lý giải cụ thể nên học sinh cũng không thấy rõ
vai trò của Số phức và việc vận dụng cũng khó; chưa có đề thi Đại học nào mà
việc giải hệ phương trình đã xử dụng công cụ Số phức. Chính vì những khó
khăn đó tôi phải bắt đầu từ những hệ phương trình giải bằng cách truyền thống
sau đó giải cách hai bằng công cụ Số phức, cho học sinh so sánh và gây sự tò
mò cho việc xử dụng Số phức. Bước tiếp theo sẽ vận dụng Số phức vào những
ví dụ khó hơn và thấy rõ vai trò của nó thông qua các ví dụ này.
Trong quá trình vận dụng tôi thường tập trung vào việc Nhận dạng lớp hệ
phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số
thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất
II/ THỰC TRẠNG:
1/ Thực trạng và hậu quả:
- Học sinh không nắm vững công cụ Số phức .
- Không nhận ra được những loại hệ phương trình nào thì sử dụng được Số phức.
- Nếu đọc được bài giải nào về ứng dụng Số phức vào việc giải hệ phương
trình thì không hiểu rõ bản chất, mà thường là giải câu nào biết câu đó.
2/ Tên đề tài:
Đứng trước thực trạng và hậu quả trên tôi chọn đề tài:
"Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình không mẫu mực"

- d
D =d ị =
+/ Nu
b i
0 z
2a
- - d
D =d< ị =
+/ Nu
iD =a + b
, tỡm w sao cho
2
b w
w z
2a
-
=D ị =
1.2/ Gii phng trỡnh bc cao:
- Dng:
3
z a bi= +
+/ Ta cú
[ ]
3
3
z r cos( k2 ) isin( k2 )
k2 k2
z r cos isin
3 3
= j + p + j + p

= - +
= - + -
= - + + -
2 2
1 x yi
z x y
-
=
+
TRANG 2
2 2
iz xi y
i xi y
z x y
= -
+
=
+
3/ Nhận dạng: Những hệ phương có những dấu hiệu sau thì có thể dùng số phức
+/ Có nhiều biểu thức như dạng trên (tất nhiên không có i).
+/ Đưa về phương trình bậc 3 mà máy tính cầm tay không cho nghiệm.
+/ Mẫu có biểu thức
2 2
x y+
hoặc đưa được về dạng này.
II/ Một số ví dụ và bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2 2
xy 2x 5y 2 0
x y 10x 4y 21 0

2 2
(x y 2xi) 10(x yi) 4(xi y) 21 4i 0Þ - + - + - - + + =
- Thay vào ta được:
2
z 2(5 2i)z 21 4i 0- + + + =
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được
z (5 2 2) i(2 2 2)= ± + ±
- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm
x 5 2 2
y 2 2 2
ì
ï
= ±
ï
í
ï
= ±
ï
î
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích
phương trình (2) thành nhân tử (thêm bớt hoặc xem phương trình (2) là phương
trình bậc hai)
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
2 2
2xy 2x y 1
11
x y x 2y
6
ì
+ - =

phng trỡnh (1) thnh nhõn t.
Vớ d 2: Gii h phng trỡnh
3 2
3 2
x 3xy 1
y 3x y 3
ỡ
ù
- =-
ù
ớ
ù
- =-
ù
ợ
Hng dn:
- Nhn dng: Chỳng ta d dng a v phng trỡnh ng cp bc 3 nhng
khi dựng mỏy tớnh cm tay tỡm nghim thỡ mỏy tớnh khụng cho kt qu.
- t
3 3 2 2 3
z x yi z (x 3xy ) (3x y y )i= + ị = - + -
- H phng bin i v
3 2
3 2
x 3xy 1
y i 3x yi i 3
ỡ
ù
- =-
ù

ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ
ố ứ ố ứ
ỗ
ố ứ
ở ỷ

2 k2 2 k2
z 2 cos i.sin
9 3 9 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ị = + + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ

2 2
2 cos i.sin
9 9

ớ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ù
ù
ổ ử
p p
ù
ữ
ỗ
ù
+
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ố ứ
ù
ù
ợ
- Kt lun: H phng trỡnh cú 3 nghim
2 2 8 8 14 14
(x;y) 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin
9 9 9 9 9 9

ù
ớ
ù
- + - = - -
ù
ợ
Hng dn: a v phng trỡnh
3 2
z (1 i)z z 1 i- + - = +
ỏp s:
{ }
(x;y) (1;0);( 1;0);(1;1)= -
2.2/
3 2
2 3
x 3xy 2 2
3x y y 2
ỡ
ù
- =-
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
Vớ d 3: Gii h phng trỡnh
4 2 2 4
3 3
x 6x y y 4

- =-
ù
ợ
- Cng v vi v ta c
4
1 i 3
z 4 4i 3 8 8 cos k2 isin k2
2 2 3 3
ổ ử
ộ ự
ổ ử ổ ử
- p - p
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ờ ỳ
ị = - = - = + p + + p
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ
ố ứ ố ứ
ỗ

4 2 2 4
4 2 2 4
x(x 10x y 5y ) 3
y(y 10x y 5x ) 1
ỡ
ù
- + =
ù
ớ
ù
- + =-
ù
ợ
Hng dn: Khai trin
5
(x yi)+
TRANG 5
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3x y
x 3
x y
x 3y
y 0
x y
ì
-
ï
ï

- Nhân phương trình (2) với i, ta được
2 2
2 2
3x y
x 3
x y
xi 3yi
yi 0
x y
ì
-
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
+
ï
- =
ï
ï
+
ï
î
- Cộng vế với vế đưa về
2 2 2 2

ì
-
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
+
ï
- =-
ï
ï
+
ï
î
Hướng dẫn: Đưa về
16 11i
z 7 1
z
-
+ = -
Đáp số:
{ }
(x;y) (2; 3);(5;2)= -
TRANG 6
4.2/

2 2
9x 10y
x 3 2
x y
10x 9y
y 0
x y
ì
ï
+
ï
+ =
ï
ï
+
ï
ï
í
ï
-
ï
ï
+ =
ï
+
ï
ï
î
Đáp số:
{ }

ç
ï
- =
÷
ç
÷
ï
ç
÷
+
è ø
ï
ï
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
1
x y+
, nên có thể
đưa về chứa
2 2
1
u v+
để dùng số phức.
- Điều kiện:
x,y 0;x y 0³ + ¹
- Đặt
u x 0
v y 0
ì

÷
ç
ï
è ø
+
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
ï - =
÷
ç
ï
÷
ç
è ø
+
ï
î
- Hệ phương biến đổi về
2 2
2 2
u 2
u
u v
3
vi 4i 2

1 2 4 2
z i
z
3 7
+ = +
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được u, v. Thay u,v tìm x,y
- Kết luận:
1 2 2 2
(x;y) ; 2
3 21 7
æ ö
÷
ç
÷
= ± ±
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau
5.1/
3
10x 1 3
5x y
3
y 1 1

ç
÷
+
è ø
ï
ï
î
Đáp số:
1
;1
10
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5.2/
7
x 2 3 2
2x 5y
7
5y 2 3
2x 5y
ì
æ ö
ï
÷

ï
î
Đáp số:
3
2;
5
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5.3/
15
x 2 2 3
x 2y
15
y 2 3( 3 1)
x 2y
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
- = +
÷
ï ç

TRANG 8
C. KẾT LUẬN
I/ Kết quả thực nghiệm:
Việc thực hiện dạy thực nghiệm năm học 2012-2013 tại lớp 12A1, tôi so
sánh với lớp 12A1 năm học 2011-2012. Tôi thu được kết quả như sau
TT Năm học Lớp Sĩ số
Yếu Trung bình Khá, Giỏi
Số
lượng
Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
1
2011-
2012
12A1 50 5 10% 38 76% 7 14%
2 2012-2013 12A1 50 1 2% 37 74% 12 25%
II/ Kiến nghị:
- Đối với nhà trường: Việc viết sáng kiến kinh nghiệm phải là yêu cầu bắt
buộc đối với mọi giáo viên, để giáo viên làm quen với công việc nghiên cứu
khoa học. Để tránh hình thức các sáng kiến kinh nghiệm phải được báo cáo
trước tổ chuyên môn. Các sáng kiến kinh nghiệm có giải cấp trường nhà trường
khen thưởng kịp thời. Những sáng kiến kinh nghiệm mang tính đối phó phải
được nhắc nhở để rút kinh nghiệm cho năm sau.
- Đối với Sở: Để tạo điều kiện cho giáo viên trong tỉnh được học hỏi kinh
nghiệm lẫn nhau thông qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm, các sáng kiến kinh
nghiệm có giải tỉnh nên được biên soạn thành tài liệu và bắt buộc các nhà trường
phải mua để giáo viên được tham khảo.
III/ Lời tác giả:
Việc vận dụng Số phức vào giải hệ phương trình chưa được áp dụng vào
việc giải hệ phương trình trong thi Đại học trong những năm trước đây, nhưng
việc trang bị thêm công cụ Số phức đã giúp cho học sinh hứng thú. Đặc biệt